新人教A版必修一 對數函數 教案

2019—2020學年新人教A版必修一對數函數教案

1.對數的概念

一般地，如果a"=Ma>0,且ari),那么數x叫做以a為底八，的對數，記作x=log』其

中且叫做對數的底數，旦叫做真數.

2.對數的性質與運算法則

(1)對數的運算法則

如果a>0,且a#l,腸0,M0,那么：

①1og?(鹿V)=logJ/+log,,A^

(2)對數的性質

①*g"N=〃②log“a、=4(a〉0,且aWl).

(3)對數的換底公式

log/=錯誤！(a〉0,且aWl；c)0,且層1；b}0).

3.對數函數的圖象與性質

y—log以a>\0(a<1

y［尸

X=1.

y=logax

圖象NLO)一

O,(1,0)X

|：y=log^

定義域(1)(0,+°0)

值域(2)R

(3)過定點(1,0),即x=\時,尸0

(4)當x>l時，y)0；當0<x(5)當幻1時,匕加；當0〈x

性質(1時，匚9(1時，龍2

(7)在(0,+°°)上是減函

(6)在(0,+8)上是增函數

數

4.反函數

指數函數尸a*(a〉0且a#l)與對數函數尸log“x(a〉0且aA1)互為反函數，它們的圖象

關于直線y=x對稱.

概念方法微思考

1.根據對數換底公式:①說出log力，log〃a的關系？

②化簡logV。

提示①log力?log9=1；②log"力"=錯誤！log力.

2.如圖給出4個對數函數的圖象.比較&b,c,d與1的大小關系.

..……->-i

°---y=log^A-

1

^->'=logax

提示0<c<t/（1〈a〈b.

題組一思考辨析

i.判斷下列結論是否正確（請在括號中打“丁”或"義”）

（1）若,砌0,貝ijlog”（,3）=log“M+log“M（X）

（2）對數函數尸logex（a>0且a#l）在（0,十8）上是增函數.（x）

（3）函數y=ln錯誤!與y=ln（1+x）—In（1一幻的定義域相同.（J）

（4）對數函數y=log.x（a〉0且aWl）的圖象過定點（1,0）且過點（a,1）,錯誤！，函數

圖象只在第一、四象限.（V）

題組二教材改編

2.[P68T4]log29,log34,log45?logs2=.

答案2

-L1

3.[P82A組T6]已知a=23,6=log號c=log1錯誤！，則a,b,c的大小關系為.

2

答案c>a）b

解析?.?（Ka<1,b<0,c=log1錯誤！=log23>l.

2

c）a）b。

4.[P74A組T7]函數尸錯誤！的定義域是.

答案錯誤！

解析由log?（2x—1）20,得0〈2x—1W1。

3

???函數尸錯誤！的定義域是錯誤！。

題組三易錯自糾

5.已知。>0,log5b=&lgZ?=c,5^=10,則下列等式一定成立的是（）

A.d=adB.a=cd

C.c=ad).d=a+c

答案B

6.已知函數尸log”(*+c)(a,。為常數，其中a〉0,a#l)的圖象如圖，則下列結論成

立的是()

A.a>\,c)IB.a>\,0<<Xl

C.0<a<1,c>lD.0〈水1,0<c(1

答案D

解析由該函數的圖象通過第一、二、四象限知該函數為減函數，...(Ka(1,?..圖象與x軸

的交點在區(qū)間(0,1)之間，...該函數的圖象是由函數y=log.x的圖象向左平移不到1個單位

后得到的，，0〈*1。

7.若log.錯誤!<l(a>0且a#l),則實數a的取值范圍是.

答案錯誤！U(1,+8)

解析當0〈a〈1時，log”錯誤!〈log“a=l,，0(a〈錯誤??；

當a〉1時，log”錯誤！〈log“a=l,a>L

實數a的取值范圍是錯誤！U(l,+8).

題型分類深度剖析

------------------------------------------真題典題深度剖析重點難點多維探究------------------------------------------

題型一對數的運算-----------自主演練

1.設2"=5'=勿，且錯誤！+錯誤！=2,則加等于()

Ao錯誤！B.10C.20D.100

答案A

解析由已知，得a=log2%，Z?=log5/?,

則錯誤！+錯誤！=錯誤！+錯誤！=log.2+log石=log/0=2.

