2023學(xué)年二輪復(fù)習(xí)解答題專題三十九拋物線上最值問題的探究(原卷版+解析)

2023學(xué)年二輪復(fù)習(xí)解答題專題三十九：拋物線上最值問題的探究典例分析例1（2022天津中考）已知拋物線（a，b，c是常數(shù)，）的頂點(diǎn)為P，與x軸相交于點(diǎn)和點(diǎn)B．（1）若，①求點(diǎn)P的坐標(biāo)；②直線（m是常數(shù)，）與拋物線相交于點(diǎn)M，與相交于點(diǎn)G，當(dāng)取得最大值時，求點(diǎn)M，G的坐標(biāo)；（2）若，直線與拋物線相交于點(diǎn)N，E是x軸的正半軸上的動點(diǎn)，F(xiàn)是y軸的負(fù)半軸上的動點(diǎn)，當(dāng)?shù)淖钚≈禐?時，求點(diǎn)E，F(xiàn)的坐標(biāo)．專題過關(guān)1.（2022宜賓中考）如圖，拋物線與x軸交于、兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，其頂點(diǎn)為點(diǎn)D，連結(jié)AC．

（1）求這條拋物線所對應(yīng)的二次函數(shù)的表達(dá)式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）在拋物線的對稱軸上取一點(diǎn)E，點(diǎn)F為拋物線上一動點(diǎn)，使得以點(diǎn)A、C、E、F為頂點(diǎn)、AC為邊的四邊形為平行四邊形，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，將點(diǎn)D向下平移5個單位得到點(diǎn)M，點(diǎn)P為拋物線的對稱軸上一動點(diǎn)，求的最小值．2.（2022雅安中考）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象過點(diǎn)A（﹣1，0），B（3，0），且與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣3）．

（1）求此二次函數(shù)的表達(dá)式及圖象頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）在此拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)E，使△ACE為Rt△，若存在，試求點(diǎn)E的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由；（3）在平面直角坐標(biāo)系中，存在點(diǎn)P，滿足PA⊥PD，求線段PB的最小值．3.（2022涼山中考）在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知拋物線y＝－x2＋bx＋c經(jīng)過點(diǎn)A（－1，0）和點(diǎn)B（0，3），頂點(diǎn)為C，點(diǎn)D在其對稱軸上，且位于點(diǎn)C下方，將線段DC繞點(diǎn)D按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)C落在拋物線上的點(diǎn)P處．（1）求拋物線的解析式；（2）求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）將拋物線平移，使其頂點(diǎn)落在原點(diǎn)O，這時點(diǎn)P落在點(diǎn)E的位置，在y軸上是否存在點(diǎn)M，使得MP＋ME的值最小，若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．4.（2022廣元中考）在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝﹣x﹣2與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，拋物線y＝ax2+bx+c（a＞0）經(jīng)過A，B兩點(diǎn)，并與x軸的正半軸交于點(diǎn)C．（1）求a，b滿足的關(guān)系式及c的值；（2）當(dāng)a＝時，若點(diǎn)P是拋物線對稱軸上的一個動點(diǎn)，求△PAB周長的最小值；（3）當(dāng)a＝1時，若點(diǎn)Q是直線AB下方拋物線上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)Q作QD⊥AB于點(diǎn)D，當(dāng)QD的值最大時，求此時點(diǎn)Q的坐標(biāo)及QD的最大值．5．（2022遂寧中考）（12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，﹣3）．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，E為△ABC邊AB上的一動點(diǎn)，F(xiàn)為BC邊上的一動點(diǎn)，D點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣2），求△DEF周長的最小值；（3）如圖2，N為射線CB上的一點(diǎn)，M是拋物線上的一點(diǎn)，M、N均在第一象限內(nèi)，B、N位于直線AM的同側(cè)，若M到x軸的距離為d，△AMN面積為2d，當(dāng)△AMN為等腰三角形時，求點(diǎn)N的坐標(biāo)．6.（2022邵陽中考）如圖，已知直線y=2x+2與拋物線y=ax2+bx+c相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B在y軸上，點(diǎn)C(3，0)在拋物線上．（1）求該拋物線的表達(dá)式．（2）正方形OPDE的頂點(diǎn)O為直角坐標(biāo)系原點(diǎn)，頂點(diǎn)P在線段OC上，頂點(diǎn)E在y軸正半軸上，若△AOB與△DPC全等，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．（3）在條件（2）下，點(diǎn)Q是線段CD上的動點(diǎn)（點(diǎn)Q不與點(diǎn)D重合），將△PQD沿PQ所在的直線翻折得到△PQD'，連接CD'，求線段CD'長度的最小值．7.（2022常德中考）如圖，已經(jīng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)，，且它的對稱軸為．（1）求此拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)是拋物線對稱軸上的一點(diǎn)，且點(diǎn)在第一象限，當(dāng)?shù)拿娣e為15時，求的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，是拋物線上的動點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹底畲髸r，求的坐標(biāo)以及的最大值8.（2022齊齊哈爾中考）綜合與探究如圖，某一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖象交點(diǎn)為A（-1，0），B（4，5）．

