第二十一章一元二次方程(知識(shí)歸納+題型突破)(四大題型81題)(原卷版+解析)-(人教版)

第二十一章一元二次方程（知識(shí)歸納+題型突破）1、理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解數(shù)字系數(shù)的一元二次方程．2、會(huì)用一元二次方程根的判別式判別方程是否有實(shí)根及兩個(gè)實(shí)根是否相等．3、了解--元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系．4、能根據(jù)具體問(wèn)題的實(shí)際意義，檢驗(yàn)方程解的合理性．1.一元二次方程的相關(guān)概念(1)定義：只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程．(2)一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中ax2、bx、c分別叫做二次項(xiàng)、一次項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)，a、b、c分別稱為二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)．2.一元二次方程的解法（1）直接開(kāi)平方法：形如（x+m）2=n(n≥0)的方程，可直接開(kāi)平方求解.(2)因式分解法：可化為（ax+m）(bx+n)=0的方程，用因式分解法求解.(3)公式法:一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求根公式為x=（b2-4ac≥0）.配方法：當(dāng)一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)為1，一次項(xiàng)系數(shù)為偶數(shù)時(shí)，也可以考慮用配方法．3.根的判別式(1)當(dāng)Δ＝>0時(shí)，原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．(2)當(dāng)Δ＝=0時(shí)，原方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．(3)當(dāng)Δ＝<0時(shí)，原方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．4.列一元二次方程解應(yīng)用題 （1）解題步驟：①審題；②設(shè)未知數(shù)；③列一元二次方程；④解一元二次方程；⑤檢驗(yàn)根是否有意義；⑥作答．（2）應(yīng)用模型：一元二次方程經(jīng)常在增長(zhǎng)率問(wèn)題、面積問(wèn)題等方面應(yīng)用.①平均增長(zhǎng)率（降低率）問(wèn)題：公式：b＝a(1±x)n，a表示基數(shù)，x表示平均增長(zhǎng)率（降低率），n表示變化的次數(shù)，b表示變化n次后的量；②利潤(rùn)問(wèn)題：利潤(rùn)=售價(jià)-成本；利潤(rùn)率=利潤(rùn)/成本×100%；③傳播、比賽問(wèn)題：④面積問(wèn)題：a.直接利用相應(yīng)圖形的面積公式列方程；b.將不規(guī)則圖形通過(guò)割補(bǔ)或平移形成規(guī)則圖形，運(yùn)用面積之間的關(guān)系列方程.注意：運(yùn)用一元二次方程解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，方程一般有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則必須要根據(jù)題意檢驗(yàn)根是否有意義.題型一一元二次方程的解【例1】（2023春·浙江溫州·八年級(jí)校考期中）已知關(guān)于的一元二次方程有一個(gè)根是，則方程有一個(gè)根是（）A． B． C． D．鞏固訓(xùn)練：1．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）若關(guān)于的一元二次方程的一個(gè)根為，則的值為（）A． B． C． D．或2．（2023春·山東東營(yíng)·八年級(jí)東營(yíng)市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┤鬽是一元二次方程的一個(gè)根，則代數(shù)式的值為（

）A．0 B．2 C． D．43．（2023春·山東濟(jì)寧·八年級(jí)濟(jì)寧學(xué)院附屬中學(xué)校考期中）已知是一元二次方程的一個(gè)根，則代數(shù)式的值是（

）A．2020 B．2021 C．2022 D．20234．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）已知關(guān)于x的一元二次方程，若，則此方程必有一個(gè)根為（

）A．0 B．1 C．-1 D．±15．（2023春·浙江寧波·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）若關(guān)于的一元二次方程有一根為，則一元二次方程必有一根為（

）A． B． C． D．6．（2023春·山東泰安·八年級(jí)統(tǒng)考期中）若的一個(gè)解為，則的值為（）A． B． C． D．7．（2022秋·上海靜安·八年級(jí)上海市民辦揚(yáng)波中學(xué)校考期中）若是方程的一個(gè)根，則m的值為．8．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）（2023·山東棗莊·統(tǒng)考中考真題）若是關(guān)于x的方程的解，則的值為．9．（2023春·江蘇南通·八年級(jí)南通田家炳中學(xué)?？茧A段練習(xí)）關(guān)于x的一元二次方程的一個(gè)根為0，則．10．（2023·四川·九年級(jí)專題練習(xí)）先化簡(jiǎn)，再求值，其中x的值是方程的根．題型二一元二次方程的解法【例2】（2023秋·河南許昌·九年級(jí)許昌市第一中學(xué)校聯(lián)考期末）下面是小明同學(xué)解一元二次方程的過(guò)程，請(qǐng)認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)．．解：二次項(xiàng)系數(shù)化為1，得，第一步

移項(xiàng)，得，第二步配方，得，第三步變形，得，第四步開(kāi)方，得，第五步解得，，第六步(1)上面小明同學(xué)的解法中運(yùn)用“配方法”將一元二次方程“降次”為兩個(gè)一元一次方程，體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是______，其中“配方法”依據(jù)的一個(gè)數(shù)學(xué)公式是______；(2)上述解題過(guò)程，從第______步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤，請(qǐng)寫(xiě)出正確的解答過(guò)程．【例3】（2023春·北京門(mén)頭溝·八年級(jí)統(tǒng)考期末）閱讀材料，并回答問(wèn)題：小明在學(xué)習(xí)一元二次方程時(shí)，解方程的過(guò)程如下：解：∵，，

①∴

②

③∴此方程無(wú)解問(wèn)題：(1)上述過(guò)程中，從步開(kāi)始出現(xiàn)了錯(cuò)誤（填序號(hào)）；(2)發(fā)生錯(cuò)誤的原因是：；(3)在下面的空白處，寫(xiě)出正確的解答過(guò)程．【例4】（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）按要求解方程(1)（直接開(kāi)平方法）；(2)（配方法）；(3)（公式法）(4)（因式分解法）(5)（換元法）【例5】（2023春·陜西咸陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）先閱讀下面的內(nèi)容，再解答問(wèn)題．【閱讀】例題：求多項(xiàng)式的最小值．解：，∵，∴∴多項(xiàng)式的最小值是4(1)請(qǐng)寫(xiě)出例題解答過(guò)程中把一個(gè)三項(xiàng)二次式轉(zhuǎn)化為一個(gè)二項(xiàng)式的平方運(yùn)用的公式是______；(2)求多項(xiàng)式的最大值．鞏固訓(xùn)練1．（北京市石景山區(qū)2022-2023學(xué)年八年級(jí)下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）解方程，下列用配方法進(jìn)行變形正確的是（

）A． B． C． D．2．（2022秋·上海奉賢·八年級(jí)?？计谥校┯门浞椒ń庖辉畏匠虝r(shí)，在方程兩邊應(yīng)同時(shí)加上（）A． B． C． D．3．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）用配方法解方程，配方后得到的方程（

）A． B．C． D．4．（2023春·浙江杭州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）用配方法解一元二次方程配方后可變形為（

）A． B． C． D．5．（2023春·山東威?！ぐ四昙?jí)統(tǒng)考期末）用配方法解方程，若配方后結(jié)果為，則n的值為（

）A． B．10 C． D．96．（2022秋·山西太原·九年級(jí)校考階段練習(xí)）在解方程時(shí)，對(duì)方程進(jìn)行配方，圖1是小思做的，圖2是小博做的，對(duì)于兩人的做法，說(shuō)法正確的是（

）A．兩人都正確 B．小思正確，小博不正確C．小思不正確，小博正確 D．兩人都不正確7．（2023秋·山西長(zhǎng)治·九年級(jí)統(tǒng)考期末）用配方法解一元二次方程時(shí)，變形正確的是（

）A． B． C． D．8．（2022秋·天津?yàn)I海新·九年級(jí)?？计谥校┤?，則的值是（

）A．2 B．3 C．或3 D．2或9．（2023秋·湖南湘西·九年級(jí)統(tǒng)考期末）一元二次方程配方后可化為．10．（2022秋·甘肅平?jīng)觥ぞ拍昙?jí)?？茧A段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)x滿足，則代數(shù)式的值為．11．（2022秋·上海青浦·八年級(jí)?？计谥校┯门浞椒ń庖辉畏匠蹋?2．（2023春·安徽合肥·八年級(jí)統(tǒng)考期末）用配方法解方程：．13．（2022秋·上海徐匯·八年級(jí)上海市徐匯中學(xué)?？计谥校┙夥匠蹋?4．（2022秋·天津津南·九年級(jí)?？计谥校┻x取最恰當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠蹋?1)(2)15．（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)哈爾濱市蕭紅中學(xué)?？茧A段練習(xí)）用指定的方法解下列方程(1)（配方法）(2)（公式法）16．（2023春·遼寧大連·八年級(jí)統(tǒng)考期末）解方程：(1)（用公式法）(2)（用配方法）17．（2022秋·湖北荊州·九年級(jí)?？计谥校┱?qǐng)用指定方法解下列方程：(1)公式法：；(2)因式分解法：．18．（2023春·山東威海·八年級(jí)統(tǒng)考期末）按指定方法解方程：(1)；（因式分解法）(2)．（配方法）題型三一元二次方程根的判別式【例6】（2023春·山東濟(jì)寧·八年級(jí)濟(jì)寧學(xué)院附屬中學(xué)?？计谥校┮阎P(guān)于的方程．(1)求證：無(wú)論取何值，這個(gè)方程總有實(shí)數(shù)根；(2)若等腰的底邊長(zhǎng)，另兩邊、恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)根，求的周長(zhǎng)．鞏固訓(xùn)練1．（2023·吉林·統(tǒng)考中考真題）一元二次方程根的判別式的值是（

）A．33 B．23 C．17 D．2．（2023春·北京昌平·八年級(jí)統(tǒng)考期末）下列方程中有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根的方程是（

）A． B． C． D．3．（2022秋·天津?yàn)I海新·九年級(jí)?？计谥校╆P(guān)于x的方程的根的情況是（

）A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 C．沒(méi)有實(shí)數(shù)根 D．無(wú)法確定4．（2022秋·上海徐匯·八年級(jí)上海市徐匯中學(xué)?？计谥校┫铝卸稳?xiàng)式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)一定能因式分解的是（

