小升初數(shù)學(xué)銜接教材 第16講：余角和補(bǔ)角 教師版

第16講余角和補(bǔ)角

【教材精講】

教學(xué)目標(biāo)：

1、在具體情境中了解余角與補(bǔ)角，方位角的意義。

2、懂得等角的余角相等，等角的補(bǔ)角相等，并能運(yùn)用這些性質(zhì)解決一些簡單的實(shí)際問題。

3、掌握方位角的判別與應(yīng)用。

4、經(jīng)歷觀察、操作、推理、交流等活動(dòng)，發(fā)展學(xué)生的空間觀念，培養(yǎng)學(xué)生的推理能力和有條理的表達(dá)能力。

教學(xué)重難點(diǎn)：

余角與補(bǔ)角的性質(zhì).方位角的判別與應(yīng)用.

教學(xué)過程：

一、提出問題

用量角器量出圖中的兩個(gè)角的度數(shù)，并求出這兩個(gè)角的和.

說出一副三角尺中各個(gè)角的度數(shù).

30°,60°,90°；45°,45°,90°；60°,60°,60%

二、探究新知

1.余角與補(bǔ)角的概念

在一副三角尺中，每塊都有一個(gè)角是90度，而其它兩個(gè)角的和是90度.

一般情況下，如果兩個(gè)角的和等于90度（直角），我們就說這兩個(gè)角互為余角，即.其中每一個(gè)

角是另一個(gè)角的余角.例如，N1與N2互為余角，N1是N2的余角，N2也是N1的余角.

同樣，如果兩個(gè)角的和等于180度（平角），就說這兩個(gè)角互為補(bǔ)角，即其中一個(gè)角是另一個(gè)

角的補(bǔ)角.

2.余角與補(bǔ)角的性質(zhì)

問題1：如果N1與N2互余，N3與N4互余，并且/1=N3,那么N2與N4相等嗎?為什么？

問題2：如果/I與N2互補(bǔ)，/3與/4互補(bǔ)，并且Nl=/3,那么N2與/4相等嗎?為什么？

學(xué)生分組討論、交流，說出各自的理由，最后師生共同歸納余角與補(bǔ)角的性質(zhì)：

余角性質(zhì)：等角的余角相等；補(bǔ)角性質(zhì)：等角的補(bǔ)角相等。

【答案】

(1)/2與/4相等(2)/2與N4相等

【解析】

(I)與N2互余，N3與N4互余

Zl+Z2=90°Z3+Z4=90°

又N1=/3

，Z2=Z4

(2)與N2互補(bǔ),N3與N4互補(bǔ)

Zl+Z2=180°Z3+Z4=180°

又N1=N3

Z2=Z4

鞏固新知

【例1】比一比，看誰填得快.

角aa的余角a的補(bǔ)角

5°

30°

42°

54°

62。23'

78。23,8〃

【答案】

角aa的余角a的補(bǔ)角

5°85°175°

30°60°150°

42°48°138°

54°36°126°

62。23'27。37'117。37'

78。23'8〃11。36,52"101。36'52"

【解析】

試題分析：根據(jù)余角、補(bǔ)角的定義直接計(jì)算。a的余角=90。-角a；a的補(bǔ)角=180。-角a。

【例2】已知一個(gè)角的補(bǔ)角是這個(gè)角的余角的3倍，求這個(gè)角。

【答案】45°

【解析】

試題分析：根據(jù)該角的余角和補(bǔ)角的數(shù)量關(guān)系，列出等量關(guān)系式，即可取得該角的度數(shù)。

設(shè)這個(gè)角為a,180°-a=(90°-a)x3,求出來a=45。

3.方位角

在航行、測繪等工作以及生活中，我們經(jīng)常會(huì)碰到上述類似問題，即如何描述一個(gè)物體的方位.方位的

表示通常用“北偏東多少度”、"北偏西多少度”或者“南偏東多少度”、”南偏西多少度”來表示。"北偏東45度”、

“北偏西45,度”、“南偏東45度”、“南偏西45度”,分別稱為“東北方向”、“西北方向”，“東南方向”、“西南

方向

說明：用量角器畫射線要注意兩點(diǎn)：一是先從正南或正北方向作角的始邊，二要分清東南西北，理解偏東、

偏西的意義.

