華師一附中2024屆高三 《正余弦定理的綜合應用》試題含答案

華師一2024屆高三《正余弦定理的綜合應用》試題一、單選題1．在△中，角、、所對的邊分別為，，，△的面積為，則（

）A．B．C．的最大值為D．的最大值12．在銳角中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，的面積為S，若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．3．在銳角中，角A，B，C所對的邊為a，b，c，若，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．在銳角中，角，，的對邊分別為，，，為的面積，且，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．5．在中，角所對的邊分別是是邊上一點，且，則的最小值是（

）A．4 B．6 C．8 D．96．在中，，分別是邊，的中點，與交于點，若，則面積的最大值為（

）A． B． C． D．7．在鈍角中，分別是的內角所對的邊，點是的重心，若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．在中，的平分線交于點，則的面積的最大值為（）A． B． C． D．9．在△ABC中，a，b，c分別為內角A，B，C所對的邊，b＝c，且滿足＝，若點O是△ABC外一點，∠AOB＝θ(0<θ<π)，OA＝2OB＝2，則平面四邊形OACB面積的最大值是()A． B． C．3 D．10．如圖，某城市有一條公路從正西方通過市中心后轉向東北方，為了緩解城市交通壓力，現準備修建一條繞城高速公路，并在上分別設置兩個出口，若部分為直線段，且要求市中心與AB的距離為20千米，則AB的最短距離為（

）A．千米B．千米C．千米D．千米二、多選題11．如圖，某人在一條水平公路旁的山頂處測得小車在A處的俯角為，該小車在公路上由東向西勻速行駛分鐘后，到達處，此時測得俯角為．已知小車的速度是，且，則（

）A．此山的高B．小車從A到的行駛過程中觀測點的最小仰角為C．D．小車從A到的行駛過程中觀測點的最大仰角的正切值為12．如圖，的內角，所對的邊分別為，，.若，且，是外一點，，，則下列說法正確的是（

）

A．是等邊三角形B．若，則四點共圓C．四邊形面積最大值為D．四邊形面積最小值為13．在中，若，角的平分線交于，且，則下列說法正確的是（

）A．若，則的面積是 B．若，則的外接圓半徑是C．若，則 D．的最小值是14．在銳角中，角，，所對邊分別為，，，外接圓半徑為，若，，則（

）A．B．C．的最大值為3D．的取值范圍為15．設的三個內角，，所對的邊分別為，，．下列有關等邊三角形的四個命題中正確的是（

）．A．若，則是等邊三角形B．若，則是等邊三角形C．若，則是等邊三角形D．若，則是等邊三角形16．已知△ABC三個內角A，B，C的對應邊分別為a，b，c，且，c=2．則下列結論正確（

）A．△ABC面積的最大值為 B．的最大值為C．D．的取值范圍為17．已知面積為12，，則下列說法正確的是（

）A．若，則 B．的最大值為C．的值可以為 D．的值可以為三、填空題18．的內角，，所對的邊分別為，，.已知，且，有下列結論：①；②；③，時，的面積為；④當時，為鈍角三角形.其中正確的是．（填寫所有正確結論的編號）19．已知在中，角，，的對邊分別為，，，，是的中點，若，則的最大值為.20．如圖，在中，，，的垂直平分線與分別交于兩點，且，則．四、解答題21．如圖，在平面四邊形中，，，，（1）若，求；（2）若，求．22．如圖，在梯形中，，，，，（1）若，求三角形ABC的面積；

