寧夏吳忠中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題文含解析

PAGE15-寧夏吳忠中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題文（含解析）一、選擇題：本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1.已知集合，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】試題分析：因?yàn)?，所以，故選A．考點(diǎn)：1.集合的表示；2.集合的交集．2.等差數(shù)列中，，那么的前7項(xiàng)和（）A.22 B.24 C.26 D.28【答案】D【解析】試題分析：由等差數(shù)列的性質(zhì)，則考點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì)3.在中，已知，則A. B. C. D.或【答案】B【解析】分析】由已知干脆利用余弦定理求得，則可求．【詳解】由，得，，．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的解法，考查余弦定理的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．4.若向量與向量垂直，則()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由可得出關(guān)于、的齊次等式，可求得的值.【詳解】由于，則，則，解得.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查同角三角函數(shù)基本關(guān)系的應(yīng)用，同時(shí)也考查了向量垂直的坐標(biāo)表示，考查計(jì)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.5.若滿意約束條件，則的最小值是（）A.0 B. C. D.3【答案】B【解析】可行域?yàn)橐粋€(gè)三角形及其內(nèi)部,其中，所以直線過點(diǎn)時(shí)取最小值，選B.6.已知雙曲線的一條漸近線過點(diǎn)，則雙曲線的離心率為（）A. B.2 C. D.5【答案】C【解析】分析：由題意，可得，得，即可求解雙曲線的離心率.詳解：由題意，雙曲線的一條漸近線過點(diǎn)，所以，可得，又由，所以雙曲線的離心率為，故選C.點(diǎn)睛：本題考查了雙曲線的離心率的求解，其中熟記雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算實(shí)力.7.函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】試題分析：，令即，當(dāng)a≥0，x∈R；當(dāng)a＜0時(shí)，解得，或；因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間（1，+∞）內(nèi)是增函數(shù)，所以，解得a≥-3，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-3，+∞）考點(diǎn)：函數(shù)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性8.直線與圓相交于A、B兩點(diǎn)，則弦AB的長等于A. B. C. D.1【答案】B【解析】【分析】先由點(diǎn)到直線距公式求出圓心到直線距離，再由弦長，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)閳A圓心為，半徑為；所以圓心到直線的距離，因此，弦長.故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查求直線被圓所截的弦長，熟記幾何法求解即可，屬于基礎(chǔ)題型.9.設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，，那么等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)等比數(shù)列公比為，依據(jù)題中條件求出和的值，然后利用等比數(shù)列求和公式可計(jì)算出的值.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，解得，因此，.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列求和，解答的關(guān)鍵就是計(jì)算出等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比，考查計(jì)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.10.在中，內(nèi)角對應(yīng)的邊分別為，已知，，且，則的面積為（）A. B. C.4 D.2【答案】B【解析】【分析】由正弦定理先求出A角，然后算出B角，則面積【詳解】因?yàn)?，，所以由正弦定理得即，得因?yàn)椋运运悦娣e故選：B【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形面積的算法，較簡潔，要熟記，.11.橢圓的左，右頂點(diǎn)分別是，左，右焦點(diǎn)分別是，若成等比數(shù)列，則此橢圓的離心率為A. B. C. D.【答案】B【解析】：由成等比數(shù)列得即【考點(diǎn)定位】本題主要考查橢圓的定義和離心率的概念．屬基礎(chǔ)題12.已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，則數(shù)列的前項(xiàng)和是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)求得、的值，然后利用裂項(xiàng)求和法可求得數(shù)列的前項(xiàng)和.【詳解】，，則，得，，，因此，數(shù)列的前項(xiàng)和.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)，同時(shí)也考查了裂項(xiàng)求和法，考查計(jì)算實(shí)力，屬于中等題二、填空題：本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分.13.若,，則.【答案】【解析】試題分析：依據(jù)題意，由于,，則,則,故可知答案為．考點(diǎn)：同角關(guān)系式的運(yùn)用點(diǎn)評：主要是考查了同角關(guān)系式的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．14.已知拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)距離是，則點(diǎn)的坐標(biāo)是__________.【答案】【解析】【分析】利用拋物線的定義可求得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，進(jìn)而可求得該點(diǎn)的縱坐標(biāo)，由此可得結(jié)果.【詳解】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，拋物線的準(zhǔn)線方程為，由拋物線的定義可得，，解得，因此，點(diǎn)的坐標(biāo)是.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用拋物線的定義求點(diǎn)的坐標(biāo)，考查計(jì)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.15.曲線在點(diǎn)M(π，0)處的切線方程為________．【答案】【解析】【分析】由題意可得，據(jù)此可得切線的斜率，結(jié)合切點(diǎn)坐標(biāo)即可確定切線方程.【詳解】由函數(shù)的解析式可得：，所求切線的斜率為：，由于切點(diǎn)坐標(biāo)為，故切線方程為：.【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)運(yùn)算及切線的理解應(yīng)留意的問題一是利用公式求導(dǎo)時(shí)要特殊留意除法公式中分子的符號，防止與乘法公式混淆．二是直線與曲線公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)不是切線的本質(zhì)，直線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，直線不肯定是曲線的切線，同樣，直線是曲線的切線，則直線與曲線可能有兩個(gè)或兩個(gè)以上的公共點(diǎn)．三是復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的關(guān)鍵是分清函數(shù)的結(jié)構(gòu)形式．由外向內(nèi)逐層求導(dǎo)，其導(dǎo)數(shù)為兩層導(dǎo)數(shù)之積.16.已知、為正實(shí)數(shù)且，若恒成立，則范圍是____________________.【答案】【解析】【分析】利用基本不等式可求出的最小值，可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，解出即可.