北師大版數(shù)學八年級下冊因式分解教案

第四章因式分解

4.1分解因式

備課時間：2015年11月授課時間：2015年11月

教學目的：

學問與技能：經(jīng)驗探究因式分解方法的過程，體會數(shù)學學問之間的整體聯(lián)絡(luò)

（整式乘法與因式分解）。

過程與方法：理解因式分解的意義，以及它與整式乘法的關(guān)系。

情感看法與價值觀：感受整式乘法在解決問題中的作用。

教學重難點：

探究因式分解方法的過程，理解因式分解的意義。

教學過程：

創(chuàng)設(shè)情景，導出問題：

首先教師進展章首導圖教學，指出本章將要學習和探究的對象.教師進展情

景的多媒體演示。

章首圖力圖通過一幅形象的圖畫一一對開的兩量列車和有比照性的兩個式

子，向大家呈現(xiàn)了本章要學習的主要內(nèi)容，并浸透本章的重要思想方法一一類

比思想，讓學生體會因式分解與整式乘法之間的互逆關(guān)系。

993-99能被100整除嗎？你能把a'-a化成幾個整式的乘積的形式嗎？

探究溝通，概括概念：

想一想：993-99能被100整除嗎？你是怎樣想的？與同伴溝通。

小明是這樣做的:

lQ993-99

=99x993-99x1

=99(992-1)

=99X9800

=98X99X100

______所以，9933能被i口口整除。,

(1)小明在推斷99憶99能否被100整除時是怎么做的？

(2)99^99還能被哪些正整數(shù)整除。

答案：(1)小明將99~99通過分解因數(shù)的方法，說明99'99是100的倍數(shù)，故

993-99能被100整除。

(2)還能被98,99,49,11等正整數(shù)整除。

歸納：在這里，解決問題的關(guān)鍵是把一個數(shù)化成幾個數(shù)積的乘積。

議一議：如今你能嘗試把才f化成幾個整式的乘積的形式嗎？

激勵學生類比數(shù)的分解將產(chǎn)力分解。

做一做：計算下列各式：

(1)(研4)(力⑷=;

(2)(y-3)二；

⑶3x(尸1)=；

(4)m(a+b+c)=.

根據(jù)上面的算式填空：

(1)3%-3q()()

(2)ni2-16=()()

(3)ma+mb+mc=()()

(4)/6y]9=()()

通過以上兩組練習的演練，你認為這兩組練習之間有什么關(guān)系？

第一組是把多項式乘以多項式綻開整理之后的結(jié)果，第二組是把多項式寫

成了幾個固式的積的形式，它們這間恰好是一個互逆的關(guān)系。

議一議：由〃心-刀得到齊a的變形是什么運算？由心a得到

司小六刀③-〃的變形與這種運算有什么不同？你還能在舉一些類似的例子加以

說明嗎？

概括：把一個多項式化成幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項

式分解因式。

教師指出因式分解的要求：

(1)分解的結(jié)果要以積的形式表示；

(2)每個因式必需是整式，且每個因式的次數(shù)都必需低于原來多項式的次

數(shù)；

(3)必需分解到每個多項式因式不能再分解為止。

課堂練習：

(1)下列各式中由等號的左邊到右邊的變形，是因式分解的是()

A.(戶3)(『3)=V一9B.*+『5=(k2)(戶3)+1

x2+1=|

C.Mb+aK=ab(a+b)D.I

(2)證明：一個三位數(shù)的百位數(shù)字與個位數(shù)字交換位置，則新數(shù)與原數(shù)之差能

被99整除。

（3）如圖3-1①所示，在邊長為a的正方形中挖掉一個邊長了6的小正方形（a

>b）9把余下的局部剪拼成一個矩形（如圖②所示），通過教化處兩個圖形（陰

影局部）的面積，驗證了一個等式，則這個等式是（）

A.Qa+2b)(d一，)=才+ab-2tfB.(a+b)

C.(a-Z?)?=/-2ab+BD.d-6=(a+b)(a-b)

圖①圖②

課堂小結(jié)：想一想：分解因式與整式乘法有什么關(guān)系?