4.已知點(diǎn)O在點(diǎn)A的南偏東30。方向，那么，點(diǎn)A應(yīng)在點(diǎn)O的()

A.南偏東60。方向B.北偏東30。方向C.北偏西60。方向D.北偏西30。方向

【答案】D

【解析】

試題分析：畫出點(diǎn)O和點(diǎn)A的相對位置，不難發(fā)現(xiàn)點(diǎn)A應(yīng)在點(diǎn)O的北偏西30。方向。

三、課堂小結(jié)：

這節(jié)課你學(xué)習(xí)了哪些知識？

【達(dá)標(biāo)訓(xùn)練】

一、選擇題（每題3分）

1.若NA=64。，則它的余角等于（）

A.116°B.26℃.64°D.50°

【答案】B

【解析】

試題分析：根據(jù)余角定義，列出等量關(guān)系式，直接計(jì)算求得。

余角=90。-64。=26。

故選Bo

考點(diǎn)：余角的定義。

2.甲看乙的方向是北偏東30。，那么乙看甲的方向是（）

A.南偏東60。B.南偏西60℃.南偏東30°D.南偏西30°

【答案】D

【解析】

試題分析：這是方位角的問題。方法是：先以甲為中心，畫十字，建立坐標(biāo)?！耙业姆较?yàn)楸逼珫|30。”，畫

出乙的位置；然后以乙為中心，畫十字，建立坐標(biāo)去看甲就可以了。從而確定乙看甲的方向是南偏西30。。

故選D。

考點(diǎn)：方位角。

3..如果/a和互補(bǔ)，且則下列表示的余角的式子中：①90。-/仇②Na-90。；③2（/

a+Zp）；?2（Za-Zp）.正確的有（）

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

【答案】B

【解析】

試題分析：根據(jù)題中的等量關(guān)系，驗(yàn)證每個(gè)式子是否為Np的余角，即90。-/%

*/90。-/。表示的余角，二①正確；

■:Na-90。=180°-Zp-90°=90°-Zp,.?.②正確;

1（Za+Zp）=1-180°=90°,/.③錯(cuò)誤；

!(Za-Zp)=7(180°-Zp-Zp)=90。-/。，④正確。

22

正確的式子有3個(gè)。

故選B。

考點(diǎn)：余角和補(bǔ)角的定義。

4.如圖，南偏東15。和北偏東25。的兩條射線組成的角(即/AOB)等于()度.

【答案】D

【解析】

試題分析：根據(jù)方位角的定義，找到其與NAOB的數(shù)量關(guān)系。

南偏東15。和北偏東25。的兩條射線組成的角=180°-15°-25°=140%

故選D。

考點(diǎn)：方位角。

5.如圖，ZAOB是直角，ZAOC=38°,OD平分NBOC,則NAOD的度數(shù)為()

B匕D

A.52°B.38℃.64°D.26°

【答案】C

【解析】

試題分析：先找到NAOD的等量關(guān)系式，再確定未知角的度數(shù),即可計(jì)算得出最終結(jié)果。

ZAOD=ZAOC+ZDOC

又OD平分/BOC,ZAOB是直角

得/DOC=-ZBOC=-(90°-ZAOC)

22

11

ZAOD=-（90°+ZAOC）=-（90°+38°）=64°

22

故選C。

考點(diǎn)：角度的計(jì)算，角平分線，余角的定義。

6.下列說法中正確的個(gè)數(shù)是（）

①銳角的補(bǔ)角一定是鈍角；

②一個(gè)角的補(bǔ)角一定大于這個(gè)角；

③如果兩個(gè)角是同一個(gè)角的補(bǔ)角，那么它們相等；

④銳角和鈍角互補(bǔ)：

⑤如果互補(bǔ)的兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角都是90°.

