輕量級(jí)樹(shù)上倍增算法

18/22輕量級(jí)樹(shù)上倍增算法第一部分樹(shù)上倍增算法概述 2第二部分倍增表構(gòu)造 4第三部分二進(jìn)制分解求解 7第四部分跳躍步長(zhǎng)選擇 10第五部分前向星存儲(chǔ)圖論 11第六部分二分搜索優(yōu)化 14第七部分LCA查詢時(shí)間復(fù)雜度 16第八部分倍增算法應(yīng)用 18

第一部分樹(shù)上倍增算法概述關(guān)鍵詞關(guān)鍵要點(diǎn)樹(shù)上倍增算法概述

主題名稱：樹(shù)上倍增算法原理

-利用二進(jìn)制分解技術(shù)，將查詢過(guò)程分成多次跳躍，每次跳躍距離為2的冪次方。

-預(yù)處理出節(jié)點(diǎn)到其父節(jié)點(diǎn)、祖父節(jié)點(diǎn)等2的冪次方的祖先節(jié)點(diǎn)。

-通過(guò)二進(jìn)制位運(yùn)算快速確定查詢目標(biāo)節(jié)點(diǎn)的祖先節(jié)點(diǎn)。

主題名稱：時(shí)間復(fù)雜度分析

樹(shù)上倍增算法概述

樹(shù)上倍增算法是一種特殊的情形動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法，用于解決樹(shù)形結(jié)構(gòu)上的路徑查詢問(wèn)題。該算法基于倍增思想，使用預(yù)處理和倍增的策略，將路徑查詢的復(fù)雜度從O(N^2)降低到O(NlogN)，其中N為樹(shù)的節(jié)點(diǎn)數(shù)量。

算法原理

樹(shù)上倍增算法的基本原理是預(yù)先計(jì)算出每個(gè)節(jié)點(diǎn)到其祖先節(jié)點(diǎn)的2^i跳躍距離（稱為2^i父節(jié)點(diǎn)），然后利用倍增策略，將任意兩個(gè)節(jié)點(diǎn)間的路徑分解為一系列2^i跳躍，從而快速求出兩節(jié)點(diǎn)間的最短路徑或其他相關(guān)信息。

預(yù)處理階段

在預(yù)處理階段，算法從根節(jié)點(diǎn)出發(fā)，逐層對(duì)樹(shù)進(jìn)行深度優(yōu)先遍歷。在遍歷過(guò)程中，為每個(gè)節(jié)點(diǎn)記錄其父節(jié)點(diǎn)以及2^i父節(jié)點(diǎn)，并將這些信息存儲(chǔ)在一個(gè)數(shù)組中。這樣，對(duì)于每個(gè)節(jié)點(diǎn)，都可以快速獲得其所有祖先節(jié)點(diǎn)的信息。

倍增階段

在查詢路徑時(shí)，算法使用倍增策略，將路徑查詢分解為一系列2^i跳躍。例如，對(duì)于節(jié)點(diǎn)u和v之間的路徑，算法首先找到u和v的最近公共祖先（LCA）w。然后，算法將路徑分解為從u到w、從w到v的兩段路徑。

對(duì)于從u到w的路徑，算法從u開(kāi)始，每次跳躍2^i步，直到跳到w。在每次跳躍之前，算法記錄跳躍的節(jié)點(diǎn)。對(duì)于從w到v的路徑，算法采用同樣的策略。最終，算法將u和v之間的路徑表示為一系列2^i跳躍。

時(shí)間復(fù)雜度分析

樹(shù)上倍增算法的預(yù)處理階段復(fù)雜度為O(NlogN)。在查詢路徑時(shí)，算法最多需要O(logN)次2^i跳躍，因此查詢路徑的復(fù)雜度為O(logN)。總體而言，樹(shù)上倍增算法將路徑查詢的復(fù)雜度降低到了O(NlogN)。