課外作業(yè)：資源與評價

板書設(shè)計：

因式分解

定義：

因式分解與整式乘法的關(guān)系:

教學后記：學生承受很好，在做些變式練習。

4.2提公因式法

備課時間：2015年11月授課時間：2015年11月

教學目的：

學問與技能：

經(jīng)驗探究多項式因式分解方法的過程，并在詳細問題中，能確定多項式各

項的公因式。

過程與方法：會用提公因式法把多項式分解因式（多項式中的字母指數(shù)僅限

于正整數(shù)的狀況）。

情感看法與價值觀：進一步理解分解因式的意義，加強學生的直覺思維并浸

透化歸的思想方法。

教學重難點：

教學重點用提公因式法把多項式分解因式

教學難點探究多項式因式分解方法的過程

教學過程：

第一課時

創(chuàng)設(shè)情景，導出問題：

張教師打算給航天建模競賽中獲獎的同學頒發(fā)獎品。他來到文具商店，經(jīng)

過選擇確定買單價16元的鋼筆10支，5元一本的筆記本10本，4元一瓶的墨

水10瓶，由于購置物品較多，商品售貨員確定以9折出售，問共需多少錢。

關(guān)于這一問題給出了各自的做法。

方法一：16X10X90%+5X10X90%+4X10X90%=144+45+36=225（元）

方法二：16X10X90%+5X10X90%+4X10X90%=10X90%（16+5+4）=225（元）

請問：兩種計算的方法哪一位更好？為什么？

答案：第二位同學(第二種方法)更好，因為第二種方法將因數(shù)10X90%放在括

號外，只進展過一次計算，很明顯減小計算量。

2、探究溝通，概括概念

(1)多項式ab+bc各項都含有一樣的因式嗎？多項式3f+x呢？多項式

HJIJ切6-。呢？

(2)將上面的多項式分別寫成幾個因式的乘積，說明你的理由，并與同位溝

通。

探討概括：

(1)多項式公歷c各項都含有一樣的因式兒我們把多項式各項都含有的一

樣因式，叫做這個多項式的公因式。如b就是多項式ab^bc的公因式。同樣，

多項式3f+x各項都含有一樣的公因式x,多項他2各項都含有一樣的公因

式bo

(2)這里意在讓學生根據(jù)因式分解的意義嘗試進展分解。

假如一個多項式的各項含有公因式，則就可以把這個公因式提出來，從而

將多項式化成兩個因式乘積的形式。這種分解因式的方法叫做提公因式法。

穩(wěn)固應(yīng)用，拓展探討：

例1將下列各式分解因式：

(1)3x+6；

(2)7x-2\x；

(3)8a3b2-12ab3c+abc；

(4)-24X3-12X2+28X

想一想：提公因式法分解因式與單項式乘多項式有什么關(guān)系？

練習穩(wěn)固，促進遷移:

（1）寫出下列多項式的公因式：

①ma-f-mb②4kx-8ky③5^+20/④才b-2akf+ab

（2）把下列各式分解因式：

①3/-6燈+*②-媼+16nf-26m

（3）利用分解因式計算：

①33X0.48+85X0.48-18X0.48

②7.18X2.25+28.5XX2.25

課堂小結(jié)：這節(jié)課我們學了寫什么？

課外作業(yè)：資源與評價

板書設(shè)計：

提公因式

定義：

方法：例題

教學后記：當?shù)谝豁検秦摂?shù)時，留意變更符號。

第二課時

備課時間：2015年11月授課時間：2015年11月

一、課前熱身，復習回憶：

想一想：什么是公因式？怎樣提取公因式？

做一做：

1、下列用提取公因式法分解因式正確的是()

A、a3+2a2+a=a(a2+2a)B、-x2y+4x2y2-7xy=~xy(x-4xy+7)

C6(x-2)+x(2-x)=(x-2)(x+6)D、a(a-b)2+ab(a-b)=(a+ab)(a-b)

2、(-3)2005+(-3)須,等于

3、把下列各式分解因式：

32

①a(%-<?)+2b(%-<?)；②5(%-y)+10(y-x)O

③3x-6xy^x④-4m+16nf-26m

⑤4q(1-p)3+2(0-_/)2

⑥3/zz(x丁)-n(y-x)