）A． B． C． D．5．（2022秋·山西臨汾·九年級(jí)統(tǒng)考期末）關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是（

）A． B．且 C． D．且6．（2022秋·河南南陽(yáng)·九年級(jí)南陽(yáng)市第三中學(xué)校考階段練習(xí)）方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍（

）A．且 B．且 C． D．且7．（2023春·浙江紹興·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知是關(guān)于x的方程的實(shí)數(shù)根．下列說(shuō)法：①此方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；②當(dāng)時(shí)，一定有；③b是此方程的根；④此方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．上述說(shuō)法中，正確的有（

）A．①② B．②③ C．①③ D．③④8．（2023秋·河南許昌·九年級(jí)許昌市第一中學(xué)校聯(lián)考期末）對(duì)于實(shí)數(shù)a，b，定義新運(yùn)算：，若關(guān)于x的方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則k的值是（

）A．4 B． C． D．9．（湖北省荊州市2022-2023學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）對(duì)于實(shí)數(shù)u、v定義一種運(yùn)算“*”為：．若關(guān)于x的方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，求滿足條件的實(shí)數(shù)a的值為．10．（2023·貴州·統(tǒng)考中考真題）若一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則的值是．11．（北京市石景山區(qū)2022-2023學(xué)年八年級(jí)下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）已知關(guān)于的一元二次方程．(1)請(qǐng)判斷這個(gè)方程根的情況；(2)若該方程有一個(gè)根小于1，求的取值范圍．12．（2022秋·上海奉賢·八年級(jí)?？计谥校┮阎P(guān)于的方程(1)當(dāng)取什么值時(shí)，方程只有一個(gè)根？(2)若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求的取值范圍．題型四一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用【例7】（北京市石景山區(qū)2022-2023學(xué)年八年級(jí)下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）某工廠由于采用新技術(shù)，生產(chǎn)量逐月增加，原來(lái)月產(chǎn)量為2000件，兩個(gè)月后增至月產(chǎn)量為3000件．若設(shè)月平均增長(zhǎng)率為x，則下列所列的方程正確的是（

）A． B．C． D．【例8】（2022秋·山西呂梁·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）某校“研學(xué)”活動(dòng)小組在一次野外實(shí)踐時(shí)，發(fā)現(xiàn)一種植物的主干長(zhǎng)出若干數(shù)目的枝干，每個(gè)枝干又長(zhǎng)出同樣數(shù)目的小分支．已知1個(gè)主干長(zhǎng)出的枝干和小分支的總數(shù)是72，則這種植物每個(gè)枝干長(zhǎng)出小分支的個(gè)數(shù)是（

）A．9 B．8 C．7 D．6【例9】（2023春·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在中，，，，動(dòng)點(diǎn)由點(diǎn)出發(fā)沿方向向點(diǎn)勻速移動(dòng)，速度為，動(dòng)點(diǎn)由點(diǎn)出發(fā)沿方向向點(diǎn)勻速移動(dòng)，速度為．動(dòng)點(diǎn)，同時(shí)從，兩點(diǎn)出發(fā)，當(dāng)?shù)拿娣e為時(shí)，動(dòng)點(diǎn)，的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．【例10】（2022秋·上海青浦·八年級(jí)?？计谥校橹?jiān)脫貧，某村村委會(huì)在網(wǎng)上直播銷售該村優(yōu)質(zhì)農(nóng)產(chǎn)品禮包，已知其3月份的銷售量達(dá)到400包，若農(nóng)產(chǎn)品禮包每包的進(jìn)價(jià)25元，原售價(jià)為每包40元，該村在今年4月進(jìn)行降價(jià)促銷，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，若農(nóng)產(chǎn)品禮包每包降價(jià)1元，銷售量可增加5袋，當(dāng)農(nóng)產(chǎn)品禮包每包降價(jià)多少元時(shí)，這種農(nóng)產(chǎn)品在4月份可獲利4620元？鞏固訓(xùn)練1．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）廣東春季是流感的高發(fā)時(shí)期，某校4月初有一人患了流感，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后，共25人患流感，假設(shè)每輪傳染中平均每人傳染x人，則可列方程（

）A． B． C． D．2．（2022秋·陜西咸陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期中）有一人感染了某種病毒，若不及時(shí)控制就會(huì)傳染其他人，假設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了個(gè)人，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有64人感染，則的值是（）A．8 B．7 C．6 D．53．（重慶市開(kāi)州區(qū)2022-2023學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）李師傅去年開(kāi)了一家商店，今年月份開(kāi)始盈利，月份盈利元，月份盈利達(dá)到元，若設(shè)月到月每月盈利的平均增長(zhǎng)率為，則可列方程為（

）A． B．C． D．4．（2023春·河北滄州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）國(guó)家衛(wèi)健委臨床檢驗(yàn)中心數(shù)據(jù)，因疫情防控需求，全國(guó)新冠病毒核酸檢測(cè)實(shí)驗(yàn)室數(shù)量從2020年的2081家，增長(zhǎng)至2022年的萬(wàn)家，如果這兩年核酸檢測(cè)實(shí)驗(yàn)室的年平均增長(zhǎng)率為，則下列方程正確的是（

）A． B．C． D．5．（2023·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在長(zhǎng)為，寬為的矩形空地上修筑四條寬度相等的小路，若余下的部分全部種上花卉，且花圃的面積是，則小路的寬是（

）

A． B． C．或 D．6．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在一張長(zhǎng)寬分別為和的長(zhǎng)方形紙板上剪去四個(gè)邊長(zhǎng)為的小正方形，并用它做成一個(gè)無(wú)蓋的小長(zhǎng)方體盒子，若要使長(zhǎng)方體盒子的底面積為，求x的值，根據(jù)題意，可列得的方程為（

）

A． B．C． D．7．（2023·江蘇無(wú)錫·統(tǒng)考中考真題）《九章算術(shù)》中提出了如下問(wèn)題：今有戶不知高、廣，竿不知長(zhǎng)短，橫之不出四尺，從之不出二尺，邪之適出，問(wèn)戶高、廣、邪各幾何？這段話的意思是：今有門(mén)不知其高寬：有竿，不知其長(zhǎng)短，橫放，竿比門(mén)寬長(zhǎng)出4尺：豎放，竿比門(mén)高長(zhǎng)出2尺：斜放，竿與門(mén)對(duì)角線恰好相等．問(wèn)門(mén)高、寬和對(duì)角線的長(zhǎng)各是多少？則該問(wèn)題中的門(mén)高是尺．8．（2023秋·江西萍鄉(xiāng)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）某商品現(xiàn)在的售價(jià)為每件60元，每星期可賣(mài)出300件，市場(chǎng)調(diào)查反映：每降價(jià)1元，每星期可多賣(mài)出20件．已知商品的進(jìn)價(jià)為每件40元，在顧客盡可能多得實(shí)惠的前提下，商家還想獲得6080元的利潤(rùn)，則該商品的銷售定價(jià)為元．9．（2023春·八年級(jí)單元測(cè)試）在中，，，，動(dòng)點(diǎn)，分別從點(diǎn)，同時(shí)開(kāi)始移動(dòng)（移動(dòng)方向如圖所示），點(diǎn)P的速度為，點(diǎn)Q的速度為，點(diǎn)Q移動(dòng)到點(diǎn)C后停止，點(diǎn)P也隨之停止移動(dòng)，若使的面積為，則點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是．10．（2023春·山東德州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，，，，一個(gè)小球從點(diǎn)出發(fā)沿著方向滾向點(diǎn)，另一小球立即從點(diǎn)出發(fā)，沿勻速前進(jìn)攔截小球，恰好在點(diǎn)處截住了小球．若兩個(gè)小球滾動(dòng)的速度相等，則另一個(gè)小球滾動(dòng)的路程是．11．（2023春·重慶渝北·八年級(jí)禮嘉中學(xué)校考期末）今年春季是甲流病毒的高發(fā)期．為了遏制甲流病毒的傳播，建議市民朋友們?cè)诠矆?chǎng)合要佩戴口罩，現(xiàn)在，有一個(gè)人患了甲流，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有個(gè)人患了甲流．(1)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了幾個(gè)人？(2)某藥房最近售出了盒口罩．已知售出的醫(yī)用口罩的數(shù)量不超過(guò)普通醫(yī)用口罩的4倍，每盒醫(yī)用口罩的單價(jià)為元，每盒普通醫(yī)用口罩的價(jià)格為元，則售出醫(yī)用口罩和普通醫(yī)用各多少盒時(shí)，總銷售額最多？請(qǐng)說(shuō)明理由．12．（2023·廣東陽(yáng)江·統(tǒng)考一模）自年月以來(lái)，甲流便肆虐橫行，成為當(dāng)前主流流行疾病．某一小區(qū)有位住戶不小心感染了甲流，由于甲流傳播感染非?？欤^(qū)經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有人患了甲流．(1)每輪感染中平均一個(gè)人傳染幾人？(2)如果按照這樣的傳播速度，經(jīng)過(guò)三輪傳染后累計(jì)是否超過(guò)人患了甲流？13．（2023春·安徽安慶·八年級(jí)安慶市石化第一中學(xué)校考期末）我市某超市于今年年初以每件30元的進(jìn)價(jià)購(gòu)進(jìn)一批商品．當(dāng)商品售價(jià)為40元時(shí)，一月份銷售250件．二、三月該商品十分暢銷．銷售量持續(xù)走高．在售價(jià)不變的基礎(chǔ)上，三月底的銷售量達(dá)到360件．設(shè)二、三這兩個(gè)月的月平均增長(zhǎng)率不變．(1)求二、三這兩個(gè)月的月平均增長(zhǎng)率；(2)從四月份起，商場(chǎng)決定采用降價(jià)促銷的方式回饋顧客，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品每降價(jià)1元，銷售量增加6件，當(dāng)商品降價(jià)多少元時(shí)，商場(chǎng)獲利1950元？14．（北京市石景山區(qū)2022-2023學(xué)年八年級(jí)下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）如圖，矩形草地中，m，m，點(diǎn)為邊中點(diǎn)，草地內(nèi)鋪了一條長(zhǎng)和寬分別相等直角折線甬路（，），若草地總面積（兩部分陰影之和）為，求甬路的寬．15．（2022秋·上海奉賢·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，正方形分割成兩個(gè)小正方形和兩個(gè)長(zhǎng)方形．(1)若正方形邊長(zhǎng)為，正方形的面積是正方形的一半，求正方形的邊的長(zhǎng)．(2)若正方形面積為，設(shè)，四邊形的面積為，求y關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出定義域．(3)四邊形的面積是否能夠等于正方形面積的一半，如果能，請(qǐng)求出長(zhǎng)，如果不能請(qǐng)說(shuō)明理由．16．（2023春·江蘇南通·八年級(jí)統(tǒng)考期末）某學(xué)校在“美化校園，幸福學(xué)習(xí)”活動(dòng)中，計(jì)劃利用如圖所示的直角墻角（陰影部分，兩邊足夠長(zhǎng)），用長(zhǎng)的籬笆圍成一個(gè)矩形花園（籬笆只圍AB，AD兩邊）．

