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文檔簡介
2019—2020學(xué)年新人教A版必修一對數(shù)函數(shù)教案
1.對數(shù)的概念
一般地,如果a"=Ma>0,且ari),那么數(shù)x叫做以a為底八,的對數(shù),記作x=log』其
中且叫做對數(shù)的底數(shù),旦叫做真數(shù).
2.對數(shù)的性質(zhì)與運(yùn)算法則
(1)對數(shù)的運(yùn)算法則
如果a>0,且a#l,腸0,M0,那么:
①1og?(鹿V)=logJ/+log,,A^
(2)對數(shù)的性質(zhì)
①*g"N=〃②log“a、=4(a〉0,且aWl).
(3)對數(shù)的換底公式
log/=錯誤!(a〉0,且aWl;c)0,且層1;b}0).
3.對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)
y—log以a>\0(a<1
y[尸
X=1.
y=logax
圖象NLO)一
O,(1,0)X
|:y=log^
定義域(1)(0,+°0)
值域(2)R
(3)過定點(diǎn)(1,0),即x=\時,尸0
(4)當(dāng)x>l時,y)0;當(dāng)0<x(5)當(dāng)幻1時,匕加;當(dāng)0〈x
性質(zhì)(1時,匚9(1時,龍2
(7)在(0,+°°)上是減函
(6)在(0,+8)上是增函數(shù)
數(shù)
4.反函數(shù)
指數(shù)函數(shù)尸a*(a〉0且a#l)與對數(shù)函數(shù)尸log“x(a〉0且aA1)互為反函數(shù),它們的圖象
關(guān)于直線y=x對稱.
概念方法微思考
1.根據(jù)對數(shù)換底公式:①說出log力,log〃a的關(guān)系?
②化簡logV。
提示①log力?log9=1;②log"力"=錯誤!log力.
2.如圖給出4個對數(shù)函數(shù)的圖象.比較&b,c,d與1的大小關(guān)系.
..……->-i
°---y=log^A-
1
^->'=logax
提示0<c<t/(1〈a〈b.
題組一思考辨析
i.判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“丁”或"義”)
(1)若,砌0,貝ijlog”(,3)=log“M+log“M(X)
(2)對數(shù)函數(shù)尸logex(a>0且a#l)在(0,十8)上是增函數(shù).(x)
(3)函數(shù)y=ln錯誤!與y=ln(1+x)—In(1一幻的定義域相同.(J)
(4)對數(shù)函數(shù)y=log.x(a〉0且aWl)的圖象過定點(diǎn)(1,0)且過點(diǎn)(a,1),錯誤!,函數(shù)
圖象只在第一、四象限.(V)
題組二教材改編
2.[P68T4]log29,log34,log45?logs2=.
答案2
-L1
3.[P82A組T6]已知a=23,6=log號c=log1錯誤!,則a,b,c的大小關(guān)系為.
2
答案c>a)b
解析?.?(Ka<1,b<0,c=log1錯誤!=log23>l.
2
c)a)b。
4.[P74A組T7]函數(shù)尸錯誤!的定義域是.
答案錯誤!
解析由log?(2x—1)20,得0〈2x—1W1。
3
???函數(shù)尸錯誤!的定義域是錯誤!。
題組三易錯自糾
5.已知。>0,log5b=&lgZ?=c,5^=10,則下列等式一定成立的是()
A.d=adB.a=cd
C.c=ad).d=a+c
答案B
6.已知函數(shù)尸log”(*+c)(a,。為常數(shù),其中a〉0,a#l)的圖象如圖,則下列結(jié)論成
立的是()
A.a>\,c)IB.a>\,0<<Xl
C.0<a<1,c>lD.0〈水1,0<c(1
答案D
解析由該函數(shù)的圖象通過第一、二、四象限知該函數(shù)為減函數(shù),...(Ka(1,?..圖象與x軸
的交點(diǎn)在區(qū)間(0,1)之間,...該函數(shù)的圖象是由函數(shù)y=log.x的圖象向左平移不到1個單位
后得到的,,0〈*1。
7.若log.錯誤!<l(a>0且a#l),則實數(shù)a的取值范圍是.
答案錯誤!U(1,+8)
解析當(dāng)0〈a〈1時,log”錯誤!〈log“a=l,,0(a〈錯誤??;
當(dāng)a〉1時,log”錯誤!〈log“a=l,a>L
實數(shù)a的取值范圍是錯誤!U(l,+8).