解得勿

2.計算:錯誤！+10。"=。

答案一20

解析原式=(lg2T—lg5?)X1002=以錯誤！xio

=lgl0_2X10=-2X10=-20.

3.計算：錯誤！=。

答案1

解析原式=錯誤！

=錯誤！

=錯誤！=錯誤！=錯誤！=1。

4.設函數f(x)=3*+9',則/'(log32)=.

答案6

解析???函數f(x)=3'+9',

.."(log⑵=3'O8,2+9'°852=2+9'og,4=2+4=6。

思維升華對數運算的一般思路

(1)拆:首先利用暴的運算把底數或真數進行變形，化成分數指數累的形式，使幕的底數最簡,

然后利用對數運算性質化簡合并.

(2)合：將對數式化為同底數的和、差、倍數運算,然后逆用對數的運算性質，轉化為同底對

數真數的積、商、基的運算.

題型二對數函數的圖象及應用……師生共研

例1(1)已知函數是定義在R上的偶函數，且當x20時，f(x)=ln(x+1),則函數

f(x)的大致圖象為()

答案C

解析先作出當x20時，f(x)=ln(x+1)的圖象，顯然圖象經過點(0,0)，再作此圖象

關于y軸對稱的圖象，可得函數/Xx)在R上的大致圖象，如選項C中圖象所示.

(2)函數f(x)=2”log。.5引一1的零點個數為()

A.IB.2C.3D.4

答案B

解析函數/tv)=2'Ilog。,I-1的零點個數即方程門。g0.5XI=錯誤!’的解的個數，即函

數尸門。gasxl與函數y=錯誤！'圖象交點的個數，作出兩函數的圖象(圖略)可知它們有2

個交點.

(3)當0〈后錯誤!時，4"〈log/,則a的取值范圍是()

A.錯誤!B。錯誤!C.(1,錯誤！)D.(錯誤！，2)

答案B

解析由題意得，當0〈a〈1時,要使得4、〈log./錯誤！,

即當0〈x<錯誤!時，函數尸4”的圖象在函數y=log“x圖象的下方.又當x=錯誤!時，4己

=2,即函數y=4'的圖象過點錯誤!.把點錯誤!代入y=log”x,得a=錯誤!.若函數y=4'

的圖象在函數尸log4圖象的下方,則需錯誤！〈水1(如圖所示).

當a>l時,不符合題意，舍去.

所以實數a的取值范圍是錯誤!.

引申探究

若本例(3)變?yōu)榉匠?'=log.x在錯誤!上有解，則實數a的取值范圍為.

答案錯誤！

解析若方程4'=log“x在錯誤!上有解，則函數尸4'和函數y=log“x在錯誤!上有交點，

由圖象知錯誤!解得0〈aW錯誤！。

思維升華(1)對一些可通過平移、對稱變換作出其圖象的對數型函數，在求解其單調性(單

調區(qū)間)、值域(最值)、零點時，常利用數形結合思想求解.

(2)一些對數型方程、不等式問題常轉化為相應的函數圖象問題，利用數形結合法求解.

跟蹤訓練1(1)函數y=21og,(1—幻的圖象大致是()

答案C

解析函數尸210g.i(1—x)的定義域為(-8,1)，排除A,B;又函數y=21og.i(l—*)在

定義域內單調遞減,排除D.故選C?

(2)已知函數f(x)=錯誤!且關于x的方程A%)+x—a=0有且只有一個實根，則實數a

的取值范圍是.

答案(1,+8)

解析如圖，在同一坐標系中分別作出產=『(*)與y=—*+a的圖象，其中a表示直線在y

軸上的截距.

由圖可知，當a>l時，直線尸一x+a與y=f(x)只有一個交點.