(1)若花園的面積為，求AB的長(zhǎng)；(2)若在直角墻角內(nèi)點(diǎn)P處有一棵桂花樹(shù)，且到墻CD的距離為，若要將這棵樹(shù)圍在矩形花園內(nèi)（含邊界，不考慮樹(shù)的粗細(xì)），問(wèn)該花園的面積能否為？若能，求出AB的長(zhǎng)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．17．（2023·山東東營(yíng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，老李想用長(zhǎng)為的柵欄，再借助房屋的外墻（外墻足夠長(zhǎng)）圍成一個(gè)矩形羊圈，并在邊上留一個(gè)寬的門(mén)（建在處，另用其他材料）．

(1)當(dāng)羊圈的長(zhǎng)和寬分別為多少米時(shí)，能?chē)梢粋€(gè)面積為640的羊圈？(2)羊圈的面積能達(dá)到嗎？如果能，請(qǐng)你給出設(shè)計(jì)方案；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．18．（2022秋·山西晉城·九年級(jí)統(tǒng)考期末）某公園中有一塊長(zhǎng)為32米，寬為20米的矩形花壇，現(xiàn)在要在花壇中間修建一條如圖所示的文化長(zhǎng)廊，已知長(zhǎng)廊的寬度均相等，且橫縱相交成直角，若要使花壇的種植面積為540平方米，問(wèn)長(zhǎng)廊的寬度應(yīng)為多少米？

19．（遼寧省遼陽(yáng)市2022-2023學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）今年元旦期間，某網(wǎng)絡(luò)經(jīng)銷商進(jìn)購(gòu)了一批節(jié)日彩燈，彩燈的進(jìn)價(jià)為每條元，當(dāng)銷售單價(jià)定為元時(shí)，每天可售出條，為了擴(kuò)大銷售，決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施，經(jīng)調(diào)查：銷售單價(jià)每降低元，則每天可多售出條．若設(shè)這批節(jié)日彩燈的銷售單價(jià)為(元)，每天的銷售量為(條)．(1)求每天的銷售量(條)與銷售單價(jià)(元)之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)銷售單價(jià)為多少元時(shí)，銷售這批節(jié)日彩燈每天所獲得的利潤(rùn)為元？20．（2023春·浙江金華·八年級(jí)義烏市繡湖中學(xué)教育集團(tuán)校聯(lián)考期中）某水果店以相同的進(jìn)價(jià)購(gòu)進(jìn)兩批櫻桃，第一批80千克，每千克16元出售；第二批60千克，每千克18元出售，兩批車(chē)?yán)遄尤渴弁?，店主共獲利960元．(1)求櫻桃的進(jìn)價(jià)是每千克多少元？(2)該水果店一相同的進(jìn)價(jià)購(gòu)進(jìn)第三批櫻桃若干，第一天將櫻桃漲價(jià)到每千克20元出售，結(jié)果僅售出40千克；為了盡快售完第三批櫻桃，第二天店主決定在第一天售價(jià)的基礎(chǔ)上降價(jià)促銷，若在第一天售價(jià)基礎(chǔ)上每降價(jià)1元，第二天的銷售量就在第一天的基礎(chǔ)上增加10千克．到第二天晚上關(guān)店時(shí)櫻桃售完，店主銷售第三批櫻桃獲得的利潤(rùn)為850元，求第二天櫻桃的售價(jià)是每千克多少元？21．（2023春·安徽阜陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）2022北京冬奧會(huì)期間，某網(wǎng)店直接從工廠購(gòu)進(jìn)A、B兩款冰墩墩鑰匙扣，進(jìn)貨價(jià)和銷售價(jià)如下表：（注：利潤(rùn)=銷售價(jià)-進(jìn)貨價(jià)）類別價(jià)格A款鑰匙扣B款鑰匙扣進(jìn)貨價(jià)（元／件）3025銷售價(jià)（元／件）4537(1)網(wǎng)店第一次用850元購(gòu)進(jìn)A、B兩款鑰匙扣共30件，求兩款鑰匙扣分別購(gòu)進(jìn)的件數(shù)？(2)冬奧會(huì)臨近結(jié)束時(shí)，網(wǎng)店打算把B款鑰匙扣調(diào)價(jià)銷售，如果按照原價(jià)銷售，平均每天可售4件．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每降價(jià)1元，平均每天可多售2件，將銷售價(jià)定為每件多少元時(shí)，才能使B款鑰匙扣平均每天銷售利潤(rùn)為90元？22．（2023春·浙江寧波·八年級(jí)統(tǒng)考期末）第19屆亞運(yùn)會(huì)即將在杭州舉行，某商店購(gòu)進(jìn)一批亞運(yùn)會(huì)紀(jì)念品進(jìn)行銷售，已知每件紀(jì)念品的成本是30元，如果銷售單價(jià)定為每件40元，那么日銷售量將達(dá)到100件．據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，銷售單價(jià)每提高1元，日銷售量將減少2件．(1)若銷售單價(jià)定為每件45元，求每天的銷售利潤(rùn)；(2)要使每天銷售這種紀(jì)念品盈利1600元，同時(shí)又要讓利給顧客，那么該紀(jì)念品的售價(jià)單價(jià)應(yīng)定為每件多少元？23．（2023春·江蘇無(wú)錫·八年級(jí)統(tǒng)考期末）服裝店購(gòu)進(jìn)一批甲、乙兩種款型的時(shí)尚T恤衫，甲種款型共用了10400元，乙種款型共用了6400元，甲種款型的件數(shù)是乙種款型件數(shù)的2倍，甲種款型每件的進(jìn)價(jià)比乙種款型每件的進(jìn)價(jià)少30元.(1)甲、乙兩種款型的T恤衫各購(gòu)進(jìn)多少件？(2)該服裝店第一個(gè)月甲種款型的T恤衫以200元/件的價(jià)格售出20件、乙種款型的T恤衫以250元/件的價(jià)格售出10件；為了促銷，第二個(gè)月決定對(duì)甲、乙兩種款式的T恤衫都進(jìn)行降價(jià)a元銷售，其中甲種款型的T恤衫的銷售量增加4a件、乙種款型的T恤衫的銷售增加a件，結(jié)果第二個(gè)月的銷售總額比第一個(gè)月的銷售總額增加了1000a元，求第二個(gè)月的銷售利潤(rùn)．24．（2022秋·陜西咸陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期中）今年某村農(nóng)產(chǎn)品喜獲豐收，該村村委會(huì)在網(wǎng)上直播銷售A、B兩種優(yōu)質(zhì)農(nóng)產(chǎn)品禮包．(1)已知今年7月份銷售A種農(nóng)產(chǎn)品禮包256包，8、9月該禮包十分暢銷，銷售量持續(xù)走高，在售價(jià)不變的基礎(chǔ)上，9月份的銷售量達(dá)到400包．若設(shè)8、9兩個(gè)月銷售量的月平均增長(zhǎng)率為x，求x的值；(2)若B種農(nóng)產(chǎn)品禮包每包成本價(jià)為16元，當(dāng)售價(jià)為每包30元時(shí)，每月銷量為200包．為了盡快減少庫(kù)存，該村準(zhǔn)備在10月進(jìn)行降價(jià)促銷，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，若B種農(nóng)產(chǎn)品禮包每包每降價(jià)1元，月銷售量可增加20包，當(dāng)B種農(nóng)產(chǎn)品禮包每包降價(jià)多少元時(shí)，該村銷售B種農(nóng)產(chǎn)品禮包在10月份可獲利2860元?25．（2023春·山東濟(jì)南·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，點(diǎn)從開(kāi)始沿邊向點(diǎn)以的速度移動(dòng)，與此同時(shí)，點(diǎn)從點(diǎn)開(kāi)始沿邊向點(diǎn)以的速度移動(dòng)．點(diǎn)，同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．(1)填空：______，______；用含的代數(shù)式表示；(2)當(dāng)為幾秒時(shí)，的長(zhǎng)度等于；(3)是否存在某一時(shí)刻，使四邊形的面積等于面積的？如果存在，求出的值，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．26．（2022秋·廣東廣州·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在中，，，．點(diǎn)、同時(shí)由、兩點(diǎn)出發(fā)，分別以和的速度沿線段、勻速移動(dòng)，當(dāng)一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也停止移動(dòng)．

(1)設(shè)經(jīng)過(guò)秒，用含t的代數(shù)式表示、．______、______．(2)幾秒后，的面積是面積的？27．（2020秋·廣東惠州·九年級(jí)惠州一中?？茧A段練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)方形中，，，點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿邊向終點(diǎn)B以的速度移動(dòng)，與此同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始沿邊向終點(diǎn)C以的速度移動(dòng)．如果P、Q分別從A、B同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．