⑦m(5ax+wy-/)-m(3ax-ay-D

4計算：

①已知a+b=13,ab=40,求的值；

②1998+1998T99J

5、比擬2002X20032003與2003X20022002的大小。

小結(jié)：

想一想：這節(jié)課我們學了寫什么？

課外作業(yè)：資源與評價

后記：理解因式分解的運用很廣泛，會對詳細問題詳細分析。

4.3運用公式法(平方差公式)

備課時間：2015年11月授課時間：2015年11月

教學目的：

學問與技能：

1、理解平方差公式的本質(zhì)：即構(gòu)造的不變性，字母的可變性；

2、會用平方差公式進展因式分解；

3、使學生理解提公因式法是分解因式首先考慮的方法，再考慮用平方差公

式分解。

過程與方法：

經(jīng)驗探究利用平方差公式進展因式分解的過程，開展學生的逆向思維，浸

透數(shù)學的“互逆”、換元、整體的思想，感受數(shù)學學問的完好性.

情感看法與價值觀：

在探究的過程中培育學生獨立思索的習慣，在溝通的過程中學會向別人清

晰地表達自己的思維和想法，在解決問題的過程中讓學生深入感受到“數(shù)學是

有用的

教學重難點：用公式法(干脆用公式不出兩次)分解因式(指數(shù)是正整數(shù))

教學過程：

復習回憶：

填空：(1)(x巧)(x-5)=；

(2)(3x-y)-；

(3)(3研2刀)(3/Z7-2/7)=.

它們的結(jié)果有什么共同特征？

嘗試將它們的結(jié)果分別寫成兩個因式的乘積：

X2-25=;

9x2-y2=；

9m'-4n2=.

探究新知：

將多項式a?—b?進展因式分解：

(a+b)(a-b)=a2—b2

整式乘法

Aa2—b2=(a+b)(a-b)

因式分解

結(jié)論：整式乘法公式的逆向變形得到分解因式的方法。這種分解因式的方法稱

為運用公式法。

22

說一說：找特征a-b=(a+b)(a-b)

(1)公式左邊：(是一個將要被分解因式的多項式)

被分解的多項式含有兩項，且這兩項異號，并且能寫成1)2—()2的形

式。

(2)公式右邊：(是分解因式的結(jié)果)

分解的結(jié)果是兩個底數(shù)的和乘以兩個底數(shù)的差的形式。

試一試，寫一寫：下列多項式能轉(zhuǎn)化成()2—()2的形式嗎？假如能，

請將其轉(zhuǎn)化成()2—()2的形式。

(1)M-81(2)176b,(3)4m2+9(4)a2x2-25y2(5)-x2-25y2

例1：把下列各式因式分解：

(1)25-16y(2)9才--b2

4

練習：1、推斷正誤：

(1)y+/=kx+y)(x-y))

(2)/-/=(x+y)(x-y)()

(3)-/+/=-(A+y)(x-y)()

(4)-x-y=-Qx+y)(x-y)()

2、把下列各式因式分解：

(l)-9+4x2

(2)X2/-1Z2

4

(3)0.25/一⑵p2

(4)p4-l

例2、把下列各式因式分解：

(1)白一(2加一九)2

(2)9(m+n)2-(m-n)2

(3)4——9孫2

留意事項：在講解運用整體法進展分解因式時，需留意強調(diào)括號前的系數(shù)變更

和去括號后的符號變更，這往往是大多數(shù)學生簡單出現(xiàn)的錯誤狀況。

穩(wěn)固練習:

例3、如圖，在一塊邊長為a的正方形紙片的四角，各剪去一個邊長為力的正方

形。用a與6表示剩余局部的面積，并求當齊3.6,尻0.8時的面積。

如圖，大小兩圓的圓心一樣，已知它們的半徑分別是Rem和rem,求它們所圍

成的環(huán)形的面積。假如R=8.45cm,r=3.45cm呢？

小結(jié):

（1）有公因式（包括負號）則先提取公因式；

（2）整式乘法的平方差公式與因式分解的平方差公式是互逆關(guān)系;

(3)平方差公式中的a與6既可以是單項式，又可以是多項式;