多維

題型三對數函數的性質及應用|探究

命題點1比較對數值的大小

22

例2(2018?濰坊模擬)已知a=錯誤！3,6=錯誤！c=log3錯誤！，則a,“c的大

4

小關系是()

A.a〈6<cB.b(a(c

C.c〈水力D.a<c{b

答案A

2

解析由黑函數性質，可知基函數F(x)=/在(0,+8)上為單調遞增函數，

22

所以錯誤！〃錯誤！§<1,即0〈a<b<1,

又由對數函數的性質可知。=logs錯誤!>log3錯誤!=1，

44

22

所以錯誤！〃錯誤！3〈l〈log3錯誤！，即a〈6〈c,故選A.

4

命題點2解對數方程、不等式

例3(1)方程log2(x-1)=2-log2(x+1)的解為.

答案x=錯誤！

解析原方程變形為log2(X—1)+log2(x+1)=log2(x—1)=2,即1=4,解得*=

士錯誤！，又x>l,所以*=錯誤!.

(2)已知不等式log.(2f+l)〈log,知￡)等成立,則實數x的取值范圍是.

答案錯誤！

解析原不等式。①錯誤！

或②錯誤！

解不等式組①得錯誤！〈x〈錯誤！，不等式組②無解.

所以實數x的取值范圍為錯誤!.

命題點3對數函數性質的綜合應用

例4(1)若函數=log2(/—ax—3a)在區(qū)間(-8,—2]上是減函數，則實數a的

取值范圍是()

A.(—8,4)

B.(-4,4]

C.(―8,—4)U[—2,+°0)

D.L-4,4)

答案D

解析由題意得x—ax-'ia)0在區(qū)間(一8,—2]上恒成立且函數ax—3a在(一8,

-2]上單調遞減，則錯誤！》一2且(-2)2—(—2)。一3力0,解得實數a的取值范圍是[一

4,4),故選D。

(2)函數f(x)=logn〃?logJ(2不)的最小值為.

答案一錯誤！

解析依題意得f(x)=$og2X?(2+21og2X)=(log2X)2+log2X=錯誤!'一錯誤！》一錯誤！，

當logzx=一錯誤!，即入=錯誤!時等號成立，所以函數F(x)的最小值為一錯誤！。

(3)已知函數/1(X)=錯誤!若/?(/)的值域為R,則實數a的取值范圍是.

答案(1,2]

解析當寸，F(x)=l+log：iX》l,當x〈l時，f(x)=(a—l)x+4-2a必須是增

\a-1>0,

函數,且最大值大于或等于1才能滿足/"(X)的值域為R,可得，解得

[a—1+4—2a》l,

aG(1,2].

思維升華利用對數函數的性質，求與對數函數有關的函數值域和復合函數的單調性問題，必

須弄清三方面的問題：一是定義域，所有問題都必須在定義域內討論；二是底數與1的大小

關系；三是復合函數的構成，即它是由哪些基本初等函數復合而成的.另外，解題時要注意

數形結合、分類討論、轉化與化歸思想的應用.

跟蹤訓練2⑴設a=log：i2,6=log52,c—log23,貝U()

A.a>c)LR.t>)c>a

C.c〉6>aD.c>a〉b

答案D

解析a=log32<log33=l,6=log52<log；5=l.

又c=log23>log22=l,所以c最大.

S1(log23<log25,得錯誤！>錯誤！，即a〉b,

所以c)a>b?

(2)已知函數/■(x)=loga(8—ax)(a〉0,且aWl),若/1(x)〉1在區(qū)間［1,2］上恒成立，

則實數a的取值范圍是.

答案錯誤！

解析當a>l時，/'(x)=log.(8—ax)在［1,2］上是減函數，由f(外〉1在區(qū)間［1,2］

上恒成立，

則/'(x)mi“=F(2)=log“(8—2a)〉1,且8—2a〉0,

解得1〈a(錯誤！。

當時，/'(x)在［1,2］上是增函數，

由/Xx)〉1在區(qū)間［1,2］上恒成立，

知/'(x)(1)=log"(8—a)>1,且8—2a〉0。

/.a)4,且a〈4,故不存在.

綜上可知，實數a的取值范圍是錯誤！。

-高頻小考點?

比較指數式、對數式的大小

比較大小問題是每年高考的必考內容之一，基本思路是：

(1)比較指數式和對數式的大小，可以利用函數的單調性，引入中間量；有時也可用數

形結合的方法.

