滬科版八年級數(shù)學(xué)上學(xué)期考試滿分全攻略第05講一元二次方程的應(yīng)用(3大考點)(原卷版+解析)

第05講一元二次方程的應(yīng)用（3大考點）考點考向考點考向一、二次三項式在實數(shù)范圍內(nèi)因式分解1、二次三項式的因式分解（1）形如的多項式稱為二次三項式；（2）如果一元二次方程的兩個根是和,那么二次三項式的分解公式為：．二、列一元二次方程解應(yīng)用題 （1）解題步驟：①審題；②設(shè)未知數(shù)；③列一元二次方程；④解一元二次方程；⑤檢驗根是否有意義；⑥作答．（2）應(yīng)用模型：一元二次方程經(jīng)常在增長率問題、面積問題等方面應(yīng)用.①平均增長率（降低率）問題：公式：b＝a(1±x)n，a表示基數(shù)，x表示平均增長率（降低率），n表示變化的次數(shù)，b表示變化n次后的量；②利潤問題：利潤=售價-成本；利潤率=利潤/成本×100%；③傳播、比賽問題：④面積問題：a.直接利用相應(yīng)圖形的面積公式列方程；b.將不規(guī)則圖形通過割補或平移形成規(guī)則圖形，運用面積之間的關(guān)系列方程.注意：運用一元二次方程解決實際問題時，方程一般有兩個實數(shù)根，則必須要根據(jù)題意檢驗根是否有意義.三、一元二次方程應(yīng)用題的主要類型1.數(shù)字問題(1)任何一個多位數(shù)都是由數(shù)位和數(shù)位上的數(shù)組成.數(shù)位從右至左依次分別是：個位、十位、百位、千位……，它們數(shù)位上的單位從右至左依次分別為：1、10、100、1000、……，數(shù)位上的數(shù)字只能是0、1、2、……、9之中的數(shù)，而最高位上的數(shù)不能為0.因此，任何一個多位數(shù)，都可用其各數(shù)位上的數(shù)字與其數(shù)位上的單位的積的和來表示，這也就是用多項式的形式表示了一個多位數(shù).如：一個三位數(shù)，個位上數(shù)為a，十位上數(shù)為b，百位上數(shù)為c，則這個三位數(shù)可表示為：100c+10b+a.(2)幾個連續(xù)整數(shù)中，相鄰兩個整數(shù)相差1.如：三個連續(xù)整數(shù)，設(shè)中間一個數(shù)為x，則另兩個數(shù)分別為x-1，x+1.幾個連續(xù)偶數(shù)(或奇數(shù))中，相鄰兩個偶數(shù)(或奇數(shù))相差2.如：三個連續(xù)偶數(shù)(奇數(shù))，設(shè)中間一個數(shù)為x，則另兩個數(shù)分別為x-2，x+2.2.平均變化率問題列一元二次方程解決增長(降低)率問題時，要理清原來數(shù)、后來數(shù)、增長率或降低率，以及增長或降低的次數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系.如果列出的方程是一元二次方程，那么應(yīng)在原數(shù)的基礎(chǔ)上增長或降低兩次.(1)增長率問題：平均增長率公式為(a為原來數(shù)，x為平均增長率，n為增長次數(shù)，b為增長后的量.)降低率問題：平均降低率公式為(a為原來數(shù)，x為平均降低率，n為降低次數(shù)，b為降低后的量.)考點精講考點精講一、二次三項式在實數(shù)范圍內(nèi)因式分解1.在實數(shù)范圍內(nèi)不能分解因式的是（ ）A． B．C． D．2.方程的兩個實數(shù)根是，則把這個二次三項式進(jìn)行因式分解的結(jié)果是________________________．3.將在實數(shù)范圍內(nèi)因式分解，正確的結(jié)果是（）A． B．C． D．4.若二次三項式在實數(shù)范圍內(nèi)可分解因式為，則一元二次方程的值分別為________________．5.在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式：（1）； （2）；（3）； （4）．6.在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式：（1）； （2）．7.在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式：（1）； （2）．8.在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式：（1）； （2）；（3）．9.在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式：（1）； （2）．二．由實際問題抽象出一元二次方程（共10小題）1．（2022春?靜安區(qū)校級期中）某商品經(jīng)過三次連續(xù)漲價，每件售價由原來的35元漲到了55元．設(shè)平均每次漲價的百分率為x，那么可得方程是．2．（2021秋?浦東新區(qū)期末）隨著網(wǎng)絡(luò)購物的興起，增加了快遞公司的業(yè)務(wù)量．一家今年剛成立的小型快遞公司業(yè)務(wù)量逐月攀升，今年9月份和11月份完成投送的快遞件數(shù)分別是20萬件和24.2萬件，若該公司每月投送的快遞件數(shù)的平均增長率是x，由題意列出關(guān)于x的方程：．3．（2022春?浦東新區(qū)校級期中）某服裝店一月份營業(yè)額為10萬元，一季度的營業(yè)額共48萬元，若平均每月營業(yè)額的增長率為x，則根據(jù)題意可列方程為（）A．10（1+x）2＝48 B．10（1+2x）＝48 C．10（1+3x）＝48 D．10[1+（1+x）+（1+x）2]＝484．（2022春?楊浦區(qū)校級期中）某企業(yè)的年產(chǎn)值從2006年的2億元增長到2009年的7億元，如果這三年的年平均增長率相同，均為x，那么可以列出方程為．5．（2022春?上海期中）某件商品連續(xù)兩次降價后，零售價由原來的500元降為405元，設(shè)此商品平均每次降價的百分率為x，則根據(jù)題意列出的方程是．6．（2021秋?松江區(qū)期末）某果園今年栽種果樹300棵，現(xiàn)計劃擴(kuò)大種植面積，使今后兩年的栽種量都比前一年增長一個相同的百分?jǐn)?shù)，這樣三年（包括今年）的總栽種量為2100棵．若這個百分?jǐn)?shù)為x．則由題意可列方程為（）A．300（1+x）2＝2100 B．300+300（1+x）2＝2100 C．300（1+x）+300（1+x）2＝2100 D．300+300（1+x）+300（1+x）2＝21007．（2022春?長寧區(qū)校級期中）某單位10月份的營業(yè)額為100萬元，12月份的營業(yè)額為200萬元，假設(shè)該公司11、12兩個月的增長率都為x，那么可列方程是．8．（2021秋?普陀區(qū)期末）如圖，陰影部分是一塊長方形的草坪，草坪的長是8米，寬是5米，在草坪的四周準(zhǔn)備修建等寬的道路，道路和草坪的總面積為70平方米．如果設(shè)道路的寬為x米，那么根據(jù)題意可列方程為．9．（2022?黃浦區(qū)二模）一輛汽車，新車購買價20萬元，第一年使用后折舊20%，以后該車的年折舊率有所變化，但它在第二，三年的年折舊率相同．已知在第三年年末，這輛車折舊后價值11.56萬元，如果設(shè)這輛車第二、三年的年折舊率為x，那么根據(jù)題意，列出的方程為．10．（2022春?嘉定區(qū)校級期中）某超市去年12月份的銷售額為100萬元，今年2月份的銷售額為121萬元．若去年12月份到今年2月份銷售額的增長百分率x相同，則根據(jù)題意可列方程．三．一元二次方程的應(yīng)用（共9小題）11．