（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)C為拋物線對稱軸上一動點(diǎn)，當(dāng)AC與BC的和最小時，點(diǎn)C的坐標(biāo)為；（3）點(diǎn)D為拋物線位于線段AB下方圖象上一動點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE⊥x軸，交線段AB于點(diǎn)E，求線段DE長度最大值；（4）在（2）條件下，點(diǎn)M為y軸上一點(diǎn)，點(diǎn)F為直線AB上一點(diǎn)，點(diǎn)N為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)，若以點(diǎn)C，M，F(xiàn)，N為頂點(diǎn)的四邊形是正方形，請直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)．9.（2022牡丹江中考）如圖，已知拋物線（a＞0）與x軸交于點(diǎn)B、C，與y軸交于點(diǎn)E，且點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)．

（1）若拋物線過點(diǎn)M（﹣2，﹣2），求實(shí)數(shù)a的值；（2）在（1）的條件下，解答下列問題；①求出△BCE的面積；②在拋物線的對稱軸上找一點(diǎn)H，使CH+EH的值最小，直接寫出點(diǎn)H的坐標(biāo)．10.（2022梧州中考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別與x，y軸交于點(diǎn)A，B，拋物線恰好經(jīng)過這兩點(diǎn)．（1）求此拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)C的坐標(biāo)是，將繞著點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)E．①寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)，并判斷點(diǎn)E是否在此拋物線上；②若點(diǎn)P是y軸上的任一點(diǎn)，求取最小值時，點(diǎn)P的坐標(biāo)．11．（2022桂林中考）（12分）如圖，拋物線y＝﹣x2+3x+4與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A位于點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于C點(diǎn)，拋物線的對稱軸l與x軸交于點(diǎn)N，長為1的線段PQ（點(diǎn)P位于點(diǎn)Q的上方）在x軸上方的拋物線對稱軸上運(yùn)動．（1）直接寫出A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求CP+PQ+QB的最小值；（3）過點(diǎn)P作PM⊥y軸于點(diǎn)M，當(dāng)△CPM和△QBN相似時，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

12.（2022武威中考）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，且，，分別是線段，上的動點(diǎn)（點(diǎn)，不與點(diǎn)，，重合）．（1）求此拋物線的表達(dá)式；（2）連接并延長交拋物線于點(diǎn)，當(dāng)軸，且時，求的長；（3）連接．①如圖2，將沿軸翻折得到，當(dāng)點(diǎn)在拋物線上時，求點(diǎn)的坐標(biāo)；②如圖3，連接，當(dāng)時，求的最小值．2023學(xué)年二輪復(fù)習(xí)解答題專題三十九：拋物線上最值問題的探究典例分析例1（2022天津中考）已知拋物線（a，b，c是常數(shù)，）的頂點(diǎn)為P，與x軸相交于點(diǎn)和點(diǎn)B．（1）若，①求點(diǎn)P的坐標(biāo)；②直線（m是常數(shù)，）與拋物線相交于點(diǎn)M，與相交于點(diǎn)G，當(dāng)取得最大值時，求點(diǎn)M，G的坐標(biāo)；（2）若，直線與拋物線相交于點(diǎn)N，E是x軸的正半軸上的動點(diǎn)，F(xiàn)是y軸的負(fù)半軸上的動點(diǎn)，當(dāng)?shù)淖钚≈禐?時，求點(diǎn)E，F(xiàn)的坐標(biāo)．【答案】（1）①；②點(diǎn)M的坐標(biāo)為，點(diǎn)G的坐標(biāo)為；（2）點(diǎn)和點(diǎn)；【解析】【分析】（1）①將b、c的值代入解析式，再將A點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式即可求出a的值，再用配方法求出頂點(diǎn)坐標(biāo)即可；②先令y=0得到B點(diǎn)坐標(biāo)，再求出直線BP的解析式，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，則點(diǎn)G的坐標(biāo)為，再表示出MG的長，配方求出最值得到M、G的坐標(biāo)；（2）根據(jù)，解析式經(jīng)過A點(diǎn)，可得到解析式：，再表示出P點(diǎn)坐標(biāo)，N點(diǎn)坐標(biāo)，接著作點(diǎn)P關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)，作點(diǎn)N關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)，再把和的坐標(biāo)表示出來，由題意可知，當(dāng)取得最小值，此時，將字母代入可得：，求出a的值，即可得到E、F的坐標(biāo)；【小問1詳解】①∵拋物線與x軸相交于點(diǎn)，∴．又，得．∴拋物線的解析式為．∵，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為．②當(dāng)時，由，解得．∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為．設(shè)經(jīng)過B，P兩點(diǎn)的直線的解析式為，有解得∴直線的解析式為．∵直線（m是常數(shù)，）與拋物線相交于點(diǎn)M，與相交于點(diǎn)G，如圖所示：∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為，點(diǎn)G的坐標(biāo)為．∴．∴當(dāng)時，有最大值1．此時，點(diǎn)M的坐標(biāo)為，點(diǎn)G的坐標(biāo)為．【小問2詳解】由（Ⅰ）知，又，∴．∴拋物線的解析式為．∵，∴頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為．∵直線與拋物線相交于點(diǎn)N，∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為．作點(diǎn)P關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)，作點(diǎn)N關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)，如圖所示：得點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為．當(dāng)滿足條件的點(diǎn)E，F(xiàn)落在直線上時，取得最小值，此時，．延長與直線相交于點(diǎn)H，則．在中，．∴．解得（舍）．∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為．則直線的解析式為．∴點(diǎn)和點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的幾何綜合運(yùn)用，熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、配方法求函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)、勾股定理解直角三角形等是解決此類問題的關(guān)鍵．專題過關(guān)1.（2022宜賓中考）如圖，拋物線與x軸交于、兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，其頂點(diǎn)為點(diǎn)D，連結(jié)AC．