題型分類深度剖析
------------------------------------------真題典題深度剖析重點(diǎn)難點(diǎn)多維探究------------------------------------------
題型一對數(shù)的運(yùn)算-----------自主演練
1.設(shè)2"=5'=勿,且錯誤!+錯誤!=2,則加等于()
Ao錯誤!B.10C.20D.100
答案A
解析由已知,得a=log2%,Z?=log5/?,
則錯誤!+錯誤!=錯誤!+錯誤!=log.2+log石=log/0=2.
解得勿
2.計算:錯誤!+10。"=。
答案一20
解析原式=(lg2T—lg5?)X1002=以錯誤!xio
=lgl0_2X10=-2X10=-20.
3.計算:錯誤!=。
答案1
解析原式=錯誤!
=錯誤!
=錯誤!=錯誤!=錯誤!=1。
4.設(shè)函數(shù)f(x)=3*+9',則/'(log32)=.
答案6
解析???函數(shù)f(x)=3'+9',
.."(log⑵=3'O8,2+9'°852=2+9'og,4=2+4=6。
思維升華對數(shù)運(yùn)算的一般思路
(1)拆:首先利用暴的運(yùn)算把底數(shù)或真數(shù)進(jìn)行變形,化成分?jǐn)?shù)指數(shù)累的形式,使幕的底數(shù)最簡,
然后利用對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)化簡合并.
(2)合:將對數(shù)式化為同底數(shù)的和、差、倍數(shù)運(yùn)算,然后逆用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì),轉(zhuǎn)化為同底對
數(shù)真數(shù)的積、商、基的運(yùn)算.
題型二對數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用……師生共研
例1(1)已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù),且當(dāng)x20時,f(x)=ln(x+1),則函數(shù)
f(x)的大致圖象為()
答案C
解析先作出當(dāng)x20時,f(x)=ln(x+1)的圖象,顯然圖象經(jīng)過點(diǎn)(0,0),再作此圖象
關(guān)于y軸對稱的圖象,可得函數(shù)/Xx)在R上的大致圖象,如選項C中圖象所示.
(2)函數(shù)f(x)=2”log。.5引一1的零點(diǎn)個數(shù)為()
A.IB.2C.3D.4
答案B
解析函數(shù)/tv)=2'Ilog。,I-1的零點(diǎn)個數(shù)即方程門。g0.5XI=錯誤!’的解的個數(shù),即函
數(shù)尸門。gasxl與函數(shù)y=錯誤!'圖象交點(diǎn)的個數(shù),作出兩函數(shù)的圖象(圖略)可知它們有2
個交點(diǎn).
(3)當(dāng)0〈后錯誤!時,4"〈log/,則a的取值范圍是()
A.錯誤!B。錯誤!C.(1,錯誤!)D.(錯誤!,2)
答案B
解析由題意得,當(dāng)0〈a〈1時,要使得4、〈log./錯誤!,
即當(dāng)0〈x<錯誤!時,函數(shù)尸4”的圖象在函數(shù)y=log“x圖象的下方.又當(dāng)x=錯誤!時,4己
=2,即函數(shù)y=4'的圖象過點(diǎn)錯誤!.把點(diǎn)錯誤!代入y=log”x,得a=錯誤!.若函數(shù)y=4'
的圖象在函數(shù)尸log4圖象的下方,則需錯誤!〈水1(如圖所示).
當(dāng)a>l時,不符合題意,舍去.
所以實數(shù)a的取值范圍是錯誤!.
引申探究
若本例(3)變?yōu)榉匠?'=log.x在錯誤!上有解,則實數(shù)a的取值范圍為.
答案錯誤!
解析若方程4'=log“x在錯誤!上有解,則函數(shù)尸4'和函數(shù)y=log“x在錯誤!上有交點(diǎn),
由圖象知錯誤!解得0〈aW錯誤!。
思維升華(1)對一些可通過平移、對稱變換作出其圖象的對數(shù)型函數(shù),在求解其單調(diào)性(單
調(diào)區(qū)間)、值域(最值)、零點(diǎn)時,常利用數(shù)形結(jié)合思想求解.
(2)一些對數(shù)型方程、不等式問題常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖象問題,利用數(shù)形結(jié)合法求解.
跟蹤訓(xùn)練1(1)函數(shù)y=21og,(1—幻的圖象大致是()
答案C
解析函數(shù)尸210g.i(1—x)的定義域為(-8,1),排除A,B;又函數(shù)y=21og.i(l—*)在
定義域內(nèi)單調(diào)遞減,排除D.故選C?
(2)已知函數(shù)f(x)=錯誤!且關(guān)于x的方程A%)+x—a=0有且只有一個實根,則實數(shù)a
的取值范圍是.
答案(1,+8)
解析如圖,在同一坐標(biāo)系中分別作出產(chǎn)=『(*)與y=—*+a的圖象,其中a表示直線在y
軸上的截距.