（2022?上海）某公司5月份的營業(yè)額為25萬，7月份的營業(yè)額為36萬，已知5、6月的增長率相同，則增長率為．12．（2021秋?徐匯區(qū)校級期末）某商品由于連續(xù)兩次降低成本，使成本比原來降低了36%，則平均每次降低成本（填百分?jǐn)?shù)）．13．（2022春?浦東新區(qū)校級期中）某商品經(jīng)過兩次漲價后，價格由原來的64元增至100元，如果每次商品價格的增長率相同，那么這個增長率是．14．（2022?嘉定區(qū)校級模擬）某小區(qū)2012年屋頂綠化面積為2000平方米，計劃2014年屋頂綠化面積要達(dá)到2880平方米，如果每年屋頂綠化面積的增長率相同，那么這個增長率是．15．（2022春?浦東新區(qū)校級期中）一件襯衫原價200元，經(jīng)過連續(xù)兩次降價后售價為162元，若兩次降價的百分率相同，則這個百分率為．16．（2022春?閔行區(qū)期末）近幾年，全社會對空氣污染問題越來越重視，空氣凈化器的銷量也在逐年增加．某商場從廠家購進(jìn)了A，B兩種型號的空氣凈化器，兩種凈化器的銷售相關(guān)信息如表：A型銷售數(shù)量（臺）B型銷售數(shù)量（臺）總利潤（元）51025001052750（1）每臺A型空氣凈化器的銷售利潤是元；每臺B型空氣凈化器的銷售利潤是元；（2）該商場計劃一次購進(jìn)兩種型號的空氣凈化器共80臺，其中B型空氣凈化器的進(jìn)貨量不少于A型空氣凈化器的2倍，為使該商場銷售完這80臺空氣凈化器后的總利潤最大，那么應(yīng)該購進(jìn)A型空氣凈化器臺；B型空氣凈化器臺．（3）已知A型空氣凈化器的凈化能力為300m3/小時，B型空氣凈化器的凈化能力為200m3/小時．某長方體室內(nèi)活動場地的總面積為300m2，室內(nèi)墻高3m．該場地負(fù)責(zé)人計劃購買7臺空氣凈化器，每天花費30分鐘將室內(nèi)空氣凈化一新，如不考慮空氣對流等因素，他至少要購買A型空氣凈化器多少臺？17．（2022春?長寧區(qū)校級期中）某商店銷售某種產(chǎn)品，平均每天可賣出30件，每件盈利50元．為了擴(kuò)大銷售量，增加盈利，盡快減少庫存，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：如果這種產(chǎn)品每降價1元，那么平均每天就可多售出2件．要想半均每天在銷售這種產(chǎn)品上盈利2000元，那么每件產(chǎn)品應(yīng)降價多少元？18．（2021秋?徐匯區(qū)期末）某商場今年8月的營業(yè)額為400萬元，9月份營業(yè)額比8月份增加10%，11月份的營業(yè)額達(dá)到633.6萬元，求9月份到11月份營業(yè)額的月平均增長率．19．（2022春?金山區(qū)校級期中）某經(jīng)銷店為廠家代銷一種新型環(huán)保水泥，當(dāng)每噸售價為260元時，月銷售量為45噸，每售出1噸這種水泥共需支付廠家費用和其他費用共100元．該經(jīng)銷店為擴(kuò)大銷售量、提高經(jīng)營利潤，計劃采取降價的方式進(jìn)行促銷，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，當(dāng)每噸售價每下降10元時，月銷售量就會增加7.5噸．（1）填空：當(dāng)每噸售價是240元時，此時的月銷售量是噸；（2）該經(jīng)銷店計劃月利潤為9000元而且盡可能地擴(kuò)大銷售量，則售價應(yīng)定為每噸多少元？鞏固提升鞏固提升一、填空題1．（2020·上海第二工業(yè)大學(xué)附屬龔路中學(xué)八年級期中）某小組每人給他人送一張照片，全組共送出132張，那么這個小組共有___________人．2．（2022·上海市靜安區(qū)教育學(xué)院附屬學(xué)校八年級期中）某商品經(jīng)過兩次連續(xù)漲價，每件售價由原來的35元漲到了55元．設(shè)平均每次漲價的百分率為x，那么可得方程是__________．3．（2022·上?！ぐ四昙壠谀┰诿利愢l(xiāng)村建設(shè)中，某村2017年新增綠化面積為20000平方米，計劃到2019年新增綠化面積要達(dá)到28800平方米．如果每年新增綠化面積的增長率相同，那么這個增長率是________．4．（2022·上海市風(fēng)華初級中學(xué)八年級期末）某城市樓盤計劃以每平方米12000元的均價對外銷售，由于新政調(diào)控，房產(chǎn)商對價格兩次下調(diào)后，最終以每平方米9800元的均價開盤銷售.設(shè)每次下調(diào)的百分率相同且記為x，根據(jù)題意可以列出方程__.5．（2022·上?！ぐ四昙夐_學(xué)考試）已知一個兩位數(shù)，個位上的數(shù)字比十位上的數(shù)字小4，且個位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字的平方和比這個兩位數(shù)小4，則這個兩位數(shù)是___．6．（2022·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）要組織一次排球邀請賽，參賽的每兩個隊之間都要比賽一場，根據(jù)場地和時間等條件，賽程計劃安排7天，每天安排4場比賽，比賽組織者應(yīng)邀請__隊參賽．二、解答題7.在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式：（1）； （2）；（3）．8.二次三項式，當(dāng)a取何值時，（1）在實數(shù)范圍內(nèi)能分解；（2）能分解成兩個相同的因式；（3）不能因式分解

．9．（2022·上?！ぐ四昙壠谥校┮粡埉嬈L20厘米、寬16厘米，要在畫片的外面鑲上一條同樣寬的金色紙條，使金色紙條的面積是畫片面積的，求金色紙條的寬．10．（2022·上海·八年級專題練習(xí)）某公司市場營銷部的某營銷員的個人月收入與該營銷員每月的銷售量的關(guān)系如表格所示．個人月收入（元）16002400320040004800…每月銷售量（萬件）12345…根據(jù)以上表格提供的信息，解答下列問題：如果兩個月內(nèi)該營銷員的銷售量從2萬件猛增到5萬件，月收入兩個月大幅度增長，且連續(xù)兩個月的月收入的增長率是相同的，試求這個增長率（取1.41）．11．（2022·上?！ぐ四昙壠谀┠成虉鼋衲?月的營業(yè)額為400萬元，9月份營業(yè)額比8月份增加10%，11月份的營業(yè)額達(dá)到633.6萬元，求9月份到11月份營業(yè)額的月平均增長率．12．（2022·上?！ぐ四昙壠谥校┠彻麍@有100棵桃樹，一棵桃樹平均結(jié)1000個桃子，現(xiàn)準(zhǔn)備多種一些桃樹以提高產(chǎn)量，試驗發(fā)現(xiàn)，每多種一棵桃樹，每棵桃樹的產(chǎn)量就會減少2個，如果要使產(chǎn)量增加15.2%，且所種桃樹要少于原有桃樹，那么應(yīng)多種多少棵桃樹？13．（2022·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）在一次聚會上，規(guī)定每兩個人見面必須握1次手．

（1）若參加聚會的人數(shù)為6，則共握手次，若參加聚會的人數(shù)為n（n為正整數(shù)），則共握手次；

（2）若參加聚會的人共握手36次，請求出參加聚會的人數(shù)；