(2)解題時要根據實際情況來構造相應的函數，利用函數單調性進行比較，如果指數相同,

而底數不同則構造‘幕函數，若底數相同而指數不同則構造指數函數,若引入中間量,一般選0

或1?

例(1)設a=6"",8=log”O(jiān)5,c=log。4,則a,b,c的大小關系是.

答案c〈從a

解析Va—6°4>1,8=1ogo.O5G(0,1),

c=log80?4(0,'.a>b)Co

(2)已知a=log23+log/；"=log29—logz錯誤!,c=log32,則a,b,c的大小關系是()

A.a^b<cB.a=6〉c

C.a(6<cD.a)6〉c

答案B

解析因為a=log23+log?錯誤！=Iogz3錯誤！=錯誤!log?3>l,6=log29—log?錯誤!=log；；3

錯誤！=a,c=log32〈log：i3=l,所以a=/)>c?

(3)若實數a,b,。滿足log“2〈log立(logt.2,則下列關系中不可能成立的是.(填

序號)

①a(b〈。；②伙d〈c;③?！椿颽;④水c〈〃。

答案①

解析由loga2〈log必(log,2的大小關系，可知a,b,c有如下可能：1〈。〈伙①0{a<1

(c<b；0〈伙水l〈c；0{c<b{a<1。對照選項可知①中關系不可能成立.

(4)(2018?全國III)設a=logo.2。。3,Z>=log20o3,則()

A.a+b^ab(OB.ab<a+b〈0

C.a+b〈0〈aAD?ab(0<a+Z>

答案B

解析Va=logo,2O03>logo.2l=0,

力=log2。。3<log2l=0,5/KO0

**'錯誤！=錯誤！+錯誤!=logo,sO.2+logo.32=logo。3O04,

1=logo.3O03>logo..3O.4>logo.3I—0,

.\0<-^7^<l,：.ab[a+b〈0。

ab

(5)已知函數y=F(x+2)的圖象關于直線x=-2對稱，且當(0,+°°)時，/(%)=

：log2xI,若a=f(—3),，=/錯誤！，c=f(2),則a,，，c的大小關系是.

答案b>a>c

解析易知y=F(x)是偶函數.當(0,+8)時，/、(才)=/錯誤！=|log2x|,且當王￡[1,

+°°)時，f(%)=log2X單調遞增，又a=f(—3)=F(3),6=儲誤！=〃4)，所以力加

課時作業(yè)

%基礎保分練

1.1嗨9?log34等于()

A。錯誤!B.錯誤!C.2D.4

答案D

解析方法一原式=錯誤！?錯誤！=錯誤！=4。

方法二原式=21og?3?錯誤！=2X2=4。

2.(2018?寧夏銀川一中模擬)設a=0。5°-\6=logo.40.3,c=log80.4,則a,b,c的大

小關系是()

A.a〈從cB.c{b^a

C.c<a〈￡D.b<c〈a

答案C

解析?.?0〈a=0。5°''<0?5°=1,

QlogaiO。3)10glM0.4=1,c=log801,4(logsl=0,

.,.a,b,c的大小關系是《水6.

3.已知函數f(x)=錯誤!則(1))+/錯誤!的值是()

A.5B.3C.一1D.錯誤！

答案A

解析由題意可知/'(1)=logzl=0,

(l))=f(0)=30+1=2,

福誤!=3f%+1=3嗝2+1=2+1=3,

所以/'(f⑴)+/錯誤！=5。

4.函數/1(X)=錯誤！(0<a<1)的大致圖象是()

答案C

解析當X〉0時，f(x)=log“x單調遞減，排除A,B；當x〈0時，/'(x)=-log,,(—x)單

調遞減，排除D.故選C。

5.已知函數f(x)=ln錯誤！，若/錯誤！+儲誤！+…+儲誤！=1009(a+辦貝I］才+4

的最小值為()

A.IB.2C.3D.4

答案B

解析*/f{x')+f(e—x)=2,

；./錯誤！+/錯誤！+…+/錯誤！=2018,

.,.1009(a+Z?)=2018,：.a+b=2.