由圖可知,當(dāng)a>l時,直線尸一x+a與y=f(x)只有一個交點(diǎn).
多維
題型三對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用|探究
命題點(diǎn)1比較對數(shù)值的大小
22
例2(2018?濰坊模擬)已知a=錯誤!3,6=錯誤!c=log3錯誤!,則a,“c的大
4
小關(guān)系是()
A.a〈6<cB.b(a(c
C.c〈水力D.a<c{b
答案A
2
解析由黑函數(shù)性質(zhì),可知基函數(shù)F(x)=/在(0,+8)上為單調(diào)遞增函數(shù),
22
所以錯誤!〃錯誤!§<1,即0〈a<b<1,
又由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知。=logs錯誤!>log3錯誤!=1,
44
22
所以錯誤!〃錯誤!3〈l〈log3錯誤!,即a〈6〈c,故選A.
4
命題點(diǎn)2解對數(shù)方程、不等式
例3(1)方程log2(x-1)=2-log2(x+1)的解為.
答案x=錯誤!
解析原方程變形為log2(X—1)+log2(x+1)=log2(x—1)=2,即1=4,解得*=
士錯誤!,又x>l,所以*=錯誤!.
(2)已知不等式log.(2f+l)〈log,知£)等成立,則實數(shù)x的取值范圍是.
答案錯誤!
解析原不等式。①錯誤!
或②錯誤!
解不等式組①得錯誤!〈x〈錯誤!,不等式組②無解.
所以實數(shù)x的取值范圍為錯誤!.
命題點(diǎn)3對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用
例4(1)若函數(shù)=log2(/—ax—3a)在區(qū)間(-8,—2]上是減函數(shù),則實數(shù)a的
取值范圍是()
A.(—8,4)
B.(-4,4]
C.(―8,—4)U[—2,+°0)
D.L-4,4)
答案D
解析由題意得x—ax-'ia)0在區(qū)間(一8,—2]上恒成立且函數(shù)ax—3a在(一8,
-2]上單調(diào)遞減,則錯誤!》一2且(-2)2—(—2)。一3力0,解得實數(shù)a的取值范圍是[一
4,4),故選D。
(2)函數(shù)f(x)=logn〃?logJ(2不)的最小值為.
答案一錯誤!
解析依題意得f(x)=$og2X?(2+21og2X)=(log2X)2+log2X=錯誤!'一錯誤!》一錯誤!,
當(dāng)logzx=一錯誤!,即入=錯誤!時等號成立,所以函數(shù)F(x)的最小值為一錯誤!。
(3)已知函數(shù)/1(X)=錯誤!若/?(/)的值域為R,則實數(shù)a的取值范圍是.
答案(1,2]
解析當(dāng)寸,F(xiàn)(x)=l+log:iX》l,當(dāng)x〈l時,f(x)=(a—l)x+4-2a必須是增
\a-1>0,
函數(shù),且最大值大于或等于1才能滿足/"(X)的值域為R,可得,解得
[a—1+4—2a》l,
aG(1,2].
思維升華利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì),求與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)值域和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問題,必
須弄清三方面的問題:一是定義域,所有問題都必須在定義域內(nèi)討論;二是底數(shù)與1的大小
關(guān)系;三是復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成,即它是由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成的.另外,解題時要注意
數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用.
跟蹤訓(xùn)練2⑴設(shè)a=log:i2,6=log52,c—log23,貝U()
A.a>c)LR.t>)c>a
C.c〉6>aD.c>a〉b
答案D
解析a=log32<log33=l,6=log52<log;5=l.
又c=log23>log22=l,所以c最大.
S1(log23<log25,得錯誤!>錯誤!,即a〉b,
所以c)a>b?
(2)已知函數(shù)/■(x)=loga(8—ax)(a〉0,且aWl),若/1(x)〉1在區(qū)間[1,2]上恒成立,
則實數(shù)a的取值范圍是.
答案錯誤!
解析當(dāng)a>l時,/'(x)=log.(8—ax)在[1,2]上是減函數(shù),由f(外〉1在區(qū)間[1,2]
上恒成立,
則/'(x)mi“=F(2)=log“(8—2a)〉1,且8—2a〉0,
解得1〈a(錯誤!。
當(dāng)時,/'(x)在[1,2]上是增函數(shù),
由/Xx)〉1在區(qū)間[1,2]上恒成立,
知/'(x)(1)=log"(8—a)>1,且8—2a〉0。
/.a)4,且a〈4,故不存在.
綜上可知,實數(shù)a的取值范圍是錯誤!。
-高頻小考點(diǎn)?