（3）小明由握手問題想到了一個數(shù)學(xué)問題：若線段AB上共有m個點（不含端點A、B），線段總數(shù)為多少呢？請直接寫出結(jié)論．14．（2022·上?！ぐ四昙壠谥校﹦诩颊n上某小組的同學(xué)們要用40厘米長的鋁合金材料加工成長方形的框架．分別在下列條件下，求相鄰兩邊的長．(1)面積為36平方厘米；(2)面積為100平方厘米；(3)面積為120平方厘米．15．（2022·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）某產(chǎn)品5月份時每件200元，在6、7月進(jìn)行了兩次提價，且每次提價的百分率相同，此時售價為288元，后因產(chǎn)品銷售問題，8月選擇降價，降價的百分率與之前每次提價的百分率相同，求8月份該產(chǎn)品的售價？16．（2022·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，某農(nóng)場有一道長16米的圍墻，計劃用40米長的圍欄靠墻圍成一個面積為120平方米的長方形養(yǎng)雞場，為了方便飼養(yǎng)又用圍欄隔出一個儲物間，在墻的對面開了兩個1米寬的門，求圍成長方形養(yǎng)雞場寬AB的長度．17．（2022·上海·八年級期中）某商店從廠家以每件21元的價格購進(jìn)一批商品，該店可以自行定價，若每件商品售價為a元，則可以賣出（350﹣10a）件；但物價局限定每件商品加價不能超過進(jìn)價的20%，如果商店計劃要賺400元，那么每件商品售價是多少元？18．（2022·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）每年的3月8日是國際勞動婦女節(jié)，是世界各國婦女爭取和平、平等、發(fā)展的節(jié)日，沙坪壩某商店抓住這一機會，將A、B兩種巧克力進(jìn)行降價促銷活動，在這一天前來購買這兩種巧克力的顧客共有400名，每名顧客均購買了一盒巧克力，其中A、B兩種的巧克力的銷售單價分別為90元和50元．(1)若選擇購買B種巧克力的人數(shù)不超過購買A種巧克力數(shù)的0.6倍．求至少有多少人選擇購買A種巧克力？(2)“七夕”節(jié)是中國的情人節(jié)，該商店估計當(dāng)天購買巧克力的人會比較多，于是提高了A種巧克力的售價，結(jié)果發(fā)現(xiàn)“七夕”節(jié)當(dāng)天前來購買巧克力的顧客人數(shù)出現(xiàn)了下降，經(jīng)統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)與（1）問中選擇A種巧克力的人數(shù)最少時相比，A種巧克力每上漲3元，購買A種巧克力的人數(shù)會下降5人，同時購買B種巧克力的人數(shù)也下降3人，但是B種巧克力的售價沒變，最終“七夕”節(jié)期間兩種巧克力的總銷售額與（1）問中選擇A種巧克力的顧客最少時的兩種巧克力的總銷售額持平，求“七夕”節(jié)當(dāng)天A種巧克力的售價．19．（2022·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）某商場銷售一批名牌襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利44元，為了擴(kuò)大銷售，盡快減少庫存，商場決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件襯衫降價1元，商場每天可多售5件．若商場平均每天要盈利1600元，每件襯衫應(yīng)降價多少元？第05講一元二次方程的應(yīng)用（3大考點）考點考向考點考向一、二次三項式在實數(shù)范圍內(nèi)因式分解1、二次三項式的因式分解（1）形如的多項式稱為二次三項式；（2）如果一元二次方程的兩個根是和,那么二次三項式的分解公式為：．二、列一元二次方程解應(yīng)用題 （1）解題步驟：①審題；②設(shè)未知數(shù)；③列一元二次方程；④解一元二次方程；⑤檢驗根是否有意義；⑥作答．（2）應(yīng)用模型：一元二次方程經(jīng)常在增長率問題、面積問題等方面應(yīng)用.①平均增長率（降低率）問題：公式：b＝a(1±x)n，a表示基數(shù)，x表示平均增長率（降低率），n表示變化的次數(shù)，b表示變化n次后的量；②利潤問題：利潤=售價-成本；利潤率=利潤/成本×100%；③傳播、比賽問題：④面積問題：a.直接利用相應(yīng)圖形的面積公式列方程；b.將不規(guī)則圖形通過割補或平移形成規(guī)則圖形，運用面積之間的關(guān)系列方程.注意：運用一元二次方程解決實際問題時，方程一般有兩個實數(shù)根，則必須要根據(jù)題意檢驗根是否有意義.三、一元二次方程應(yīng)用題的主要類型1.數(shù)字問題(1)任何一個多位數(shù)都是由數(shù)位和數(shù)位上的數(shù)組成.數(shù)位從右至左依次分別是：個位、十位、百位、千位……，它們數(shù)位上的單位從右至左依次分別為：1、10、100、1000、……，數(shù)位上的數(shù)字只能是0、1、2、……、9之中的數(shù)，而最高位上的數(shù)不能為0.因此，任何一個多位數(shù)，都可用其各數(shù)位上的數(shù)字與其數(shù)位上的單位的積的和來表示，這也就是用多項式的形式表示了一個多位數(shù).如：一個三位數(shù)，個位上數(shù)為a，十位上數(shù)為b，百位上數(shù)為c，則這個三位數(shù)可表示為：100c+10b+a.(2)幾個連續(xù)整數(shù)中，相鄰兩個整數(shù)相差1.如：三個連續(xù)整數(shù)，設(shè)中間一個數(shù)為x，則另兩個數(shù)分別為x-1，x+1.幾個連續(xù)偶數(shù)(或奇數(shù))中，相鄰兩個偶數(shù)(或奇數(shù))相差2.如：三個連續(xù)偶數(shù)(奇數(shù))，設(shè)中間一個數(shù)為x，則另兩個數(shù)分別為x-2，x+2.2.平均變化率問題列一元二次方程解決增長(降低)率問題時，要理清原來數(shù)、后來數(shù)、增長率或降低率，以及增長或降低的次數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系.如果列出的方程是一元二次方程，那么應(yīng)在原數(shù)的基礎(chǔ)上增長或降低兩次.(1)增長率問題：平均增長率公式為(a為原來數(shù)，x為平均增長率，n為增長次數(shù)，b為增長后的量.)降低率問題：平均降低率公式為(a為原來數(shù)，x為平均降低率，n為降低次數(shù)，b為降低后的量.)考點精講考點精講一、二次三項式在實數(shù)范圍內(nèi)因式分解1.在實數(shù)范圍內(nèi)不能分解因式的是（ ）A． B．C． D．【答案】C【解析】二次三項式可分解因式的前提是方程有實數(shù)根，根據(jù)方程根的判別式與0的大小關(guān)系判斷方程是否有實數(shù)根，即是否可分解因式，A：；B：；C：；D：；只有C選項小于0，故選C．【總結(jié)】考查二次三項式是否可因式分解，判斷方程是否有實數(shù)根即可．2.方程的兩個實數(shù)根是，則把這個二次三項式進(jìn)行因式分解的結(jié)果是________________________．【答案】．【解析】，即得該式可分解為．【總結(jié)】考查二次三項式的因式分解，方程有實數(shù)根的前提下進(jìn)行分解．3.將在實數(shù)范圍內(nèi)因式分解，正確的結(jié)果是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】關(guān)于的一元二次方程的根為，，由此對應(yīng)的二次三項式分解為，即為，故選C．