課后作業(yè)：資源與評價

板書設(shè)計：

平方差公式

公式例題

練習

教學后記：

探究分解因式的方法事實上是對整式乘法的再相識，而本節(jié)正是對平方差

公式的再相識，多做練習。

因式分解（完全平方公式）

備課時間：2015年11月授課時間：2015年11月

教學目的：

學問與技能：使學生理解運用公式法分解因式的意義；會用公式法（干脆

用公式不超過兩次）分解因式（指數(shù)是正整數(shù)）；使學生清晰地知道提公因式法

是分解因式的首先考慮的方法，再考慮用平方差公式或完全平方公式進展分解

因式。

過程與方法：經(jīng)驗通過整式乘法的完全平方公式逆向得出運用公式法分解

因式的方法的過程，開展學生的逆向思維和推理實力。

情感看法與價值觀：培育學生敏捷的運用學問的實力和主動思索的良好行

為，體會因式分解在數(shù)學學科中的地位和價值。

教學重難點：公式的理解和運用。

教學過程：

復習提問：

回憶完全平方公式，直入主題將完全平方公式倒置得新的分解因式方法。

（a±b）2=a2±2ab+b2

兩個數(shù)和或差的平方等于這兩個數(shù)的平方和加上或減去這兩個數(shù)的積的2

倍。

把這兩個公式反過來就是因式分解的公式了。即：

a2±2ab+b2-（a±b）2

兩個數(shù)的平方和，加上或減去這兩個數(shù)的積的兩倍，等于這兩個數(shù)和或者差

的平方。

落實根底：

1、判別下列各式是不是完全平方式。

(1)/+優(yōu)

(2)x2+2xy+y2^

⑶x2-2xy+y2；

(4)x2+2xy-y2；

(5)-x2+2xy-y2.

2、請補上一項，使下列多項式成為完全平方式.

(1)x2++優(yōu)

(2)4/+9Z/+；

(3)x2-+4y2；

(4)/++；人

(5)x4+2x2y+.

結(jié)論：找完全平方式可以緊扣下列口訣：首平方、尾平方，首尾相乘兩倍在中

央；

完全平方式可以進展因式分解,

a-2ab^lj-(a-Z?)2M+2ab^6=(a+b)2

例1、把下列各式因式分解:

(l)x2+14x+49(2)4/-12"+9必

⑶("z+n)2-6(m+〃)+9(4Xw—2n)2—2(2n—m)(m+n)+(m+ri)2

例2.把下列各式因式分解:

(l)3ox2+6axy+3ay2(2)-x2-4y2+4xy

留意事項：在綜合應(yīng)用提公因式法和公式法分解因式時;一般按以下兩步完成:

(1)有公因式，先提公因式；(2)再用公式法進展因式分解。

隨堂練習

1、判別下列各式是不是完全平方式，若是說出相應(yīng)的a、b各表示什么？

(1)x2-6x4-9；

⑵1+4萬；

(3)x2—2x+4：

(4)4X2+4X-1；

(511+--w；

4

(6)4y2-12孫+9d.

2、把下列各式因式分解：

(1)后-12勿加364(2)163+24,。2+9//

(3)-2xy-x-y(4)4-12Cx-y)+9(x-y)2

3、用簡便方法計算：20052-401Ox20034-20032

4、將4/+1再加上一個整式，使它成為完全平方式，你有幾種方法？

5、一天,小明在紙上寫了一個算式為4x2+8X+11,并對小剛說：“無論x取何值,

這個代數(shù)式的值都是正值，你不信試一試”

自主小結(jié)：

由分解因式與整式乘法的關(guān)系可以看出，假如把吳法公式反過來，則就

可以用來把某些多項式分解因式，這種分解因式的方法叫做運用公式法.