（2）若，求.參考答案：1．C【分析】A、B由三角形面積公式及余弦定理判斷；C由A、B分析，結合輔助角公式、正弦函數性質即可確定目標式最大值；D根據C的分析，結合基本不等式可得，應用同角三角函數關系及三角形內角性質求得，根據A的結論即可求目標式最大值.【詳解】△的面積為，則，A錯誤；由且，則，B錯誤；由，則，所以且，故的最大值為，C正確；由C分析知：，當且僅當時取等號，則，故，即，即，解得，又，所以，而，故的最大值為，D錯誤.故選：C．2．C【分析】由面積公式與正余弦定理化簡后得出關系后求解【詳解】在中，，故題干條件可化為，由余弦定理得，故，又由正弦定理化簡得：，整理得，故或（舍去），得為銳角三角形，故，解得，故故選：C3．D【分析】由，結合正余弦定理求得角，繼而由結合正余弦定理求出，再表示出，，利用三角函數的性質求得的范圍，即可求得答案.【詳解】由，由正弦定理得,即有，而，則，又，由正弦定理?余弦定理得，，化簡得：，由正弦定理有：，即，，是銳角三角形且，有，，解得，因此，由得：，，所以.故選：D4．D【分析】根據余弦定理和的面積公式，結合題意求出、的值，再用表示，求出的取值范圍，即可求出的取值范圍．【詳解】因為的面積為，所以，中，由余弦定理得，，則，因為，所以,又，，所以，化簡得，解得或（不合題意，舍去）；因為，所以，，所以，因為，所以，又因為，所以，所以，因為，所以，所以，所以，所以，設，其中，所以，又，所以時，取得最大值為，時，，時，，且，所以，即的取值范圍是，故選：D．5．C【分析】利用正弦定理及，表達出，再利用基本不等式求出最值.【詳解】如圖所示，因為，所以，在Rt△ABD中，，即，因為，由正弦定理可得：，即，所以，所以，因為，所以，所以，當且僅當，即時，等號成立，所以的最小值為8.故選：C6．C【分析】設，由三角形中的中位線的性質和比例的性質可得出，再設，根據余弦定理得，再得出，由三角形的面積公式表示的面積，根據二次函數的最值可得選項.【詳解】因為分別是邊，的中點，所以，所以，又，設，則，又因為，所以，設，所以在中，，所以，所以，當時，面積取得最大值，故選：C.【點睛】本題考查三角形的面積的最值求解，關鍵在于運用三角形的中位線性質和比例性質得出線段間的關系，再運用余弦定理和三角形的面積公式表示三角形的面積為一個變量的函數，屬于較難題.7．A【分析】由條件可得，然后根據余弦定理可得、，根據三角形是鈍角三角形求出，，，然后利用對勾函數的性質求出的范圍即可．【詳解】如圖所示：，連接，并延長交于，由是三角形的重心，得是的中點，，，由重心的性質得，即，由余弦定理得：，，，，，則，，，，為銳角，是鈍角三角形，或為鈍角，或，將代入得：，，，．故選：A8．C【分析】設，，則，結合正弦定理表示得，由余弦定理可得與的關系式，聯立前式由同角三角函數和二次函數性質化簡即可求解【詳解】如圖，設設，，則由正弦定理可得①，②，又，所以，①②式聯立可得，則，則，對，由余弦定理可得，則，當時，有最大值，，所以，故選：C【點睛】本題考查由三角形的邊角關系求解面積最值，正弦定理、余弦定理解三角形，屬于難題，本題中的角平分線性質可當結論進行識記：為的角平分線，則9．A【分析】根據正弦和角公式化簡得是正三角形，再將平面四邊形OACB面積表示成的三角函數，利用三角函數求得最值.【詳解】由已知得：即所以即又因為所以所以又因為所以是等邊三角形.所以在中，由余弦定理得且因為平面四邊形OACB面積為當時，有最大值，此時平面四邊形OACB面積有最大值，故選A.【點睛】本題關鍵在于把所求面積表示成角的三角函數，屬于難度題.10．D【分析】使用余弦定理及基本不等式，得到，使用正弦定理及三角恒等變換得到，進而求得AB的最短距離.【詳解】在中，，設，則，當且僅當時取等號，設，則，又到的距離為20千米，所以，，故（時取等號），所以，得，故選：D11．BCD【分析】分別求出、的值判斷AC；由等面積法可得到的距離，再求最大仰角的正切，可判斷D;由判斷B.【詳解】由題意可得，，設，，，則,．因為，所以由余弦定理可知，，解得，從而．因為，所以由等面積法可得到的距離，則最大仰角的正切值為．又，所以最小仰角為．故選：BCD.12．AC【分析】根據正弦定理及三角恒等變換化簡條件式可判定A，由余弦定理可判定B，設，由正弦定理結合三角函數的性質可判定C、D.【詳解】由正弦定理，得，，，B是等腰的底角，，是等邊三角形，A正確；對于B，若四點共圓，則四邊形對角互補，由A正確知，但由于時，，∴B不正確.對于C、D，設，則，，，，，，，，∴C正確，D不正確；故選：AC.13．ACD【分析】A、B、C選項由已知結合正弦定理和差角公式及同角的基本關系進行變形即可判斷，D選項用角表示出結合三角恒等變換以及均值不等式即可判斷.