.?.a'+Z/》錯誤！=2,

當且僅當a=6=1時取等號.

6.若函數f(x)=log,錯誤！(a>0,aWl)在區(qū)間錯誤！內恒有f(x)〉0,則f(x)的單調遞增區(qū)

間為()

A.(0,+?>)B.(2,+°o)

C.(1,+8)D.錯誤！

答案A

解析令材=1+錯誤!x,當xG錯誤!時，材G(1,+°°),F(x)>0,所以a>l,所以函數

尸log/為增函數，又,Q錯誤!2一錯誤！，

因此材的單調遞增區(qū)間為錯誤！。

又9+錯誤!”>0,所以x>0或求一錯誤！，

所以函數/Xx)的單調遞增區(qū)間為(0,+8).

7.已知a>6>l。若108，+108必=錯誤！，a=b',貝ija=,6=。

答案42

解析令log力=3a>b)1,.,.0(t<l,由析82+1。8點=錯誤！,得力+錯誤！=錯誤！，

解得力=錯誤!或t=2(舍去)，即1咕力=錯誤！，??”=錯誤！，又(錯誤！)

色

",即即/=錯誤!，解得a=4,；.6=2。

8.設函數/'(x)=錯誤！則滿足f(x)W2的x的取值范圍是.

答案［0,+8)

解析當xWl時，由2'-"W2,解得x20,所以OWxWl；

當x〉1時，由l-log2*W2,解得X2錯誤！，所以X〉1。

綜上可知x20。

9.設實數a,8是關于x的方程IIgxl=。的兩個不同實數根，且a〈6〈10,則a歷的取值

范圍是.

答案(0,1)

解析由題意知，在(0,10)±,函數y=lgx1的圖象和直線尸。有兩個不同交點，...a。

=1,0(Xlgl0=l,，a兒的取值范圍是(0,1).

10.已知函數f(,x)=ln錯誤！,若f(a)+/(/?)=0,且0〈a〈6〈1,則a。的取值范圍

是.

答案錯誤！

解析由題意可知In錯誤！+ln錯誤！=0,

即In錯誤！=0,從而錯誤！X錯誤！=1,

化簡得a+6=l,

故a6=a(l—a)=—a'+a=一錯誤!'+錯誤！，

又0<a[b(1,

：.0<a〈錯誤!，故0〈一錯誤!2+錯誤！〈錯誤！。

11.設/'(x)=log,(l+x)+log“(3—x)(a>0,且aWl),且/'(1)=2.

(1)求實數a的值及Ax)的定義域；

(2)求/"(X)在區(qū)間錯誤!上的最大值.

解(1)=2,Iog4=2(a>0,且a*l),

：.a=2.由錯誤!得一1〈水3,

函數/'(x)的定義域為(-1,3).

(2)f(x)=log2(l+x)+logz(3—x)

=log2E(1+x)(3—x)]=log2[—(x—1)2+4],

.?.當XW(—1,1]時,f(x)是增函數；

當XG(1,3)時，f(x)是減函數，

故函數f(x)在錯誤!上的最大值是F(l)=log24=2.

12.(2018?長沙模擬)已知函數f(x)是定義在R上的偶函數,f(0)=0,當x>0時，f(x)

=log,x.

2

(口求函數/^⑼的解析式；

(2)解不等式-2.

解(1)當;K0時，一刀>0,

則—x)-log,(一X).

2

因為函數f(x)是偶函數，所以/1(-x)=fCx).

所以K0時，Hx)=log](一X),

2

所以函數F(X)的解析式為

fix)=錯誤！

(2)因為f(4)=log14=-2,f(x)是偶函數，

2

所以不等式，(V—1)>—2可化為〃IZ-lI)>/(4).

又因為函數f(x)在(0,+8)上是減函數，所以0〈1/一i|<4,解得一錯誤！〈x〈錯誤!且

xW±l,

而V—1=0時，f(0)=0)—2,所以x=l或x=-1。

所以一小〈才〈乖.

所以不等式的解集為3—錯誤！〈X〈錯誤!}.

X技能提升練

13.根據有關資料，圍棋狀態(tài)空間復雜度的上限必約為3.，而可觀