(1)填空：______，______（用含的代數(shù)式表示）(2)當(dāng)為何值時(shí)，的長(zhǎng)度等于？(3)是否存在，使得五邊形的面積等于？若存在，請(qǐng)求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．28．（2022春·廣西梧州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在中，，，點(diǎn)從開(kāi)始沿邊向點(diǎn)以的速度移動(dòng)，與此同時(shí)，點(diǎn)從點(diǎn)開(kāi)始沿邊向點(diǎn)以的速度移動(dòng)．點(diǎn)，同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．(1)填空：___________，___________；（用含t的代數(shù)式表示）(2)當(dāng)t為幾秒時(shí)，的長(zhǎng)度等于？(3)是否存在某一時(shí)刻t，使四邊形的面積等于面積的？如果存在，求出t的值，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由，29．（2023春·江蘇泰州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）問(wèn)題：“某工程隊(duì)準(zhǔn)備修建一條長(zhǎng)3000米的下水管道，由于采用新的施工方式，________________，提前2天完成任務(wù)，求原計(jì)劃每天修建下水管道的長(zhǎng)度？”條件：（1）實(shí)際每天修建的長(zhǎng)度比原計(jì)劃多；（2）原計(jì)劃每天修建的長(zhǎng)度比實(shí)際少75米．在上述的2個(gè)條件中選擇1個(gè)________________（僅填序號(hào)）補(bǔ)充在問(wèn)題的橫線上，并完成解答．30．（2023春·重慶北碚·八年級(jí)西南大學(xué)附中?？计谥校┘住⒁覂晒こ剃?duì)合作完成某修路工程，該工程總長(zhǎng)為4800米，原計(jì)劃32小時(shí)完成．甲工程隊(duì)每小時(shí)修路里程比乙工程隊(duì)的2倍多30米，剛好按時(shí)完成任務(wù)．(1)求甲工程隊(duì)每小時(shí)修的路面長(zhǎng)度；(2)通過(guò)勘察，地下發(fā)現(xiàn)大型溶洞，此工程的實(shí)際施工里程比最初的4800米多了1000米，在實(shí)際施工中，乙工程隊(duì)修路效率保持不變的情況下，時(shí)間比原計(jì)劃增加了()小時(shí)；甲工程隊(duì)的修路速度比原計(jì)劃每小時(shí)下降了米，而修路時(shí)間比原計(jì)劃增加m小時(shí)，求m的值．31．（重慶市開(kāi)州區(qū)2022-2023學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）隨著人們對(duì)健康生活的追求，全民健身意識(shí)日益增強(qiáng)，徒步走成為人們鍛煉的日常，中老年人尤為喜愛(ài)．(1)張大伯徒步走的速度是李大伯徒步走的倍，張大伯走分鐘，李大伯走分鐘，共走米，求張大伯和李大伯每分鐘各走多少米？(2)天氣好，天色早，張大伯和李大伯鍛煉興致很濃，又繼續(xù)走，與（1）中相比，張大伯的速度不變，李大伯的速度每分鐘提高了米，時(shí)間都各自多走了分鐘，結(jié)果兩人又共走了米，求的值．

第二十一章一元二次方程（知識(shí)歸納+題型突破）1、理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解數(shù)字系數(shù)的一元二次方程．2、會(huì)用一元二次方程根的判別式判別方程是否有實(shí)根及兩個(gè)實(shí)根是否相等．3、了解--元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系．4、能根據(jù)具體問(wèn)題的實(shí)際意義，檢驗(yàn)方程解的合理性．1.一元二次方程的相關(guān)概念(1)定義：只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程．(2)一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中ax2、bx、c分別叫做二次項(xiàng)、一次項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)，a、b、c分別稱為二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)．2.一元二次方程的解法（1）直接開(kāi)平方法：形如（x+m）2=n(n≥0)的方程，可直接開(kāi)平方求解.(2)因式分解法：可化為（ax+m）(bx+n)=0的方程，用因式分解法求解.(3)公式法:一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求根公式為x=（b2-4ac≥0）.配方法：當(dāng)一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)為1，一次項(xiàng)系數(shù)為偶數(shù)時(shí)，也可以考慮用配方法．3.根的判別式(1)當(dāng)Δ＝>0時(shí)，原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．(2)當(dāng)Δ＝=0時(shí)，原方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．(3)當(dāng)Δ＝<0時(shí)，原方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．4.列一元二次方程解應(yīng)用題 （1）解題步驟：①審題；②設(shè)未知數(shù)；③列一元二次方程；④解一元二次方程；⑤檢驗(yàn)根是否有意義；⑥作答．（2）應(yīng)用模型：一元二次方程經(jīng)常在增長(zhǎng)率問(wèn)題、面積問(wèn)題等方面應(yīng)用.①平均增長(zhǎng)率（降低率）問(wèn)題：公式：b＝a(1±x)n，a表示基數(shù)，x表示平均增長(zhǎng)率（降低率），n表示變化的次數(shù)，b表示變化n次后的量；②利潤(rùn)問(wèn)題：利潤(rùn)=售價(jià)-成本；利潤(rùn)率=利潤(rùn)/成本×100%；③傳播、比賽問(wèn)題：④面積問(wèn)題：a.直接利用相應(yīng)圖形的面積公式列方程；b.將不規(guī)則圖形通過(guò)割補(bǔ)或平移形成規(guī)則圖形，運(yùn)用面積之間的關(guān)系列方程.注意：運(yùn)用一元二次方程解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，方程一般有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則必須要根據(jù)題意檢驗(yàn)根是否有意義.題型一一元二次方程的解【例1】（2023春·浙江溫州·八年級(jí)?？计谥校┮阎P(guān)于的一元二次方程有一個(gè)根是，則方程有一個(gè)根是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用一元二次方程的解，可得出，在等式的兩邊同時(shí)除以，可得出，進(jìn)而可得出方程有一個(gè)根是．【詳解】關(guān)于的一元二次方程有一個(gè)根是，，在等式的兩邊同時(shí)除以得：，方程有一個(gè)根是．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解，牢記“能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解”是解題的關(guān)鍵．鞏固訓(xùn)練：1．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）若關(guān)于的一元二次方程的一個(gè)根為，則的值為（）A． B． C． D．或【答案】C【分析】將代入方程，得到，再利用一元二次方程根的定義得到，確定出m的值即可．【詳解】解：將代入，得：，解得：，∵，∴，∴故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．也考查了一元二次方程的定義．2．（2023春·山東東營(yíng)·八年級(jí)東營(yíng)市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┤鬽是一元二次方程的一個(gè)根，則代數(shù)式的值為（

）A．0 B．2 C． D．4【答案】D【分析】根據(jù)一元二次方程的解的定義得出，即得出．再將代數(shù)式變?yōu)?，最后整體代入求值即可．【詳解】解：∵m是一元二次方程的一個(gè)根，∴，∴，∴．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的解的定義，代數(shù)式求值．掌握一元二次方程的解就是使方程成立的未知數(shù)的值是解題關(guān)鍵．3．（2023春·山東濟(jì)寧·八年級(jí)濟(jì)寧學(xué)院附屬中學(xué)校考期中）已知是一元二次方程的一個(gè)根，則代數(shù)式的值是（

）A．2020 B．2021 C．2022 D．2023【答案】B【分析】先利用一元二次方程根的定義得到，再把變形為，然后利用整體代入的方法計(jì)算．【詳解】解：是一元二次方程0的一個(gè)根，∴，∴，∴．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解、代數(shù)式求值，解題的關(guān)鍵是掌握能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．4．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）已知關(guān)于x的一元二次方程，若，則此方程必有一個(gè)根為（

）A．0 B．1 C．-1 D．±1【答案】B【分析】將代入方程中的左邊，得到，由得到方程左右兩邊相等，即是方程的解．【詳解】將代入方程中的左邊得：，∵，∴是方程的根．即方程的一個(gè)根為．故選：B【點(diǎn)睛】題考查了一元二次方程的解的意義：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．掌握方程的解的定義是解題的關(guān)鍵．5．（2023春·浙江寧波·八年級(jí)校考階段練習(xí)）若關(guān)于的一元二次方程有一根為，則一元二次方程必有一根為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)一元二次方程根的定義可得元二次方程中，，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程（）有一根為，∴一元二次方程，即中，，即，故選D【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根的定義，理解一元二次方程根的定義是解題的關(guān)鍵．6．（2023春·山東泰安·八年級(jí)統(tǒng)考期中）若的一個(gè)解為，則的值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】把代入，得，對(duì)進(jìn)行化簡(jiǎn)，即可．【詳解】∵是的一個(gè)解，∴，∵，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程的解．7．（2022秋·上海靜安·八年級(jí)上海市民辦揚(yáng)波中學(xué)?？计谥校┤羰欠匠痰囊粋€(gè)根，則m的值為．【答案】2【分析】根據(jù)一元二次方程的解的定義將代入方程，列出關(guān)于m的方程，通過(guò)解方程求得m的值即可．【詳解】解：∵是方程的一個(gè)根，∴，解得：，故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的解，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意得出．8．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）（2023·山東棗莊·統(tǒng)考中考真題）若是關(guān)于x的方程的解，則的值為．【答案】【分析】把代入得，則，將整理為即可求解．【詳解】解：把代入得：，∴，∴，∴．故答案為：2017．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的解，整體代入求代數(shù)式的值，解題的關(guān)鍵是掌握使方程等號(hào)兩邊相等的未知數(shù)的值是方程的解．9．（2023春·江蘇南通·八年級(jí)南通田家炳中學(xué)校考階段練習(xí)）關(guān)于x的一元二次方程的一個(gè)根為0，則．【答案】【分析】將代入一元二次方程，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程，要注意，．【詳解】解：將代入一元二次方程得，，整理得，，解得，．是一元二次方程，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解和一元二次方程的定義，要熟悉一元二次方程的解法和二次項(xiàng)系數(shù)的取值范圍．10．（2023·四川·九年級(jí)專題練習(xí)）先化簡(jiǎn)，再求值，其中x的值是方程的根．【答案】，4【分析】根據(jù)整式的混合運(yùn)算化簡(jiǎn)后代入x的值計(jì)算即可.【詳解】解：原式；