（1）求這條拋物線所對應(yīng)的二次函數(shù)的表達(dá)式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）在拋物線的對稱軸上取一點(diǎn)E，點(diǎn)F為拋物線上一動點(diǎn)，使得以點(diǎn)A、C、E、F為頂點(diǎn)、AC為邊的四邊形為平行四邊形，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，將點(diǎn)D向下平移5個單位得到點(diǎn)M，點(diǎn)P為拋物線的對稱軸上一動點(diǎn)，求的最小值．【答案】（1），頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2）或（3）【解析】【分析】（1）用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)解析式，再化成頂點(diǎn)式即可得出頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）先用待定系數(shù)法求直線AC解析式為，再過點(diǎn)F作于點(diǎn)G，證，得，設(shè)F點(diǎn)的坐標(biāo)為，則G點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，即可求出或，從而求得點(diǎn)F坐標(biāo)；（3），是平移得得點(diǎn)M的坐標(biāo)為，則（2）知點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對稱軸對稱，連結(jié)，對稱軸于點(diǎn)H，連結(jié)、，過點(diǎn)作于點(diǎn)N，交對稱軸于點(diǎn)P，則，，．在中，，則在中，，所以，所以為最小值，根據(jù)，所以，即可求出．【小問1詳解】解：∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)，，，∴，解得：，∴拋物線的解析式為：=-(x-1)2+4，∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為；【小問2詳解】解：設(shè)直線AC的解析式為：，把點(diǎn)，代入得：，，∴直線AC解析式為：，過點(diǎn)F作于點(diǎn)G，

∵以A、C、E、F四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是以AC為邊的平行四邊形，∴，AC=EF，又∵，∴∴，∴，設(shè)F點(diǎn)的坐標(biāo)為，則G點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴，∴或，當(dāng)時，，∴，當(dāng)時，∴，∴或；【小問3詳解】解：由題意，得點(diǎn)M的坐標(biāo)為，由題意知：點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對稱軸對稱，連結(jié)，對稱軸于點(diǎn)H，連結(jié)、，過點(diǎn)作于點(diǎn)N，交對稱軸于點(diǎn)P，則，，．

在中，，則在中，∴，又∵∴為最小值，又∵，∴，∴求得的最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖象性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，解直角三角形，利用軸對稱求最小值，本題屬二次函數(shù)綜合題目，掌握二交次函數(shù)圖象性質(zhì)和靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．2.（2022雅安中考）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象過點(diǎn)A（﹣1，0），B（3，0），且與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣3）．