比較指數(shù)式、對數(shù)式的大小
比較大小問題是每年高考的必考內(nèi)容之一,基本思路是:
(1)比較指數(shù)式和對數(shù)式的大小,可以利用函數(shù)的單調(diào)性,引入中間量;有時也可用數(shù)
形結(jié)合的方法.
(2)解題時要根據(jù)實際情況來構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù),利用函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行比較,如果指數(shù)相同,
而底數(shù)不同則構(gòu)造‘幕函數(shù),若底數(shù)相同而指數(shù)不同則構(gòu)造指數(shù)函數(shù),若引入中間量,一般選0
或1?
例(1)設(shè)a=6"",8=log”O(jiān)5,c=log。4,則a,b,c的大小關(guān)系是.
答案c〈從a
解析Va—6°4>1,8=1ogo.O5G(0,1),
c=log80?4(0,'.a>b)Co
(2)已知a=log23+log/;"=log29—logz錯誤!,c=log32,則a,b,c的大小關(guān)系是()
A.a^b<cB.a=6〉c
C.a(6<cD.a)6〉c
答案B
解析因為a=log23+log?錯誤!=Iogz3錯誤!=錯誤!log?3>l,6=log29—log?錯誤!=log;;3
錯誤!=a,c=log32〈log:i3=l,所以a=/)>c?
(3)若實數(shù)a,b,。滿足log“2〈log立(logt.2,則下列關(guān)系中不可能成立的是.(填
序號)
①a(b〈。;②伙d〈c;③?!椿颽;④水c〈〃。
答案①
解析由loga2〈log必(log,2的大小關(guān)系,可知a,b,c有如下可能:1〈?!椿铫?{a<1
(c<b;0〈伙水l〈c;0{c<b{a<1。對照選項可知①中關(guān)系不可能成立.
(4)(2018?全國III)設(shè)a=logo.2。。3,Z>=log20o3,則()
A.a+b^ab(OB.ab<a+b〈0
C.a+b〈0〈aAD?ab(0<a+Z>
答案B
解析Va=logo,2O03>logo.2l=0,
力=log2。。3<log2l=0,5/KO0
**'錯誤!=錯誤!+錯誤!=logo,sO.2+logo.32=logo。3O04,
1=logo.3O03>logo..3O.4>logo.3I—0,
.\0<-^7^<l,:.ab[a+b〈0。
ab
(5)已知函數(shù)y=F(x+2)的圖象關(guān)于直線x=-2對稱,且當(dāng)(0,+°°)時,/(%)=
:log2xI,若a=f(—3),,=/錯誤!,c=f(2),則a,,,c的大小關(guān)系是.
答案b>a>c
解析易知y=F(x)是偶函數(shù).當(dāng)(0,+8)時,/、(才)=/錯誤!=|log2x|,且當(dāng)王£[1,
+°°)時,f(%)=log2X單調(diào)遞增,又a=f(—3)=F(3),6=儲誤!=〃4),所以力加
課時作業(yè)
%基礎(chǔ)保分練
1.1嗨9?log34等于()
A。錯誤!B.錯誤!C.2D.4
答案D
解析方法一原式=錯誤!?錯誤!=錯誤!=4。
方法二原式=21og?3?錯誤!=2X2=4。
2.(2018?寧夏銀川一中模擬)設(shè)a=0。5°-\6=logo.40.3,c=log80.4,則a,b,c的大
小關(guān)系是()
A.a〈從cB.c{b^a
C.c<a〈£D.b<c〈a
答案C
解析?.?0〈a=0。5°''<0?5°=1,
QlogaiO。3)10glM0.4=1,c=log801,4(logsl=0,
.,.a,b,c的大小關(guān)系是《水6.
3.已知函數(shù)f(x)=錯誤!則(1))+/錯誤!的值是()
A.5B.3C.一1D.錯誤!
答案A
解析由題意可知/'(1)=logzl=0,
(l))=f(0)=30+1=2,
福誤!=3f%+1=3嗝2+1=2+1=3,
所以/'(f⑴)+/錯誤!=5。
4.函數(shù)/1(X)=錯誤!(0<a<1)的大致圖象是()
答案C
解析當(dāng)X〉0時,f(x)=log“x單調(diào)遞減,排除A,B;當(dāng)x〈0時,/'(x)=-log,,(—x)單
調(diào)遞減,排除D.故選C。
5.已知函數(shù)f(x)=ln錯誤!,若/錯誤!+儲誤!+…+儲誤!=1009(a+辦貝I]才+4
的最小值為()
A.IB.2C.3D.4
答案B
解析*/f{x')+f(e—x)=2,
;./錯誤!+/錯誤!+…+/錯誤!=2018,
.,.1009(a+Z?)=2018,:.a+b=2.