應(yīng)用

樹(shù)上倍增算法廣泛應(yīng)用于樹(shù)形結(jié)構(gòu)的各種問(wèn)題中，例如：

*查找兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的最短路徑

*計(jì)算兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的距離

*計(jì)算樹(shù)的直徑

*查找樹(shù)的最大獨(dú)立集

*求解樹(shù)上的動(dòng)態(tài)規(guī)劃問(wèn)題

由于其高效性和廣泛的適用性，樹(shù)上倍增算法已成為處理樹(shù)形結(jié)構(gòu)問(wèn)題的重要工具。第二部分倍增表構(gòu)造關(guān)鍵詞關(guān)鍵要點(diǎn)離線預(yù)處理

1.按照樹(shù)的高度建立一組倍增數(shù)組，其中第i層倍增數(shù)組存儲(chǔ)每個(gè)節(jié)點(diǎn)沿2^i條邊所能到達(dá)的祖先節(jié)點(diǎn)。

2.利用動(dòng)態(tài)規(guī)劃思想，依次計(jì)算出不同層級(jí)的倍增數(shù)組。

3.樹(shù)的深度越深，倍增表占用的空間越大，時(shí)間復(fù)雜度也越高，需要根據(jù)實(shí)際情況選擇合適的層數(shù)。

時(shí)間復(fù)雜度優(yōu)化

1.跳表優(yōu)化：在倍增表的基礎(chǔ)上，以2為底構(gòu)建跳表（SkipList），可以有效減少查詢祖先節(jié)點(diǎn)的時(shí)間復(fù)雜度。

2.LCA（最近公共祖先）算法優(yōu)化：利用倍增表，可以快速計(jì)算出兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的最近公共祖先，從而提高效率。

3.空間換時(shí)間：通過(guò)合理的倍增表層數(shù)選擇，可以在空間開(kāi)銷和時(shí)間復(fù)雜度之間取得平衡。

動(dòng)態(tài)樹(shù)上倍增

1.動(dòng)態(tài)維護(hù)樹(shù)的結(jié)構(gòu)，在樹(shù)發(fā)生增刪改操作后，及時(shí)更新倍增表。

2.引入平衡樹(shù)或并查集等數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，輔助維護(hù)倍增表。

3.可以在線處理樹(shù)的動(dòng)態(tài)變化，適用于需要不斷更新樹(shù)結(jié)構(gòu)的場(chǎng)景。

啟發(fā)式優(yōu)化

1.啟發(fā)式剪枝：在倍增過(guò)程中，根據(jù)某些啟發(fā)式規(guī)則，提前終止搜索，減少計(jì)算量。

2.超級(jí)節(jié)點(diǎn)優(yōu)化：選擇樹(shù)中具有特殊性質(zhì)的節(jié)點(diǎn)作為超級(jí)節(jié)點(diǎn)，可以減少倍增表的層數(shù)。

3.特殊樹(shù)優(yōu)化：針對(duì)某些特殊結(jié)構(gòu)的樹(shù)，如線段樹(shù)或二叉樹(shù)，可以設(shè)計(jì)專門的優(yōu)化算法。

并行化實(shí)現(xiàn)

1.多線程并行：將倍增表的計(jì)算任務(wù)分配給多個(gè)線程并行執(zhí)行。

2.GPU加速：利用GPU的并行計(jì)算能力，加快倍增表構(gòu)造速度。

3.分布式計(jì)算：在分布式計(jì)算環(huán)境中，將倍增表的計(jì)算任務(wù)分發(fā)到多個(gè)節(jié)點(diǎn)執(zhí)行。

前沿趨勢(shì)

1.壓縮倍增表：探索使用數(shù)據(jù)壓縮技術(shù)壓縮倍增表，減少內(nèi)存開(kāi)銷。

2.AI輔助優(yōu)化：利用人工智能技術(shù)輔助倍增表構(gòu)造，提高算法效率。

3.量子計(jì)算應(yīng)用：研究在量子計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)倍增算法，進(jìn)一步提升計(jì)算性能。倍增表構(gòu)造

輕量級(jí)樹(shù)上倍增算法的倍增表構(gòu)造是一個(gè)關(guān)鍵步驟，用于預(yù)處理一棵樹(shù)的結(jié)構(gòu)以支持高效的查詢。

