愛提分中考復習 10二輪-全等綜合-第01講 全等綜合（一）(學生版)

高思愛提分演示（KJ)初中數(shù)學學生輔導講義[學生版]學員姓名王李 年級輔導科目初中數(shù)學學科教師王涵上課時間01-1806:30:00-08:30:00 知識圖譜全等綜合（一）知識精講一．全等三角形的判定方法：邊角邊定理：兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等．角邊角定理：兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等．邊邊邊定理：三邊對應相等的兩個三角形全等．角角邊定理：兩個角和其中一個角的對邊對應相等的兩個三角形全等．斜邊、直角邊定理：斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等．二．全等三角形的應用：1．運用三角形全等可以證明線段相等、角相等、兩直線垂直等問題，在證明的過程中，注意有時會添加輔助線；2．能通過判定兩個三角形全等進而證明兩條線段間的位置關系和大小關系．而證明兩條線段或兩個角的和、差、倍、分相等是幾何證明的基礎．三．全等三角形輔助線的作法1．中點類輔助線作法見到中線(中點)，我們可以聯(lián)想的內(nèi)容無非是倍長中線或者是與中點有關的一條線段，尤其是在涉及線段的等量關系時，倍長中線的應用更是較為常見，常見添加方法如下圖（是底邊的中線)．2．角平分線類輔助線作法有下列三種作輔助線的方式：（1）由角平分線上的一點向角的兩邊作垂線；（2）過角平分線上的一點作角平分線的垂線，從而形成等腰三角形；（3），這種對稱的圖形應用得也較為普遍．3．截長補短類輔助線作法截長補短法，是初中數(shù)學幾何題中一種輔助線的添加方法，也是把幾何題化難為易的一種思想．所謂“截長”，就是將三者中最長的那條線段一分為二，使其中的一條線段等于已知的兩條較短線段中的一條，然后證明其中的另一段與已知的另一條線段相等；所謂“補短”，就是將一個已知的較短的線段延長至與另一個已知的較短的長度相等，然后求出延長后的線段與最長的已知線段的關系．有的是采取截長補短后，使之構成某種特定的三角形進行求解．三點剖析一．考點：1．全等三角形的判定2．全等三角形輔助線的作法二．重難點：1．全等三角形的判定2．全等三角形輔助線的作法三．易錯點：1．在使用判定定理證明兩個三角形全等時要注意條件的順序必須和判定定理要求的一樣，對應頂點要對應．2．輔助線只是一個指導方法，出現(xiàn)相關條件或結論時不一定要作輔助線或者是按照模型作輔助線，關鍵是如何分析題目；3．輔助線不是隨便都可以作的，比如“作一條線段等于另外一條線段且與某條線段夾角是多少度”這種輔助線就不一定能作出來．全等與三角形綜合例題例題1、如圖1，已知和均為等腰直角三角形，，點M為DE的中點，過點E與AD平行的直線交射線AM于點N．（1）將圖1中的繞點B旋轉，當A，B，E三點在同一條直線上時（如圖2），判斷的形狀并說明理由；（2）將圖1中的繞點B旋轉到圖3的位置時（A，B，M三點在同一條直線上），（1）中的結論是否扔成立？若成立，試證明之；若不成立，請說明理由．例題2、如圖1，在中，點為邊中點，直線繞頂點A旋轉，若點B，P在直線a的異側，直線a于M，直線a于N，連接PM、PN．（1）延長MP交CN于點E（如圖2），=1\*GB3①求證：；=2\*GB3②求證：．（2）若直線a繞點A旋轉到圖3的位置時，點B，P在直線a的同側，其他條件不變，此時還成立嗎？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由；（3）若直線a繞點A旋轉到與BC平行的位置時，其他條件不變，請直接判斷四邊形MBCN的形狀及此時還成立嗎？不必說明理由．例題3、把兩個全等的和（其直角邊長均為4）疊放在一起（如圖=1\*GB3①），且使三角板EFG的直角頂點G與三角板ABC的斜邊中點O重合，現(xiàn)將三角板EFG繞O點順時針旋轉（旋轉角滿足條件：），四邊形CHGK是旋轉過程中兩三角板的重疊部分（如圖=2\*GB3②）（1）在上述旋轉過程中，BH與CK有怎樣的數(shù)量關系，四邊形CHGK的面積有何變化？