【詳解】已知、為正實(shí)數(shù)且，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，所以，的最小值為，，即，解得.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用基本不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍，同時(shí)也涉及了一元二次不等式的求解，考查計(jì)算實(shí)力，屬于中等題.三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.求適合下列條件的曲線標(biāo)準(zhǔn)方程.（1）虛軸長為，離心率為的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【答案】（1）或；（2）或.【解析】【分析】（1）設(shè)雙曲線的實(shí)軸長為，焦距為，依據(jù)題意求出、的值，再分雙曲線的焦點(diǎn)在軸上和軸上兩種狀況探討，可得出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）分兩種狀況探討，拋拋物線的焦點(diǎn)在軸上和軸上，分別設(shè)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出參數(shù)值，即可得出所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】（1）設(shè)雙曲線的實(shí)軸長為，焦距為，則，雙曲線的虛軸長為，可得，當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.綜上所述，所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為或；（2）當(dāng)拋物線的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，可設(shè)所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程得，此時(shí)，所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；當(dāng)拋物線的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，可設(shè)所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程得，解得，此時(shí)，所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.綜上所述，所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為或.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線和拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，解答時(shí)要留意對雙曲線和拋物線的焦點(diǎn)位置進(jìn)行分類探討，考查運(yùn)算求解實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.18.已知命題“方程表示雙曲線”；命題在上單調(diào)遞增，若為真，求的取值范圍.【答案】【解析】【分析】分別求出當(dāng)命題、為真命題時(shí)，的取值范圍，結(jié)合條件為真可得出假真，進(jìn)而可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】若為真命題，則方程表示雙曲線，則，解得，即.若為真命題，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，則對隨意的恒成立，所以，，解得，即為真，則假真，所以，可得.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查利用復(fù)合命題的真假求參數(shù)，涉及雙曲線的方程以及導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性，考查運(yùn)算求解實(shí)力，屬于中等題.19.已知函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為.（1）求、的值及極值；（2）若對，不等式恒成立，求的取值范圍.【答案】（1），，極大值為，微小值為；（2）.【解析】【分析】（1）由題意可知，函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)分別為和，利用韋達(dá)定理可求得實(shí)數(shù)、的值，然后分析出函數(shù)的單調(diào)性，即可求得函數(shù)的極大值和微小值；（2）求出函數(shù)在區(qū)間上的最大值，可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，即可解出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，所以，函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)分別為和，，，則方程兩根分別為和，由韋達(dá)定理得，解得，所以，，，列表如下：極大微小所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為.函數(shù)的極大值為，微小值為；（2），，當(dāng)時(shí)，，所以，，對，不等式恒成立，則，即，解得或，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求參數(shù)，同時(shí)也考查了利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的極值以及探討函數(shù)不等式恒成立問題，考查運(yùn)算求解實(shí)力，屬于中等題.20.已知四棱錐中，側(cè)面，，是邊長為2的正三角形，底面是菱形，點(diǎn)為的中點(diǎn).（1）求證：（2）求三棱錐的體積.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）連結(jié)，交于，，欲證，只需證即可，再由題意可證明；（2）由已知條件可得，再求出的體積即可得解.【詳解】解：（1）連結(jié)，交于，由于底面為菱形，為中點(diǎn)又為的中點(diǎn)，，又（2）過作，垂足為，由于為正三角形，為的中點(diǎn)，由于側(cè)面，由面面垂直的性質(zhì)得，由，得.，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，故三棱錐的體積為.【點(diǎn)睛】本題考查了線面平行的判定及三棱錐的體積的求法，重點(diǎn)考查了運(yùn)算實(shí)力，屬中檔題.21.已知橢圓C：(a>b>0)的一個(gè)頂點(diǎn)為A(2,0)，離心率為.直線y＝k(x－1)與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M，N.(1)求橢圓C的方程；(2)當(dāng)△AMN的面積為時(shí)，求k的值．【答案】（1）（2）1或－1.【解析】【詳解】（1）由題意得解得．所以橢圓C的方程為．（2）由得．設(shè)點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別為，，則，，，．所以|MN|===．由因?yàn)辄c(diǎn)A（2,0）到直線的距離，所以△AMN的面積為．由，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，所以．22.已知函數(shù)f(x)＝x2－alnx(a∈R)．(1)若f(x)在x＝2處取得極值，求a的值；(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(3)求證：當(dāng)x>1時(shí)，x2＋lnx<x3.【答案】（1）a＝4；（2）見解析.；（3）見解析.【解析】【分析】（1）由f′(2)=0即可求出a＝4．（2）由題可得f(x)的定義域?yàn)閤>0．求出f′(x)=x－，當(dāng)a≤0時(shí)f′(x)>0恒成立．故f(x)在(0，＋∞)單調(diào)遞增；當(dāng)a>0時(shí)，令f′(x)>0解得即為f(x)的單調(diào)増區(qū)間，令f′(x)<0解得即為f(x)的單調(diào)減區(qū)間．（3）構(gòu)造函數(shù)g(x)＝x3－x2－lnx，利用導(dǎo)數(shù)得出g(x)在(1，＋∞)上為單調(diào)遞增．易得g(x)>0恒成立，進(jìn)而可得到結(jié)論．【詳解】(1)解：f′(x)＝x－，因?yàn)閤＝2是一個(gè)極值點(diǎn)，所以2－＝0，所以a＝4.(2)解：因?yàn)閒′(x)＝x－，f(x)的定義域?yàn)閤>0，所以當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，＋∞)．當(dāng)a>0時(shí)，f′(x)＝x－＝＝，令f′(x)>0，得x>