1.樹(shù)的DFS遍歷

首先，對(duì)樹(shù)進(jìn)行深度優(yōu)先搜索（DFS），記錄每個(gè)節(jié)點(diǎn)的深度和父節(jié)點(diǎn)。

```

defdfs(node,parent,depth):

node.depth=depth

node.parent=parent

forchildinnode.children:

ifchild!=parent:

dfs(child,node,depth+1)

```

2.倍增表初始化

創(chuàng)建一個(gè)二維數(shù)組`dp`，其中`dp[i][j]`表示節(jié)點(diǎn)`i`的第`2^j`個(gè)祖先。

```

dp=[[0]*log2(N)for_inrange(N)]

```

3.倍增表填入

使用DFS遍歷中計(jì)算的深度和父節(jié)點(diǎn)信息，填入倍增表：

```

foriinrange(N):

dp[i][0]=i#每個(gè)節(jié)點(diǎn)的第0個(gè)祖先是自己

forjinrange(1,log2(N)):

dp[i][j]=dp[dp[i][j-1]][j-1]#每個(gè)節(jié)點(diǎn)的第2^j個(gè)祖先是其第2^(j-1)個(gè)祖先的父節(jié)點(diǎn)

```

4.復(fù)雜度分析

DFS遍歷的復(fù)雜度為O(V+E)，其中V是節(jié)點(diǎn)數(shù)，E是邊數(shù)。倍增表填入的復(fù)雜度為O(V*log2(V))。因此，倍增表構(gòu)造的總復(fù)雜度為O(V+E+V*log2(V))，在稀疏樹(shù)中約化為O(V*log2(V))。（注：log2(V)指以2為底的對(duì)數(shù)）

5.內(nèi)存空間分析

倍增表的大小為O(V*log2(V))，因?yàn)槊總€(gè)節(jié)點(diǎn)需要存儲(chǔ)與其祖先的信息。

6.應(yīng)用場(chǎng)景

輕量級(jí)樹(shù)上倍增算法中的倍增表構(gòu)造完成后，可以用于解決以下問(wèn)題：

*求取節(jié)點(diǎn)間的最短路徑長(zhǎng)度

*查找節(jié)點(diǎn)的第k個(gè)祖先

*檢查兩個(gè)節(jié)點(diǎn)是否在同一子樹(shù)中

*求取樹(shù)的直徑和重心

*進(jìn)行樹(shù)鏈剖分等第三部分二進(jìn)制分解求解關(guān)鍵詞關(guān)鍵要點(diǎn)【二進(jìn)制分解求解】

1.問(wèn)題分解：將求解區(qū)間[1,n]分解為連續(xù)的2^i段，即[1,2^i],[2^i+1,2^(i+1)],...,[n-2^i+1,n]。

2.區(qū)間轉(zhuǎn)移：對(duì)于區(qū)間[l,r]的詢問(wèn)，若r-l+1<2^i，則直接查詢RMQ(l,r)；否則，依次查詢RMQ(l,l+2^i-1)、RMQ(l+2^i,r)中較小的值。

3.時(shí)間復(fù)雜度：O(logn)，因?yàn)樗鼘⒃瓎?wèn)題分解為logn個(gè)子問(wèn)題，每個(gè)子問(wèn)題的時(shí)間復(fù)雜度為O(1)。

【動(dòng)態(tài)規(guī)劃求解】

二進(jìn)制分解求解

概述

二進(jìn)制分解是一種動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法，用于解決樹(shù)上某些具有重疊子問(wèn)題的查詢問(wèn)題。通過(guò)將查詢范圍不斷縮小至對(duì)數(shù)級(jí)別，該算法顯著提高了效率。

算法原理

二進(jìn)制分解算法的基礎(chǔ)是樹(shù)上倍增算法。樹(shù)上倍增算法預(yù)處理了一棵樹(shù)，以便快速查詢節(jié)點(diǎn)之間路徑的第2^k個(gè)祖先。

在二進(jìn)制分解算法中，查詢范圍是節(jié)點(diǎn)u到節(jié)點(diǎn)v之間的路徑。算法通過(guò)依次檢查路徑中第2^i個(gè)祖先（其中i從0到log(n)）是否存在于查詢范圍中，來(lái)縮小范圍。

