高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)及復(fù)習(xí)資料

高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)根底學(xué)問(wèn)點(diǎn)及答案1、角的概念的推廣：平面內(nèi)一條射線圍著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所的圖形。按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)所形成的角叫正角，按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)所形成的角叫負(fù)角，一條射線沒(méi)有作任何旋轉(zhuǎn)時(shí)，稱它形成一個(gè)零角。射線的起始位置稱為始邊，終止位置稱為終邊。2、象限角的概念：在直角坐標(biāo)系中，使角的頂點(diǎn)及原點(diǎn)重合，角的始邊及軸的非負(fù)半軸重合，角的終邊在第幾象限，就說(shuō)這個(gè)角是第幾象限的角。假如角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何象限。3.終邊一樣的角的表示：(1)終邊及終邊一樣(的終邊在終邊所在射線上)，留意：相等的角的終邊一定一樣，終邊一樣的角不一定相等.如及角的終邊一樣，且一定值最小的角的度數(shù)是＿＿＿，合＿＿＿弧度。弧度：一周的弧度數(shù)為2π2π，360°角=2π弧度，因此，1弧度約為57.3°，即57°17'44.806''，1°為π/180弧度，近似值為0.01745弧度，周角為2π弧度，平角〔即180°角〕為π弧度，直角為π/2弧度?！泊穑海弧?2)終邊及終邊共線(的終邊在終邊所在直線上).(3)終邊及終邊關(guān)于軸對(duì)稱.(4)終邊及終邊關(guān)于軸對(duì)稱.(5)終邊及終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.(6)終邊在軸上的角可表示為：；終邊在軸上的角可表示為：；終邊在坐標(biāo)軸上的角可表示為：.如的終邊及的終邊關(guān)于直線對(duì)稱，則＝。〔答：〕4、及的終邊關(guān)系：由“兩等分各象限、一二三四〞確定.如假設(shè)是第二象限角，則是第象限角〔答：一、三〕：，扇形面積公式：，1弧度(1).如扇形的周長(zhǎng)是6，該扇形的中心角是1弧度，求該扇形的面積?！泊穑?〕6、隨意角的三角函數(shù)的定義：設(shè)是隨意一個(gè)角，P是的終邊上的隨意一點(diǎn)〔異于原點(diǎn)〕，它及原點(diǎn)的間隔是，則，，，，。三角函數(shù)值只及角的大小有關(guān)，而及終邊上點(diǎn)P的位置無(wú)關(guān)。如〔1〕角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(5，－12)，則的值為＿＿。〔答：〕；〔2〕設(shè)是第三、四象限角，，則的取值范圍是〔答：〔－1，〕；〔3〕假設(shè)，試推斷的符號(hào)〔答：負(fù)〕7.三角函數(shù)線的特征是：正弦線“站在軸上(起點(diǎn)在軸上)〞、余弦線“躺在軸上(起點(diǎn)是原點(diǎn))〞、正切線“站在點(diǎn)處(起點(diǎn)是)〞.三角函數(shù)線的重要應(yīng)用是比較三角函數(shù)值的大小和解三角不等式。如〔1〕假設(shè)，則的大小關(guān)系為(答：)；〔2〕假設(shè)為銳角，則的大小關(guān)系為〔答：〕；〔3〕函數(shù)的定義域是〔答：〕：30°45°60°0°90°180°270°15°75°010－110－101002-2+1002+2-9.同角三角函數(shù)的根本關(guān)系式：〔1〕平方關(guān)系：〔2〕倒數(shù)關(guān)系：111,〔3〕商數(shù)關(guān)系：同角三角函數(shù)的根本關(guān)系式的主要應(yīng)用是，一個(gè)角的三角函數(shù)值，求此角的其它三角函數(shù)值。在運(yùn)用平方關(guān)系解題時(shí)，要依據(jù)角的范圍和三角函數(shù)的取值，盡可能地壓縮角的范圍，以便進(jìn)展定號(hào)；在詳細(xì)求三角函數(shù)值時(shí)，一般不需用同角三角函數(shù)的根本關(guān)系式，而是先依據(jù)角的范圍確定三角函數(shù)值的符號(hào)，再利用解直角三角形求出此三角函數(shù)值的一定值。如〔1〕函數(shù)的值的符號(hào)為〔答：大于0〕；〔2〕假設(shè)，則使成立的的取值范圍是〔答：〕；〔3〕，，則＝〔答：〕；〔4〕，則＝；＝〔答：；〕；〔5〕，則等于A、B、C、D、〔答：B〕；〔6〕，則的值為〔答：－1〕。10.