蘇科版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)壓軸題攻略專題07直線與圓的位置關(guān)系壓軸題六種模型全攻略特訓(xùn)(原卷版+解析)

專題07直線與圓的位置關(guān)系壓軸題六種模型全攻略考點(diǎn)一直線與圓的位置關(guān)系考點(diǎn)二已知直線與圓的位置關(guān)系求半徑的求值考點(diǎn)三切線的性質(zhì)定理考點(diǎn)四切線的性質(zhì)和判定的綜合應(yīng)用考點(diǎn)五應(yīng)用切線長定理求解考點(diǎn)六應(yīng)用切線長定理證明典型例題典型例題考點(diǎn)一直線與圓的位置關(guān)系例題：（2022·四川成都·二模）⊙O的直徑為8，圓心O到直線a的距離為4，則直線a與⊙O的位置關(guān)系是（

）A．相離 B．相切 C．相交 D．不能確定【變式訓(xùn)練】1．（2022·河北承德·九年級(jí)期末）在中，，，以A為圓心2.5為半徑作圓．下列結(jié)論中正確的是（

）A．直線BC與圓O相切B．直線BC與相離C．點(diǎn)B在圓內(nèi)D．點(diǎn)C在圓上2．（2020·全國·九年級(jí)期中）已知的直徑為6cm，點(diǎn)O到直線a的距離為，則與直線a的位置關(guān)系是____________．考點(diǎn)二已知直線與圓的位置關(guān)系求半徑的求值例題：（2022·浙江寧波·九年級(jí)期末）已知圓與直線有兩個(gè)公共點(diǎn)，且圓心到直線的距離為4，則該圓的半徑可能為（）A．2 B．3 C．4 D．5【變式訓(xùn)練】1．（2022·江蘇南通·一模）如圖，點(diǎn)D是等腰直角△ABC斜邊AB上一點(diǎn)，點(diǎn)E是BC上一點(diǎn)，AB＝2，DA＝DE，則AD的取值范圍是____．2．（2021·河北·金華中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，若以點(diǎn)C為圓心，r為半徑的圓與邊AB所在直線相離，則r的取值范圍為_____；若⊙C與AB邊只有一個(gè)有公共點(diǎn)，則r的取值范圍為_____．考點(diǎn)三切線的性質(zhì)定理例題：（2022·江蘇泰州·中考真題）如圖，PA與⊙O相切于點(diǎn)A，PO與⊙O相交于點(diǎn)B，點(diǎn)C在上，且與點(diǎn)A，B不重合，若∠P=26°，則∠C的度數(shù)為_________°．【變式訓(xùn)練】1．（2022·山東德州·九年級(jí)期末）如圖，PA、PB分別與⊙O相切于A、B，C為⊙O上一點(diǎn)，∠ACB=126°，則∠P的度數(shù)為________．2．（2022·山東威?！ぞ拍昙?jí)期末）如圖，PA，PB與⊙O相切于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在⊙O上，若∠C＝70°，則∠P＝_____°．3．（2022·湖北鄂州·中考真題）工人師傅為檢測該廠生產(chǎn)的一種鐵球的大小是否符合要求，設(shè)計(jì)了一個(gè)如圖（1）所示的工件槽，其兩個(gè)底角均為90°，將形狀規(guī)則的鐵球放入槽內(nèi)時(shí)，若同時(shí)具有圖（1）所示的A、B、E三個(gè)接觸點(diǎn)，該球的大小就符合要求．圖（2）是過球心及A、B、E三點(diǎn)的截面示意圖，已知⊙O的直徑就是鐵球的直徑，AB是⊙O的弦，CD切⊙O于點(diǎn)E，AC⊥CD、BD⊥CD，若CD=16cm，AC=BD=4cm，則這種鐵球的直徑為（

）A．10cm B．15cm C．20cm D．24cm考點(diǎn)四切線的性質(zhì)和判定的綜合應(yīng)用例題：（2022·遼寧盤錦·模擬預(yù)測）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠ABC＝45°，連接AO并延長交⊙O于點(diǎn)D，連接BD，過點(diǎn)C作CE∥AD與BA的延長線交于點(diǎn)E．(1)求證：CE與⊙O相切；(2)若AD＝4，∠D＝60°，求線段AB，BC的長．【變式訓(xùn)練】1．（2022·山東威?！ぞ拍昙?jí)期末）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，且DC＝AD．過點(diǎn)A作⊙O的切線，過點(diǎn)C作DA的平行線，兩直線交于點(diǎn)F，F(xiàn)C的延長線交AB的延長線于點(diǎn)G．(1)求證：FG與⊙O相切；(2)連接EF，若AF＝2，求EF的長．2．（2022·廣西·中考真題）如圖，在中，，以AC為直徑作交BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作，垂足為E，延長BA交于點(diǎn)F．(1)求證：DE是的切線(2)若，求的半徑．3．（2022·福建省福州第十九中學(xué)模擬預(yù)測）如圖，以四邊形ABCD的對(duì)角線BD為直徑作圓，圓心為O，過點(diǎn)A作的延長線于點(diǎn)E，已知DA平分．(1)求證：是的切線；(2)若，，求的半徑和AD的長．考點(diǎn)五應(yīng)用切線長定理求解例題：（2022·湖北·武漢一初慧泉中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在四邊形中，是四邊形的內(nèi)切圓，分別切于F，E兩點(diǎn)，若，則的長是（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2022·遼寧·黑山縣教師進(jìn)修學(xué)校二模）如圖所示，AB、AC為⊙O的切線，B和C是切點(diǎn)，延長OB到D，使BD＝OB，連接AD．∠DAC＝78°，那么∠AOD等于_____度．2．（2022·天津河?xùn)|·二模）已知是直徑，，分別切于點(diǎn)，．(1)如圖①，若，求的度數(shù)；(2)如圖②，延長到點(diǎn)，使，連接，若，求的度數(shù)．考點(diǎn)六應(yīng)用切線長定理證明例題：（2022·北京·首都師范大學(xué)附屬中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，Rt中，，為上一點(diǎn)，以為圓心，長為半徑的圓恰好與相切于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，并延長交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)若，，求的半徑及的長．【變式訓(xùn)練】1．（2022·山東德州·九年級(jí)期末）如圖，AB、AC為⊙O的切線，B和C是切點(diǎn)，延長OB到點(diǎn)D，使BD＝OB，連接AD，若∠DAC＝78°，則∠ADO等于（

）A．70° B．64° C．62° D．51°2．（2022·廣東·模擬預(yù)測）如圖，AB是⊙O直徑，BC⊥AB于點(diǎn)B，點(diǎn)C是射線BC上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)C作CD切⊙O于點(diǎn)D，連接AD．(1)求證：BC＝CD；(2)若∠C＝60°，BC＝3，求AD的長．課后訓(xùn)練課后訓(xùn)練一、選擇題1．（2022·黑龍江哈爾濱·三模）如圖，PA、PC是⊙O的兩條切線，點(diǎn)A、C為切點(diǎn)，點(diǎn)B為⊙O上任意一點(diǎn)，連接AB、BC，若∠B=52°，則P的度數(shù)為（