對(duì)于每個(gè)i，如果第2^i個(gè)祖先在范圍內(nèi)，則算法將查詢范圍縮小到該祖先的子樹(shù)。否則，算法跳過(guò)該祖先，繼續(xù)檢查下一個(gè)更高的祖先。

實(shí)現(xiàn)步驟

1.預(yù)處理樹(shù)：使用樹(shù)上倍增算法預(yù)處理一棵n個(gè)節(jié)點(diǎn)的樹(shù)，以便快速查找節(jié)點(diǎn)之間的2^k個(gè)祖先。

2.二進(jìn)制分解：

-輸入：起始節(jié)點(diǎn)u，結(jié)束節(jié)點(diǎn)v

-輸出：u到v的路徑上的公共祖先

-初始化：low=u，high=v，ancestor=0

-循環(huán)log(n)次：

-計(jì)算i=floor(log(high-low+1))

-如果第2^i個(gè)祖先在范圍內(nèi)，則設(shè)置ancestor=第2^i個(gè)祖先，high=第2^i個(gè)祖先的子樹(shù)中high的臨界點(diǎn)

-否則，high=第2^i個(gè)祖先的子樹(shù)中high的臨界點(diǎn)

-返回ancestor

時(shí)間復(fù)雜度

二進(jìn)制分解算法的時(shí)間復(fù)雜度為O(log(n))，其中n是樹(shù)中的節(jié)點(diǎn)數(shù)。

應(yīng)用

二進(jìn)制分解算法可用于解決各種樹(shù)上查詢問(wèn)題，例如：

*最近公共祖先

*路徑最大值

*子樹(shù)和查詢

*樹(shù)上動(dòng)態(tài)規(guī)劃

代碼示例（Python）：

```python

deflca_binary_lifting(u,v):

"""

使用二進(jìn)制分解算法查找節(jié)點(diǎn)u和v的最近公共祖先

:paramu:起始節(jié)點(diǎn)

:paramv:結(jié)束節(jié)點(diǎn)

:return:u到v的最近公共祖先

"""

low,high=u,v

ancestor=0

foriinrange(int(math.log2(n))+1,-1,-1):

iflow>>i==high>>i:

ancestor=low>>i

high=ancestor-1<<i

returnancestor

```第四部分跳躍步長(zhǎng)選擇跳躍步長(zhǎng)選擇

在輕量級(jí)樹(shù)上倍增算法中，跳躍步長(zhǎng)的選擇對(duì)于算法的效率至關(guān)重要。跳躍步長(zhǎng)的選擇取決于樹(shù)的高度`h`和查找的深度`d`。目標(biāo)是選擇一個(gè)盡可能大的跳躍步長(zhǎng)，同時(shí)仍能保證在不超過(guò)`O(logh)`的時(shí)間內(nèi)完成查找。

確定最大跳躍步長(zhǎng)

最大跳躍步長(zhǎng)`s`是一個(gè)整數(shù)，滿足`s<=logh`，并且`2^s>=d`。換句話說(shuō)，`s`是最小整數(shù)，使得2的`s`次方大于或等于查找的深度。

迭代確定較大跳躍步長(zhǎng)

為了在不超過(guò)`O(logh)`的時(shí)間內(nèi)完成查找，我們需要選擇一個(gè)比最大跳躍步長(zhǎng)稍小的跳躍步長(zhǎng)。具體來(lái)說(shuō)，我們可以選擇跳躍步長(zhǎng)`s`，使得`2^(s-1)<d<=2^s`。

選擇最優(yōu)跳躍步長(zhǎng)

要選擇最優(yōu)跳躍步長(zhǎng)，我們可以使用以下策略：

1.計(jì)算最大跳躍步長(zhǎng)`s`。

2.如果`d=2^s`，則選擇跳躍步長(zhǎng)`s`。

3.否則，選擇跳躍步長(zhǎng)`s-1`。

說(shuō)明

*如果查找深度`d`是2的冪，則我們選擇最大跳躍步長(zhǎng)，因?yàn)檫@將導(dǎo)致最少的跳躍次數(shù)。

*如果`d`不是2的冪，則我們選擇比最大跳躍步長(zhǎng)小一的跳躍步長(zhǎng)。這將確保我們不會(huì)跳過(guò)目標(biāo)祖先節(jié)點(diǎn)，同時(shí)仍然可以快速到達(dá)目標(biāo)。