【總結(jié)】考查二次三項式的因式分解，當(dāng)做方程進(jìn)行解題即可．4.若二次三項式在實數(shù)范圍內(nèi)可分解因式為，則一元二次方程的值分別為________________．【答案】，【解析】，∴，．【總結(jié)】考查二次三項式的因式分解，也可以利用韋達(dá)定理進(jìn)行求解．5.在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式：（1）； （2）；（3）； （4）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．【解析】（1）原式；原式，令，解得：，，即得；原式；原式．【總結(jié)】考查二次三項式的因式分解，十字相乘法即可，在實數(shù)范圍內(nèi)可分解為．6.在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式：（1）； （2）．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）令，解得：，，即該式可分解為；（2）令，解得：，，即該式可分解為．【總結(jié)】考查二次項系數(shù)為1的二次三項式的因式分解，即為．7.在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式：（1）； （2）．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）令，解得：，，即該式可分解為；（2）令，解得：，，即該式可分解為．【總結(jié)】考查二次三項式的因式分解，．8.在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式：（1）； （2）；（3）．【難度】★★【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】（1）令，該方程即為，解得：，，∴該式可分解為；令，解得：，，∴該式可分解為；（3）令，該方程即為，解得：，，∴該式可分解為．【總結(jié)】考慮分解因式中整體思想，利用換元靈活變化應(yīng)用．9.在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式：（1）； （2）．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）原式；（2）原式為．【總結(jié)】考查分解因式中的整體思想，注意分解要徹底．二．由實際問題抽象出一元二次方程（共10小題）1．（2022春?靜安區(qū)校級期中）某商品經(jīng)過三次連續(xù)漲價，每件售價由原來的35元漲到了55元．設(shè)平均每次漲價的百分率為x，那么可得方程是35（1+x）3＝55．【分析】設(shè)平均每次漲價的百分比為x，根據(jù)原價為35元，表示出第一次漲價后的價錢為35（1+x）元，然后再根據(jù)價錢為35（1+x）元，表示出第二次漲價的價錢為35（1+x）2元，根據(jù)兩次漲價后的價錢為55元，列出關(guān)于x的方程．【解答】解：設(shè)平均每次漲價的百分比為x，那么可列方程：35（1+x）3＝55．故答案為：35（1+x）3＝55．【點評】此題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，掌握平均增長率問題一般情況下等量關(guān)系：設(shè)基數(shù)為a，平均增長率為x，增長的次數(shù)為2，增長后的量為b，則有表達(dá)式a（1+x）2＝b是解決問題的關(guān)鍵．2．（2021秋?浦東新區(qū)期末）隨著網(wǎng)絡(luò)購物的興起，增加了快遞公司的業(yè)務(wù)量．一家今年剛成立的小型快遞公司業(yè)務(wù)量逐月攀升，今年9月份和11月份完成投送的快遞件數(shù)分別是20萬件和24.2萬件，若該公司每月投送的快遞件數(shù)的平均增長率是x，由題意列出關(guān)于x的方程：20（1+x）2＝24.2．【分析】利用11月份完成投送的快遞件數(shù)＝9月份完成投送的快遞件數(shù)×（1+平均增長率）2，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．【解答】解：依題意得：20（1+x）2＝24.2．故答案為：20（1+x）2＝24.2．【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．3．（2022春?浦東新區(qū)校級期中）某服裝店一月份營業(yè)額為10萬元，一季度的營業(yè)額共48萬元，若平均每月營業(yè)額的增長率為x，則根據(jù)題意可列方程為（）A．10（1+x）2＝48 B．10（1+2x）＝48 C．10（1+3x）＝48 D．10[1+（1+x）+（1+x）2]＝48【分析】可先表示出二月份的營業(yè)額，那么二月份的營業(yè)額×（1+增長率）＝三月份的營業(yè)額，等量關(guān)系為：一月份的營業(yè)額+二月份的營業(yè)額+三月份的營業(yè)額＝48，把相應(yīng)數(shù)值代入即可求解．【解答】解：二月份的營業(yè)額為10（1+x），三月份的營業(yè)額在二月份營業(yè)額的基礎(chǔ)上增加x，為10（1+x）×（1+x），則列出的方程是10+10（1+x）+10（1+x）2＝48，即：10[1+（1+x）+（1+x）2]＝48．故選：D．【點評】此題考查由實際問題抽象出一元二次方程，掌握求平均變化率的方法是解決問題的關(guān)鍵；注意本題的等量關(guān)系為3個月的營業(yè)額之和．4．（2022春?楊浦區(qū)校級期中）某企業(yè)的年產(chǎn)值從2006年的2億元增長到2009年的7億元，如果這三年的年平均增長率相同，均為x，那么可以列出方程為2（1+x）3＝7．【分析】若設(shè)平均每年的增長率為x，則2007年的產(chǎn)值是2（1+x），2008年在2007年的基礎(chǔ)上，產(chǎn)值是2（1+x）（1+x）根據(jù)2009年產(chǎn)值是7億元，即可列方程求解．【解答】解：設(shè)平均每年的增長率為x，由題意得，2007年的產(chǎn)值為2（1+x），2008年的產(chǎn)值為：2（1+x）2．2009年的產(chǎn)值為：2（1+x）3＝7．故答案為：2（1+x）3＝7．【點評】此題主要考查一元二次方程應(yīng)用中的增長率問題．解此類題目常常要先列出前一年量，再根據(jù)題意列出所求年份的產(chǎn)量．5．（2022春?上海期中）某件商品連續(xù)兩次降價后，零售價由原來的500元降為405元，設(shè)此商品平均每次降價的百分率為x，則根據(jù)題意列出的方程是500（1﹣x）2＝405．【分析】設(shè)平均每次降價的百分率為x，則第一次降價后售價為500（1﹣x），第二次降價后售價為500（1﹣x）2，然后根據(jù)兩次降階后的售價建立等量關(guān)系即可．【解答】解：根據(jù)題意得500（1﹣x）2＝405．故答案為：500（1﹣x）2＝405．【點評】本題考查的是由實際問題抽象出一元二次方程，要注意題意指明的是降價，應(yīng)該是（1﹣x）而不是（1+x）．6．（2021秋?松江區(qū)期末）某果園今年栽種果樹300棵，現(xiàn)計劃擴(kuò)大種植面積，使今后兩年的栽種量都比前一年增長一個相同的百分?jǐn)?shù)，這樣三年（包括今年）的總栽種量為2100棵．若這個百分?jǐn)?shù)為x．則由題意可列方程為（）A．300（1+x）2＝2100 B．