.?.a'+Z/》錯誤!=2,
當(dāng)且僅當(dāng)a=6=1時取等號.
6.若函數(shù)f(x)=log,錯誤!(a>0,aWl)在區(qū)間錯誤!內(nèi)恒有f(x)〉0,則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)
間為()
A.(0,+?>)B.(2,+°o)
C.(1,+8)D.錯誤!
答案A
解析令材=1+錯誤!x,當(dāng)xG錯誤!時,材G(1,+°°),F(x)>0,所以a>l,所以函數(shù)
尸log/為增函數(shù),又,Q錯誤!2一錯誤!,
因此材的單調(diào)遞增區(qū)間為錯誤!。
又9+錯誤!”>0,所以x>0或求一錯誤!,
所以函數(shù)/Xx)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+8).
7.已知a>6>l。若108,+108必=錯誤!,a=b',貝ija=,6=。
答案42
解析令log力=3a>b)1,.,.0(t<l,由析82+1。8點(diǎn)=錯誤!,得力+錯誤!=錯誤!,
解得力=錯誤!或t=2(舍去),即1咕力=錯誤!,??”=錯誤!,又(錯誤!)
色
",即即/=錯誤!,解得a=4,;.6=2。
8.設(shè)函數(shù)/'(x)=錯誤!則滿足f(x)W2的x的取值范圍是.
答案[0,+8)
解析當(dāng)xWl時,由2'-"W2,解得x20,所以O(shè)WxWl;
當(dāng)x〉1時,由l-log2*W2,解得X2錯誤!,所以X〉1。
綜上可知x20。
9.設(shè)實數(shù)a,8是關(guān)于x的方程IIgxl=。的兩個不同實數(shù)根,且a〈6〈10,則a歷的取值
范圍是.
答案(0,1)
解析由題意知,在(0,10)±,函數(shù)y=lgx1的圖象和直線尸。有兩個不同交點(diǎn),...a。
=1,0(Xlgl0=l,,a兒的取值范圍是(0,1).
10.已知函數(shù)f(,x)=ln錯誤!,若f(a)+/(/?)=0,且0〈a〈6〈1,則a。的取值范圍
是.
答案錯誤!
解析由題意可知In錯誤!+ln錯誤!=0,
即In錯誤!=0,從而錯誤!X錯誤!=1,
化簡得a+6=l,
故a6=a(l—a)=—a'+a=一錯誤!'+錯誤!,
又0<a[b(1,
:.0<a〈錯誤!,故0〈一錯誤!2+錯誤!〈錯誤!。
11.設(shè)/'(x)=log,(l+x)+log“(3—x)(a>0,且aWl),且/'(1)=2.
(1)求實數(shù)a的值及Ax)的定義域;
(2)求/"(X)在區(qū)間錯誤!上的最大值.
解(1)=2,Iog4=2(a>0,且a*l),
:.a=2.由錯誤!得一1〈水3,
函數(shù)/'(x)的定義域為(-1,3).
(2)f(x)=log2(l+x)+logz(3—x)
=log2E(1+x)(3—x)]=log2[—(x—1)2+4],
.?.當(dāng)XW(—1,1]時,f(x)是增函數(shù);
當(dāng)XG(1,3)時,f(x)是減函數(shù),
故函數(shù)f(x)在錯誤!上的最大值是F(l)=log24=2.
12.(2018?長沙模擬)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),f(0)=0,當(dāng)x>0時,f(x)
=log,x.
2
(口求函數(shù)/^⑼的解析式;
(2)解不等式-2.
解(1)當(dāng);K0時,一刀>0,
則—x)-log,(一X).
2
因為函數(shù)f(x)是偶函數(shù),所以/1(-x)=fCx).
所以K0時,Hx)=log](一X),
2
所以函數(shù)F(X)的解析式為
fix)=錯誤!
(2)因為f(4)=log14=-2,f(x)是偶函數(shù),
2
所以不等式,(V—1)>—2可化為〃IZ-lI)>/(4).
又因為函數(shù)f(x)在(0,+8)上是減函數(shù),所以0〈1/一i|<4,解得一錯誤!〈x〈錯誤!且
xW±l,
而V—1=0時,f(0)=0)—2,所以x=l或x=-1。
所以一小〈才〈乖.
所以不等式的解集為3—錯誤!〈X〈錯誤!}.
X技能提升練
13.根據(jù)有關(guān)資料,圍棋狀態(tài)空間復(fù)雜度的上限必約為3.,而可觀
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