）．A．68° B．104° C．70° D．76°2．（2022·重慶八中二模）如圖，OA是⊙О的一條半徑，點(diǎn)P是OA延長線上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作⊙O的切線PB，點(diǎn)B為切點(diǎn)．若PA=1，PB=2，則半徑OA的長為（

）A． B． C． D．33．（2022·重慶·三模）如圖，PA、PB是⊙O的切線，A、B是切點(diǎn)，點(diǎn)C在⊙O上，且∠ACB=63°，則∠APB等于（

）A．62° B．54° C．53° D．63°4．（2022·重慶·模擬預(yù)測）如圖，PM、PN是⊙O的切線，B、C是切點(diǎn)，A、D是⊙O上的點(diǎn)，若∠P＝44°，∠D＝98°，則∠MBA的度數(shù)為（）A．38° B．28° C．30° D．40°5．（2022·山東·臨沂市河?xùn)|區(qū)教育科學(xué)研究與發(fā)展中心二模）如圖，在中，，，，是以點(diǎn)為圓心，3為半徑的圓上一點(diǎn)，連接，是的中點(diǎn)，則線段長度的最小值為（

）A．3 B．4 C．5 D．6二、填空題6．（2022·湖南懷化·中考真題）如圖，AB與⊙O相切于點(diǎn)C，AO=3，⊙O的半徑為2，則AC的長為_____．7．（2022·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，切線PA、PB分別與⊙O相切于點(diǎn)A、B，切線EF與⊙O相切于點(diǎn)C，且分別交PA、PB于點(diǎn)E、F，若△PEF的周長為6，則線段PA的長為_____．8．（2022·江蘇·星海實(shí)驗(yàn)中學(xué)二模）如圖，在矩形ABCD中，，，M，N分別是BC，DC邊上的點(diǎn)，若經(jīng)過點(diǎn)A，且與BC，DC分別相切于點(diǎn)M，N，則的半徑為______．9．（2022·江蘇南京·二模）如圖，在五邊形AECDE中，∠A=∠B=∠C=90°，AE=2，CD=1，以DE為直徑的半圓分別與AB、BC相切于點(diǎn)F、G，則DE的長為______．10．（2022·浙江金華·中考真題）如圖，木工用角尺的短邊緊靠⊙于點(diǎn)A，長邊與⊙相切于點(diǎn)B，角尺的直角頂點(diǎn)為C，已知，則⊙的半徑為_____．三、解答題11．（2022·遼寧葫蘆島·三模）如圖，正方形的邊長為的直徑，E是上一點(diǎn)（不與A，B重合），將正方形的一個(gè)角沿折疊，使得點(diǎn)B恰好與圓上的點(diǎn)F重合．(1)判斷直線與的位置關(guān)系？并說明理由；(2)若的半徑為1，求的長？12．（2022·福建·廈門市第五中學(xué)二模）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，AC是⊙O直徑，BE∥AD交DC延長線于點(diǎn)E，若BC平分∠ACE．(1)求證：BE是⊙O的切線；(2)若BE＝3，CD＝2，求⊙O的半徑．13．（2022·云南昆明·三模）如圖，在中，點(diǎn)D是AC邊上一點(diǎn)，且，以線段AB為直徑作，分別交BD，AC于點(diǎn)E，點(diǎn)F，．(1)求證：BC是的切線；(2)若，求點(diǎn)B到AC的距離；14．（2022·廣東茂名·九年級(jí)期末）如圖，AB為的切線，B為切點(diǎn)，過點(diǎn)B作，垂足為點(diǎn)E，交于點(diǎn)C，延長CO與AB的延長線交于點(diǎn)D．(1)求證：AC為的切線；(2)若，，求線段AD的長．15．（2022·山東菏澤·一模）如圖，AB為⊙O的切線，B為切點(diǎn)，過點(diǎn)B作BC⊥OA，垂足為點(diǎn)E，交⊙O于點(diǎn)C，延長CO與AB的延長線交于點(diǎn)D．(1)求證：AC為⊙O的切線；(2)若OC＝2，OD＝5，求線段AD和AC的長．16．（2022·河南南陽·一模）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于，AB是的直徑，過點(diǎn)D作的切線交BC的延長線于點(diǎn)E，交BA的延長線于點(diǎn)F，且，過點(diǎn)A作的切線交EF于點(diǎn)G，連接AC．(1)求證：AD平分；(2)若AD=5，AB=9，求線段DE的長．17．（2022·四川涼山·中考真題）如圖，已知半徑為5的⊙M經(jīng)過x軸上一點(diǎn)C，與y軸交于A、B兩點(diǎn)，連接AM、AC，AC平分∠OAM，AO＋CO＝6(1)判斷⊙M與x軸的位置關(guān)系，并說明理由；(2)求AB的長；(3)連接BM并延長交圓M于點(diǎn)D，連接CD，求直線CD的解析式．18．（2022·河南商丘·三模）如圖，以AB為直徑的上有一動(dòng)點(diǎn)C，的切線CD交AB的延長線于點(diǎn)D，過點(diǎn)B作交于點(diǎn)M，連接AM，OM，BC．(1)求證：(2)若，填空：①當(dāng)AM＝時(shí)，四邊形OCBM為菱形；②連接MD，過點(diǎn)O作于點(diǎn)N，若，則ON＝．專題07直線與圓的位置關(guān)系壓軸題六種模型全攻略考點(diǎn)一直線與圓的位置關(guān)系考點(diǎn)二已知直線與圓的位置關(guān)系求半徑的求值考點(diǎn)三切線的性質(zhì)定理考點(diǎn)四切線的性質(zhì)和判定的綜合應(yīng)用考點(diǎn)五應(yīng)用切線長定理求解考點(diǎn)六應(yīng)用切線長定理證明典型例題典型例題考點(diǎn)一直線與圓的位置關(guān)系例題：（2022·四川成都·二模）⊙O的直徑為8，圓心O到直線a的距離為4，則直線a與⊙O的位置關(guān)系是（

）A．相離 B．相切 C．相交 D．不能確定【答案】B【解析】【分析】直接根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系進(jìn)行解答即可．【詳解】解：∵⊙O的直徑是8，∴⊙O的半徑是4，又∵圓心O到直線a的距離是4，∴直線a與⊙O相切．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是直線與圓的位置關(guān)系，設(shè)⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d，當(dāng)d<r時(shí)，直線與圓O相交；當(dāng)d=r時(shí)，直線與圓O相切；當(dāng)d>r時(shí)，直線與圓O相離．【變式訓(xùn)練】1．（2022·河北承德·九年級(jí)期末）在中，，，以A為圓心2.5為半徑作圓．下列結(jié)論中正確的是（