示例

考慮一棵高度為10的樹(shù)。

*如果查找深度`d`為16（`2^4`），則最大跳躍步長(zhǎng)為`s=4`。我們選擇跳躍步長(zhǎng)`s`，因?yàn)閌d`是2的冪。

*如果`d`為15（`2^3+1`），則最大跳躍步長(zhǎng)為`s=3`。我們選擇跳躍步長(zhǎng)`s-1=2`，因?yàn)閌15>2^2`。

結(jié)論

跳躍步長(zhǎng)的選擇對(duì)于輕量級(jí)樹(shù)上倍增算法的效率至關(guān)重要。通過(guò)確定最大跳躍步長(zhǎng)并選擇比它稍小的跳躍步長(zhǎng)，我們可以確保在不超過(guò)`O(logh)`的時(shí)間內(nèi)完成查找。第五部分前向星存儲(chǔ)圖論關(guān)鍵詞關(guān)鍵要點(diǎn)【前向星存儲(chǔ)圖論】，

1.定義：前向星存儲(chǔ)圖論是一種存儲(chǔ)圖論的方法，它使用一個(gè)數(shù)組來(lái)存儲(chǔ)所有從每個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的邊。

2.優(yōu)點(diǎn)：使用前向星存儲(chǔ)圖論可以快速找到從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的所有邊，并且可以快速添加或刪除邊。

3.應(yīng)用：前向星存儲(chǔ)圖論廣泛應(yīng)用于圖論算法中，例如深度優(yōu)先搜索、廣度優(yōu)先搜索和最小生成樹(shù)算法。

【稀疏圖存儲(chǔ)】，

前向星存儲(chǔ)圖論

前向星存儲(chǔ)圖論是一種高效的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，用于存儲(chǔ)有向圖和無(wú)向圖。它通過(guò)在內(nèi)存中維護(hù)一個(gè)數(shù)組來(lái)表示圖中的邊，使得能夠快速訪問(wèn)與每個(gè)頂點(diǎn)相關(guān)的出邊。

前向星存儲(chǔ)圖論由以下數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)組成：

*頂點(diǎn)數(shù)組：存儲(chǔ)圖中所有頂點(diǎn)的信息，包括頂點(diǎn)編號(hào)、入度和出度。

*邊數(shù)組：存儲(chǔ)圖中所有邊的信息，包括邊編號(hào)、起始頂點(diǎn)、終點(diǎn)頂點(diǎn)和權(quán)重（如果有）。

*鄰接表：是一個(gè)整數(shù)數(shù)組，維護(hù)每個(gè)頂點(diǎn)的所有出邊在邊數(shù)組中的索引。

數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的存儲(chǔ)

在內(nèi)存中，前向星存儲(chǔ)圖論通常按以下方式存儲(chǔ)：

*頂點(diǎn)數(shù)組存儲(chǔ)在連續(xù)的內(nèi)存塊中，通常使用一個(gè)結(jié)構(gòu)體來(lái)表示每個(gè)頂點(diǎn)。

*邊數(shù)組也存儲(chǔ)在連續(xù)的內(nèi)存塊中，通常使用一個(gè)結(jié)構(gòu)體來(lái)表示每條邊。

*鄰接表存儲(chǔ)在與頂點(diǎn)數(shù)組大小相同的連續(xù)內(nèi)存塊中，其中每個(gè)元素存儲(chǔ)指向邊數(shù)組中第一個(gè)相關(guān)邊索引的指針。

邊訪問(wèn)

給定一個(gè)頂點(diǎn)及其鄰接表的索引，可以輕松訪問(wèn)與該頂點(diǎn)相關(guān)的所有出邊。鄰接表的索引對(duì)應(yīng)于邊數(shù)組中的起始位置，然后可以逐個(gè)訪問(wèn)該頂點(diǎn)的所有出邊。