∵x的值是方程的根，解得，又∵，∴，∴，原式．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解，實(shí)數(shù)的運(yùn)算，分式的化簡(jiǎn)和求值，解一元一次不等式，正確地進(jìn)行運(yùn)算是解題的關(guān)鍵.題型二一元二次方程的解法【例2】（2023秋·河南許昌·九年級(jí)許昌市第一中學(xué)校聯(lián)考期末）下面是小明同學(xué)解一元二次方程的過(guò)程，請(qǐng)認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)．．解：二次項(xiàng)系數(shù)化為1，得，第一步

移項(xiàng)，得，第二步配方，得，第三步變形，得，第四步開(kāi)方，得，第五步解得，，第六步(1)上面小明同學(xué)的解法中運(yùn)用“配方法”將一元二次方程“降次”為兩個(gè)一元一次方程，體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是______，其中“配方法”依據(jù)的一個(gè)數(shù)學(xué)公式是______；(2)上述解題過(guò)程，從第______步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤，請(qǐng)寫(xiě)出正確的解答過(guò)程．【答案】(1)轉(zhuǎn)化思想，完全平方公式(2)三，解答過(guò)程見(jiàn)詳解【分析】（1）根據(jù)解答過(guò)程判斷依據(jù)即可；（2）根據(jù)配方法判斷即可．【詳解】（1）解法中運(yùn)用“配方法”將一元二次方程“降次”為兩個(gè)一元一次方程，體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是轉(zhuǎn)化思想，其中“配方法”依據(jù)的一個(gè)數(shù)學(xué)公式是完全平方公式；（2）解題過(guò)程，從第三步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤，正確的解答過(guò)程如下：解：，，，，，解得，．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程的幾種常見(jiàn)解法：直接開(kāi)平方法、配方法、因式分解法、公式法，結(jié)合方程的特點(diǎn)選擇合適的解法是解題的關(guān)鍵．【例3】（2023春·北京門(mén)頭溝·八年級(jí)統(tǒng)考期末）閱讀材料，并回答問(wèn)題：小明在學(xué)習(xí)一元二次方程時(shí)，解方程的過(guò)程如下：解：∵，，

①∴

②

③∴此方程無(wú)解問(wèn)題：(1)上述過(guò)程中，從步開(kāi)始出現(xiàn)了錯(cuò)誤（填序號(hào)）；(2)發(fā)生錯(cuò)誤的原因是：；(3)在下面的空白處，寫(xiě)出正確的解答過(guò)程．【答案】(1)③(2)計(jì)算錯(cuò)誤(3)見(jiàn)解析【分析】根據(jù)公式法的步驟判斷和求解即可．【詳解】（1）解：由題意可得：從③步開(kāi)始出現(xiàn)了錯(cuò)誤故答案為：③；（2）計(jì)算錯(cuò)誤（負(fù)數(shù)乘以負(fù)數(shù)得負(fù)數(shù)）；（3）∵，，，∴，∴，解得：，．【點(diǎn)睛】本題考查了用公式法解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是掌握公式法的計(jì)算步驟．【例4】（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）按要求解方程(1)（直接開(kāi)平方法）；(2)（配方法）；(3)（公式法）(4)（因式分解法）(5)（換元法）【答案】(1)，(2)，(3)，(4)或(5)，【分析】（1）先移項(xiàng)，變成，然后直接開(kāi)平方；（2）把方程的二次項(xiàng)系數(shù)化為1，移項(xiàng)，然后在方程的左右兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，左邊就是完全平方式，右邊就是常數(shù)，然后利用平方根的定義即可求解；（3）找出方程中二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)，計(jì)算出根的判別式，由根的判別式大于0，得到方程有解，將，及的值代入求根公式即可求出原方程的解；（4）將方程整理為，然后通過(guò)提取公因式進(jìn)行因式分解，再求解即可；（5）先令，則原方程變形為，運(yùn)用因式分解法解得，，再把和3分別代入得到關(guān)于的一元二次方程，然后解兩個(gè)一元二次方程，最后確定原方程的解．【詳解】（1）解：，，，，∴，；（2），，，，，∴，；（3），，，，，∴，∴，；（4），，，，，∴或，∴或；（5），令，則原方程變形為，即：，解得：，，當(dāng)時(shí)，，解得：，當(dāng)時(shí)，，解得：，∴原方程的解為：，．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握直接開(kāi)平方法、公式法、因式分解法、配方法、換元法是解題的關(guān)鍵．【例5】（2023春·陜西咸陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）先閱讀下面的內(nèi)容，再解答問(wèn)題．【閱讀】例題：求多項(xiàng)式的最小值．解：，∵，∴∴多項(xiàng)式的最小值是4(1)請(qǐng)寫(xiě)出例題解答過(guò)程中把一個(gè)三項(xiàng)二次式轉(zhuǎn)化為一個(gè)二項(xiàng)式的平方運(yùn)用的公式是______；(2)求多項(xiàng)式的最大值．【答案】(1)完全平方公式(2)30【分析】（1）根據(jù)完全平方公式的含義可得答案；（2）把原式化為，再利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可得答案．【詳解】（1）解：公式為：，即：完全平方公式，故答案為：完全平方公式；（2）；∵，∴，∴的最大值是．【點(diǎn)睛】本題考查的是利用完全平方公式分解因式，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，掌握利用完全平方公式求解代數(shù)式的最值是解本題的關(guān)鍵．鞏固訓(xùn)練1．（北京市石景山區(qū)2022-2023學(xué)年八年級(jí)下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）解方程，下列用配方法進(jìn)行變形正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用完全平方公式進(jìn)行配方即可．【詳解】解：∵，∴，即，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了配方法解一元二次方程．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握．2．（2022秋·上海奉賢·八年級(jí)?？计谥校┯门浞椒ń庖辉畏匠虝r(shí)，在方程兩邊應(yīng)同時(shí)加上（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)配方法的步驟，利用完全平方公式進(jìn)行求解即可．【詳解】解：進(jìn)行配方，方程兩邊應(yīng)同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方，即∴，∴在方程兩邊應(yīng)同時(shí)加上．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查配方法，用配方法解一元二次方程得一般步驟：（1）化二次項(xiàng)系數(shù)為，當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)不是時(shí)，方程兩邊同時(shí)除以二次項(xiàng)系數(shù)；（2）加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，使其中的三項(xiàng)成為完全平方式，但又要使此方程的等式關(guān)系不變，故在右側(cè)同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；（3）配方后將原方程化為的形式，再用直接開(kāi)平方的方法解方程．熟知配方法的步驟是解題的關(guān)鍵．3．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）用配方法解方程，配方后得到的方程（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先移項(xiàng)，再配方，即可得出選項(xiàng)；【詳解】解：，，配方得：，，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，能正確的配方是解答該題的關(guān)鍵．4．（2023春·浙江杭州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）用配方法解一元二次方程配方后可變形為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)配方法的步驟進(jìn)行求解即可．【詳解】解：，∴，∴，∴；故選A．【點(diǎn)睛】本題考查配方法．熟練掌握配方法的步驟，是解題的關(guān)鍵．5．（2023春·山東威?！ぐ四昙?jí)統(tǒng)考期末）用配方法解方程，若配方后結(jié)果為，則n的值為（

）A． B．10 C． D．9【答案】B【分析】利用配方法將方程配成，然后求出n的值即可．【詳解】∵，∴，

∴，即，

．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用配方法解一元二次方程，熟練掌握配方法的步驟是解題的關(guān)鍵．6．（2022秋·山西太原·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在解方程時(shí)，對(duì)方程進(jìn)行配方，圖1是小思做的，圖2是小博做的，對(duì)于兩人的做法，說(shuō)法正確的是（

）A．兩人都正確 B．小思正確，小博不正確C．小思不正確，小博正確 D．兩人都不正確【答案】A【分析】根據(jù)配方法把含未知數(shù)的項(xiàng)寫(xiě)成完全平方式，形如的形式即可．【詳解】解：根據(jù)配方法可知兩人的做法都正確，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查解一元二次方程—配方法，掌握配方法的步驟，能正確的將一元二次方程配成的形式是解答的關(guān)鍵．7．（2023秋·山西長(zhǎng)治·九年級(jí)統(tǒng)考期末）用配方法解一元二次方程時(shí)，變形正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】在方程兩邊加上16，然后把方程左邊配成完全平方形式即可．【詳解】解：，配方得，即．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程－配方法，關(guān)鍵是掌握配方的方法：當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)為1時(shí)，兩邊加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方．8．（2022秋·天津?yàn)I海新·九年級(jí)校考期中）若，則的值是（

）A．2 B．3 C．或3 D．2或【答案】C【分析】先設(shè)，則方程即可變形為，解方程即可求得即的值．【詳解】解：設(shè)，則原方程可化為：，即，解得：或，∴或，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接開(kāi)平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根據(jù)方程的特點(diǎn)靈活選用合適的方法．9．（2023秋·湖南湘西·九年級(jí)統(tǒng)考期末）一元二次方程配方后可化為．【答案】【分析】先把常數(shù)項(xiàng)移到方程右側(cè)，再把方程兩邊加上16，然后把方程左邊寫(xiě)成完全平方形式即可．【詳解】解：移項(xiàng)得：，配方得：，即，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步驟：（1）把常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)的右邊；（2）把二次項(xiàng)的系數(shù)化為1；（3）等式兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方．10．（2022秋·甘肅平?jīng)觥ぞ拍昙?jí)?？茧A段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)x滿足，則代數(shù)式的值為．【答案】2023【分析】設(shè)，則原方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的一元二次方程，利用因式分解法解該方程即可求得t的值；然后整體代入所求的代數(shù)式進(jìn)行解答，注意判斷方程的根的判別式，方程有解．【詳解】解：設(shè)，由原方程，得，整理，得，所以或．當(dāng)時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，方程無(wú)解，此種情形不存在．故答案是：2023．【點(diǎn)睛】本題考查了換元法解一元二次方程．換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換．11．（2022秋·上海青浦·八年級(jí)?？计谥校┯门浞椒ń庖辉畏匠蹋骸敬鸢浮?，【分析】先把二次項(xiàng)系數(shù)化1，把常數(shù)項(xiàng)移到等是右邊，加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，然后直接開(kāi)平方即可．【詳解】解：二次項(xiàng)系數(shù)化為1，得，移項(xiàng)，得，配方，得，即，直接開(kāi)平方，得，即，，．【點(diǎn)睛】本題考查利用配方法解一元二次方程，掌握配方法解一元二次方程的方法，會(huì)用配方法解方程是關(guān)鍵．12．（2023春·安徽合肥·八年級(jí)統(tǒng)考期末）用配方法解方程：．【答案】，【分析】將一元二次方程整理成一般形式，再將常數(shù)項(xiàng)移到一元二次方程的右邊，然后兩邊加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，最后按直接開(kāi)平方法即可求解．【詳解】解：整理，得移項(xiàng)，得