）A．直線BC與圓O相切B．直線BC與相離C．點(diǎn)B在圓內(nèi)D．點(diǎn)C在圓上【答案】B【解析】【分析】過A點(diǎn)作AH⊥BC于H，如圖，利用等腰三角形的性質(zhì)得到BH=CH=BC=4，則利用勾股定理可計(jì)算出AH=3，然后根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系的判定方法對(duì)A選項(xiàng)和B選項(xiàng)進(jìn)行判斷；根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系對(duì)C選項(xiàng)和D選項(xiàng)進(jìn)行判斷．【詳解】解：過A點(diǎn)作AH⊥BC于H，如圖，∵AB=AC，∴BH=CH=BC=4，在Rt△ABH中，，∵AH⊥BC，AH=3＞2.5，∴直線BC與⊙A相離，所以A選項(xiàng)不符合題意，B選項(xiàng)符合題意．∵AB=5＞2.5，∴B點(diǎn)在⊙A外，所以C選項(xiàng)不符合題意；∵AC=5＞2.5，∴C點(diǎn)在⊙A外，所以D選項(xiàng)不符合題意；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系：設(shè)⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d，若直線l和⊙O相交?d＜r；直線l和⊙O相切?d＝r；直線l和⊙O相離?d＞r．也考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系和等腰三角形的性質(zhì)．2．（2020·全國·九年級(jí)期中）已知的直徑為6cm，點(diǎn)O到直線a的距離為，則與直線a的位置關(guān)系是____________．【答案】相離【解析】【分析】先求出的半徑，再比較點(diǎn)O到直線a的距離d與圓半徑r大小，根據(jù)當(dāng)d>r，則直線與圓相離，當(dāng)d=r，則直線與圓相切，當(dāng)d<r，則直線與圓相交，所此即可求解．【詳解】解：∵的直徑為6cm，∴的半徑為3cm，∵4cm>3cm，∴與直線a的位置關(guān)系是相離．故答案為：相離【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓滿的位置關(guān)系，熟練掌握“設(shè)點(diǎn)O到直線a的距離d，圓半徑r，當(dāng)d>r，則直線與圓相離，當(dāng)d=r，則直線與圓相切，當(dāng)d<r，則直線與圓相交”是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)二已知直線與圓的位置關(guān)系求半徑的求值例題：（2022·浙江寧波·九年級(jí)期末）已知圓與直線有兩個(gè)公共點(diǎn)，且圓心到直線的距離為4，則該圓的半徑可能為（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【解析】【分析】根據(jù)直線和圓相交，則圓心到直線的距離小于圓的半徑，即可得到問題答案．【詳解】解：∵圓與直線有兩個(gè)公共點(diǎn)，且圓心到直線的距離為4，∴該圓的半徑＞4，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了直線和圓的位置關(guān)系，熟悉直線和圓的位置關(guān)系，圓心到直線的距離與半徑的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·江蘇南通·一模）如圖，點(diǎn)D是等腰直角△ABC斜邊AB上一點(diǎn)，點(diǎn)E是BC上一點(diǎn)，AB＝2，DA＝DE，則AD的取值范圍是____．【答案】【解析】【分析】以D為圓心，AD的長為半徑畫圓，分BC與圓相交和相切時(shí)分情況討論，即可求出．【詳解】以D為圓心，AD的長為半徑畫圓①如圖，當(dāng)圓與BC相切時(shí)，DE⊥BC時(shí)，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC＝45°，∴BD＝DE，∵AB＝2，DA＝DE，∴AD+AD＝2，∴AD＝2﹣2；②如圖，當(dāng)圓與BC相交時(shí)，若交點(diǎn)為B或C，則AD＝AB＝1，∴AD的取值范圍是2﹣2≤AD≤1．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的作法，圓與直線的位置關(guān)系，圓的相關(guān)性質(zhì)，分情況討論并畫出圖形是解題的關(guān)鍵．2．（2021·河北·金華中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，若以點(diǎn)C為圓心，r為半徑的圓與邊AB所在直線相離，則r的取值范圍為_____；若⊙C與AB邊只有一個(gè)有公共點(diǎn)，則r的取值范圍為_____．【答案】

0<r<

r=【解析】【分析】根據(jù)d＞r時(shí)，點(diǎn)在圓外；當(dāng)d=r時(shí)，點(diǎn)在圓上；當(dāng)d＜r時(shí)，點(diǎn)在圓內(nèi)，可得答案；根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑時(shí)直線與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)．【詳解】解：如圖，作CH⊥AB于H．在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8，∴AB==10，∵S△ABC=?AC?BC=?AB?CH，∴CH=，∵以點(diǎn)C為圓心，r為半徑的圓與邊AB所在直線相離，∴0<r<；∵以點(diǎn)C為圓心，r為半徑的圓與邊AB所在直線只有一個(gè)公共點(diǎn)，∴r=．故答案為：0<r<；r=．【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，d＞r時(shí)，點(diǎn)在圓外；當(dāng)d=r時(shí)，點(diǎn)在圓上；當(dāng)d＜r時(shí)，點(diǎn)在圓內(nèi)．考點(diǎn)三切線的性質(zhì)定理例題：（2022·江蘇泰州·中考真題）如圖，PA與⊙O相切于點(diǎn)A，PO與⊙O相交于點(diǎn)B，點(diǎn)C在上，且與點(diǎn)A，B不重合，若∠P=26°，則∠C的度數(shù)為_________°．【答案】32【解析】【分析】連接OA，根據(jù)切線的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)求出∠O=64°．再根據(jù)圓周角的定理，求解即可．【詳解】解：連接OA，∵PA與⊙O相切于點(diǎn)A，∴∠PAO=90°，∴∠O=90°-∠P，∵∠P=26°，∴∠O=64°，∴∠C=∠O=32°．故答案為：32．【點(diǎn)睛】此題考查了切線的性質(zhì)以及圓周角定理，解題的關(guān)鍵是正確利用切線的定理，作出輔助線，求出∠O的度數(shù)．【變式訓(xùn)練】1．（2022·山東德州·九年級(jí)期末）如圖，PA、PB分別與⊙O相切于A、B，C為⊙O上一點(diǎn)，∠ACB=126°，則∠P的度數(shù)為________．【答案】72°##72度【解析】【分析】利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出∠ADB=54°，再根據(jù)圓周角定理得到∠AOB=108°，接著利用切線的性質(zhì)得到∠OAP=∠OBP=90°，然后根據(jù)四邊形的內(nèi)角和計(jì)算∠P的度數(shù)．【詳解】解：如圖所示，連接OA，OB，在優(yōu)弧AB上取點(diǎn)D，連接AD，BD，∵∠ACB+∠ADB=180°，∴∠ADB=180°-126°=54°，∴∠AOB=2∠ADB=108°，∵PA、PB分別與⊙O相切于A、B，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP=∠OBP=90°，∴∠P=180°-∠AOB=180°-108°=72°．故答案為：72°．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．也考查了圓周角定理．2．（2022·山東威?！ぞ拍昙?jí)期末）如圖，PA，PB與⊙O相切于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在⊙O上，若∠C＝70°，則∠P＝_____°．【答案】40【解析】【分析】連接OA、OB，先證明∠P＝180°﹣∠AOB，根據(jù)圓周角定理得出∠AOB＝2∠ACB，求出∠AOB的度數(shù)，即可得出結(jié)果．【詳解】解：連接OA、OB，如圖所示：∵PA、PB是⊙O切線，∴PA⊥OA，PB⊥OB，∴∠PAO＝∠PBO＝90°，∵∠P+∠PAO+∠AOB+∠PBO＝360°，∴∠P＝180°﹣∠AOB，∵∠C＝70°，∴∠AOB＝2∠C＝140°，∴∠P＝180°﹣140°＝40°，故答案為：40．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)、四邊形內(nèi)角和、圓周角定理等知識(shí)，熟練掌握切線的性質(zhì)和四邊形內(nèi)角和是解題的關(guān)鍵．3．（2022·湖北鄂州·中考真題）工人師傅為檢測該廠生產(chǎn)的一種鐵球的大小是否符合要求，設(shè)計(jì)了一個(gè)如圖（1）所示的工件槽，其兩個(gè)底角均為90°，將形狀規(guī)則的鐵球放入槽內(nèi)時(shí)，若同時(shí)具有圖（1）所示的A、B、E三個(gè)接觸點(diǎn)，該球的大小就符合要求．圖（2）是過球心及A、B、E三點(diǎn)的截面示意圖，已知⊙O的直徑就是鐵球的直徑，AB是⊙O的弦，CD切⊙O于點(diǎn)E，AC⊥CD、BD⊥CD，若CD=16cm，AC=BD=4cm，則這種鐵球的直徑為（