課后作業(yè)：完成課后習題

板書設(shè)計：

完全平方公式

公式：例題：

練習

教學后記：

本節(jié)課學習了運用公式法分解因式的第二種方法，詳細應(yīng)用時要特殊關(guān)注

第二項的符號。

十字相乘法分解因式

備課時間：2015年11月授課時間：2015年11月

教學目的：

學問與技能：

進一步理解因式分解的定義；

過程與方法：

會用十字相乘法進展二次三項式(/+px+q)的因式分解；

情感看法與價值觀：

通過學生的不斷嘗試，培育學生的耐性和信念，同時在嘗試中進步學生

的視察實力。

教學的重點、難點

重點：能嫻熟應(yīng)用十字相乘法進展二次三項式(d+px+q)的因式分解。

難點：在/+px+g分解因式時，精確地找出a、b,使ab=p,a+b=qo

教學過程：

創(chuàng)設(shè)情境，導入新課：

1、什么叫分解因式？分解因式的方法有那些？

2、你知道X?+5X+6怎樣分解因式嗎？

探究新課：

我們知道(x+2)(x+3)=f+5x4-6,反過來，就得到二次三項式f+5x+6的因

式分解形式，即￡+5%+6=(%+2)(工+3),其中常數(shù)項6分解成2,3兩個因數(shù)的積,

而且這兩個因數(shù)的和等于一次項的系數(shù)5,即6=2X3,且2+3=5。

一般地，由多項式乘法，(x+a)(x+Z?)=x2+(a+b)x+",反過來，就得到

X2+(Q+b)X+"=(X+Q)(X+b)

這就是說，對于一次三項式/+內(nèi)+,，假如可以把常數(shù)項g分解成兩個因數(shù)a、

b的積，并且a+b等于一次項的系數(shù)p,則它就可以分解因式，即

x2px+q=x2+(a+Z?)x+"=(x+〃)(x+Z?)?？梢杂么┎寰€來表小:

十字相乘法的定義：利用十字穿插來分解系數(shù)，把二次三項式分解因式的方法

叫做十字相乘法。

例題講解：

例1、把1+3x+2分解因式。

分析：這里，常數(shù)項2是正數(shù)，所以分解成的兩個因數(shù)必是同號，而2=1

X2=(-1)(-2),要使它們的代數(shù)和等于3,只需取1,2即可。

例2、把7x+6分解因式。

例3、把f—4.21分解因式。

例4、把f+2x75分解因式。(后三個例題激勵學生獨立完成。)

總結(jié)升華：怎樣對f+px+g分解因式？

假如常數(shù)項q是正數(shù)，則把它分解成兩個同號因數(shù)，它們的符號與一次項

系數(shù)P的符號一樣。

假如常數(shù)項q是負數(shù)，則把它分解成兩個異號因數(shù)，其中肯定值較大的因

數(shù)與一次項系數(shù)p的符號一樣c

對于分解的兩個因數(shù)，還要看它們的和是不是等于一次項的系數(shù)Po

拓展練習：

例5把下列各式分解因式：

(1)x4+6x2+8(2)-4(。+8)+3(3)x2-3xy+2y2

當堂檢測:

1、因式分解：

(1)x~-x—6(2)+5x+6(3)+x—6(4)x~+3x—4(5)—3x—4

2^(1)若多項式I?-8x+/w可分解為(1-2)(工-6),則小的值為o

(2)若多項式V一攵x—12可分解為(x-2)(x+6),貝也的值為o

選作：若多項式多-2%+祖可分解為(x+3)(x-〃),求“、〃的值。

總結(jié)：駕馭常數(shù)項在分解時，與一次項系數(shù)的關(guān)系。

板書設(shè)計：

十字相乘分解因式

例題：練習

后記：這局部雖然是后補的內(nèi)容，但在二次函數(shù)是應(yīng)用很廣，好學生必需駕馭。

還需在多練習。

十字相乘法分解因式(2)

備課時間：2015年11月授課時間：2015年11月

一、教學目的：

學問與技能：進一步理解因式分解的定義；

過程與方法：會用十字相乘法進展二次三項式，依法+c的因式分解；

情感看法與價值觀：通過學生的不斷嘗試，培育學生的耐性和信念，同時在

嘗試中進步學生的視察實力。

二、教學的重點、難點：

教學重點、難點：能嫻熟應(yīng)用十字相乘法進展二次三項式奴2的因式分

解。

三、導學過程：

(一)創(chuàng)設(shè)情境，導入新課：

1、分解因式

(1)x2-x-6(2)x2+5x+6(3)x2+x-6(4)x2+3x-4(5)x2-3x-4

2、分解因式3X2+11X+1()