300+300（1+x）2＝2100 C．300（1+x）+300（1+x）2＝2100 D．300+300（1+x）+300（1+x）2＝2100【分析】首先表示出各年栽種果樹棵數(shù)，進(jìn)而得出方程即可．【解答】解：設(shè)這個百分?jǐn)?shù)為x，根據(jù)題意得出：300+300（1+x）+300（1+x）2＝2100，故選：D．【點評】此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，分別表示出各年的栽種數(shù)量是解題關(guān)鍵．7．（2022春?長寧區(qū)校級期中）某單位10月份的營業(yè)額為100萬元，12月份的營業(yè)額為200萬元，假設(shè)該公司11、12兩個月的增長率都為x，那么可列方程是100（1+x）2＝200．．【分析】設(shè)平均每月的增長率為x，根據(jù)10月份的營業(yè)額為100萬元，12月份的營業(yè)額為200萬元，分別表示出11、12月的營業(yè)額，即可列出方程．【解答】解：設(shè)平均每月的增長率為x，根據(jù)題意可得：100（1+x）2＝200．故答案為：100（1+x）2＝200．【點評】本題考查的是一個增長率問題，關(guān)鍵是知道10月份的錢數(shù)和增長兩個月后12月份的錢數(shù)，列出方程．8．（2021秋?普陀區(qū)期末）如圖，陰影部分是一塊長方形的草坪，草坪的長是8米，寬是5米，在草坪的四周準(zhǔn)備修建等寬的道路，道路和草坪的總面積為70平方米．如果設(shè)道路的寬為x米，那么根據(jù)題意可列方程為（8+2x）（5+2x）＝70．【分析】設(shè)道路的寬為x米，利用“道路和草坪的總面積為70平方米”作為相等關(guān)系可列方程（8+2x）（5+2x）＝70．【解答】解：設(shè)道路的寬為x米，根據(jù)題意得（8+2x）（5+2x）＝70．故答案是：（8+2x）（5+2x）＝70．【點評】本題考查的是根據(jù)實際問題列一元二次方程．找到關(guān)鍵描述語，找到等量關(guān)系準(zhǔn)確地列出方程是解決問題的關(guān)鍵．9．（2022?黃浦區(qū)二模）一輛汽車，新車購買價20萬元，第一年使用后折舊20%，以后該車的年折舊率有所變化，但它在第二，三年的年折舊率相同．已知在第三年年末，這輛車折舊后價值11.56萬元，如果設(shè)這輛車第二、三年的年折舊率為x，那么根據(jù)題意，列出的方程為20（1﹣20%）（1﹣x）2＝11.56．【分析】設(shè)這輛車第二、三年的年折舊率為x，則第二年這就后的價格為20（1﹣20%）（1﹣x）元，第三年折舊后的而價格為20（1﹣20%）（1﹣x）2元，與第三年折舊后的價格為11.56萬元建立方程．【解答】解：設(shè)這輛車第二、三年的年折舊率為x，由題意，得20（1﹣20%）（1﹣x）2＝11.56．故答案是：20（1﹣20%）（1﹣x）2＝11.56．【點評】一道折舊率問題，考查了列一元二次方程解實際問題的運用，解答本題時設(shè)出折舊率，表示出第三年的折舊后價格并運用價格為11.56萬元建立方程是關(guān)鍵．10．（2022春?嘉定區(qū)校級期中）某超市去年12月份的銷售額為100萬元，今年2月份的銷售額為121萬元．若去年12月份到今年2月份銷售額的增長百分率x相同，則根據(jù)題意可列方程100（1+x）2＝121．【分析】設(shè)這兩個月平均每月增長的百分率是x，12月份是100萬元，1月份是：100（1+x），2月份是：100（1+x）（1+x），由此列方程求解．【解答】解：設(shè)這兩個月平均每月增長的百分率是x，依題意．得100（1+x）2＝121，故答案為：100（1+x）2＝121．【點評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用．解此類題目時常常要先解出前一個月份的銷售額，再列出所求月份的銷售額的方程，令其等于已知的條件即可．三．一元二次方程的應(yīng)用（共9小題）11．（2022?上海）某公司5月份的營業(yè)額為25萬，7月份的營業(yè)額為36萬，已知5、6月的增長率相同，則增長率為20%．【分析】設(shè)平均每月的增長率為x，根據(jù)5月份的營業(yè)額為25萬元，7月份的營業(yè)額為36萬元，表示出7月的營業(yè)額，即可列出方程解答．【解答】解：設(shè)平均每月的增長率為x，由題意得25（1+x）2＝36，解得x1＝0.2，x2＝﹣2.2（不合題意，舍去）所以平均每月的增長率為20%．故答案為：20%．【點評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)數(shù)量關(guān)系列出關(guān)于x的一元二次方程是解題的關(guān)鍵．12．（2021秋?徐匯區(qū)校級期末）某商品由于連續(xù)兩次降低成本，使成本比原來降低了36%，則平均每次降低成本20%（填百分?jǐn)?shù)）．【分析】利用等量關(guān)系成本×（1﹣降低率）2＝1﹣36%，設(shè)出未知數(shù)，把相關(guān)數(shù)值代入即可求解．【解答】解：設(shè)原來的成本為1，平均每次降低x，由題意得：（1﹣x）2＝1﹣36%，解得：x1＝0.2，x2＝1.8（不合題意，舍去），答：平均每次降低成本的20%．故答案為：20%．【點評】本題考查一元二次方程的實際運用，掌握平均變化率的方法：若設(shè)變化前的量為a，變化后的量為b，平均變化率為x，則經(jīng)過兩次變化后的數(shù)量關(guān)系為a（1±x）2＝b是解決本題的關(guān)鍵．13．（2022春?浦東新區(qū)校級期中）某商品經(jīng)過兩次漲價后，價格由原來的64元增至100元，如果每次商品價格的增長率相同，那么這個增長率是25%．【分析】設(shè)這個增長率為x，根據(jù)該商品的原價及經(jīng)過兩次漲價后的價格，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)這個增長率為x，依題意，得：64（1+x）2＝100，解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不合題意，舍去）．故答案為：25%．【點評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．14．（2022?嘉定區(qū)校級模擬）某小區(qū)2012年屋頂綠化面積為2000平方米，計劃2014年屋頂綠化面積要達(dá)到2880平方米，如果每年屋頂綠化面積的增長率相同，那么這個增長率是20%．【分析】一般用增長后的量＝增長前的量×（1+增長率），如果設(shè)人均年收入的平均增長率為x，根據(jù)題意即可列出方程．【解答】解：設(shè)平均增長率為x，根據(jù)題意可列出方程為：2000（1+x）2＝2880，（1+x）2＝1.44．1+x＝±1.2．所以x1＝0.2，x2＝﹣2.2（舍去）．故x＝0.2＝20%．即：這個增長率為20%．故答案是：20%．【點評】此題考查了一元二次方程的應(yīng)用．對于平均增長率問題，在理解的基礎(chǔ)上，可歸結(jié)為a（1+x）2＝b（a＜b）；平均降低率問題，在理解的基礎(chǔ)上，可歸結(jié)為a（1﹣x）2＝b（a＞b）．15．（2022春?浦東新區(qū)校級期中）一件襯衫原價200元，經(jīng)過連續(xù)兩次降價后售價為162元，若兩次降價的百分率相同，則這個百分率為10%．【分析】解答此題利用的數(shù)量關(guān)系是：襯衫原來價格×（1﹣每次降價的百分率）2＝現(xiàn)在價格，設(shè)出未知數(shù)，列方程解答即可．