）A．10cm B．15cm C．20cm D．24cm【答案】C【解析】【分析】連接OA，OE，設(shè)OE與AB交于點(diǎn)P，根據(jù)，，得四邊形ABDC是矩形，根據(jù)CD與切于點(diǎn)E，OE為的半徑得，，即，，根據(jù)邊之間的關(guān)系得，，在，由勾股定理得，，進(jìn)行計(jì)算可得，即可得這種鐵球的直徑．【詳解】解：如圖所示，連接OA，OE，設(shè)OE與AB交于點(diǎn)P，∵，，，∴四邊形ABDC是矩形，∵CD與切于點(diǎn)E，OE為的半徑，∴，，∴，，∵AB=CD=16cm，∴，∵，在，由勾股定理得，解得，，則這種鐵球的直徑＝，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握這些知識(shí)點(diǎn)．考點(diǎn)四切線的性質(zhì)和判定的綜合應(yīng)用例題：（2022·遼寧盤錦·模擬預(yù)測）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠ABC＝45°，連接AO并延長交⊙O于點(diǎn)D，連接BD，過點(diǎn)C作CE∥AD與BA的延長線交于點(diǎn)E．(1)求證：CE與⊙O相切；(2)若AD＝4，∠D＝60°，求線段AB，BC的長．【答案】(1)見解析(2)線段AB的長為2，線段BC的長為+【解析】【分析】（1）連接OC，根據(jù)圓周角定理得∠AOC＝90°，再根據(jù)AD∥EC，可得∠OCE＝90°，從而證明結(jié)論；（2）過點(diǎn)A作AF⊥EC交EC于F，由AD是圓O的直徑，得∠ABD＝90°，結(jié)合AD＝4，可得到，根據(jù)，知△ABF是等腰直角三角形，進(jìn)而求出，再結(jié)合等腰直角三角形的性質(zhì)，由勾股定理求出CF，即可求解．(1)證明：連接OC，如圖：∵∠ABC＝45°，∴∠AOC＝90°．∵AD∥EC，∴∠AOC+∠OCE＝180°，∴∠OCE＝90°，∴OC⊥CE，∵OC為半徑，∴CE是⊙O的切線；(2)解：過點(diǎn)A作AF⊥BC于F，如圖．∵AD是圓O的直徑，∴∠ABD＝90°，∵AD＝4，∠D＝60°，∴∠BAD＝30°，∴，∴．∵∠ABC＝45°，∴△ABF是等腰直角三角形，∴．∵△AOC是等腰直角三角形，OA＝OC＝2，∴，∴，∴．答：線段AB的長為2，線段BC的長為+．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理，切線的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，含角的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，作輔助線構(gòu)造特殊的直角三角形是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·山東威?！ぞ拍昙?jí)期末）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，且DC＝AD．過點(diǎn)A作⊙O的切線，過點(diǎn)C作DA的平行線，兩直線交于點(diǎn)F，F(xiàn)C的延長線交AB的延長線于點(diǎn)G．(1)求證：FG與⊙O相切；(2)連接EF，若AF＝2，求EF的長．【答案】(1)見解析(2)【解析】【分析】（1）連接OC，AC．先證明△ACD為等邊三角形．可得∠ACO=∠OAC=30°．再由FG∥DA，可得∠ACF=∠DAC=60°．從而得到∠OCF=90°．即可求證；（2）根據(jù)AD∥FG，可得∠AGF=∠DAE=30°．再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得FG=2AF=4，．再證得△ADE≌△GCE．可得AE=GE=．然后由勾股定理，即可求解．(1)證明：連接OC，AC．∵AB是⊙O的直徑，CD⊥AB，∴CE=DE，AD=AC．∵DC=AD，∴DC=AD=AC．∴△ACD為等邊三角形．∴∠D=∠DCA=∠DAC=60°．∴∠AOC=30°，∵OA=OC，∴∠ACO=∠OAC=30°．∵FG∥DA，∴∠ACF=∠DAC=60°．∴∠OCF=90°．∴OC⊥FG．∵OC為半徑，∴FG與⊙O相切．(2)解∶∵AD∥FG，∴∠AGF=∠DAE=30°．∵AF為⊙O的切線，∴∠FAG=90°，∴FG=2AF=4，∴．在△ADE和△GCE中，∵∠AGF=∠DAE=30°．∠CEG=∠AED，DE=CE，∴△ADE≌△GCE．∴AE=GE=．∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂徑定理，切線的性質(zhì)和判定，直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握垂徑定理，切線的性質(zhì)和判定，直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2022·廣西·中考真題）如圖，在中，，以AC為直徑作交BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作，垂足為E，延長BA交于點(diǎn)F．(1)求證：DE是的切線(2)若，求的半徑．【答案】(1)見解析(2)13【解析】【分析】（1）連接OD，只要證明OD⊥DE即可；（2）連接CF，證OD是△ABC的中位線，得CF=2DE，再證DE是△FBC的中位線，得CF=2DE,設(shè)AE=2x，DE=3k，則CF=6k，BE=EF=AE+AF=2k+10，AC=BA=EF+AE=4k+10，然后在Rt△ACF中，由勾股定理，得(4k+10)2=102+(6k)2，解得：k=4，從而求得AC=4k+10=4×4+10=26，即可求得的半徑OA長，即可求解．(1)證明：連接OD；∵OD=OC，∴∠C=∠ODC，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠B=∠ODC，∴ODAB，∴∠ODE=∠DEB；∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴∠ODE=90°，即DE⊥OD，∴DE是⊙O的切線．(2)解：連接CF，由（1）知OD⊥DE，∵DE⊥AB，∴ODAB，∵OA=OC，∴BD=CD，即OD是△ABC的中位線，∵AC是的直徑，∴∠CFA=90°，∵DE⊥AB，∴∠BED=90°，∴∠CFA=∠BED=90°，∴DECF，∴BE=EF，即DE是△FBC的中位線，∴CF=2DE,∵，∴設(shè)AE=2x，DE=3k，CF=6k，∵AF=10，∴BE=EF=AE+AF=2k+10，∴AC=BA=EF+AE=4k+10，在Rt△ACF中，由勾股定理，得AC2=AF2+CF2，即(4k+10)2=102+(6k)2，解得：k=4，∴AC=4k+10=4×4+10=26，∴OA=13,即的半徑為13．【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理，切線的判定與性質(zhì)，勾股定理，三角形中位線的判定與性質(zhì)，證OD是△ABC的中位線，DE是△FBC的中位線是解題的關(guān)鍵．3．（2022·福建省福州第十九中學(xué)模擬預(yù)測）如圖，以四邊形ABCD的對(duì)角線BD為直徑作圓，圓心為O，過點(diǎn)A作的延長線于點(diǎn)E，已知DA平分．(1)求證：是的切線；(2)若，，求的半徑和AD的長．【答案】(1)見解析(2)5，【解析】【分析】（1）連接OA，根據(jù)已知條件證明即可解決問題；（2）取CD中點(diǎn)F，連接OF，根據(jù)垂徑定理可得，所以四邊形AEFO是矩形，利用勾股定理即可求出結(jié)果．(1)證明：如下圖，連接OA，∵，∴．∵DA平分，∴．又∵，∴，∴，∴，∵OA是半徑，∴是切線；(2)解：如上圖，取CD中點(diǎn)F，連接OF，∴于點(diǎn)F，∴四邊形AEFO是矩形．∵，∴．在Rt△OFD中，，∴，在Rt△AED中，，，∴，∴的長是．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定與性質(zhì)，垂徑定理，圓周角定理，勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是掌握切線的判定與性質(zhì)．考點(diǎn)五應(yīng)用切線長定理求解例題：（2022·湖北·武漢一初慧泉中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在四邊形中，是四邊形的內(nèi)切圓，分別切于F，E兩點(diǎn)，若，則的長是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】作DG⊥BC于點(diǎn)G，連接OC、OE，根據(jù)切線長定理可得CE=CF，OC平分∠ECF，DF=DH，所以O(shè)C垂直平分EF，令OC、EF相交于點(diǎn)M，則EM=FM，設(shè)圓半徑為R，則DG=2R，CG=3，CD=6-R+3-R，根據(jù)勾股定理可求出R，再利用求出EM即可求得EF．【詳解】連接OC，與EF相交于點(diǎn)M，作DG⊥BC于點(diǎn)G，連接OE，設(shè)AD與圓的切點(diǎn)為H，如圖，∵，∴四邊形ABGD是矩形，∴BG=AD=3，CG=BC-BG=6-3=3，∵點(diǎn)E、F、H是切點(diǎn)，∴DF=DH，CF=CE，OC平分∠ECF，∴△ECF是等腰三角形，OC是EF的垂直平分線，∴EM=FM，設(shè)圓O半徑為R，則BE=R，DG=2R，，∴CE=CF=6-R，DF=DH=3-R，∵，∴解得：R=2，∴CE=6-2=4，∴，∵，

