黃金卷：2024-2025學年高二上學期入學摸底考試數(shù)學試卷-數(shù)學02（人教B版2019）（含答案及解析）

新高二開學摸底考試卷02數(shù)學（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試范圍：人教版B版20194．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．設為虛數(shù)單位，已知復數(shù)，則（

）A． B． C． D．22．已知角的終邊過點，則（

）A． B． C． D．3．已知向量滿足，且，則的值為（

）A．1 B．3 C．5 D．74．斜三棱柱中，設，，，若，則（

）A． B．C． D．5．如圖，從一個半徑為的圓形紙板中剪出一塊最大的正三角形紙板，并將此正三角形紙板折疊成一個正四面體，則該正四面體外接球的表面積為（

）A． B．C． D．6．在數(shù)學史上，為了三角計算的簡便并且更加追求計算的精確性，曾經(jīng)出現(xiàn)過下列兩種三角函數(shù)：定義為角的正矢，記作；定義為角的余矢，記作，則下列命題正確的是（

）A．函數(shù)的對稱中心為B．若，則的最大值為C．若，且，則圓心角為，半徑為3的扇形的面積為D．若，則7．將函數(shù)的圖象先向左平移個單位長度，再把所得函數(shù)圖象上的每個點的橫坐標都變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標不變，得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．在銳角三角形ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若，且，則的最大值為（

）A． B． C． D．二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．已知，，，則（

）A． B．若，則C．若，則 D．在上的投影向量的坐標為10．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（

）

A． B．C． D．11．在正四棱柱中，，，則（

）A．正四棱柱的側(cè)面積為24B．與平面所成角的正切值為C．異面直線與所成角的余弦值為D．三棱錐內(nèi)切球的半徑為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知向量，，則向量與的夾角為13．若關(guān)于x的方程無解，則實數(shù)k的取值范圍是.14．如圖，從氣球A上測得正前方的河流的兩岸B、C的俯角分別為67°、30°，此時氣球的高是46m，河流的寬度約等于m.（參考數(shù)據(jù)：，，，，）四、解答題：本題共5小題，其中第15題13分，第16,17題15分，第18,19題17分，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（本題滿分13分）已知復數(shù)，其中i為虛數(shù)單位，．(1)若z為純虛數(shù)，求；(2)若復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點在第四象限，求實數(shù)a的取值范圍．16．（本題滿分15分）已知函數(shù)從條件①?條件②?條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使函數(shù)存在且唯一.條件①：；條件②：在區(qū)間單調(diào)，且；條件③：函數(shù)相鄰兩個零點間的距離為.選__________作為條件(1)求值；(2)求在區(qū)間上的最大值與最小值及對應的的值.17．（本題滿分15分）如圖，在四棱錐中，平面平面，為等邊三角形，，，為的中點.(1)證明：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值.18．（本題滿分17分）如圖，有一塊半徑為2的半圓形鋼板，計劃裁剪成等腰梯形的形狀，它的下底是半圓的直徑，上底的端點在圓周上．記．（提示：直徑所對的圓周角是直角，即圖中）(1)用表示的長；(2)若，求如圖中陰影部分的面積；(3)記梯形的周長為，將表示成的函數(shù)，并求出的最大值．19．（本題滿分17分）點A是直線PQ外一點，點M在直線PQ上（點M與P，Q兩點均不重合），我們稱如下操作為“由A點對PQ施以視角運算”：若點M在線段PQ上，記；若點M在線段PQ外，記.(1)若M在正方體的棱AB的延長線上，且，由對AB施以視角運算，求的值；(2)若M在正方體的棱AB上，且，由對AB施以視角運算，得到，求的值；(3)若是邊BC的等分點，由A對BC施以視角運算，求的值.

新高二開學摸底考試卷02數(shù)學（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試范圍：人教B版20194．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．設為虛數(shù)單位，已知復數(shù)，則（

）A． B． C． D．2【答案】B【分析】利用復數(shù)的商的運算法則求得，進而可求.【詳解】，則.故選：B.2．已知角的終邊過點，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)已知條件結(jié)合任意角的三角函數(shù)的定義求出，然后代入計算即可.【詳解】因為角的終邊過點，所以，所以，故選：B3．已知向量滿足，且，則的值為（