【解答】解：設(shè)這種襯衫平均每次降價的百分率為x，根據(jù)題意列方程得，200×（1﹣x）2＝162，解得x1＝0.1，x2＝﹣1.9（不合題意，舍去）；答：這種襯衫平均每次降價的百分率為10%．故答案為：10%．【點評】本題考查了一元二次方程在實際生活中的應(yīng)用，此題列方程得依據(jù)是：襯衫原來價格×（1﹣每次降價的百分率）2＝現(xiàn)在價格．16．（2022春?閔行區(qū)期末）近幾年，全社會對空氣污染問題越來越重視，空氣凈化器的銷量也在逐年增加．某商場從廠家購進(jìn)了A，B兩種型號的空氣凈化器，兩種凈化器的銷售相關(guān)信息如表：A型銷售數(shù)量（臺）B型銷售數(shù)量（臺）總利潤（元）51025001052750（1）每臺A型空氣凈化器的銷售利潤是200元；每臺B型空氣凈化器的銷售利潤是150元；（2）該商場計劃一次購進(jìn)兩種型號的空氣凈化器共80臺，其中B型空氣凈化器的進(jìn)貨量不少于A型空氣凈化器的2倍，為使該商場銷售完這80臺空氣凈化器后的總利潤最大，那么應(yīng)該購進(jìn)A型空氣凈化器26臺；B型空氣凈化器54臺．（3）已知A型空氣凈化器的凈化能力為300m3/小時，B型空氣凈化器的凈化能力為200m3/小時．某長方體室內(nèi)活動場地的總面積為300m2，室內(nèi)墻高3m．該場地負(fù)責(zé)人計劃購買7臺空氣凈化器，每天花費30分鐘將室內(nèi)空氣凈化一新，如不考慮空氣對流等因素，他至少要購買A型空氣凈化器多少臺？【分析】（1）根據(jù)題意列方程組求解；（2）根據(jù)題意列函數(shù)關(guān)系式，再利用函數(shù)的性質(zhì)求最值；（3）根據(jù)題意列不等式求解．【解答】解：（1）設(shè)每臺A型空氣凈化器的銷售利潤是x元，每臺B型空氣凈化器的銷售利潤是y元，根據(jù)題意得：，解得：故答案為：200，150；（2）設(shè)購進(jìn)a臺A型空氣凈化器，總利潤為w元，則：w＝200a+150（80﹣a）＝50a+12000，∵80﹣a≥2a，∴a≤26，∴a的最大值為：26，∵w隨a的增大而增大，∴當(dāng)a＝26時，w有最大值，此時．80﹣a＝54，故答案為：26，54；（3）設(shè)要購買A型空氣凈化器a臺，由題意得：150a+100（7﹣a）≥300×3，解得：a≥4，所以a的最小值為：4，答：至少要購買A型空氣凈化器4臺．【點評】本題考查了方程組的應(yīng)用，一次函數(shù)的應(yīng)用及不等式的應(yīng)用，理解題意是解題的關(guān)鍵．17．（2022春?長寧區(qū)校級期中）某商店銷售某種產(chǎn)品，平均每天可賣出30件，每件盈利50元．為了擴(kuò)大銷售量，增加盈利，盡快減少庫存，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：如果這種產(chǎn)品每降價1元，那么平均每天就可多售出2件．要想半均每天在銷售這種產(chǎn)品上盈利2000元，那么每件產(chǎn)品應(yīng)降價多少元？【分析】設(shè)每件產(chǎn)品應(yīng)降價x元，根據(jù)每天在銷售這種產(chǎn)品上盈利2000元，得（50﹣x）（30+2x）＝2000，解方程求出x，再根據(jù)盡快減少庫存，即可確定答案．【解答】解：設(shè)每件產(chǎn)品應(yīng)降價x元，根據(jù)題意，得（50﹣x）（30+2x）＝2000，解方程，得x1＝10（不合題意，舍去），x2＝25，答：每件產(chǎn)品應(yīng)降價25元．【點評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用題，理解題意并根據(jù)題意建立方程是解題的關(guān)鍵．18．（2021秋?徐匯區(qū)期末）某商場今年8月的營業(yè)額為400萬元，9月份營業(yè)額比8月份增加10%，11月份的營業(yè)額達(dá)到633.6萬元，求9月份到11月份營業(yè)額的月平均增長率．【分析】設(shè)9月份到11月份營業(yè)額的月平均增長率為x，利用11月份的營業(yè)額＝9月份的營業(yè)額×（1+月平均增長率）2，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)9月份到11月份營業(yè)額的月平均增長率為x，依題意得：400（1+10%）（1+x）2＝633.6，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合題意，舍去）．答：9月份到11月份營業(yè)額的月平均增長率為20%．【點評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．19．（2022春?金山區(qū)校級期中）某經(jīng)銷店為廠家代銷一種新型環(huán)保水泥，當(dāng)每噸售價為260元時，月銷售量為45噸，每售出1噸這種水泥共需支付廠家費用和其他費用共100元．該經(jīng)銷店為擴(kuò)大銷售量、提高經(jīng)營利潤，計劃采取降價的方式進(jìn)行促銷，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，當(dāng)每噸售價每下降10元時，月銷售量就會增加7.5噸．（1）填空：當(dāng)每噸售價是240元時，此時的月銷售量是60噸；（2）該經(jīng)銷店計劃月利潤為9000元而且盡可能地擴(kuò)大銷售量，則售價應(yīng)定為每噸多少元？【分析】（1）因為每噸售價每下降10元時，月銷售量就會增加7.5噸，可求出當(dāng)每噸售價是240元時，此時的月銷售量是多少噸．（2）設(shè)當(dāng)售價定為每噸x元時，根據(jù)當(dāng)每噸售價為260元時，月銷售量為45噸，每售出1噸這種水泥共需支付廠家費用和其他費用共100元，當(dāng)每噸售價每下降10元時，月銷售量就會增加7.5噸，且該經(jīng)銷店計劃月利潤為9000元而且盡可能地擴(kuò)大銷售量，以9000元作為等量關(guān)系可列出方程求解．【解答】解：（1）45+×7.5＝60；（2分）（2）設(shè)當(dāng)售價定為每噸x元時，由題意，可列方程（x﹣100）（45+×7.5）＝9000．（2分）化簡得x2﹣420x+44000＝0．解得x1＝200，x2＝220．（6分）當(dāng)售價定為每噸200元時，銷量更大，所以售價應(yīng)定為每噸200元．【點評】本題考查理解題意能力，關(guān)鍵是找出降價10元，卻多銷售7.5噸的關(guān)系，從而列方程求解．鞏固提升鞏固提升一、填空題1．（2020·上海第二工業(yè)大學(xué)附屬龔路中學(xué)八年級期中）某小組每人給他人送一張照片，全組共送出132張，那么這個小組共有___________人．【答案】12【分析】先找出題目中的等量關(guān)系為：人數(shù)×（人數(shù)-1）=132，通過列一元二次方程計算求得正數(shù)解即可．【詳解】解：設(shè)這個小組共有x人．x（x-1）=132，解得x1=12，x2=-11（不合題意，舍去）．故答案為:12．【點睛】本題主要考查一元二次方程的應(yīng)用，得到照片總張數(shù)的等量關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，重點是理解2個人之間要互送出2張照片．2．（2022·上海市靜安區(qū)教育學(xué)院附屬學(xué)校八年級期中）某商品經(jīng)過兩次連續(xù)漲價，每件售價由原來的35元漲到了55元．