（1）求此二次函數(shù)的表達(dá)式及圖象頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）在此拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)E，使△ACE為Rt△，若存在，試求點(diǎn)E的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由；（3）在平面直角坐標(biāo)系中，存在點(diǎn)P，滿足PA⊥PD，求線段PB的最小值．【答案】（1）（2）E的坐標(biāo)為：或或或（3）BP的最小值為：【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可設(shè)拋物線為再代入C的坐標(biāo)可得函數(shù)解析式，化為頂點(diǎn)式可得頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）如圖，由可得拋物線對稱軸為：設(shè)而A（﹣1，0），C（0，-3），再利用勾股定理分別表示再分三種情況討論即可；（3）如圖，連結(jié)AD，記AD的中點(diǎn)為H，由則在以H為圓心，HA為半徑的圓H上，不與A，D重合，連結(jié)BH，交圓H于P，則PB最短，再求解H的坐標(biāo)，結(jié)合勾股定理可得答案．【小問1詳解】解：二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象過點(diǎn)A（﹣1，0），B（3，0），∴設(shè)二次函數(shù)為：把C（0，﹣3）代入拋物線可得：解得：∴拋物線為：【小問2詳解】如圖，由可得拋物線的對稱軸為：

設(shè)而A（﹣1，0），C（0，-3），當(dāng)時，，解得即當(dāng)時，解得：即當(dāng)時，整理得：解得：綜上：E的坐標(biāo)為：或或或【小問3詳解】如圖，連結(jié)AD，記AD的中點(diǎn)為H，由則在以H為圓心，HA為半徑的圓H上，不與A，D重合，