【詳解】因為，角的平分線交于，所以，，所以，，由正弦定理得，所以，所以，故A正確；因為，所以，設的外接圓半徑是，由正弦定理，，所以，故B錯誤；因為，由正弦定理，因為和互補，所以，所以，故C正確；設，則，因為，所以若，則，若，則，令，，，當且僅當，即或時，則或，故或（舍去），綜上：當為等邊三角形時，的最小值是，故D正確.故選：ACD.【點睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理實現“邊化角”，二是利用余弦定理實現“角化邊”；求三角形面積的最大值也是一種常見類型，主要方法有兩類，一是找到邊之間的關系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，轉化為關于某個角的函數，利用函數思想求最值.14．ACD【分析】由正弦定理求外接圓半徑；由題設知，結合即可求范圍；由余弦定理及基本不等式求的最大值，注意取最大的條件；由C分析有，結合正弦定理邊角關系及的范圍，應用二倍角正余弦等恒等變換，根據三角函數的值域求范圍.【詳解】由題設，外接圓直徑為，故，A正確；銳角中，則，故，B錯誤；，則，當且僅當時等號成立，C正確；由C分析知：，而，又且，則，而，所以，則，所以，D正確.故選：ACD【點睛】關鍵點點睛：D選項，應用邊角關系及角的范圍，結合三角恒等變換將轉化為三角函數性質求范圍.15．BCD【分析】根據正弦定理及三角函數的圖象與性質及導數判斷函數單調性，即可判斷ABCD的真假.【詳解】A，若，由正弦定理可知：任意都滿足條件，因此不一定是等邊三角形，不正確；B，若，由正弦定理可得：，∴，∵，∴，∴是等邊三角形，正確．C，若，由正弦定理可得：，∴，∵，∴，∴是等邊三角形，正確．D，若，∴，時，是等邊三角形；時，研究函數的單調性，，時，，∴函數在上單調遞減，因此不成立．綜上可得：是等邊三角形，正確．故選：BCD．16．AB【分析】A選項，利用余弦定理和基本不等式求解面積的最大值；B選項，先利用向量的數量積計算公式和余弦定理得，利用正弦定理和三角恒等變換得到，結合B的取值范圍求出最大值；C選項，利用正弦定理進行求解；D選項，用進行變換得到，結合A的取值范圍得到的取值范圍.【詳解】由余弦定理得：，解得：，由基本不等式得：，當且僅當時，等號成立，所以，故，A正確；，其中由正弦定理得：，所以，因為，所以，故最大值為，的最大值為，B正確；，故C錯誤；，因為，所以，所以，D錯誤.故選：AB【點睛】三角函數相關的取值范圍問題，常常利用正弦定理，將邊轉化為角，結合三角函數性質及三角恒等變換進行求解，或者將角轉化為邊，利用基本不等式進行求解.17．AD【分析】利用同角的三角函數的基本關系結合面積、余弦定理可得，計算出可判斷A的正誤，而利用余弦定理、基本不等式可得關于的三角函數不等式，從而可判斷B的正誤，對于C，求出的范圍后可判斷其正誤，對于D，由可得的值，結合已知條件可判斷三角形是否存在.【詳解】設所對的邊為，因為面積為12，故，故.對于A，若，結合為三角形內角可得，故.因為，故，故，故.由正弦定理可得，故，故A正確.對于B，由余弦定理可得，所以即，當且僅當時等號成立.而，故，故，整理得到，而，因為，故，故的最大值為，當且僅當時等號成立，故B錯誤.對于C，，故，而，故，故C錯誤.對于D，若，則可得或，若，則，消元后得到：，所以，整理得到，但，故矛盾即不成立.若，則，消元后得到：，所以，整理得到，結合可得，此時，故D正確.故選：AD.【點睛】方法點睛：三角形一般有7個幾何量（三邊和三角以及外接圓的半徑），由已知的三個量一般可求出其余的四個量，求解過程中注意選擇合適的定理來解決，另外在邊角關系的轉化的過程，注意根據邊的特征和角的特征合理消元.18．①②④【詳解】，∴，故可設，，，.，∴，則，當時，，故為鈍角三角形.面，又，∴.，∴，即，∴.當，時，的面積為，故四個結論中，只有③不正確.填①②④．【點睛】解三角形中運用正弦定理、余弦定理和三角形的面積公式進邊角互換及運算是常見題形，要注意三角形內角和為來減少角的個數，及兩邊之和大于第三邊，兩邊第差小于第三邊來構造不等關系是常用處理技巧．19．【分析】由正弦定理和題設條件，得到，即，再在和中，由余弦定理化簡得到，轉化為，令，得到，求得，進而得到的最大值.【詳解】因為，由正弦定理可得，即，可得，所以，所以，在中，由余弦定理，可得，在中，由余弦定理，可得，因為，所以，兩式相加，可得，可得，即，所以，令，可得，即，解得，因為，所以，當且僅當時，等號成立，所以，即的最大值為.故答案為：.20．【詳解】分析：連接，因為是中垂線，所以.在中，由正弦定理得到與角的關系.在直角三角形中，，兩者結合可得的大小，從而在中利用正弦定理求得，最后在中利用余弦定理求得..詳解：由題設，有，所以，故.又，所以，而，故，因此為等腰直角三角形，所以.在中，，所以，故，在中，.點睛：解三角形時，如果題設給出的幾何量分散在不同的三角形中，我們就需要找出溝通這些不同三角形的幾何量，如本題中的和，通過它們得到分散的幾何量之間的關系.21．(1)(2)．【分析】