）A．1 B．3 C．5 D．7【答案】C【分析】根據(jù)已知條件直接化簡求解即可.【詳解】因為向量滿足，且，所以.故選：C.4．斜三棱柱中，設，，，若，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)條件，結(jié)合圖形，利用向量的線性運算，即可求出結(jié)果.【詳解】因為.故選：A.5．如圖，從一個半徑為的圓形紙板中剪出一塊最大的正三角形紙板，并將此正三角形紙板折疊成一個正四面體，則該正四面體外接球的表面積為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先求出最大正三角形的邊長，進而得到正四面體的棱長及高，再由空間幾何關(guān)系利用勾股定理求解外接球半徑即可.【詳解】圓內(nèi)最大正三角形即圓內(nèi)接正三角形.設該圓內(nèi)接正三角形的半徑為，邊長為，則，解得，如圖，設折疊后正四面體的棱長為，高為，則，過點作平面，為底面正三角形的中心，連接，則在中，由正弦定理得，則，所以高，設正四面體外接球球心為，則于是外接球的半徑，在中，，則，所以，解得，則其外接球的表面積為．故選：B.6．在數(shù)學史上，為了三角計算的簡便并且更加追求計算的精確性，曾經(jīng)出現(xiàn)過下列兩種三角函數(shù)：定義為角的正矢，記作；定義為角的余矢，記作，則下列命題正確的是（

）A．函數(shù)的對稱中心為B．若，則的最大值為C．若，且，則圓心角為，半徑為3的扇形的面積為D．若，則【答案】D【分析】根據(jù)新定義，把新函數(shù)轉(zhuǎn)化為熟悉的三角函數(shù)，再分析它們的有關(guān)性質(zhì)即可.【詳解】對A：.由，，，所以函數(shù)的對稱中心為，故A錯誤；對B：.設，則，且，所以，當時，.故B錯誤；對C：.因為且，所以.所以.所以圓心角為，半徑為3的扇形的面積為：，故C錯誤；對D：由.所以，故D正確.故選：D7．將函數(shù)的圖象先向左平移個單位長度，再把所得函數(shù)圖象上的每個點的橫坐標都變?yōu)樵瓉淼谋?，縱坐標不變，得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)三角函數(shù)變換規(guī)律求出，然后求出的單調(diào)遞增區(qū)間，再由函數(shù)在上單調(diào)遞增，得，從而可求出的取值范圍.【詳解】將函數(shù)的圖象先向左平移個單位長度，得，再把所得函數(shù)圖象上的每個點的橫坐標都變?yōu)樵瓉淼谋?，縱坐標不變，得，所以，由，得，所以，因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以（），即（），解得，因為，所以，所以.故選：B8．在銳角三角形ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若，且，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，結(jié)合條件由余弦定理可得，再由，結(jié)合正切函數(shù)的和差角公式以及基本不等式代入計算可得，即可得到結(jié)果.【詳解】因為，且，則，由余弦定理可得，所以，即，由正弦定理可得，其中，則，所以，又，化簡可得，且為銳角三角形，則，所以，即，解得或（舍），所以，當且僅當時，等號成立，則的最大值為.故選：B【點睛】關(guān)鍵點睛：本題主要考查了余弦定理，正切函數(shù)的和差角公式以及基本不等式求最值問題，難度較大，解答本題的關(guān)鍵在于由余弦定理得到，然后結(jié)合基本不等式代入計算，即可求解.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．已知，，，則（

）A． B．若，則C．若，則 D．在上的投影向量的坐標為【答案】BD【分析】根據(jù)向量模的坐標表示即可判斷A；根據(jù)向量平行和垂直的坐標表示即可判斷BC；根據(jù)投影向量的公式即可判斷D.【詳解】對A，，故A錯誤；對B，若，則，解得，故B正確；對C，若，則，則，故C錯誤；對D，在上的投影向量的坐標為，故D正確.故選：BD.10．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（

）

A． B．C． D．【答案】AC【分析】利用圖象的特征求出各參數(shù)即可求解.【詳解】由圖象可知：，周期，故．由，解得，故函數(shù)，選項A正確；選項B，，B錯誤；選項C，，C正確；選項D，，D錯誤．故選：AC．11．在正四棱柱中，，，則（