配方，得開(kāi)平方，得∴，【點(diǎn)睛】本題考查了用配方法解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是把方程左邊轉(zhuǎn)化為完全平方式，右邊變?yōu)槌?shù)項(xiàng)．13．（2022秋·上海徐匯·八年級(jí)上海市徐匯中學(xué)?？计谥校┙夥匠蹋骸敬鸢浮?，【分析】明確方程中未知數(shù)的二次項(xiàng)、一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)，運(yùn)用求根公式求解．【詳解】解：，∴，∴方程的解為，．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的求解，注意根據(jù)方程具體情況選用適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼馐墙忸}的關(guān)鍵．14．（2022秋·天津津南·九年級(jí)?？计谥校┻x取最恰當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠蹋?1)(2)【答案】(1)，；(2)，【分析】（1）直接開(kāi)平方把原方程化為兩個(gè)一元一次方程，解一元一次方程即可得解；（2）原方程先配方然后再開(kāi)平方，最后化為一元一次方程求解即可．【詳解】（1）解：開(kāi)方得：或，解得：，；（2）解：原方程兩邊除以3得：，∴，即，∴，∴，．【點(diǎn)睛】本題考查解一元二次方程，熟練掌握配方法及直接開(kāi)平方的解方程方法是解題關(guān)鍵．15．（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)哈爾濱市蕭紅中學(xué)校考階段練習(xí)）用指定的方法解下列方程(1)（配方法）(2)（公式法）【答案】(1)，；(2)，.【分析】（1）先配方，再兩邊都加上25，再利用直接開(kāi)平方法解方程即可；（2）先計(jì)算，再代入求根公式即可.【詳解】（1）解：∵，配方得：，∴，解得：，；（2）∵，∴，∴，解得：，.【點(diǎn)睛】本題考查的是一元二次方程的解法，掌握配方法與公式法解一元二次方程是解本題的關(guān)鍵.16．（2023春·遼寧大連·八年級(jí)統(tǒng)考期末）解方程：(1)（用公式法）(2)（用配方法）【答案】(1)，(2)，【分析】（1）先利用根的判別式判定根的情況，然后再運(yùn)用求根公式求解即可；（2）先移項(xiàng)后配方，然后再利用直接開(kāi)平方法求解即可．【詳解】（1）解：∵，，∴∴∴，．（2）解：．．．∴，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元二次方程，靈活運(yùn)用公式法和配方法解一元二次方程成為解答本題的關(guān)鍵．17．（2022秋·湖北荊州·九年級(jí)?？计谥校┱?qǐng)用指定方法解下列方程：(1)公式法：；(2)因式分解法：．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)公式法求解即可；（2）先提取公因式4，再利用平方差公式求解．【詳解】（1）方程中，，∴，∴；（2）方程可變形為：，即，∴或，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解法，屬于基礎(chǔ)題目，熟練掌握公式法和因式分解法解方程的方法是解題的關(guān)鍵．18．（2023春·山東威?！ぐ四昙?jí)統(tǒng)考期末）按指定方法解方程：(1)；（因式分解法）(2)．（配方法）【答案】(1)(2)，【分析】（1）利用因式分解法求解即可；（2）利用配方法求解即可．【詳解】（1）解：，，，，整理得：，；（2）解：，，，，，或，，．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接開(kāi)平方法、配方法、公式法、因式分解法，解題時(shí)要根據(jù)方程的特點(diǎn)靈活選用合適的方法．題型三一元二次方程根的判別式【例6】（2023春·山東濟(jì)寧·八年級(jí)濟(jì)寧學(xué)院附屬中學(xué)?？计谥校┮阎P(guān)于的方程．(1)求證：無(wú)論取何值，這個(gè)方程總有實(shí)數(shù)根；(2)若等腰的底邊長(zhǎng)，另兩邊、恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)根，求的周長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)5【分析】（1）根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式，即可得出，由此即可證出：無(wú)論取何值，這個(gè)方程總有實(shí)數(shù)根；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，則該方程有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根，求出m的值，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系及三角形的周長(zhǎng)公式即可求出的周長(zhǎng)．【詳解】（1）證明：，無(wú)論取何值，這個(gè)方程總有實(shí)數(shù)根；（2）解：∵等腰的底邊長(zhǎng)，∴，∵、恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)根，∴該方程的根有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根，∴解得：，原方程為，解得：．、2、1能組成三角形，該三角形的周長(zhǎng)為．【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式、三角形三邊關(guān)系、等腰三角形的性質(zhì)以及解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練掌握當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．鞏固訓(xùn)練1．（2023·吉林·統(tǒng)考中考真題）一元二次方程根的判別式的值是（

）A．33 B．23 C．17 D．【答案】C【分析】直接利用一元二次方程根的判別式求出答案．【詳解】解：∵，，，∴．故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了一元二次方程的根的判別式，正確記憶公式是解題關(guān)鍵．2．（2023春·北京昌平·八年級(jí)統(tǒng)考期末）下列方程中有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根的方程是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分別求出每一個(gè)方程的判別式Δ的值，找出的方程即可．【詳解】解：A、，∴方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，故本選項(xiàng)不符合題意；B、，∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故本選項(xiàng)符合題意；C、，∴方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，故本選項(xiàng)不符合題意；D、，∴方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式，一元二次方程的根與有如下關(guān)系：①當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；②當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；③當(dāng)時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根．3．（2022秋·天津?yàn)I海新·九年級(jí)?？计谥校╆P(guān)于x的方程的根的情況是（

）A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 C．沒(méi)有實(shí)數(shù)根 D．無(wú)法確定【答案】A【分析】表示出根的判別式，判斷判別式的正負(fù)即可確定出方程根的情況．【詳解】解：，，∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查了根的判別式，弄清根的判別式與方程根的關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．4．（2022秋·上海徐匯·八年級(jí)上海市徐匯中學(xué)?？计谥校┫铝卸稳?xiàng)式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)一定能因式分解的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】轉(zhuǎn)化一元二次方程根的判別式計(jì)算判斷即可．【詳解】A.∵中，，∴無(wú)實(shí)數(shù)根，故在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)不能因式分解，不符合題意；B.∵中，，∴有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)能因式分解，符合題意；C.∵中，，無(wú)法確定屬性，∴不一定有實(shí)數(shù)根，故在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)不一定能因式分解，不符合題意；D.∵中，，∴無(wú)實(shí)數(shù)根，故在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)不能因式分解，不符合題意；故選Ｂ．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根的判別式，熟練掌握根的判別式是解題的關(guān)鍵．5．（2022秋·山西臨汾·九年級(jí)統(tǒng)考期末）關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是（

）A． B．且 C． D．且【答案】A【分析】討論：當(dāng)時(shí)，方程化為一元一次方程，有一個(gè)實(shí)數(shù)解；當(dāng)時(shí)，根據(jù)判別式的意義得到，解得且，然后綜合兩種情況得到a的取值范圍．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，方程化為，解得，當(dāng)時(shí)，，解得，綜上所述，a的取值范圍為．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式：一元二次方程的根與有如下關(guān)系：當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根．6．（2022秋·河南南陽(yáng)·九年級(jí)南陽(yáng)市第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍（

）A．且 B．且 C． D．且【答案】A【分析】由方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，可得，再解不等式組即可得到答案．【詳解】解：∵方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴，解得：且，故選A【點(diǎn)睛】本題考查的是一元二次方程的含義，一元二次方程根的判別式的含義，二次根式有意義的條件，理解題意，建立不等式組是解本題的關(guān)鍵．7．（2023春·浙江紹興·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知是關(guān)于x的方程的實(shí)數(shù)根．下列說(shuō)法：①此方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；②當(dāng)時(shí)，一定有；③b是此方程的根；④此方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．上述說(shuō)法中，正確的有（

）A．①② B．②③ C．①③ D．③④【答案】C【分析】根據(jù)一元二次方程根的定義求出，以及根的判別式判斷根的情況，進(jìn)一步可得結(jié)論．【詳解】解：∵是關(guān)于x的方程的實(shí)數(shù)根，∴，整理得，∵，∴，∴，即；①，∴此方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故①說(shuō)法正確；②∵，∴當(dāng)時(shí)，一定有，故②說(shuō)法錯(cuò)誤；③∵是關(guān)于x的方程的實(shí)數(shù)根．且，∴也是關(guān)于x的方程的實(shí)數(shù)根．故③說(shuō)法正確；④此方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故④說(shuō)法錯(cuò)誤；所以，正確的結(jié)論是①③，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的解的意義，一元二次方程根的判別式，熟練掌握運(yùn)用根的判別式判斷根的情況是解答本題的關(guān)鍵．8．（2023秋·河南許昌·九年級(jí)許昌市第一中學(xué)校聯(lián)考期末）對(duì)于實(shí)數(shù)a，b，定義新運(yùn)算：，若關(guān)于x的方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則k的值是（

