2.2 基本不等式（精講）（解析版）-人教版高中數(shù)學(xué)精講精練（必修一）

2.2基本不等式（精講）考點一直接型【例1-1】（2022·新疆喀什）已知，則下列說法正確的是（

）A．有最大值0 B．有最小值為0C．有最大值為－4 D．有最小值為－4【答案】B【解析】由題意，，由均值不等式，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立故，有最小值0故選：B【例1-2】（2022·河南南陽）已知，且，則的最大值為（

）A．2 B．5 C． D．【答案】D【解析】因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.所以的最大值為.故選：D【一隅三反】1．（2022·河南駐馬店·高一期末）已知a>0，則當(dāng)取得最小值時，a的值為（

）A． B． C． D．3【答案】C【解析】∵a>0，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，故選：C2．（2022·江蘇連云港·高一期末）函數(shù)的最大值是（

）A．7 B． C．9 D．【答案】B【解析】由題意可得函數(shù)的定義域為，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號，所以函數(shù)的最大值是，故選：B3．（2022·北京大興·高一期末）當(dāng)時，的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，，又，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以的最大值為故選：B考點二常數(shù)代換型【例2-1】（2022·浙江）已知x，y＞0，當(dāng)x+y＝2時，求的最小值（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，即時取等號故選：C【例2-2】（2022·安徽省舒城中學(xué)高一階段練習(xí)）若，則的最小值為（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【解析】因為，所以，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時取等號，所以的最小值為1.故選：D.【例2-3】（2022·廣西·桂林中學(xué)高一期中）若，，則的最小值為__________.【答案】【解析】由得，則有，有，同理可得，由兩邊除以xy得：，于是得：，當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”，由解得：，所以當(dāng)時，取得最小值.故答案為：【一隅三反】1．（2022·江西）已知，，且，則的最小值是（

）A． B．2 C．9 D．4【答案】A【解析】由題意可得．因為，，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，時，等號成立．故選：A2．（2022·江蘇鎮(zhèn)江）已知正數(shù)，滿足，則的最小值為（

）A．8 B．12 C． D．【答案】B【解析】由已知，，均為正數(shù)，，故，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.故選：B.3．（2022·全國·高一期末）設(shè)，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，，（當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號），的最小值為.故選：C.4．（2022·河北廊坊·高一期末）（多選）已知，且，則的取值可以是（

）A．8 B．9 C．11 D．12【答案】CD【解析】因為，所以，則.因為，所以，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立），則.因為，所以，即.故選：CD考點三配湊型【例3-1】（2022·廣東·梅州市）已知，則的最小值是(

)A．5 B．4 C．8 D．6【答案】A【解析】∵，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，∴的最小值是5．故選：A．【例3-2】（2022·福建）函數(shù)有（

）A．最大值 B．最小值 C．最大值2 D．最小值2【答案】D【解析】（方法1），，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立.（方法2）令，，，.將其代入，原函數(shù)可化為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，此時.故選：D【例3-3】（2022·湖北·高一階段練習(xí)）已知，且，則的最小值是（

）A．6 B．8 C．14 D．16【答案】A【解析】因為，所以.因為，所以，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故的最小值是6.故選：A【例3-4】（2022·河南）設(shè)，為正數(shù)，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵，∴，即，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，且時，即，時等號成立.故選：.【一隅三反】1．（2022·安徽?。┮阎獂>3，則對于，下列說法正確的是（

）A．y有最大值7 B．y有最小值7 C．y有最小值4 D．y有最大值4【答案】B【解析】因為，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以有最小值；故選：B2．（2022·吉林松原）若，則的最小值為（

）A．4 B．5 C．6 D．8【答案】C【解析】因為，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，故，的最小值為6．故選：C．3．（2022·四川·樹德中學(xué)高一階段練習(xí)）已知正實數(shù)滿足，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號，的最小值是.故選：D考點四消元型【例4】（2022·浙江·鎮(zhèn)海中學(xué)模擬預(yù)測）若正實數(shù)x，y滿足，則的最小值為（

）A．3 B． C． D．【答案】C【解析】因為正實數(shù)x，y滿足，所以.所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以的最小值是，故選：C．【一隅三反】1．（2022·浙江浙江·高一期中）已知正數(shù)，滿足，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】根據(jù)題意可得，由，所以，由，可得，即，，當(dāng)且僅當(dāng)，時取等號，所以的最小值為.故選：B.2．（2022·湖南師大附中）（多選）若，，，則的可能取值有（