設(shè)平均每次漲價的百分率為x，那么可得方程是__________．【答案】【分析】設(shè)平均每次漲價的百分率為x，根據(jù)“商品經(jīng)過兩次連續(xù)漲價，每件售價由原來的35元漲到了55元．”列出方程，即可求解．【詳解】解：設(shè)平均每次漲價的百分率為x，根據(jù)題意得：．故答案為：【點睛】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，明確題意，準(zhǔn)確得到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．3．（2022·上?！ぐ四昙壠谀┰诿利愢l(xiāng)村建設(shè)中，某村2017年新增綠化面積為20000平方米，計劃到2019年新增綠化面積要達(dá)到28800平方米．如果每年新增綠化面積的增長率相同，那么這個增長率是________．【答案】20%【分析】設(shè)這個增長率為x，根據(jù)“2017年新增綠化面積為20000平方米，計劃到2019年新增綠化面積要達(dá)到28800平方米”列出方程，即可求解．【詳解】解：設(shè)這個增長率為x，由題意得20000(1+x)2=28800，即(1+x)2=1.44，∴1+x=±1.2，∴x1=0.2，x2=-2.2（舍去），故x=0.2=20%．答∶這個增長率是20%．故答案是：20%【點睛】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，在解題時要根據(jù)已知條件找出等量關(guān)系，列出方程是本題的關(guān)鍵．4．（2022·上海市風(fēng)華初級中學(xué)八年級期末）某城市樓盤計劃以每平方米12000元的均價對外銷售，由于新政調(diào)控，房產(chǎn)商對價格兩次下調(diào)后，最終以每平方米9800元的均價開盤銷售.設(shè)每次下調(diào)的百分率相同且記為x，根據(jù)題意可以列出方程__.【答案】12000（1-x）2=9800【分析】設(shè)出平均每次下調(diào)的百分率為x，利用“樓盤對外銷售每平方米的均價×（1-每次下調(diào)的百分率）2=開盤每平方米銷售價格”列方程即可．【詳解】解：設(shè)平均每次降價的百分率是x，根據(jù)題意列方程得，12000（1-x）2=9800．故答案為：12000（1-x）2=9800．【點睛】本題主要考查了列一元二次方程，發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系“樓盤對外銷售每平方米的均價×（1-每次下調(diào)的百分率）2=開盤每平方米銷售價格”是解答本題的關(guān)鍵．5．（2022·上海·八年級開學(xué)考試）已知一個兩位數(shù)，個位上的數(shù)字比十位上的數(shù)字小4，且個位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字的平方和比這個兩位數(shù)小4，則這個兩位數(shù)是___．【答案】84【分析】等量關(guān)系為：個位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字的平方和＝這個兩位數(shù)﹣4，把相關(guān)數(shù)值代入求得整數(shù)解即可．【詳解】設(shè)十位上的數(shù)字為x，則個位上的數(shù)字為（x﹣4）．可列方程為：x2+（x﹣4）2＝10x+（x﹣4）﹣4解得：x1＝8，x2＝1.5（舍），∴x﹣4＝4，∴10x+（x﹣4）＝84．答：這個兩位數(shù)為84．故答案為：84【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列出方程是解題的關(guān)鍵．6．（2022·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）要組織一次排球邀請賽，參賽的每兩個隊之間都要比賽一場，根據(jù)場地和時間等條件，賽程計劃安排7天，每天安排4場比賽，比賽組織者應(yīng)邀請__隊參賽．【答案】8【分析】設(shè)比賽組織者應(yīng)邀請x個隊參賽，則每個隊參加（x－1）場比賽，共有場比賽，可列出一個一元二次方程，再進(jìn)行求解即可得出答案.【詳解】解：∵賽程計劃安排7天，每天安排4場比賽，∴共7×4＝28場比賽．設(shè)比賽組織者應(yīng)邀請x隊參賽，則由題意可列方程為：＝28．解得：x1＝8，x2＝﹣7（舍去），所以比賽組織者應(yīng)邀請8隊參賽．故答案為：8．【點睛】本題主要考查了一元二次方程，解此題的要點在于可以把實際問題轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)問題．二、解答題7.在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式：（1）； （2）；（3）．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】（1）令，解得：，，則原式可分解為；（2）令，解得：，，則原式可分解為；令，該方程即為，解得：，，則原式可分解為．【總結(jié)】主元法的思想，把一個字母當(dāng)做未知數(shù)，另一個當(dāng)做常數(shù)．8.二次三項式，當(dāng)a取何值時，（1）在實數(shù)范圍內(nèi)能分解；（2）能分解成兩個相同的因式；（3）不能因式分解

．【答案】（1）且；（2）；（3）．【解析】原式是二次三項是，可知二次項系數(shù)，得：，令，得，（1）原式可分解因式，則有，得：且；（2）原式可分解為兩個相同的式子，則有，得：；（3）原式不能分解因式，則有，得：．【總結(jié)】考查二次三項式的因式分解與方程根的情況之間的關(guān)系，注意區(qū)分開各種情形之間的區(qū)別和聯(lián)系．9．（2022·上?！ぐ四昙壠谥校┮粡埉嬈L20厘米、寬16厘米，要在畫片的外面鑲上一條同樣寬的金色紙條，使金色紙條的面積是畫片面積的，求金色紙條的寬．【答案】1厘米【分析】設(shè)金色紙邊的寬度為x厘米，則掛圖的長為（20＋2x）厘米，寬就為（16＋2x）厘米，根據(jù)題目條件列出方程即可．【詳解】解：設(shè)金色紙條的寬為x厘米根據(jù)題意可列方程（20＋2x）（16＋2x）＝20×16×（1＋），整理得x2＋18x﹣19＝0，解得x1＝1，x2＝﹣19，但x2＝﹣19不符合題意，舍去，答：金色紙條的寬為1厘米．【點睛】本題考查了根據(jù)矩形的面積公式列一元二次方程解決實際問題，解題的關(guān)鍵是正確表示出新圖形的邊長．10．（2022·上海·八年級專題練習(xí)）某公司市場營銷部的某營銷員的個人月收入與該營銷員每月的銷售量的關(guān)系如表格所示．個人月收入（元）16002400320040004800…每月銷售量（萬件）12345…根據(jù)以上表格提供的信息，解答下列問題：如果兩個月內(nèi)該營銷員的銷售量從2萬件猛增到5萬件，月收入兩個月大幅度增長，且連續(xù)兩個月的月收入的增長率是相同的，試求這個增長率（取1.41）．【答案】連續(xù)兩個月的月收入的增長率約為41%【分析】設(shè)連續(xù)兩個月的月收入的增長率為x，利用兩個月后的月收入＝月收入×（1+增長率）2，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出這個增長率約為41%．