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

試題分析：根據(jù)余角和鈍角的概念，可以正面驗(yàn)證，也可以反面舉例，來判斷每條說法的正誤。

銳角＜90。，則銳角的補(bǔ)角=180。-銳角＞90。，為鈍角，說法①正確；鈍角的補(bǔ)角為銳角，小于其本身，說法

②錯(cuò)誤；同角的補(bǔ)角相.等，③正確；只有銳角+鈍角=180。，二者才互補(bǔ)，④錯(cuò)誤；a+B=180。，且a邛，得

a=P=90°,⑤正確。

正確的說法為①③⑤。

故選C。

考點(diǎn)：余角和鈍角的概念。

7.已知/A=75。，則NA的補(bǔ)角等于（）

A.125°B.105℃.15°D.95°

【答案】B

【解析】

試題分析：根據(jù)鈍角的概念，得/A+/A的補(bǔ)角=180。，進(jìn)而算出/A的補(bǔ)角。

ZA的補(bǔ)角=180°-/A=180°-75°=105°

考點(diǎn)：鈍角的概念。

8.一個(gè)角的度數(shù)比它的余角的度數(shù)大20。，則這個(gè)角的度數(shù)是（）

A.20°B.35℃.45°D.55°

【答案】D

【解析】

試題分析：求誰設(shè)誰，根據(jù)題目中的數(shù)量關(guān)系，列出等式，進(jìn)行求解。

設(shè)這個(gè)角是a,則余角是90。-a

V該角比其余角大20。

a-（90°-a）=20°

a-90°+a=20

2a=90°+20°=110°

a=55°

故選D。

考點(diǎn)：角度的計(jì)算，余角的定義。

9.如果一個(gè)角的補(bǔ)角是120°,那么這個(gè)角的余角是（）

A.150°B.90℃.60°D.30°

【答案】D

【解析】

試題分析：根據(jù)補(bǔ)角和余角的概念，直接計(jì)算即可。

這個(gè)角為180。-120。=60。

這個(gè)角的余角為90°-60°=30°

故選D。

考點(diǎn)：余角和補(bǔ)角的概念。

二、填空題（每題3分）

10./I的余角是50。，/2的補(bǔ)角是150。，則N1與42的大小關(guān)系是

【答案】Z1>Z2

【解析】

試題分析：根據(jù)補(bǔ)角和余角的概念，求出/I與N2的度數(shù)，直接比較即可。

2N1余角是50。,N2的補(bǔ)角是150。

二Nl=90°-50°=40°

Z2=180°-150°=30°

/.Z1>Z2

故答案為N1>N2。

考點(diǎn)：余角和補(bǔ)角的概念。

2

H.若一個(gè)角的余角比它的補(bǔ)角的G還多1。，則這個(gè)角的大小是.

【答案】630

【解析】

試題分析：求誰設(shè)誰，根據(jù)補(bǔ)角和余角的概念，列出所求角的等量關(guān)系式，直接計(jì)算即可。

設(shè)這個(gè)角為a,則它的余角為(90°-a),補(bǔ)角為(180。-a),

根據(jù)題意得，

0

90°-a=-(180°-a)+1°

9

解之得，a=63°

故答案為63。。

考點(diǎn)：余角和補(bǔ)角的概念，角度的計(jì)算。

12.一個(gè)角的余角是54°38\則這個(gè)角的補(bǔ)角是.

【答案】144。38'

【解析】

試題分析：根據(jù)余角和補(bǔ)角的概念，確定所求角的等量關(guān)系式，直接計(jì)算即可。

由題，這個(gè)角的補(bǔ)角=180°-這個(gè)角

又這個(gè)角=90。-這個(gè)角的余角

,這個(gè)角的補(bǔ)角=180°-(90°-這個(gè)角的余角)

=180。-(90°-54°38,)

=144°38'

故答案為144。38、

考點(diǎn)：余角和補(bǔ)角的概念，角度的計(jì)算。

13.南偏東25。和北偏東35。的兩條射線組成的角等于度.

【答案】120

【解析】

試題分析：根據(jù)題目中射線的角度關(guān)系，可以畫出方位角的位置，直觀求出兩條射線組成的角度。

所求角的度數(shù)=180°-(25°+35°)=120%

故答案為120。

考點(diǎn)：方位角，補(bǔ)角的概念。

14.如果一個(gè)角的補(bǔ)角是142。，那么這個(gè)角的余角是.

【答案】52°

【解析】

試題分析：根據(jù)余角和補(bǔ)角的概念，確定所求角的等量關(guān)系式，直接計(jì)算即可。

由題，這個(gè)角的余角=90°-這個(gè)角

又這個(gè)角=180。-這個(gè)角的補(bǔ)角

/.這個(gè)角的余角=90°-(,180°-這個(gè)角的補(bǔ)角)

=90°-(180°-142°)

=52°

故答案為52。。

考點(diǎn)：余角和補(bǔ)角的概念。

三、解答題(每題10分)

15.若一個(gè)角的余角與這個(gè)角的補(bǔ)角之比是2：7,求這個(gè)角的鄰補(bǔ)角.

【答案】126°

【解析】

試題分析：根據(jù)余角和補(bǔ)角的概念，確定所求角的等量關(guān)系式。需要說明的是鄰補(bǔ)角是補(bǔ)角的一種，其定義

為：兩個(gè)角有一條公共邊，它們的另一條邊互為反向延長線，具有這種關(guān)系的兩個(gè)角，叫做鄰補(bǔ)角。直接按

照補(bǔ)角的計(jì)算公式求解即可。

解：設(shè)這個(gè)角為a,則這個(gè)角的余角為90。位,這個(gè)角的補(bǔ)角為180?！?