）A． B． C． D．【答案】CD【解析】原式（當(dāng)且僅當(dāng)，時取等號）.故選：CD.3．（2022·湖北·石首市第一中學(xué)）若，且，則的最小值為_________．【答案】3【解析】因為，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．故答案為：3．考點五求參數(shù)【例5】（2022·四川·威遠中學(xué)校）當(dāng)時，不等式恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】當(dāng)時，不等式恒成立，對均成立．由于，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故的最小值等于3，，則實數(shù)a的取值范圍是．故選：D．【一隅三反】1．（2022·山西·懷仁市）已知，且，若有解，則實數(shù)m的取值范圍為（

）A．（-∞，1）∪（9，+∞）B．（9，1） C．[9，1] D．（1，9）【答案】A【解析】因為，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，此時的最小值為9，因為有解，所以，即，解得或，故選：A2．（2021·江蘇·高一專題練習(xí)）已知實數(shù)x、y滿足，且不等式恒成立，則c的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，，當(dāng)且僅當(dāng)時“”成立，又不等式恒成立，，的取值范圍是．故選：B．3．（2022·浙江·杭州市富陽區(qū)江南中學(xué)高一開學(xué)考試）已知，若不等式恒成立，則的最大值為（

）A．13 B．14 C．15 D．16【答案】D【解析】因為，所以，所以恒成立，只需因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時取等號.所以.即的最大值為16.故選：D考點六綜合運用【例6-1】（2022·浙江麗水）（多選）已知是正實數(shù)，若，則（

）A．的最大值是B．的最小值是C．的最小值是D．的最小值是【答案】AB【解析】正實數(shù)，滿足，由基本不等式得，，當(dāng)且僅當(dāng)且，即，時取等號，解得，，正確；，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號此時取得最小值2，正確；∵，∴，當(dāng)時，的最小值為，錯誤；當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，此時，不符合題意，故等號取不到，即的最小值大于，故D錯誤.故選：AB【例6-2】（2021廣東）如圖，在半徑為4(單位：cm)的半圓形(O為圓心)鐵皮上截取一塊矩形材料ABCD，其頂點A，B在直徑上，頂點C，D在圓周上，則矩形ABCD面積的最大值為________(單位：cm2)．【答案】16【解析】如圖所示，連接OC，設(shè)OB＝x(0<x<4)，則BC＝eq\r(OC2－OB2)＝eq\r(16－x2)，AB＝2OB＝2x，所以由基本不等式可得，矩形ABCD的面積為S＝AB·BC＝2x·eq\r(16－x2)＝2eq\r(16－x2x2)≤(16－x2)＋x2＝16，當(dāng)且僅當(dāng)16－x2＝x2，即x＝2eq\r(2)時等號成立，所以矩形ABCD面積的最大值為16.【一隅三反】1．（2022·海南）（多選）已知，是正實數(shù)，則下列選項正確的是（

）A．若，則有最小值2B．若，則有最大值5C．若，則有最大值D．有最小值【答案】AC【解析】對于A，，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，則有最小值2，故A正確；對于B，，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，則有最大值4，故B錯誤；對于C，，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，則則有最大值，故C正確；對于D，當(dāng)時，，故D錯誤；故選：AC2（2022·福建泉州·高一期末）（多選）若正實數(shù)a，b滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】BD【解析】依題意，正實數(shù)滿足，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以A選項錯誤.，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以B選項正確.，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以C選項錯誤.，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以D選項正確.故選：BD3.（2022年廣西）某農(nóng)業(yè)科研單位打算開發(fā)一個生態(tài)漁業(yè)養(yǎng)殖項目，準(zhǔn)備購置一塊1800平方米的矩形地塊(如圖所示)，中間挖三個矩形池塘養(yǎng)魚，挖出的泥土堆在池塘四周形成基圍(陰影部分所示)種植桑樹，魚塘周圍的基圍寬均為2米，池塘所占面積為S平方米，其中a∶b＝1∶2.(1)試用x，y表示S；(2)若要使S最大，則x，y的值分別為多少？【答案】（1）y=1832－6x－eq\f(16,3)y(6<x<300,6<y<300)（2）x=40y=45【解析】(1)由題意得，xy＝1800，b＝2a，則y＝a＋b＋6＝3a＋6，S＝a(x－4)＋b(x－6)＝a(x－4)＋2a(x－6)＝(3x－16)a＝(3x－16)×eq\f(y－6,3)＝xy－6x－eq\f(16,3)y＋32＝1832－6x－eq\f(16,3)y，其中