(二)自主學習：

(r+2)(3.r+5)=3x2+ll.r+10n

反過來就得到：3父+1以+10=(工+2)(3l+5)。

想一想3f+1k+10怎樣因式分解的，有什么規(guī)律？

總結(jié)規(guī)律：二次項的系數(shù)3分解成1,3兩個因數(shù)的積；常數(shù)項10分解成2,5兩

個因數(shù)的積；當我們把1,3,2,5寫成

1X2

35

后發(fā)覺1X5+2X3正好等于一次項的系數(shù)11。

(三)合作探究:

由上面例子啟發(fā)我們，應(yīng)當如何把二次三項式公2+區(qū)+。進展因式分解？

我們知道，

2

=a1a2x+a,c2x+a2c{x+qc2

2

=ata2x+(4Q+％+cxc2

反過來，就得到

2

aia2x+(qq+a2c})x+qc2

=(平+。［)(°2%+。2)

(四)點撥升華：

二次項的系數(shù)。分解成的2,常數(shù)項c分解成平2,并且把％，%，q,Q排列如下:

這生按斜線穿插相乘，再相加，就得到可。2+40,假如它們正好等于辦2+法+C的

一次項系數(shù)。，貝!)0^+法+c就可以分解成(qx+q)(%x+G)，其中4,q位于上圖

的上一行，%,位于下一行。

必需留意，分解因數(shù)及十字相乘都有多種可能狀況，所以往往要經(jīng)過屢次

嘗試，才能確定一個二次三項式能否用十字相乘法分解。

四、當堂檢測：

把下列各式分解因式：

(1)2x2+15x4-7(2)3〃2-84+4(3)5x2+7x-6(4)6/-lly-10

選做：

(5)5a2b2+23ab-\0(6)3a2b2-Uabxy+\Ox2y2(7)x2-7xy+12y2

(8)x4+7x2-18(9)4m2+8m〃+3〃2(10)5x5-15X3J-20A^2

板書設(shè)計：

十字相乘法分解因式

例題：練習

后記：局部同學駕馭很好。

回憶與思索

備課時間：2015年11月授課時間：2015年11月

?教學目的

（一）教學學問點：

1.復習因式分解的概念，以及提公因式法，運用公式法分解因式的方法，

使學生進一步理解有關(guān)概念，能敏捷運用上述方法分解因式。

2.熟識本章的學問構(gòu)造圖：。

（二）實力訓練要求

通過學問構(gòu)造圖的教學,培育學生歸納總結(jié)實力,在例題的教學過程中培育

學生分析問題和解決問題的實力.

（三）情感與價值觀要求

通過因式分解綜合練習，進步學生視察、分析實力；通過應(yīng)用因式分解方法

進展簡便運算，培育學生運用數(shù)學學問解決實際問題的意識.

?教學重點

復習綜合應(yīng)用提公因式法,運用公式法分解因式.

?教學難點

利用分解因式進展計算及探討.

?教學方法

引導學生自覺進展歸納總結(jié).

?教學過程

創(chuàng)設(shè)問題情境,引入新課

前面我們已學習了因式分解概念,提公因式法分解因式，運用公式法分解因

式的方法,并做了一些練習.今日，我們來綜合總結(jié)一下.

新課講解

（一）探討推導本章學問構(gòu)造圖：

請大家先回憶一下我們這一章所學的內(nèi)容有哪些

（1）有因式分解的意義,提公因式法和運用公式法的概念.

（2）分解因式與整式乘法的關(guān)系.

（3）分解因式的方法.

請大家相互探討,能否把本章的學問構(gòu)造圖繪出來呢

（二）重點學問講解

下面請大家把重點學問回憶一下.

1、舉例說明什么是分解因式.

如15/y+5xy—20/y=5xy（3盯+1—44）

把多項式154/+5打一20x?分解成為因式5*y與3孫+1—47的乘積的形

式,就是把多項式15f/+5*7—20*/分解因式.

學習因式分解的概念應(yīng)留意以下幾點：

（1）因式分解是一種恒等變形，即變形前后的兩式恒等.

（2）把一個多項式分解因式應(yīng)分解到每一個多項式都不能再分解為止.

2、分解因式與整式乘法有什么關(guān)系

分解因