依照題意，

這兩個(gè)角的比為：(90°-a)：(180°-a)=2：7.

即360°-2a=630°-7a

5a=270°

a=54°

,這個(gè)角的鄰補(bǔ)角為：180。-54。=126。

故答案為126。。

考點(diǎn)：余角和補(bǔ)角的概念，角度的計(jì)算。

16.如圖，0是直線AB上一點(diǎn)，OC為任意一條射線，0D平分NBOC,0E平分ZAOC.

(1)指出圖中NAOD與NBOE的補(bǔ)角：

(2)試判斷/COD與NCOE具有怎樣的數(shù)量關(guān)系.并說明理由.

【答案】

(1)NAOD的補(bǔ)角為/BOD,NBOE的補(bǔ)角為NAOE

(2)NCOD與NEOC互余，理由見解析

【解析】

(1)由題，ZAOD+ZBOD=180°

ZBOE+ZAOE=180°

NAOD的補(bǔ)角為NBOD,NBOE的補(bǔ)角為NAOE。

(2)：OD平分NBOC,OE平分NAOC

II

AZCOD=-ZBOC,ZEOC--ZAOC

22

又ZCOD+ZEOC=-(ZBOC+ZAOC)=-xl80°=90°

22

二NCOD與NEOC互余。

考點(diǎn)：余角和補(bǔ)角的概念

【闖關(guān)測驗(yàn)】

一、選擇題(每題3分)

1.已知NA=37。，則NA的余角等于()

A.37°B.53℃.63°D.143°

【答案】B

【解析】

試題分析：根據(jù)余角的概念，直接計(jì)算即可。

ZA的余角=90°-37°=53。

故選Bo

考點(diǎn)：余角的概念。

2.若Na=30°,則Na的補(bǔ)角是()

A.30°B.60℃.120°D.150°

【答案】D

【解析】

試題分析：根據(jù)補(bǔ)角的概念，直接計(jì)算即可。

Za的補(bǔ)角=180°-30°=150°

故選D。

考點(diǎn)：補(bǔ)角的概念。

3.已知Na的補(bǔ)角為125°12\則它的余角為()

A.35°12'B.35°48'C.55°12'D.55°48'

【答案】A

【解析】

試題分析：根據(jù)余角和補(bǔ)角的概念，直接計(jì)算即可。

Za的補(bǔ)角為125。12'

則Na=180°-125°12'

的余角的度數(shù)是90°-/a=90。-(180°-125°12')=35°12'

故選Ao

考點(diǎn)：余角和補(bǔ)角的概念。

4.若/A,NB互為補(bǔ)角，且NA<ZB,則NA的余角是()

-(ZA+ZB)-ZB-(ZB-ZA)-ZA

A.2B.2c.2D.2

【答案】C

【解析】

試題分析：根據(jù)余角、補(bǔ)角的概念，找出題中已知各角的數(shù)量關(guān)系。

ZA+ZB=180

ZA的余角=90-ZA=-(ZA+ZB)-ZA=-(ZB-ZA)

22

故選C。

考點(diǎn)：余角和補(bǔ)角的概念。

5.若Na與N0互為余角，是Na的2倍，則/a為()

(A)20°(B)30°(C)40°(D)60°

【答案】B

【解析】

試題分析：根據(jù)題意列方程的：Zp=90°-Za=2Za

二Na=30°

故選B。

考點(diǎn)：余角的概念，角度的計(jì)算。

6.如圖，小明A處出發(fā)沿北偏東60。方向行走至B處，又沿北偏西20。方向行走至C處，此時(shí)需把方向調(diào)