證明你發(fā)現(xiàn)的結論；（2）連接HK，在上述旋轉過程中，設BH=X，的面積為y，求y與x之間的函數(shù)關系式，并寫出自變量x的取值范圍；（3）在（2）的前提下，是否存在某一位置，使的面積恰好等于面積的？若存在，求出此時x的值；若不存在，說明理由．例題4、如圖1所示，點E、F在線段AC上，過E，F(xiàn)分別作DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分別為點E，F(xiàn)；DE，BF分別在線段AC的兩側，且AE=CF，AB=CD，BD與AC相交于點G．（1）求證：EG=GF；（2）若點E在F的右邊，如圖2時，其余條件不變，上述結論是否成立？請說明理由．（3）若點E、F分別在線段CA的延長線與反向延長線上，其余條件不變，（1）中結論是否成立？（要求：在備用圖中畫出圖形，直接判斷，不必說明理由）例題5、等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，F(xiàn)為AB上一點，連接CF，過點B作BH⊥CF交CF于G，交AC于H．（1）如圖（1），延長BH到點E，連接AE，當∠EAB=90°，AE=1，F(xiàn)為AB的三等分點，且BF＜AF時，求BE的長；（2）如圖（2），若F為AB中點，連接FH，求證：BH+FH=CF；（3）如圖（3），在AB上取點K，使AK=BF，連接HK并延長與CF的延長線交于點P，若G為CP的中點，請直接寫出AH、BH、PG所滿足的數(shù)量關系．例題6、已知：等邊中，點是邊，的垂直平分線的交點，，分別在直線，上，且．（1）如圖1，當時，，分別在邊，上時，請寫出、、三者之間的數(shù)量關系；（2）如圖2，當時，，分別在邊，上時，（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請你加以證明；若不成立，請說明理由；（3）如圖3，當點在邊上，點在的延長線上時，請直接寫出線段、、三者之間的數(shù)量關系．隨練隨練1、如圖，將兩個全等的直角三角形、拼在一起（圖1），不動，（1）若將繞點A逆時針旋轉，連接DE，M是DE的中點，連接MB、MC（圖2），證明：MB=MC．（2）若將圖1的CE向上平移，不變，連接DE，M是DE的中點，連接MB、MC（圖3），判斷并直接寫出MB、MC的數(shù)量關系．（3）在（2）中，若的大小改變（圖4），其他條件不變，則（2）中的MB、MC的數(shù)量關系還成立嗎？說明理由．隨練2、如圖，在中，，，E為AC邊的一點，F(xiàn)為AB邊上一點，連接CF，交BE于點D且，CG平分交BD于點G，（1）求證：CF=BG；（2）延長CG交AB于H，連接AG，過點C作交BE的延長線于點P，求證：；（3）在（2）問的條件下，當時，若，BG=6，求AC的長．隨練3、如圖1，在中，，AB=AC，的平分線BE交AC于E．（1）求證：AE=BC；（2）如圖（2），過點E作EF//BC交AB于F，將繞點A逆時針旋轉角（）得到，連結，，求證：；（3）在（2）的旋轉過程中是否存在//AB？若存在，求出相應的旋轉角；若不存在，請說明理由．隨練4、如圖1，在中，AB=BC，P為AB邊上的一點，連接CP，以PA、PC為鄰邊作，AC與PD相交于點E，已知．（1）求證：；（2）是否為矩形？請說明理由；（3）如圖2，F(xiàn)為BC的中點，連接FP，將繞點E順時針旋轉適當?shù)慕嵌?，得到（點M、N分別是的兩邊與BA、FP延長線的交點）．猜想線段EM與EN之間的數(shù)量關系，并證明你的結論．隨練5、（1）問題發(fā)現(xiàn)如圖1，△ACB和△DCE均為等邊三角形，點A，D，E在同一直線上，連接BE．填空：①∠AEB的度數(shù)為________；②線段AD，BE之間的數(shù)量關系為____________．（2）拓展探究如圖2，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，點A，D，E在同一直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE，請判斷∠AEB的度數(shù)及線段CM，AE，BE之間的數(shù)量關系，并說明理由．隨練6、(2013中考西城區(qū)一模)在Rt△ABC中，，，點P在△ABC的內(nèi)部．