連結(jié)BH，交圓H于P，則PB最短，即BP的最小值為：【點(diǎn)睛】本題考查的是利用待定系數(shù)法求解拋物線的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，二次函數(shù)與圓的綜合，判斷PB最小時，P的位置是解本題的關(guān)鍵．3.（2022涼山中考）在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知拋物線y＝－x2＋bx＋c經(jīng)過點(diǎn)A（－1，0）和點(diǎn)B（0，3），頂點(diǎn)為C，點(diǎn)D在其對稱軸上，且位于點(diǎn)C下方，將線段DC繞點(diǎn)D按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)C落在拋物線上的點(diǎn)P處．（1）求拋物線的解析式；（2）求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）將拋物線平移，使其頂點(diǎn)落在原點(diǎn)O，這時點(diǎn)P落在點(diǎn)E的位置，在y軸上是否存在點(diǎn)M，使得MP＋ME的值最小，若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】（1）（2）（3）存在，【解析】【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可得；（2）先求出拋物線的對稱軸，再設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，從而可得，將點(diǎn)代入拋物線的解析式求出的值，由此即可得；（3）先根據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)的平移規(guī)律求出點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，連接，從而可得與軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)，再利用待定系數(shù)法求出直線的解析式，由此即可得出答案．【小問1詳解】解：將點(diǎn)代入得：，解得，則拋物線的解析式為．【小問2詳解】解：拋物線的對稱軸為直線，其頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，，即，將點(diǎn)代入得：，解得或（舍去），當(dāng)時，，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為．【小問3詳解】解：拋物線的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，則將其先向左平移1個單位長度，再向下平移4個單位長度恰好落在原點(diǎn)，這時點(diǎn)落在點(diǎn)的位置，且，，即，恰好在對稱軸直線上，如圖，作點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，連接，則，由兩點(diǎn)之間線段最短可知，與軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)，此時的值最小，即的值最小，由軸對稱的性質(zhì)得：，設(shè)直線的解析式為，將點(diǎn)代入得：，解得，則直線的解析式為，當(dāng)時，，故在軸上存在點(diǎn)，使得的值最小，此時點(diǎn)的坐標(biāo)為．【點(diǎn)睛】本題考查了求二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、點(diǎn)坐標(biāo)的平移規(guī)律等知識點(diǎn)，熟練掌握待定系數(shù)法和二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．4.（2022廣元中考）在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝﹣x﹣2與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，拋物線y＝ax2+bx+c（a＞0）經(jīng)過A，B兩點(diǎn)，并與x軸的正半軸交于點(diǎn)C．（1）求a，b滿足的關(guān)系式及c的值；（2）當(dāng)a＝時，若點(diǎn)P是拋物線對稱軸上的一個動點(diǎn)，求△PAB周長的最小值；（3）當(dāng)a＝1時，若點(diǎn)Q是直線AB下方拋物線上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)Q作QD⊥AB于點(diǎn)D，當(dāng)QD的值最大時，求此時點(diǎn)Q的坐標(biāo)及QD的最大值．【答案】（1）2a=b+1，c=-2；（2）△PAB周長最小值是2+2；（3）此時Q（-1，-2），DQ最大值為．【解析】【分析】（1）先求得點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求解即可；（2）先利用對稱性找出△PAB周長最小時點(diǎn)P的位置，此時AP=CP，△PAB的周長最小值為：PB+PA+AB=BC+AB，根據(jù)勾股定理求出AB、BC的長即可求出△PAB最小值；（3）過點(diǎn)Q作QF⊥x軸交于F點(diǎn)，交直線AB于點(diǎn)E，得到∠QED=∠EQD=45°，推出QD=ED=EQ，設(shè)Q（t，t2+t-2），E（t，-t-2），求得QE=-t2-2t，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【小問1詳解】解：∵直線y＝﹣x﹣2與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-2，0)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0，-2)，∵拋物線y＝ax2+bx+c（a＞0）經(jīng)過A，B兩點(diǎn)，∴，∴2a=b+1，c=-2；【小問2詳解】解：當(dāng)a=時，則b=-，∴拋物線的解析式為y=x2-x-2，拋物線的對稱軸為直線x=1，∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-2，0)，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(4，0)，△PAB的周長為：PB+PA+AB，且AB是定值，∴當(dāng)PB+PA最小時，△PAB的周長最小，∵點(diǎn)A、C關(guān)于直線x=1對稱，∴連接BC交直線x=1于點(diǎn)P，此時PB+PA值最小，∵AP=CP，∴△PAB的周長最小值為：PB+PA+AB=BC+AB，∵A（-2，0），B（0，-2），C（4，0），∴OA=2，OB=2，OC=4，由勾股定理得BC=2，AB=2，∴△PAB的周長最小值是：2+2．【小問3詳解】解：當(dāng)a=1時，b=1，∴拋物線的解析式為y=x2+x-2，過點(diǎn)Q作QF⊥x軸交于F點(diǎn)，交直線AB于點(diǎn)E，∵A（-2，0），B（0，-2），∴OA=OB，∴∠OAB=45°，∵QD⊥AB，∴∠AEF=∠QED=∠EQD=45°，∴QD=ED=EQ，設(shè)Q（t，t2+t-2），E（t，-t-2），∴QE=-t-2-(t2+t-2)=-t2-2t，∴DQ=QE=-(t2+2t)=-(t+1)2+，當(dāng)t=-1時，DQ有最大值，此時Q（-1，-2）．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（2022遂寧中考）（12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，﹣3）．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，E為△ABC邊AB上的一動點(diǎn)，F(xiàn)為BC邊上的一動點(diǎn)，D點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣2），求△DEF周長的最小值；（3）如圖2，N為射線CB上的一點(diǎn)，M是拋物線上的一點(diǎn)，M、N均在第一象限內(nèi)，B、N位于直線AM的同側(cè)，若M到x軸的距離為d，△AMN面積為2d，當(dāng)△AMN為等腰三角形時，求點(diǎn)N的坐標(biāo)．【分析】（1）利用待定系數(shù)法把問題轉(zhuǎn)化為方程組解決；（2）如圖，設(shè)D1為D關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)，D2為D關(guān)于ZX直線BC的對稱點(diǎn)，連接D1E，D2F，D1D2．當(dāng)D1，E．F．D2共線時，△DEF的周長最小，最小值為D1D2的長；（3）求出直線AM的解析式，利用方程組求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，過點(diǎn)M作x軸的平行線l，過點(diǎn)N作y軸的平行線交x軸于點(diǎn)P，交直線l于點(diǎn)Q．分三種情形：當(dāng)AM＝AN時，當(dāng)AM＝MN時，當(dāng)AN＝MN時，分別構(gòu)建方程求解．【解答】解：（1）∵拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，0），點(diǎn)C（0，﹣3）．∴，∴，∴拋物線的解析式為y＝x2﹣2x﹣3；（2）如圖，設(shè)D1為D關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)，D2為D關(guān)于ZX直線BC的對稱點(diǎn)，連接D1E，D2F，D1D2．由對稱性可知DE＝D1E，DF＝D2F，△DEF的周長＝D1E+EF+D2F，∴當(dāng)D1，E．F．D2共線時，△DEF的周長最小，最小值為D1D2的長，令y＝0，則x2﹣2x﹣3＝0，解得x＝﹣1或3，∴B（3，0），∴OB＝OC＝3，∴△BOC是等腰直角三角形，∵BC垂直平分DD2，且D（﹣2，0），∴D2（1，﹣3），∵D，D1關(guān)于x軸的長，∴D1（0，2），∴D1D2＝＝＝，∴△DEF的周長的最小值為．（3）∵M(jìn)到x軸距離為d，AB＝4，連接BM．∴S△ABM＝2d，又∵S△AMN＝2d，∴S△ABM＝S△AMN，∴B，N到AM的距離相等，∵B，N在AM的同側(cè)，∴AM∥BN，設(shè)直線BN的解析式為y＝kx+m，則有，∴，∴直線BC的解析式為y＝x﹣3，∴設(shè)直線AM的解析式為y＝x+n，∵A（﹣1，0），∴直線AM的解析式為y＝x+1，由，解得或，∴M（4，5），∵點(diǎn)N在射線BC上，∴設(shè)N（t，t﹣3），過點(diǎn)M作x軸的平行線l，過點(diǎn)N作y軸的平行線交x軸于點(diǎn)P，交直線l于點(diǎn)Q．∵A（﹣1，0），M（4，5），N（t，t﹣3），∴AM＝5，AN＝，MN＝，∵△AMN是等腰三角形，當(dāng)AM＝AN時，5＝，解得t＝1±，當(dāng)AM＝MN時，5＝，解得t＝6±，當(dāng)AN＝MN時，＝，解得t＝，∵N在第一象限，∴t＞3，∴t的值為，1+，6+，∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（，）或（1+，﹣2+）或（6+，3+）．【點(diǎn)評】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，軸對稱最短問題，等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用軸對稱解決最短問題，學(xué)會用分類討論的思想思考問題，屬于中考壓軸題．6.（2022邵陽中考）如圖，已知直線y=2x+2與拋物線y=ax2+bx+c相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B在y軸上，點(diǎn)C(3，0)在拋物線上．（1）求該拋物線的表達(dá)式．（2）正方形OPDE的頂點(diǎn)O為直角坐標(biāo)系原點(diǎn)，頂點(diǎn)P在線段OC上，頂點(diǎn)E在y軸正半軸上，若△AOB與△DPC全等，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．（3）在條件（2）下，點(diǎn)Q是線段CD上的動點(diǎn)（點(diǎn)Q不與點(diǎn)D重合），將△PQD沿PQ所在的直線翻折得到△PQD'，連接CD'，求線段CD'長度的最小值．【答案】（1）該拋物線的表達(dá)式為y=x2+x+2；（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，0)或(2，0)；（3）線段CD'長度的最小值為1．【解析】【分析】（1）先求得點(diǎn)A(-1，0)，點(diǎn)B(0，2)，利用待定系數(shù)法即可求解；（2）分兩種情況討論：△AOB≌△DPC和△AOB≌△CPD，利用全等三角形的性質(zhì)求解即可；（3）按照（2）的結(jié)論，分兩種情況討論，當(dāng)P、D'、C三點(diǎn)共線時，線段CD'長度取得最小值，據(jù)此求解即可．【小問1詳解】解：令x=0，則y=2x+2=2，令y=0，則0=2x+2，解得x=-1，點(diǎn)A(-1，0)，點(diǎn)B(0，2)，把A(-1，0)，B(0，2)，C(3，0)代入y=ax2+bx+c，得，解得，∴該拋物線的表達(dá)式為y=x2+x+2；【小問2詳解】解：若△AOB和△DPC全等，且∠AOB=∠DPC=90°，分兩種情況：①△AOB≌△DPC，則AO=PD=1，OB=PC=2，∵OC=3，∴OP=3-2=1，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，0)；②△AOB≌△CPD，則OB=PD=2，∴正方形OPDE的邊長為2，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2，0)；綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，0)或(2，0)；【小問3詳解】解：①點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，0)時，∵△PQD'與△PQD關(guān)于PQ對稱，∴PD'=PD，∴點(diǎn)D'在以點(diǎn)P為圓心，1為半徑的圓上運(yùn)動，當(dāng)P、D'、C三點(diǎn)共線時，線段CD'長度取得最小值，最小值為2-1=1；②點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2，0)時，∵△PQD'與△PQD關(guān)于PQ對稱，∴PD'=PD，∴點(diǎn)D'在以點(diǎn)P為圓心，2為半徑的圓上運(yùn)動，當(dāng)P、C、D'三點(diǎn)共線時，線段CD'長度取得最小值，最小值為2-1=1；綜上，線段CD'長度的最小值為1．【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，全等三角形的判定與性質(zhì)以及待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，正方形的性質(zhì)的應(yīng)用，點(diǎn)和圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是正確進(jìn)行分類討論．7.（2022常德中考）如圖，已經(jīng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)，，且它的對稱軸為．（1）求此拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)是拋物線對稱軸上的一點(diǎn)，且點(diǎn)在第一象限，當(dāng)?shù)拿娣e為15時，求的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，是拋物線上的動點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹底畲髸r，求的坐標(biāo)以及的最大值【答案】（1）（2）（3）的最大值為【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可設(shè)拋物線為再利用待定系數(shù)法求解拋物線的解析式即可；（2）設(shè)且記OA與對稱軸的交點(diǎn)為Q，設(shè)直線為：解得：可得直線為：則利用列方程，再解方程即可；（3）如圖，連接AB，延長AB交拋物線于P，則此時最大，由勾股定理可得最小值，再利用待定系數(shù)法求解AB的解析式，聯(lián)立一次函數(shù)與二次函數(shù)的解析式，解方程組可得P的坐標(biāo)．【小問1詳解】解：拋物線經(jīng)過點(diǎn)，∴設(shè)拋物線為：拋物線過，且它的對稱軸為．解得：∴拋物線為：【小問2詳解】解：如圖，點(diǎn)是拋物線對稱軸上的一點(diǎn)，且點(diǎn)在第一象限，設(shè)且記OA與對稱軸的交點(diǎn)為Q，設(shè)直線為：解得：直線為：解得：或∵則【小問3詳解】如圖，連接AB，延長AB交拋物線于P，則此時最大，設(shè)AB為：代入A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，解得：∴AB為：解得：【點(diǎn)睛】本題考查的是利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式，坐標(biāo)與圖形面積，三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用，確定最大時P的位置是解本題的關(guān)鍵．8.（2022齊齊哈爾中考）綜合與探究如圖，某一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖象交點(diǎn)為A（-1，0），B（4，5）．