【詳解】解：設(shè)連續(xù)兩個月的月收入的增長率為x，依題意得：2400（1+x）2＝4800，解得：x1＝≈1.41﹣1＝0.41＝41%，x2＝≈﹣1.41﹣1＝﹣2.41（不合題意，舍去）．答：連續(xù)兩個月的月收入的增長率約為41%．【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．11．（2022·上海·八年級期末）某商場今年8月的營業(yè)額為400萬元，9月份營業(yè)額比8月份增加10%，11月份的營業(yè)額達(dá)到633.6萬元，求9月份到11月份營業(yè)額的月平均增長率．【答案】20%【分析】一般用增長后的量=增長前的量×（1+增長率），設(shè)9月份到11月份營業(yè)額的月平均增長率為x，則10月份的營業(yè)額是400（1+10%）（1+x），11月份的營業(yè)額是400（1+10%）（1+x）2，據(jù)此即可列方程求解．【詳解】解：設(shè)9月份到11月份營業(yè)額的月平均增長率為x，依題意得：400（1+10%）（1+x）2＝633.6，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合題意，舍去）．答：9月份到11月份營業(yè)額的月平均增長率為20%．【點睛】本題主要考查一元二次方程的應(yīng)用--增長率問題，一般用增長后的量=增長前的量×（1+增長率），根據(jù)題意找到關(guān)鍵描述語，找到等量關(guān)系準(zhǔn)確的列出方程是解決問題的關(guān)鍵．12．（2022·上海·八年級期中）某果園有100棵桃樹，一棵桃樹平均結(jié)1000個桃子，現(xiàn)準(zhǔn)備多種一些桃樹以提高產(chǎn)量，試驗發(fā)現(xiàn)，每多種一棵桃樹，每棵桃樹的產(chǎn)量就會減少2個，如果要使產(chǎn)量增加15.2%，且所種桃樹要少于原有桃樹，那么應(yīng)多種多少棵桃樹？【答案】20棵【分析】每多種一棵桃樹，每棵桃樹的產(chǎn)量就會減少2個，所以多種x棵樹每棵桃樹的產(chǎn)量就會減少2x個（即是平均產(chǎn)1000﹣2x個），桃樹的總共有(100＋x)棵，所以總產(chǎn)量是（100＋x）（1000﹣2x）個，要使產(chǎn)量增加15．2%，達(dá)到100×1000×（1＋15．2%）個．【詳解】解：設(shè)應(yīng)多種x棵桃樹，則由題意可得：（100＋x）（1000﹣2x）＝100×1000×（1＋15．2%）整理，得：x2﹣400x＋7600＝0，即（x﹣20）（x﹣380）＝0，解得：x1＝20，x2＝380，

因為所種桃樹要少于原有桃樹，所以x＝380不符合題意，應(yīng)舍去，取x＝20，答：應(yīng)多種20棵桃樹．【點睛】本題考查一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是弄清題意，找出桃樹的增加量與桃子總產(chǎn)量的關(guān)系．13．（2022·上海·八年級專題練習(xí)）在一次聚會上，規(guī)定每兩個人見面必須握1次手．

（1）若參加聚會的人數(shù)為6，則共握手次，若參加聚會的人數(shù)為n（n為正整數(shù)），則共握手次；

（2）若參加聚會的人共握手36次，請求出參加聚會的人數(shù)；

（3）小明由握手問題想到了一個數(shù)學(xué)問題：若線段AB上共有m個點（不含端點A、B），線段總數(shù)為多少呢？請直接寫出結(jié)論．【答案】（1）15，；（2）參加聚會的人數(shù)為9人；（3）線段數(shù)為【分析】（1）根據(jù)題意，每個人要與他自己以外的人握手一次，當(dāng)兩人只握手一次，所以握手次數(shù)為：×聚會人數(shù)×（聚會人數(shù)－1），故可進(jìn)行計算求解；（2）根據(jù)（1）中的公式列一元二次方程，求解即可；（3）線段AB上共有m個點，相當(dāng)于聚會人數(shù)有個，則根據(jù)公式列方程求解即可．【詳解】解：（1）根據(jù)題意，每個人與他自己以外的人握手一次，當(dāng)兩人握手一次，總的握手次數(shù)為：×聚會人數(shù)×（聚會人數(shù)－1）參加聚會的人數(shù)為6，則共握手次，當(dāng)聚會人數(shù)為n時，共握手次，故答案為15，；（2）由題意得：，∴解得：，（不合題意，舍去），答：參加聚會的人數(shù)為9人．（3）由線段AB上共有m個點（不含端點A、B），則相當(dāng)于聚會人數(shù)為m+2，∴線段數(shù)為．【點睛】此題主要考查一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意找到等量關(guān)系進(jìn)行求解．14．（2022·上海·八年級期中）勞技課上某小組的同學(xué)們要用40厘米長的鋁合金材料加工成長方形的框架．分別在下列條件下，求相鄰兩邊的長．(1)面積為36平方厘米；(2)面積為100平方厘米；(3)面積為120平方厘米．【答案】(1)2厘米，18厘米(2)均為10厘米(3)不存在【分析】設(shè)長方形框架的一邊長為x厘米，則另一邊長為（20﹣x）厘米．（1）根據(jù)矩形的面積公式得到方程x（20﹣x）＝36，通過解該方程求得x的值，然后求（20﹣x）的值即可；（2）根據(jù)矩形的面積公式得到方程x（20﹣x）＝100，通過解該方程求得x的值，然后求（20﹣x）的值即可；（3）根據(jù)矩形的面積公式得到方程x（20﹣x）＝120，結(jié)合根的判別式進(jìn)行解答．(1)設(shè)長方形框架的一邊長為x厘米，則另一邊長為（20﹣x）厘米．根據(jù)題意，得方程x（20﹣x）＝36，整理，得x2﹣20x＋36＝0，解得x1＝18，x2＝2，經(jīng)檢驗，x1、x2都符合實際意義．當(dāng)x＝18時，20﹣x＝2；當(dāng)x＝2時，20﹣x＝18．答：長方形的鄰邊長為2厘米，18厘米；(2)設(shè)長方形框架的一邊長為x厘米，則另一邊長為（20﹣x）厘米．根據(jù)題意，得方程x（20﹣x）＝100，整理，得x2﹣20x＋100＝0，解得x1＝x2＝10，經(jīng)檢驗，x＝10符合實際意義．當(dāng)x＝10時，20﹣x＝10，答：長方形的鄰邊長均為10厘米；(3)設(shè)長方形框架的一邊長為x厘米，則另一邊長為（20﹣x）厘米．根據(jù)題意，得方程x（20﹣x）＝120，整理，得x2﹣20x＋120＝0，∵?＝400﹣480＝﹣80＜0，∴此方程無實數(shù)根．答：用40厘米長的材料加工成長方形框架，面積不可能120平方厘米．【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用．解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程，再求解．15．（2022·上海·八年級專題練習(xí)）某產(chǎn)品5月份時每件200元，在6、7月進(jìn)行了兩次提價，且每次提價的百分率相同，此時售價為288元，后因產(chǎn)品銷售問題，8月選擇降價，降價的百分率與之前每次提價的百分率相同，求8月份該產(chǎn)品的售價？【答案】230.4元【分析】設(shè)每次提價的百分率為x，由連續(xù)兩次提價，且每次提價的百分率相同，此時售價為288元，列一元二次方程200（1﹣x）2＝288，再由直接開平方解答．【詳解】解：設(shè)每次提價的百分率為x，依題意得：200（1﹣x）2＝288，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝2.2（不合題意，