∴，∴，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了切線長定理，充分利用切線長定理求解相關(guān)線段長度是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·遼寧·黑山縣教師進(jìn)修學(xué)校二模）如圖所示，AB、AC為⊙O的切線，B和C是切點(diǎn)，延長OB到D，使BD＝OB，連接AD．∠DAC＝78°，那么∠AOD等于_____度．【答案】64【解析】【分析】由已知條件推導(dǎo)出∠CAO=∠OAB=∠BAD，∠ABD=90°，由此根據(jù)∠DAC=78°，能求出∠AOD的大?。驹斀狻拷猓骸逜B、AC為⊙O的切線，B和C是切點(diǎn)，BD=OB，垂直平分,∠CAO=∠OAB∠OAB=∠BAD，∴∠CAO=∠OAB=∠BAD，∠ABD=90°，∵∠DAC=78°，∴∠BAO=∠DAC=26°，∴∠AOD=90°-26°=64°．故答案為：64．【點(diǎn)睛】本題考查角的大小的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意切線性質(zhì)的靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．2．（2022·天津河?xùn)|·二模）已知是直徑，，分別切于點(diǎn)，．(1)如圖①，若，求的度數(shù)；(2)如圖②，延長到點(diǎn)，使，連接，若，求的度數(shù)．【答案】(1)64°(2)63°【解析】【分析】（1）連接OC，根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠PCO=∠PBO=90°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠A=∠ACO=58°，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)和四邊形的內(nèi)角和定理即可得到結(jié)論；（2）連接OP，根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠CPO=∠BPO，∠PBO=90°，證明PB是OD的垂直平分線，可得∠OPB=∠DPB=∠CPO，進(jìn)而可以解決問題．(1)解∶如圖，連接OC，∵PC，PB分別切OO于點(diǎn)C，B，AB是直徑，∴∠PCO=∠PBO=90°，∵OC=OA，∴∠A=∠ACO=58°，∴∠BOC=∠A+∠ACO=116°，∴∠P=360°-90°-90°-116°=64°；(2)解：如圖，連接OP，∵PC，PB分別切OO于點(diǎn)C，B，AB是直徑，∴∠CPO=∠BPO，∠PBO=90°，∵BD=OB，∴PB是OD的垂直平分線，∴PO=PD，∴∠OPB=∠DPB，∴∠OPB=∠DPB=∠CPO，∵∠DPC=81°，∴∠OPB=∠DPB=∠CPO=27°，∴∠D=90°-27°=63°．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)六應(yīng)用切線長定理證明例題：（2022·北京·首都師范大學(xué)附屬中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，Rt中，，為上一點(diǎn)，以為圓心，長為半徑的圓恰好與相切于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，并延長交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)若，，求的半徑及的長．【答案】(1)見解析(2)的半徑為1.5，【解析】【分析】（1）連接DE，根據(jù)切線長定理可得∠BAO=∠DAO，∠PDC=90°，從而得到∠BAO=∠BAD，從而得到∠BAO==∠F，即可求證；（2）根據(jù)切線長定理可得AB=AD=3，再由勾股定理可得BC=4，設(shè)的半徑為x，則OD=x，OC=4-x，在中，由勾股定理可得的半徑為1.5，由（1）可得，在中，由勾股定理，即可求解．(1)證明：如圖，連接DE，∵，∴AB與相切，∵AD與相切，∴∠BAO=∠DAO，∠PDC=90°，∴∠BAO=∠BAD，∵∠BAD=90°-∠C，∠C=90°-∠COD，∴∠BAO==∠F；(2)解：∵AB與相切，AD與相切，∴AB=AD=3，∵CD=2，∴AC=5，∴BC=4，設(shè)的半徑為x，則OD=x，OC=4-x，在中，由勾股定理得：，∴，解得：x=1.5，∴的半徑為1.5，即OB=1.5，∵DF為直徑，DF=3，∴∠DEF=90°，∵，∴，∴EF=2DE，在中，由勾股定理得：，∴，解得：或（舍去）．【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線長定理，圓周角定理，勾股定理，熟練掌握切線長定理，圓周角定理是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·山東德州·九年級(jí)期末）如圖，AB、AC為⊙O的切線，B和C是切點(diǎn)，延長OB到點(diǎn)D，使BD＝OB，連接AD，若∠DAC＝78°，則∠ADO等于（