（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)C為拋物線對稱軸上一動點(diǎn)，當(dāng)AC與BC的和最小時，點(diǎn)C的坐標(biāo)為；（3）點(diǎn)D為拋物線位于線段AB下方圖象上一動點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE⊥x軸，交線段AB于點(diǎn)E，求線段DE長度最大值；（4）在（2）條件下，點(diǎn)M為y軸上一點(diǎn)，點(diǎn)F為直線AB上一點(diǎn)，點(diǎn)N為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)，若以點(diǎn)C，M，F(xiàn)，N為頂點(diǎn)的四邊形是正方形，請直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)．【答案】（1）（2）（1，2）（3）（4）【解析】【分析】（1）將A（-1，0），B（4，5）代入得到關(guān)于m，n的二元一次方程組求解即可；（2）拋物線的對稱軸為，求出直線AB與對稱軸的交點(diǎn)即可求解；（3）設(shè)，則，則，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；（4）根據(jù)題意畫出圖形，分情況求解即可．【小問1詳解】解：將A（-1，0），B（4，5）代入得，，解這個方程組得，拋物線的解析式為：；小問2詳解】解：如圖，設(shè)直線AB的解析式為：，把點(diǎn)A（-1，0），B（4，5）代入，得，解得，直線AB的解析式為：，由（1）知拋物線的對稱軸為，點(diǎn)C為拋物線對稱軸上一動點(diǎn)，，當(dāng)點(diǎn)C在AB上時，最小，把x=1代入，得y=2，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，2）；