A.右轉(zhuǎn)80°B.左轉(zhuǎn)80℃.右轉(zhuǎn)100°D.左轉(zhuǎn)100°

【答案】A

【解析】

試題分析：因?yàn)榇藭r(shí)方向與出發(fā)方向相同，也就是要北偏東60度，而現(xiàn)在是北偏西20度，所以向右轉(zhuǎn)80

度就是北偏東60度了，也就和出發(fā)方向相等了，也就和AB平行了。

故選A。

考點(diǎn)：方位角。

7.在燈塔O處觀測到輪船A位于北偏西54。的方向，同時(shí)輪船B在南偏東15。的方向，那么NAOB的大小

【答案】C

【解析】

試題分析：根據(jù)方位角的概念、補(bǔ)角的概念，列出/AOB的等量關(guān)系式，計(jì)算求出結(jié)果。

ZAOB=180°-54°+15°=141°

故選Co

考點(diǎn)：方位角的概念、補(bǔ)角的概念。

8.如圖，將一副三角尺按不同的位置擺放，下列方式中Na與Np互余的是（）

圖》圖②圖③圖④

A.圖①B.圖②C.圖③D.圖④

【答案】A

【解析】

試題分析：根據(jù)互余、互補(bǔ)的定義結(jié)合圖形判斷即可。

圖①：擺放的三角尺中有一個(gè)直角，所以Na+N0=9O。，即Na與互余，符合題意；

圖②：兩個(gè)直角擺放在一起，則重合的角與Na、/p都互余，所以Na=N。，不選；

圖③：/a、分別是等腰直角三角形的兩個(gè)鄰補(bǔ)角，因?yàn)榈妊切蔚膬蓚€(gè)底角相等，所以Na=/。，不

選；

圖④：由圖可以看出：Za+Zp=180°,所以/a與N0互補(bǔ)，不選。

故選Ao

考點(diǎn)：互余和互補(bǔ)的定義。

二、填空題(每題3分)

9.若/I和/2互為余角，且Nl=40。，則N2=

【答案】50

【解析】

試題分析：根據(jù)互余的概念，和為90。的兩個(gè)角互為余角，直接計(jì)算即可。

Z2度數(shù)=90°-Z1=90°-40°=50°

故答案為50o

考點(diǎn)：互余的定義。

10.已知一個(gè)角的補(bǔ)角是128。37，，那么這個(gè)角的余角是.

【答案】38°37'

【解析】

試題分析：根據(jù)余角和補(bǔ)角的定義，可先求出該角，再求出其余角。也可以列出余角的等量關(guān)系式，直接求。

由題,這個(gè)角=180°-128°37'=51°23'

:.其余角為：90°-51°23,=38°37,

故答案為38。371

考點(diǎn)：余角和補(bǔ)角的定義。

11.若一個(gè)角的補(bǔ)角是這個(gè)角的余角的3倍，則這0個(gè)角的度數(shù)為.

【答案】45°

【解析】

試題分析：求誰設(shè)誰，根據(jù)余角、補(bǔ)角的定義，列出所求角的等量關(guān)系式。

設(shè)這個(gè)角的度數(shù)是a,

由題，180°-a=3(90°-a)

解得a=45°

故答案為45。。

考點(diǎn)：余角和補(bǔ)角的定義。

12.已知/a與互余，且/a=40。，則的補(bǔ)角為度.

【答案】1307

【解析】

試題分析：根據(jù)余角、補(bǔ)角的定義，列出所求角的等量關(guān)系式。

與互余，且/a=40。

，Zp=90-Za=90°-40°=50°

的補(bǔ)角=180o-50°=130°

故答案為130o

考點(diǎn)：余角和補(bǔ)角的定義。

13.若Na的余角為72。，則Na的補(bǔ)角大小為度。

【答案】162

【解析】

試題分析：根據(jù)余角、補(bǔ)角的定義，列出所求角的等量關(guān)系式。

由題，Na的補(bǔ)角,=180°-Za

又Za=90°-Na的余角

Na的補(bǔ)角=180°-Za,

=180°-（90。-Na的余角）

=90°+72°=162°

故答案為162。

考點(diǎn)：余角和補(bǔ)角的定義。

14.若/人=62。4&,則NA的余角=。

【答案】27。12'

【解析】

試題分析:根據(jù)余角定義，NA的余角=90°-NA=90°-62°48'=27°12'.

故答案為27。121

考點(diǎn)：余角定義。

15.已知點(diǎn)A在點(diǎn)B的北偏東62。，則點(diǎn)B在點(diǎn)A的.

【答案】南偏西62°

【解析】

試題分析：這是方位角的問題。方法是：先以B為.中心，畫十字，建立坐標(biāo)?！癆的方向?yàn)楸逼珫|62?！?，畫

出A的位置；然后以A為中心，畫十字，建立坐標(biāo)去看B就可以了。從而確定A看B的方向是南偏西62。。

故答案為南偏西62%

考點(diǎn)：方位角。

16.一個(gè)角是67。3550”,則它的補(bǔ)角是.

【答案】112°24，10"

【解析】

這個(gè)角的補(bǔ)角=180°-67。35'50"=179°59'60”-67°35'50"=112°24'10"

故,答案為112°24'10"。

考點(diǎn)：補(bǔ)角的概念，度分秒的換算。

17.如圖，0A的方向是北偏東15°,0B的方向是北偏西40°,若/AOC=NAOB,則OC的方向是,

【答案】北偏東70。

【解析】

VOA的方向是北偏東15°,