）A．70° B．64° C．62° D．51°【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)切線長定理，由AB、AC為⊙O的切線得到∠BAO＝∠CAO，根據(jù)切線的性質(zhì)得OB⊥AB，加上BD＝OB，則可判斷△AOD為等腰三角形，于是根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得∠BAO＝∠BAD，即∠CAO＝∠BAO＝∠BAD，然后利用∠DAC＝∠BAD+∠BAO+∠CAO＝78°可計(jì)算出∠BAD＝26°，再利用∠ADO＝90°﹣∠BAD求解．【詳解】解：∵AB、AC為⊙O的切線，∴∠BAO＝∠CAO，OB⊥AB，∵BD＝OB，∴AB垂直平分OD，∴AO＝AD．∴△AOD為等腰三角形，∴∠BAO＝∠BAD，∴∠CAO＝∠BAO＝∠BAD，∵∠DAC＝∠BAD+∠BAO+∠CAO＝78°，∴3∠BAD＝78°，解得∠BAD＝26°，∴∠ADO＝90°﹣∠BAD＝90°﹣26°＝64°．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．也考查了切線長定理．2．（2022·廣東·模擬預(yù)測）如圖，AB是⊙O直徑，BC⊥AB于點(diǎn)B，點(diǎn)C是射線BC上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)C作CD切⊙O于點(diǎn)D，連接AD．(1)求證：BC＝CD；(2)若∠C＝60°，BC＝3，求AD的長．【答案】(1)見解析(2)【解析】【分析】（1）根據(jù)切線長定理證明即可；（2）根據(jù)已知條件可得是等邊三角形，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理求解即可．(1)證明：∵AB是⊙O直徑，BC⊥AB于點(diǎn)B，是的切線，CD是的切線，(2)連接，，是的切線，，BC＝3，是等邊三角形，，是直徑【點(diǎn)睛】本題考查了切線長定理，切線的性質(zhì)，直徑所對(duì)的圓周角是直角，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，掌握?qǐng)A的切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．課后訓(xùn)練課后訓(xùn)練一、選擇題1．（2022·黑龍江哈爾濱·三模）如圖，PA、PC是⊙O的兩條切線，點(diǎn)A、C為切點(diǎn)，點(diǎn)B為⊙O上任意一點(diǎn)，連接AB、BC，若∠B=52°，則P的度數(shù)為（

）．A．68° B．104° C．70° D．76°【答案】D【解析】【分析】利用同弧所對(duì)的圓周角等于所對(duì)圓心角的一半求出∠AOC的度數(shù)，再根據(jù)切線的性質(zhì)以及四邊形的內(nèi)角和即可求出∠P的度數(shù)．【詳解】解：連接OA、OC，如圖：∵∠B=52°，∴∠AOC=2∠B=104°，∵PA、PB是⊙O的切線，∴OA⊥AP，OC⊥CP，∴∠OAP=∠OCP=90°，∴∠P=360°-（∠OAP+∠OCP+∠AOC）=76°，故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理以及四邊形的內(nèi)角和，熟練掌握切線的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．2．（2022·重慶八中二模）如圖，OA是⊙О的一條半徑，點(diǎn)P是OA延長線上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作⊙O的切線PB，點(diǎn)B為切點(diǎn)．若PA=1，PB=2，則半徑OA的長為（

）A． B． C． D．3【答案】B【解析】【分析】由題意得，是直角三角形，設(shè)OA=x，則OB=x，在中，，根據(jù)勾股定理得，，解得，即可得．【詳解】解：由題意得，，，，∴是直角三角形，設(shè)OA=x，則OB=x，在中，，根據(jù)勾股定理得，解得，則半徑OA的長為，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了圓，勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握這些知識(shí)點(diǎn)．3．（2022·重慶·三模）如圖，PA、PB是⊙O的切線，A、B是切點(diǎn)，點(diǎn)C在⊙O上，且∠ACB=63°，則∠APB等于（