）A．正四棱柱的側(cè)面積為24B．與平面所成角的正切值為C．異面直線與所成角的余弦值為D．三棱錐內(nèi)切球的半徑為【答案】ABD【分析】由側(cè)面積公式即可求解A，根據(jù)線面垂直可得與平面所成的角為，即可由三角形的邊角關(guān)系求解B，根據(jù)線線平行可得異面直線與所成的角為或其補角，由三角形的邊角關(guān)系求解C，利用等體積法即可求解D.【詳解】正四棱柱的側(cè)面積為，正確．設，由于四邊形為正方形，故，又平面，平面，故，由平面，故平面，則與平面所成的角為，且，，則，B正確．在正方體中，，則異面直線與所成的角為或其補角，，則，C錯誤．三棱錐的表面積，三棱錐的體積，所以三棱錐內(nèi)切球的半徑為，D正確．故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知向量，，則向量與的夾角為【答案】【分析】利用空間向量夾角的余弦公式求出答案.【詳解】設向量與的夾角為，則，故.故答案為：13．若關(guān)于x的方程無解，則實數(shù)k的取值范圍是.【答案】【分析】分析可知與沒有交點，利用輔助角公式結(jié)合正弦函數(shù)值域分析求解.【詳解】由題意可知：與沒有交點，因為，且，可得，可知，所以實數(shù)k的取值范圍是.故答案為：.14．如圖，從氣球A上測得正前方的河流的兩岸B、C的俯角分別為67°、30°，此時氣球的高是46m，河流的寬度約等于m.（參考數(shù)據(jù)：，，，，）【答案】60【分析】先作輔助線，過點作垂直于的延長線于點，先解求出，再在中利用正弦定理即可求.【詳解】如圖，過點作垂直于的延長線于點，在中，，，所以，在中，，，，由正弦定理可得：可得：，所以河流的寬度約等于，故答案為：.四、解答題：本題共5小題，其中第15題13分，第16,17題15分，第18,19題17分，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（本題滿分13分）已知復數(shù)，其中i為虛數(shù)單位，．(1)若z為純虛數(shù)，求；(2)若復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點在第四象限，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)；(2).【分析】（1）由已知求出，再由模的意義求出結(jié)果.（2）由給定條件列出不等式組，求解即可得范圍.【詳解】（1）由z為純虛數(shù)，得，解得，則，所以.（2）由復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點在第四象限，得，解得，所以實數(shù)a的取值范圍是.16．（本題滿分15分）已知函數(shù)從條件①?條件②?條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使函數(shù)存在且唯一.條件①：；條件②：在區(qū)間單調(diào)，且；條件③：函數(shù)相鄰兩個零點間的距離為.選__________作為條件(1)求值；(2)求在區(qū)間上的最大值與最小值及對應的的值.【答案】(1)(2)當時，；當時，【分析】先化簡，（1）若選條件，分別求解，舍掉不滿足存在且唯一，逐一檢驗即可得解，（2）由（1）得到解析式，求出相位范圍即可求解.【詳解】（1），若選條件①，,，即，無解，不合題意；若選條件②，因為，所以且所以過圖象的最高點，過圖象的最低點，又因為在區(qū)間單調(diào)，所以解得，當時，，當時，，所以在區(qū)間不單調(diào)，不符合題意，所以；若選條件③，因為相鄰兩個零點間的距離為，所以，即，又，解得，不合題意；綜上，；（2）由（1）知，當時，，所以，當時，；當時，.17．（本題滿分15分）如圖，在四棱錐中，平面平面，為等邊三角形，，，為的中點.(1)證明：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）取的中點，連接，即可得到，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)得到平面，從而證明平面，即可得到，再由，即可得證；（2）由（1）可得平面，建立空間直角坐標系，利用空間向量法計算可得.【詳解】（1）取的中點，連接，因為為等邊三角形，所以，又因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，因為平面，所以，又平面，所以平面，因為平面，所以，因為是的中點，所以，因為平面，且，所以平面.（2）因為，由（1）知四邊形為矩形，則，又平面，所以平面，以為坐標原點，分別以所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，則，取平面的法向量為，設平面的法向量為，則，即，令，則，所以.，所以平面與平面夾角的余弦值為.18．（本題滿分17分）如圖，有一塊半徑為2的半圓形鋼板，計劃裁剪成等腰梯形的形狀，它的下底是半圓的直徑，上底的端點在圓周上．記．（提示：直徑所對的圓周角是直角，即圖中）(1)用表示的長；(2)若，求如圖中陰影部分的面積；(3)記梯形的周長為，將表示成的函數(shù)，并求出的最大值．【答案】(1)(2)(3)；【分析】（1）連接，過作，由幾何關(guān)系可得，由三角函數(shù)可表示出的長；（2）圖中陰影部分的面積等于