）A．4 B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)新定義得到，再把方程化為一般式，然后根據(jù)根的判別式的意義得到，再解方程即可．【詳解】解：∵，∴，整理得，而關(guān)于x的方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴，解得．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式：一元二次方程的根與有如下關(guān)系：當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根．9．（湖北省荊州市2022-2023學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）對(duì)于實(shí)數(shù)u、v定義一種運(yùn)算“*”為：．若關(guān)于x的方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，求滿足條件的實(shí)數(shù)a的值為．【答案】0【分析】由于定義一種運(yùn)算定“*”為：，所以關(guān)于x的方程變?yōu)?，而此方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，所以根據(jù)判別式和一元二次方程的一般形式的定義可以得到關(guān)于a的不等式組，解不等式組即可解決問(wèn)題．【詳解】解：由，得，即，∵關(guān)于x的方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴，∴，解得．【點(diǎn)睛】此題主要考查了一元二次方程的判別式，解題時(shí)首先正確理解定義的運(yùn)算法則得到關(guān)于x的方程，然后根據(jù)判別式和一元二次方程的定義得到不等式組解決問(wèn)題．10．（2023·貴州·統(tǒng)考中考真題）若一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則的值是．【答案】【分析】利用一元二次方程根的判別式求解即可．【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，對(duì)于一元二次方程，若，則方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，若，則方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，若，則方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．11．（北京市石景山區(qū)2022-2023學(xué)年八年級(jí)下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）已知關(guān)于的一元二次方程．(1)請(qǐng)判斷這個(gè)方程根的情況；(2)若該方程有一個(gè)根小于1，求的取值范圍．【答案】(1)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根(2)【分析】（1）根據(jù)根的判別式即可求出答案；（2）求出方程的兩根，根據(jù)該方程有一個(gè)根小于1列出不等式，解不等式即可得到答案．【詳解】（1）解：根據(jù)題意得：，∵無(wú)論取何值時(shí)，，∴原方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）解：∵，；，∵該方程有一個(gè)根小于1，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根的情況，公式法解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用根的判別式．12．（2022秋·上海奉賢·八年級(jí)校考期中）已知關(guān)于的方程(1)當(dāng)取什么值時(shí)，方程只有一個(gè)根？(2)若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求的取值范圍．【答案】(1)(2)且【分析】（1）先根據(jù)方程只有一個(gè)根可知此方程是一元一次方程，故可得出的值；（2）根據(jù)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根可知，由此即可得出的取值范圍．【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，得：，此時(shí)，則方程為一元一次方程，它的根是，此時(shí)方程只有一個(gè)根，∴當(dāng)時(shí)，方程只有一個(gè)根；（2）∵關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴，解得：且，∴的取值范圍是且．【點(diǎn)睛】本題考查一元一次方程，一元二次方程的定義及根的判別式．一元二次方程根的情況與判別式的關(guān)系：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．掌握一元二次方程根的情況與根的判別式的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．題型四一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用【例7】（北京市石景山區(qū)2022-2023學(xué)年八年級(jí)下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）某工廠由于采用新技術(shù)，生產(chǎn)量逐月增加，原來(lái)月產(chǎn)量為2000件，兩個(gè)月后增至月產(chǎn)量為3000件．若設(shè)月平均增長(zhǎng)率為x，則下列所列的方程正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用兩個(gè)月后的月產(chǎn)量原來(lái)的月產(chǎn)量，即可列出關(guān)于的一元二次方程，此題得解【詳解】解：根據(jù)題意得：．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．【例8】（2022秋·山西呂梁·九年級(jí)校考階段練習(xí)）某?！把袑W(xué)”活動(dòng)小組在一次野外實(shí)踐時(shí)，發(fā)現(xiàn)一種植物的主干長(zhǎng)出若干數(shù)目的枝干，每個(gè)枝干又長(zhǎng)出同樣數(shù)目的小分支．已知1個(gè)主干長(zhǎng)出的枝干和小分支的總數(shù)是72，則這種植物每個(gè)枝干長(zhǎng)出小分支的個(gè)數(shù)是（

）A．9 B．8 C．7 D．6【答案】B【分析】設(shè)這種植物每個(gè)支干長(zhǎng)出的小分支個(gè)數(shù)是x，根據(jù)支干和小分支的總數(shù)是72，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解方程即可求解．【詳解】解：設(shè)這種植物每個(gè)支干長(zhǎng)出的小分支個(gè)數(shù)是x，依題意得：，整理得：，解得：，（不合題意，舍去），∴這種植物每個(gè)支干長(zhǎng)出的小分支個(gè)數(shù)是8．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．【例9】（2023春·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在中，，，，動(dòng)點(diǎn)由點(diǎn)出發(fā)沿方向向點(diǎn)勻速移動(dòng)，速度為，動(dòng)點(diǎn)由點(diǎn)出發(fā)沿方向向點(diǎn)勻速移動(dòng)，速度為．動(dòng)點(diǎn)，同時(shí)從，兩點(diǎn)出發(fā)，當(dāng)?shù)拿娣e為時(shí)，動(dòng)點(diǎn)，的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．【答案】【分析】設(shè)，的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，可得，用表示出的面積，并令其等于，即可解出的值，即動(dòng)點(diǎn)，的運(yùn)動(dòng)時(shí)間．【詳解】解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)，的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，且，則，．，，又的面積為，，解得，（舍去）．故動(dòng)點(diǎn)，的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，準(zhǔn)確地設(shè)出未知量，并通過(guò)解方程求解是解決本題的常見(jiàn)方法．【例10】（2022秋·上海青浦·八年級(jí)?？计谥校橹?jiān)脫貧，某村村委會(huì)在網(wǎng)上直播銷售該村優(yōu)質(zhì)農(nóng)產(chǎn)品禮包，已知其3月份的銷售量達(dá)到400包，若農(nóng)產(chǎn)品禮包每包的進(jìn)價(jià)25元，原售價(jià)為每包40元，該村在今年4月進(jìn)行降價(jià)促銷，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，若農(nóng)產(chǎn)品禮包每包降價(jià)1元，銷售量可增加5袋，當(dāng)農(nóng)產(chǎn)品禮包每包降價(jià)多少元時(shí)，這種農(nóng)產(chǎn)品在4月份可獲利4620元？【答案】每包降價(jià)4元【分析】先設(shè)當(dāng)農(nóng)產(chǎn)品每袋降價(jià)m元時(shí)，該農(nóng)產(chǎn)品在4月份可獲利4620元，然后根據(jù)：利潤(rùn)（售價(jià)進(jìn)價(jià)）數(shù)量，列出方程并解答即可．【詳解】解：設(shè)當(dāng)農(nóng)產(chǎn)品禮包每包降價(jià)m元時(shí)，這種農(nóng)產(chǎn)品在4月份可獲利4620元，由題意得：，解得：，(舍去)，答：當(dāng)農(nóng)產(chǎn)品禮包每包降價(jià)4元時(shí)，這種農(nóng)產(chǎn)品在4月份可獲利4620元．【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找到等量關(guān)系列出相應(yīng)的方程是解答本題的關(guān)鍵．鞏固訓(xùn)練1．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）廣東春季是流感的高發(fā)時(shí)期，某校4月初有一人患了流感，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后，共25人患流感，假設(shè)每輪傳染中平均每人傳染x人，則可列方程（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】患流感的人把病毒傳染給別人，自己仍然患病，包括在總數(shù)中．設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了個(gè)人，則第一輪傳染了個(gè)人，第二輪作為傳染源的是人，則傳染人，依題意列方程：即可．【詳解】解：設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了個(gè)人，依題意得，即，故選：C．【點(diǎn)睛】考查了一元二次方程的應(yīng)用，本題要注意的是，患流感的人把病毒傳染給別人，自己仍然是患者，人數(shù)應(yīng)該累加，這個(gè)問(wèn)題和細(xì)胞分裂是不同的．2．（2022秋·陜西咸陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期中）有一人感染了某種病毒，若不及時(shí)控制就會(huì)傳染其他人，假設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了個(gè)人，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有64人感染，則的值是（）A．8 B．7 C．6 D．5【答案】B【分析】根據(jù)經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有64人感染，可列方程求解即可．【詳解】由題意得：，解得：或（舍去）．答：每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了7個(gè)人；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系是解題關(guān)鍵．3．（重慶市開(kāi)州區(qū)2022-2023學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）李師傅去年開(kāi)了一家商店，今年月份開(kāi)始盈利，月份盈利元，月份盈利達(dá)到元，若設(shè)月到月每月盈利的平均增長(zhǎng)率為，則可列方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】設(shè)月到月每月盈利的平均增長(zhǎng)率為，根據(jù)增長(zhǎng)率問(wèn)題，列出一元二次方程即可求解．【詳解】解：設(shè)月到月每月盈利的平均增長(zhǎng)率為，則可列方程為，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．4．（2023春·河北滄州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）國(guó)家衛(wèi)健委臨床檢驗(yàn)中心數(shù)據(jù)，因疫情防控需求，全國(guó)新冠病毒核酸檢測(cè)實(shí)驗(yàn)室數(shù)量從2020年的2081家，增長(zhǎng)至2022年的萬(wàn)家，如果這兩年核酸檢測(cè)實(shí)驗(yàn)室的年平均增長(zhǎng)率為，則下列方程正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】設(shè)這兩年核酸檢測(cè)實(shí)驗(yàn)室的年平均增長(zhǎng)率為，根據(jù)“從2020年的2081家，增長(zhǎng)至2022年的萬(wàn)家”列出方程即可求解．【詳解】解：設(shè)這兩年核酸檢測(cè)實(shí)驗(yàn)室的年平均增長(zhǎng)率為，依題意，可得，故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了增長(zhǎng)率的問(wèn)題，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是掌握一般公式：原來(lái)的量現(xiàn)在的量，增長(zhǎng)用，減少用．5．（2023·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在長(zhǎng)為，寬為的矩形空地上修筑四條寬度相等的小路，若余下的部分全部種上花卉，且花圃的面積是，則小路的寬是（