）A．62° B．54° C．53° D．63°【答案】B【解析】【分析】先由圓周角定理求出∠AOB=126°，根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠OBP=∠OAP=90°，再利用四邊形內(nèi)角和定理求解即可．【詳解】解：∵∠ACB=63°，∴∠AOB=2∠ACB=126°，∵PA、PB都是圓O的切線，∴∠OBP=∠OAP=90°，∴∠APB=360°-∠AOB-∠OBP-∠OAP=54°，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理，切線的性質(zhì)，四邊形內(nèi)角和定理，熟知切線的性質(zhì)與圓周角定理是解題的關(guān)鍵．4．（2022·重慶·模擬預(yù)測）如圖，PM、PN是⊙O的切線，B、C是切點(diǎn)，A、D是⊙O上的點(diǎn)，若∠P＝44°，∠D＝98°，則∠MBA的度數(shù)為（）A．38° B．28° C．30° D．40°【答案】C【解析】【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)得到PB＝PC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠PBC＝∠PCB＝（180°﹣44°）＝68°，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠ABC＝180°﹣∠D＝82°，于是得到結(jié)論．【詳解】解：∵PM，PN是⊙O的切線，∴PB＝PC，∵∠P＝44°，∴∠PBC＝∠PCB＝（180°﹣44°）＝68°，∵∠D＝98°，∴∠ABC＝180°﹣∠D＝82°，∴∠MBA＝180°﹣∠PBC﹣∠ABC＝30°，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)、切線長定理、等腰三角形的性質(zhì)以及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，熟練掌握切線長定理是解題的關(guān)鍵．5．（2022·山東·臨沂市河?xùn)|區(qū)教育科學(xué)研究與發(fā)展中心二模）如圖，在中，，，，是以點(diǎn)為圓心，3為半徑的圓上一點(diǎn)，連接，是的中點(diǎn)，則線段長度的最小值為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【解析】【分析】作AB的中點(diǎn)E，連接EM、CE、AD，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半以及三角形的中位線定理求得CE和EM的長，然后在中根據(jù)三邊關(guān)系即可求解．【詳解】作AB的中點(diǎn)E，連接EM、CE、AD，則有AD=3，∵∠ACB=90°，即在中，，∵E是斜邊AB上的中點(diǎn)，∴，∵M(jìn)是BD的中點(diǎn)，E是AB的中點(diǎn)，∴，∴在中，，即；當(dāng)C、M、E三點(diǎn)共線時(shí)有或者；即，∴CM最小值為5，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系、三角形的中位線定理、勾股定理、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半等知識(shí)，熟練掌握綜合運(yùn)用各個(gè)知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．二、填空題6．（2022·湖南懷化·中考真題）如圖，AB與⊙O相切于點(diǎn)C，AO=3，⊙O的半徑為2，則AC的長為_____．【答案】【解析】【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠OCA=90°，再利用勾股定理求解即可．【詳解】解：連接OC，∵AB與⊙O相切于點(diǎn)C，∴OC⊥AB，即∠OCA=90°，在Rt△OCA中，AO=3，OC=2，∴AC=，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握切線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．7．（2022·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，切線PA、PB分別與⊙O相切于點(diǎn)A、B，切線EF與⊙O相切于點(diǎn)C，且分別交PA、PB于點(diǎn)E、F，若△PEF的周長為6，則線段PA的長為_____．【答案】3【解析】【分析】通過切線長定理將相等的線段進(jìn)行轉(zhuǎn)換，得出三角形PEF的周長等于PA+PB=6，又因?yàn)镻A=PB，所以可求出PA的長．【詳解】解：∵EA，EC都是圓O的切線，∴EC＝EA，同理FC＝FB，PA＝PB，∴△PEF的周長＝PF+PE+EF＝PF+PE+EA+FB＝PA+PB＝2PA＝6，∴PA＝3；故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查的是切線長定理，解此題的關(guān)鍵是得出△PEF的周長=PA+PB．8．（2022·江蘇·星海實(shí)驗(yàn)中學(xué)二模）如圖，在矩形ABCD中，，，M，N分別是BC，DC邊上的點(diǎn)，若經(jīng)過點(diǎn)A，且與BC，DC分別相切于點(diǎn)M，N，則的半徑為______．【答案】##【解析】【分析】連接OM，ON，OA，延長NO交AB于點(diǎn)E，設(shè)的半徑為r，根據(jù)切線的性質(zhì)可得OM⊥BC，ON⊥CD，可得四邊形BMOE、四邊形OMCN都為矩形，從而得到BE=OM=r，OE=BM，CM=ON=r，進(jìn)而得到OE=BM=BC-MC=3-r，AE=AB-BE=4-r，再由勾股定理，即可求解．【詳解】解：如圖，連接OM，ON，OA，延長NO交AB于點(diǎn)E，設(shè)的半徑為r，∵與BC，DC分別相切于點(diǎn)M，N，∴OM⊥BC，ON⊥CD，在矩形ABCD中，AB∥CD，∠B=∠C=90°，∴NE⊥AB，∴∠AEN=∠BEN=90°，∴四邊形BMOE、四邊形OMCN都為矩形，∴BE=OM=r，OE=BM，CM=ON=r，∴OE=BM=BC-MC=3-r，AE=AB-BE=4-r，在Rt△AOE中，（3-r）2+（4-r）2=r2，解得：（舍去），∴的半徑為．故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握切線的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵．9．（2022·江蘇南京·二模）如圖，在五邊形AECDE中，∠A=∠B=∠C=90°，AE=2，CD=1，以DE為直徑的半圓分別與AB、BC相切于點(diǎn)F、G，則DE的長為______．【答案】5【解析】【分析】作出如圖的輔助線，推出四邊形OFBG是正方形，設(shè)⊙O的半徑為r，則OE=OD=OE=OG=BG=AM=r，ME=r-2，ON=r-1，證明Rt△OME≌Rt△OND，得到OM=ON=r-1，在Rt△OME中，利用勾股定理求解即可．【詳解】解：取DE的中點(diǎn)O，連接OF、OG，延長GO與AE的延長線相交于點(diǎn)M，過點(diǎn)D作DN⊥MG于點(diǎn)N，∵BC切⊙O于點(diǎn)G，∴CG⊥BG，∵∠A=∠B=∠C=90°，∴四邊形ABGM、四邊形GCDN和四邊形OFBG都是矩形，∵OF=OG，∴四邊形OFBG是正方形，設(shè)⊙O的半徑為r，則OE=OD=OE=OG=BG=AM=r，∵AE=2，CD=1，∴ME=r-2，ON=r-1，在Rt△OME和Rt△OND中，，∴Rt△OME≌Rt△OND，∴OM=ON=r-1，在Rt△OME中，OE2=ME2+OM2，∴r2=(r-2)2+(r-1)2，解得：r=1(舍去)或5，故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股中位線定理，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．10．（2022·浙江金華·中考真題）如圖，木工用角尺的短邊緊靠⊙于點(diǎn)A，長邊與⊙相切于點(diǎn)B，角尺的直角頂點(diǎn)為C，已知，則⊙的半徑為_____．【答案】##【解析】【分析】設(shè)圓的半徑為rcm，連接OB、OA，過點(diǎn)A作AD⊥OB，垂足為D，利用勾股定理，在Rt△AOD中，得到r2＝（r?6）2＋82，求出r即可．【詳解】解：連接OB、OA，過點(diǎn)A作AD⊥OB，垂足為D，如圖所示：∵CB與相切于點(diǎn)B，∴，∴，∴四邊形ACBD為矩形，∴，，設(shè)圓的半徑為rcm，在Rt△AOD中，根據(jù)勾股定理可得：，即r2＝（r?6）2＋82，解得：，即的半徑為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理，作出輔助線，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理列出關(guān)于半徑r的方程，是解題的關(guān)鍵．三、解答題11．（2022·遼寧葫蘆島·三模）如圖，正方形的邊長為的直徑，E是上一點(diǎn)（不與A，B重合），將正方形的一個(gè)角沿折疊，使得點(diǎn)B恰好與圓上的點(diǎn)F重合．(1)判斷直線與的位置關(guān)系？并說明理由；(2)若的半徑為1，求的長？【答案】(1)見解析(2)【解析】【分析】（1）如圖所示，連接OF，OC，只需要證明△OCF≌△OCD得到∠OFC=∠ODC=90°，即可得到結(jié)論；（2）先證明O、E、F三點(diǎn)共線，設(shè)AE=x，則BE=AB-AE=2-x，OE=OF+EF=3-x，在Rt△AEO中，由勾股定理得到，則，據(jù)此求解即可．(1)解：直線CF與圓O相切，理由如下：如圖所示，連接OF，OC，由折疊的性質(zhì)可知，CF=BC，∵四邊形ABCD是正方形，∴CD=BC，∠ODC=90°，∴CF=CD=BC，∵AD是圓O的直徑，F(xiàn)在圓O上，∴OF=OD，又∵OC=OC，∴△OCF≌△OCD（SSS），∴∠OFC=∠ODC=90°，∴直線CF與圓O相切；(2)解：∵AD是圓O的直徑，圓O的半徑為1，四邊形ABCD是正方形，∴AD=AB=2，∠ABC=∠BAD=90°，由折疊的性質(zhì)可知∠EFC=∠EBC=90°，EB=EF，由（1）得∠OFC=90°，∴∠OFC+∠EFC=180°，∴O、E、F三點(diǎn)共線，設(shè)AE=x，則BE=AB-AE=2-x，∴OE=OF+EF=3-x，在Rt△AEO中，，∴，解得，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，圓切線的判定，勾股定理等等，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．12．（2022·福建·廈門市第五中學(xué)二模）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，AC是⊙O直徑，BE∥AD交DC延長線于點(diǎn)E，若BC平分∠ACE．(1)求證：BE是⊙O的切線；(2)若BE＝3，CD＝2，求⊙O的半徑．【答案】(1)見解析(2)【解析】【分析】(1）連接OB，求出OB∥DE，推出EB⊥OB，根據(jù)切線的判定得出即可；(2）根據(jù)圓周角定理得到∠ABC=∠D=90°，構(gòu)造矩形BEDF，根據(jù)矩形性質(zhì)、垂徑定理、勾股定理即可得到結(jié)論．(1)證明：∵AC是⊙O直徑，∴∵，∴連接OB，∵，∴又∵BC平分，∴，∴∴，∴又∵OB為半徑，∴BE為⊙O切線(2)延長BO交AD于點(diǎn)F，∵∴四邊形FBED為矩形，∴，即OF⊥AD，∵OF過圓心，，∴中，，∴【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，垂徑定理，直角三角形的性質(zhì)，熟知這些基本知識(shí)點(diǎn)正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵．13．（2022·云南昆明·三模）如圖，在中，點(diǎn)D是AC邊上一點(diǎn)，且，以線段AB為直徑作，分別交BD，AC于點(diǎn)E，點(diǎn)F，．(1)求證：BC是的切線；(2)若，求點(diǎn)B到AC的距離；【答案】(1)見詳解(2)【解析】【分析】（1）根據(jù)圓的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)即可求解；（2）根據(jù)勾股定理求出AB、AC，再應(yīng)用等面積法即可求解；(1)證明：∵∴∵∴∵∴∴BC是的切線(2)如圖，連接BF設(shè)∵BC是的切線，∴∠ABC=90°，∴，即解得：∴，AC=5∵AB是圓O的直徑∴∵∴【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)，掌握相關(guān)性質(zhì)并靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．14．（2022·廣東茂名·九年級(jí)期末）如圖，AB為的切線，B為切點(diǎn)，過點(diǎn)B作，垂足為點(diǎn)E，交于點(diǎn)C，延長CO與AB的延長線交于點(diǎn)D．(1)求證：AC為的切線；(2)若，，求線段AD的長．【答案】(1)見解析；(2)．【解析】【分析】（1）連接OB，證明△CAO≌△BAO（SSS），由全等三角形的性質(zhì)得出∠OCA＝∠OBA．由切線的性質(zhì)得出∠ABO＝90°，則∠OCA＝90°，可得出結(jié)論；（2）由勾股定理求出BD的長，設(shè)AC＝x，則AC＝AB＝x，得出方程，解方程可得x，進(jìn)一步得出答案．(1)證明：如圖，連接OB，∵，∴△OBC是等腰三角形，∵，∴，∴OA是CB的垂直平分線，∴，在△CAO和△BAO中