三角函數(shù)誘導(dǎo)公式〔〕的本質(zhì)是：奇變偶不變〔對(duì)而言，指取奇數(shù)或偶數(shù)〕，符號(hào)看象限〔看原函數(shù)，同時(shí)可把看成是銳角〕.誘導(dǎo)公式的應(yīng)用是求隨意角的三角函數(shù)值，其一般步驟：〔1〕負(fù)角變正角，再寫成2,；(2)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)。如〔1〕的值為〔答：〕；〔2〕，則，假設(shè)為第二象限角，則。〔答：；〕隨堂練習(xí)例1角的終邊上一點(diǎn)P〔－\r(3)，m〕，且θ=\f(\r(2),4)m，求θ及θ的值．分析角的終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)，求角的三角函數(shù)值，應(yīng)聯(lián)想到運(yùn)用三角函數(shù)的定義解題，由P的坐標(biāo)可知，需求出m的值，從而應(yīng)尋求m的方程．解由題意知\r(3＋m2)，則θ=\f()=\f(m,\r(3＋m2))．又∵θ=\f(\r(2),4)m，∴\f(m,\r(3＋m2))=\f(\r(2),4)m．∴0，±\r(5)．當(dāng)0時(shí)，θ=－1，θ=0；當(dāng)\r(5)時(shí)，θ=－\f(\r(6),4)，θ=－\f(\r(15),3)；當(dāng)－\r(5)時(shí)，θ=－\f(\r(6),4)，θ=\f(\r(15),3)．點(diǎn)評(píng)一個(gè)角的終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)，求其三角函數(shù)值，往往運(yùn)用定義法(三角函數(shù)的定義)解決．例2集合｛θ｜θ＜θ，0≤θ≤2π}，｛θ｜θ＜θ}，求集合E∩F．分析對(duì)于三角不等式，可運(yùn)用三角函數(shù)線解之．解｛θ｜\f(π,4)＜θ＜\f(5π,4)}，F(xiàn)=｛θ｜\f(π,2)＜θ＜π，或\f(3π,2)＜θ＜2π}，∴E∩｛θ｜\f(π,2)＜θ＜π}．例1化簡(jiǎn)\f((2π-α)(π+α)(-α-π),(π-α)(3π-α))．分析式中含有較多角和較多三角函數(shù)名稱，假設(shè)能削減它們的個(gè)數(shù)，則式子可望簡(jiǎn)化．解原式=\f(〔α〕α［(α+π)］,(α)(π-α))=\f((α)α(α),(α)(α))=\f(α·\f(α,α),α)=1．點(diǎn)評(píng)將不同角化同角，不同名的三角函數(shù)化成同名的三角函數(shù)是三角變換中常用的方法．例2假設(shè)θθ=\f(1,8)，θ∈(\f(π,4)，\f(π,2))，求θ－θ的值．分析式為θ、θ的二次式，欲求式為θ、θ的一次式，為了運(yùn)用條件，須將θ－θ進(jìn)展平方．解(θ－θ)22θ2θ－2θθ=1－\f(1,4)=\f(3,4)．∵θ∈(\f(π,4)，\f(π,2))，∴θ＜θ．∴θ－θ=－\f(\r(3),2)．變式1條件同例，求θθ的值．變式2θ－θ=－\f(\r(3),2)，求θθ，θθ的值．點(diǎn)評(píng)θθ，θθ，θ－θ三者關(guān)系嚴(yán)密，由其中之一，可求其余之二．例3θ=3．求2θθθ的值．分析因?yàn)?θθθ是關(guān)于θ、θ的二次齊次式，所以可轉(zhuǎn)化成θ的式子．解原式2θθθ=\f(2θθθ,2θ2θ)=\f(1θ,12θ)=\f(2,5)．點(diǎn)評(píng)1．關(guān)于θ、θ的齊次式可轉(zhuǎn)化成θ的式子．2．留意1的作用:12θ2θ等．例1α－β=－\f(1,3)，α－β=\f(1,2)，求(α－β)的值．分析由于(α－β)αβαβ的右邊是關(guān)于α、α、β、β的二次式，而條件是關(guān)于α、β、α、β的一次式，所以將式兩邊平方．解∵α－β=－\f(1,3)，①α－β=\f(1,2)，②①2＋②2，得2－2(α－β)=\f(13,36)．∴(α－β)=\f(72,59)．點(diǎn)評(píng)審題中要擅長(zhǎng)找尋和欲求的差異，設(shè)法消退差異．例2求\f(210°20°,20°)的值．分析式中含有兩個(gè)角，故需先化簡(jiǎn)．留意到10°=30°－20°，由于30°的三角函數(shù)值，則可將兩個(gè)角化成一個(gè)角．解∵10°=30°－20°，∴原式=\f(2(30°-20°)20°,20°)=\f(2(30°20°30°20°)20°,20°)=\f(\r(3)30°,20°)=\r(3)．點(diǎn)評(píng)化異角為同角，是三角變換中常用的方法．例1求以下各式的值〔1〕10°＋50°+\r(3)10°50°；(2)\f(〔\r(3)12°-3〕12°,4212°-2)．(1)解原式(10°+50°)〔1－10°50°〕+\r(3)10°50°=\r(3)．〔2