【小問3詳解】解：如圖，由（2）知直線AB的解析式為y=x+1設(shè)，則，則，當(dāng)時，DE有最大值為，

【小問4詳解】解：如圖，直線AB的解析式為：y=x+1，直線與y軸的交點(diǎn)為D（0，1），，，若以點(diǎn)C，M，F(xiàn)，N為頂點(diǎn)的四邊形是正方形，分情況討論：①過點(diǎn)C作軸于點(diǎn)，則為等腰直角三角形，過點(diǎn)C作，則四邊形為正方形，依題意，知D與F重合，點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，1）；

②以為中心分別作點(diǎn)F，點(diǎn)C點(diǎn)的對稱點(diǎn)，連接，則四邊形是正方形，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1，2）；

③延長到使，作于點(diǎn)，則四邊形是正方形，則的坐標(biāo)為（1，4）；

④取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，則為正方形，則的坐標(biāo)為，

綜上所述，點(diǎn)N的坐標(biāo)為：【點(diǎn)睛】本題考查了用待定系數(shù)法求一次函數(shù)和二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，正方形的判定，根據(jù)題意正確畫圖是解本題的關(guān)鍵．9.（2022牡丹江中考）如圖，已知拋物線（a＞0）與x軸交于點(diǎn)B、C，與y軸交于點(diǎn)E，且點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)．