∴（SSS），∴，∵AB為的切線，∴OB⊥AB,∴，∴，∴，∵OC是的半徑，∴AC為的切線；(2)解：∵，，∴，，∵，∴，設(shè)，則，∵，∴，∴（負(fù)根已舍去），∴，∴【點(diǎn)睛】此題考查了切線的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，證明△CAO≌△BAO是解題的關(guān)鍵．15．（2022·山東菏澤·一模）如圖，AB為⊙O的切線，B為切點(diǎn)，過點(diǎn)B作BC⊥OA，垂足為點(diǎn)E，交⊙O于點(diǎn)C，延長CO與AB的延長線交于點(diǎn)D．(1)求證：AC為⊙O的切線；(2)若OC＝2，OD＝5，求線段AD和AC的長．【答案】(1)證明見解析(2)；【解析】【分析】（1）連接OB，證明△CAO≌△BAO（SSS），由全等三角形的性質(zhì)得出∠OCA＝∠OBA．由切線的性質(zhì)得出∠ABO＝90°，則∠OCA＝90°，可得出結(jié)論；（2）由勾股定理求出BD的長，設(shè)AC＝x，則AC＝AB＝x，得出方程，解方程可得出答案．(1)證明：連接OB，則OC＝OB，如圖所示：∵OA⊥BC，∴EC＝BE，∴OA是CB的垂直平分線，∴AC＝AB，∵在△CAO和△BAO中，∴△CAO≌△BAO（SSS），∴∠OCA＝∠OBA．∵AB為⊙O的切線，B為切點(diǎn)，∴∠ABO＝90°，∴∠OCA＝90°，即AC⊥OC，∴AC是⊙O的切線．(2)解：∵OC＝2，OD＝5，∴OB＝2，CD＝OC+OD＝7，∵∠OBD＝90°，∴BD，設(shè)AC＝x，則AC＝AB＝x，∵CD2+AC2＝AD2，∴，解得，∴，∴AD＝AB+BD＝AC+BD．【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)與判定，三角形全等的性質(zhì)與判定，勾股定理，切線長定理，熟練掌握切線的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．16．（2022·河南南陽·一模）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于，AB是的直徑，過點(diǎn)D作的切線交BC的延長線于點(diǎn)E，交BA的延長線于點(diǎn)F，且，過點(diǎn)A作的切線交EF于點(diǎn)G，連接AC．(1)求證：AD平分；(2)若AD=5，AB=9，求線段DE的長．【答案】(1)見解析(2)【解析】【分析】（1）根據(jù)切線長定理得到GA＝GD，則∠GAD＝∠GDA，根據(jù)圓周角定理推出AC∥DE，則∠CAD＝∠GDA，進(jìn)而得到∠GAD＝∠CAD，據(jù)此即可得解；（2）連接OD，交AC于點(diǎn)H，根據(jù)切線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)推出OH是△ABC的中位線，AH＝CH＝AC，則OH＝BC，設(shè)OH＝x，則DH＝?x，BC＝2x，解直角三角形得到AH＝，根據(jù)矩形的性質(zhì)即可得解．(1)證明：∵GA、GD是⊙O的切線，∴GA＝GD，∴∠GAD＝∠GDA，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴AC⊥BE，∵DE⊥BE，∴AC∥DE，∴∠CAD＝∠GDA，∴∠GAD＝∠CAD，∴AD平分∠GAC；(2)解：連接OD，交AC于點(diǎn)H，∵DE是⊙O的切線，∴OD⊥DE，∴∠ODE＝90°