（1）如圖1，，，點M、N分別在AB、BC邊上，則_______，△PMN周長的最小值為_______；（2）如圖2，若條件不變，而，，，求△ABC的面積；（3）若，，，且，直接寫出的度數(shù)．BBB拓展拓展1、已知，，等腰直角，，BD=DE，點在線段AC上．（1）如圖1，當，點E在BC上時，試判斷AD與CE的數(shù)量關系，并加以證明；（2）如圖2，當，點E在BC外時，連接EC\、BD并延長交于點F，設ED與BC交于點N，圖中是否存在與BN相等的線段？若存在，請加以證明．若不存在，請說明理由．拓展2、如圖1，在中，是銳角，點D為射線BC上的一點，連接AD，以AD為一邊且在AD的右側作正方形ADEF．（1）如果AB=AC，，=1\*GB3①當點D在線段BC上時（與點B不重合），如圖2，線段CF、BD所在直線的位置關系為，線段CF、BD的數(shù)量關系為；=2\*GB3②當點D在線段BC的延長線上時，如圖3，=1\*GB3①中的結論是否依然成立，并說明理由；（2）如果AB=AC，是銳角，點D在線段BC上，當滿足什么條件時，（點C、F不重合），并說明理由．拓展3、如圖1，將兩個完全相同的三角形紙片ABC和DEC重合放置，其中，．（1）操作發(fā)現(xiàn)如圖2，固定，使繞點C旋轉，當點D恰好落在AB邊上時，填空：=1\*GB3①線段DE與AC的位置關系是；=2\*GB3②設的面積為，的面積為，則與的數(shù)量關系是．（2）猜想論證當繞點C旋轉到如圖3所示的位置時，小明猜想（1）中與的數(shù)量關系仍然成立，并嘗試分別作出了和中BC、CE邊上的高，請你證明小明的猜想．（3）拓展探究已知，點D是角平分線上一點，BD=CD=4，DE//ABA交BC于點E（如圖4）．若在射線BA上存在點F，使，請直接寫出相應的BF的長．拓展4、探究問題1，已知：如圖1，三角形中，點D是AB的中點，，，垂足分別為點E，F(xiàn)，AE，BF交于點M，連接DE，DF．若，則k的值為．拓展問題2已知：如圖2，三角形ABC中，CB=CA，點D是AB邊的中點，點M在三角形ABC的內(nèi)部，且，過點M分別作，，垂足分別為點E，F(xiàn)，連接DE，DF．求證：．推廣問題3如圖3，若將上面問題2中的條件“CB=CA”變?yōu)椤啊?，其他條件不變，試探究DE與DF之間的數(shù)量關系，并證明你的結論．拓展5、某數(shù)學興趣小組開展了一次活動，過程如下：如圖1，在等腰直角中，AB=AC，，小敏將一塊三角板中含角的頂點放在A上，從AB邊開始繞點A逆時針旋轉一個角，其中三角板斜邊所在的直線交直線BC于點D，直角邊所在的直線交直線BC于點E．（1）小敏在線段BC上取一點M，連接AM，旋轉中發(fā)現(xiàn)：若AD平分，則AE也平分．請你證明小敏發(fā)現(xiàn)的結論；（2）當時，小敏在旋轉中還發(fā)現(xiàn)線段BD、CE、DE之間存在如下等量關系：．同組的小穎和小亮隨后想出了兩種不同的方法進行解決；小穎的想法：將沿AD所在的直線對折得到，連接EF（如圖2）小亮的想法：將繞點A逆時針旋轉得到，連接（如圖3）；請你從中任選一種方法進行證明；（3）小敏繼續(xù)旋轉三角板，在探究中得出當且時，等量關系仍然成立，先請你繼續(xù)研究：當時（如圖4）等量關系是否仍然成立？若成立，給出證明；若不成立，說明理由．拓展6、如圖1，已知中，AB=BC=1，，把一塊含30°角的三角板DEF的直角頂點D放在AC的中點上（直角三角板的短直角邊為DE，長直角邊為DF），將直角三角板DEF繞D點按逆時針方向旋轉．（1）在圖1中，DE交AB于M，DF交BC于N．=1\*GB3①證明；=2\*GB3②在這一過程中，直角三角板DEF與的重疊部分為四邊形DMBN，請說明四邊形DMBN的面積是否發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請說明是如何變化的；若不發(fā)生變化，求出其面積；（2）繼續(xù)旋轉至如圖2的位置，延長AB交DE于M，延長BC交DF于N，DM=DN是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由；（3）繼續(xù)旋轉至如