（1）若拋物線過點(diǎn)M（﹣2，﹣2），求實(shí)數(shù)a的值；（2）在（1）的條件下，解答下列問題；①求出△BCE的面積；②在拋物線的對稱軸上找一點(diǎn)H，使CH+EH的值最小，直接寫出點(diǎn)H的坐標(biāo)．【答案】（1）a=4；（2）①6；②（﹣1，）【解析】【詳解】解：（1）將M（﹣2，﹣2）代入拋物線解析式得：，解得：a=4．（2）①由（1）拋物線解析式，當(dāng)y=0時，得：，解得：．∵點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)，∴B（﹣4，0），C（2，0）．當(dāng)x=0時，得：y=﹣2，∴E（0，﹣2）．∴S△BCE=×6×2=6．②∵，∴拋物線對稱軸為直線x=﹣1．連接BE，與對稱軸交于點(diǎn)H，即為所求．設(shè)直線BE解析式為y=kx+b，將B（﹣4，0）與E（0，﹣2）代入得：，解得：．∴直線BE解析式．將x=﹣1代入得：，∴H（﹣1，）．10.（2022梧州中考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別與x，y軸交于點(diǎn)A，B，拋物線恰好經(jīng)過這兩點(diǎn)．（1）求此拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)C的坐標(biāo)是，將繞著點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)E．①寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)，并判斷點(diǎn)E是否在此拋物線上；②若點(diǎn)P是y軸上的任一點(diǎn)，求取最小值時，點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】（1）（2）①點(diǎn)E在拋物線上；②（0，）【解析】【分析】（1）先求出A、B坐標(biāo)，然后根據(jù)待定系數(shù)法求解即可；（2）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)求出EF=AO=3，CF=CO=6，從而可求E的坐標(biāo)，然后把E的坐標(biāo)代入（1）的函數(shù)解析式中，從而判斷出點(diǎn)E是否在拋物線上；②過點(diǎn)P作PQ⊥AB于Q，證明△ABO∽△PBQ，從而求出，則可判斷當(dāng)P，E，Q三點(diǎn)共線，且EP⊥AB時，取最小值，然后根據(jù)待定系數(shù)法求直線EP解析式，即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．【小問1詳解】解：當(dāng)x=0時，y=-4，當(dāng)y=0時，，∴x=-3，∴A（-3，0），B（0，-4），把A、B代入拋物線，得，∴，∴拋物線解析式為；【小問2詳解】①∵A（-3，0），C（0，6），∴AO=3，CO=6，由旋轉(zhuǎn)知：EF=AO=3，CF=CO=6，∠FCO=90°∴E到x軸的距離為6-3=3，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（6，3），當(dāng)x=3時，，∴點(diǎn)E在拋物線上；②過點(diǎn)P作PQ⊥AB于Q，又∠AOB=90°，∴∠AOB=∠PQB，在Rt△ABO中，AO=3，BO=4，∴由勾股定理得：AB=5，∵∠AOB=∠PQB，∠ABO=∠PBQ，∴△ABO∽△PBQ，∴，∴，∴，∴，∴當(dāng)P，E，Q三點(diǎn)共線，且EP⊥AB時，取最小值，∵EP⊥AB，∴設(shè)直線EP解析式為，又E（6，0），∴，∴，∴直線EP解析式為，當(dāng)x=0時，y=，∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（0，）．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)函數(shù)解析式，相似三角形的判定與性質(zhì)等，解第（2）題第②問的關(guān)鍵是正確作出點(diǎn)P的位置．11．（2022桂林中考）（12分）如圖，拋物線y＝﹣x2+3x+4與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A位于點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于C點(diǎn)，拋物線的對稱軸l與x軸交于點(diǎn)N，長為1的線段PQ（點(diǎn)P位于點(diǎn)Q的上方）在x軸上方的拋物線對稱軸上運(yùn)動．（1）直接寫出A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求CP+PQ+QB的最小值；（3）過點(diǎn)P作PM⊥y軸于點(diǎn)M，當(dāng)△CPM和△QBN相似時，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．【分析】（1）由y＝﹣x2+3x+4可得A（﹣1，0），B（4，0），C（0，4）；（2）將C（0，4）向下平移至C'，使CC'＝PQ，連接BC'交拋物線的對稱軸l于Q，可知四邊形CC'QP是平行四邊形，及得CP+PQ+BQ＝C'Q+PQ+BQ＝BC'+PQ，而B，Q，C'共線，故此時CP+PQ+BQ最小，最小值為BC'+PQ的值，由勾股定理可得BC'＝5，即得CP+PQ+BQ最小值為6；（3）由在y＝﹣x2+3x+4得拋物線對稱軸為直線x＝﹣＝，設(shè)Q（，t），則Q（，t+1），M（0，t+1），N（，0），知BN＝，QN＝t，PM＝，CM