）

A． B． C．或 D．【答案】A【分析】設(shè)小路寬為，則種植花草部分的面積等于長(zhǎng)為，寬為的矩形的面積，根據(jù)花草的種植面積為，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值即可得出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)小路寬為，則種植花草部分的面積等于長(zhǎng)為，寬為的矩形的面積，依題意得：解得：，（不合題意，舍去），∴小路寬為．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．6．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在一張長(zhǎng)寬分別為和的長(zhǎng)方形紙板上剪去四個(gè)邊長(zhǎng)為的小正方形，并用它做成一個(gè)無(wú)蓋的小長(zhǎng)方體盒子，若要使長(zhǎng)方體盒子的底面積為，求x的值，根據(jù)題意，可列得的方程為（

）

A． B．C． D．【答案】B【分析】先分別表示出底面長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬，然后根據(jù)長(zhǎng)方形面積公式列出方程即可．【詳解】解：由題意得，底面長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為，寬為，∵要使長(zhǎng)方體盒子的底面積為，∴，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了從實(shí)際問(wèn)題中抽象出一元二次方程，正確理解題意表示出底面長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬是解題的關(guān)鍵．7．（2023·江蘇無(wú)錫·統(tǒng)考中考真題）《九章算術(shù)》中提出了如下問(wèn)題：今有戶不知高、廣，竿不知長(zhǎng)短，橫之不出四尺，從之不出二尺，邪之適出，問(wèn)戶高、廣、邪各幾何？這段話的意思是：今有門(mén)不知其高寬：有竿，不知其長(zhǎng)短，橫放，竿比門(mén)寬長(zhǎng)出4尺：豎放，竿比門(mén)高長(zhǎng)出2尺：斜放，竿與門(mén)對(duì)角線恰好相等．問(wèn)門(mén)高、寬和對(duì)角線的長(zhǎng)各是多少？則該問(wèn)題中的門(mén)高是尺．【答案】8【分析】設(shè)門(mén)高尺，則竿長(zhǎng)為尺，門(mén)的對(duì)角線長(zhǎng)為尺，門(mén)寬為尺，根據(jù)勾股定理即可求解．【詳解】解：設(shè)門(mén)高尺，依題意，竿長(zhǎng)為尺，門(mén)的對(duì)角線長(zhǎng)為尺，門(mén)寬為尺，∴，解得：或（舍去），故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，根據(jù)題意建立方程是解題的關(guān)鍵．8．（2023秋·江西萍鄉(xiāng)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）某商品現(xiàn)在的售價(jià)為每件60元，每星期可賣(mài)出300件，市場(chǎng)調(diào)查反映：每降價(jià)1元，每星期可多賣(mài)出20件．已知商品的進(jìn)價(jià)為每件40元，在顧客盡可能多得實(shí)惠的前提下，商家還想獲得6080元的利潤(rùn)，則該商品的銷售定價(jià)為元．【答案】56【分析】將銷售單價(jià)定為x元/件，則每星期可賣(mài)出件，根據(jù)總利潤(rùn)=每件的利潤(rùn)×銷售數(shù)量，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其較小值即可得出結(jié)論．【詳解】解：將銷售單價(jià)定為x元/件，則每星期可賣(mài)出件，根據(jù)題意得：，整理得：，解得：．∵要使顧客獲得實(shí)惠，∴．即該商品的銷售定價(jià)為56元．故答案為：56．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．9．（2023春·八年級(jí)單元測(cè)試）在中，，，，動(dòng)點(diǎn)，分別從點(diǎn)，同時(shí)開(kāi)始移動(dòng)（移動(dòng)方向如圖所示），點(diǎn)P的速度為，點(diǎn)Q的速度為，點(diǎn)Q移動(dòng)到點(diǎn)C后停止，點(diǎn)P也隨之停止移動(dòng)，若使的面積為，則點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是．【答案】【分析】設(shè)出動(dòng)點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng)t秒，能使的面積為，用t分別表示出和的長(zhǎng)，利用三角形的面積計(jì)算公式即可解答．【詳解】解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)秒時(shí)，能使的面積為，則的長(zhǎng)為，的長(zhǎng)為．可列方程為，解得，（舍去），動(dòng)點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)3秒時(shí)，能使的面積為．故答案為：3．【點(diǎn)睛】此題考查一元二次方程的應(yīng)用，借助三角形的面積計(jì)算公式來(lái)研究圖形中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題．10．（2023春·山東德州·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，，，，一個(gè)小球從點(diǎn)出發(fā)沿著方向滾向點(diǎn)，另一小球立即從點(diǎn)出發(fā)，沿勻速前進(jìn)攔截小球，恰好在點(diǎn)處截住了小球．若兩個(gè)小球滾動(dòng)的速度相等，則另一個(gè)小球滾動(dòng)的路程是．【答案】【分析】根據(jù)題意設(shè)，則，在中，用含的式子表示出，根據(jù)兩個(gè)小球的速度相等，時(shí)間相等，即可求解．【詳解】解：，，，設(shè)，則，在中，，∵兩個(gè)小球滾動(dòng)的速度相等，設(shè)速度為，根據(jù)題意可知，一個(gè)小球從點(diǎn)出發(fā)，另一小球立即從點(diǎn)出發(fā)，恰好在點(diǎn)處截住，則運(yùn)動(dòng)時(shí)間相等，∴，則，∴，解得，，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查動(dòng)點(diǎn)、方程與直角三角形的綜合，掌握直角三角形的勾股定理，根據(jù)數(shù)量關(guān)系列方程，解方程是解題的關(guān)鍵．11．（2023春·重慶渝北·八年級(jí)禮嘉中學(xué)?？计谀┙衲甏杭臼羌琢鞑《镜母甙l(fā)期．為了遏制甲流病毒的傳播，建議市民朋友們?cè)诠矆?chǎng)合要佩戴口罩，現(xiàn)在，有一個(gè)人患了甲流，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有個(gè)人患了甲流．(1)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了幾個(gè)人？(2)某藥房最近售出了盒口罩．已知售出的醫(yī)用口罩的數(shù)量不超過(guò)普通醫(yī)用口罩的4倍，每盒醫(yī)用口罩的單價(jià)為元，每盒普通醫(yī)用口罩的價(jià)格為元，則售出醫(yī)用口罩和普通醫(yī)用各多少盒時(shí)，總銷售額最多？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了8個(gè)人(2)售出醫(yī)用口罩盒，普通醫(yī)用盒時(shí)，總銷售額最多，理由見(jiàn)解析【分析】（1）設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了x個(gè)人，根據(jù)題意得，進(jìn)行計(jì)算即可得；（2）設(shè)售出醫(yī)用口罩a盒，則普通醫(yī)用口罩盒，總銷售額為W元，則，進(jìn)行計(jì)算得，，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)得W隨a的增大而增大，即當(dāng)時(shí)，W有最大值，算出普通口罩盒數(shù)即可得．【詳解】（1）解：設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了x個(gè)人，，，，，，（舍），答：每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了8個(gè)人；（2）售出醫(yī)用口罩盒，普通醫(yī)用盒時(shí)，總銷售額最多，理由如下：解：設(shè)售出醫(yī)用口罩a盒，則普通醫(yī)用口罩盒，總銷售額為W元，則，，，，，∵，∴W隨a的增大而增大，當(dāng)時(shí)，W有最大值，則普通醫(yī)用口罩盒數(shù)為：（盒），即售出醫(yī)用口罩盒，普通醫(yī)用盒時(shí)，總銷售額最多．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，掌握這些知識(shí)點(diǎn)．12．（2023·廣東陽(yáng)江·統(tǒng)考一模）自年月以來(lái)，甲流便肆虐橫行，成為當(dāng)前主流流行疾?。骋恍^(qū)有位住戶不小心感染了甲流，由于甲流傳播感染非?？欤^(qū)經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有人患了甲流．(1)每輪感染中平均一個(gè)人傳染幾人？(2)如果按照這樣的傳播速度，經(jīng)過(guò)三輪傳染后累計(jì)是否超過(guò)人患了甲流？【答案】(1)人(2)不超過(guò)【分析】（1）設(shè)每輪感染中平均一個(gè)人傳染人，根據(jù)題意列方程解方程即可；（2）根據(jù)（1）可知每輪感染中平均一個(gè)人傳染人，進(jìn)而得到三輪后患病總?cè)藬?shù)為即可解答．【詳解】（1）解：設(shè)每輪感染中平均一個(gè)人傳染人．根據(jù)題意得，解得，或，∵，∴，答：每輪感染中平均一個(gè)人傳染人；（2）解：根據(jù)題意可得：第三輪的患病人數(shù)為，∵，∴經(jīng)過(guò)三輪傳染后累計(jì)患甲流的人數(shù)不會(huì)超過(guò)人，答：經(jīng)過(guò)三輪傳染后累計(jì)患甲流的人數(shù)不超過(guò)人；【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程與實(shí)際問(wèn)題，讀懂題意明確數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．13．（2023春·安徽安慶·八年級(jí)安慶市石化第一中學(xué)?？计谀┪沂心吵杏诮衲昴瓿跻悦考?0元的進(jìn)價(jià)購(gòu)進(jìn)一批商品．當(dāng)商品售價(jià)為40元時(shí)，一月份銷售250件．二、三月該商品十分暢銷．銷售量持續(xù)走高．在售價(jià)不變的基礎(chǔ)上，三月底的銷售量達(dá)到360件．設(shè)二、三這兩個(gè)月的月平均增長(zhǎng)率不變．(1)求二、三這兩個(gè)月的月平均增長(zhǎng)率；(2)從四月份起，商場(chǎng)決定采用降價(jià)促銷的方式回饋顧客，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品每降價(jià)1元，銷售量增加6件，當(dāng)商品降價(jià)多少元時(shí)，商場(chǎng)獲利1950元？【答案】(1)二、三這兩個(gè)月的月平均增長(zhǎng)率為(2)當(dāng)商品降價(jià)5元時(shí)，商品獲利1950元．【分析】（1）由題意可得，1月份的銷售量為：250件；設(shè)2月份到3月份銷售額的月平均增長(zhǎng)率為x，則二月份的銷售量為：件；三月份的銷售量為：件，又知三月份的銷售量為：360件，由此等量關(guān)系列出方程求出x的值，即求出了平均增長(zhǎng)率；（2）利用銷量每件商品的利潤(rùn)1950列出方程求解即可