優(yōu)勢(shì)

前向星存儲(chǔ)圖論具有以下優(yōu)勢(shì)：

*空間效率：與鄰接鏈表等其他方式相比，前向星存儲(chǔ)圖論更節(jié)省空間，因?yàn)樗苊饬酥貜?fù)存儲(chǔ)邊信息。

*查找效率：從一個(gè)頂點(diǎn)訪問(wèn)其所有出邊的操作非常高效，只需要一個(gè)內(nèi)存訪問(wèn)。

*可擴(kuò)展性：前向星存儲(chǔ)圖論易于擴(kuò)展，可以輕松添加或刪除邊。

示例

考慮一個(gè)有向圖，其頂點(diǎn)和邊如下所示：

*頂點(diǎn)：A、B、C

*邊：A->B、B->C、C->A

前向星存儲(chǔ)圖論的存儲(chǔ)如下：

*頂點(diǎn)數(shù)組：

*A：[0,1,1]

*B：[1,2,1]

*C：[2,1,1]

*邊數(shù)組：

*[0,A,B]

*[1,B,C]

*[2,C,A]

*鄰接表：

*A：[0,2]

*B：[1]

*C：[2]

通過(guò)使用鄰接表索引0，可以訪問(wèn)頂點(diǎn)A的兩條出邊，分別指向頂點(diǎn)B和C。類似地，通過(guò)使用鄰接表索引1，可以訪問(wèn)頂點(diǎn)B的出邊，指向頂點(diǎn)C。

局限性

前向星存儲(chǔ)圖論也有一些局限性：

*僅適用于有向圖：前向星存儲(chǔ)圖論僅適用于有向圖，不適用于無(wú)向圖。

*遍歷不方便：不像鄰接鏈表，前向星存儲(chǔ)圖論不直接提供圖的遍歷順序。

*內(nèi)存碎片：隨著圖的更新（例如添加或刪除邊），可能會(huì)出現(xiàn)內(nèi)存碎片問(wèn)題，需要使用內(nèi)存管理技術(shù)來(lái)解決。第六部分二分搜索優(yōu)化關(guān)鍵詞關(guān)鍵要點(diǎn)【二分搜索優(yōu)化】

1.在倍增過(guò)程中，利用二分搜索快速定位LCA。

2.時(shí)間復(fù)雜度從O(nlog^2n)降至O(nlogn)。

3.通過(guò)減少遞歸層數(shù)，提高了算法效率。

【LCA緩存優(yōu)化】

輕量級(jí)樹(shù)上倍增算法中的二分搜索優(yōu)化

樹(shù)上倍增算法是一種用于在樹(shù)形結(jié)構(gòu)中高效查詢節(jié)點(diǎn)祖先和路徑相關(guān)信息的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和算法。輕量級(jí)樹(shù)上倍增算法是對(duì)傳統(tǒng)樹(shù)上倍增算法的一種優(yōu)化，通過(guò)二分搜索取代暴力遍歷來(lái)查找祖先節(jié)點(diǎn)，從而降低了算法的時(shí)間復(fù)雜度。

二分搜索優(yōu)化的原理

在傳統(tǒng)的樹(shù)上倍增算法中，為了找到節(jié)點(diǎn)`v`的第`l`級(jí)祖先，需要依次遍歷`v`到根節(jié)點(diǎn)的路徑，并在路徑上逐級(jí)向上跳躍`2^l`個(gè)節(jié)點(diǎn)。這種暴力遍歷的方法具有`O(l)`的時(shí)間復(fù)雜度。

而二分搜索優(yōu)化則利用了樹(shù)的高度受限的特性。在樹(shù)中，根節(jié)點(diǎn)到任何其他節(jié)點(diǎn)的路徑長(zhǎng)度不會(huì)超過(guò)樹(shù)的高度。因此，對(duì)于深度為`h`的樹(shù)，只需要進(jìn)行`O(logh)`次跳躍即可找到節(jié)點(diǎn)`v`的第`l`級(jí)祖先。

二分搜索的具體過(guò)程如下：

1.初始化一個(gè)指針`ptr`從節(jié)點(diǎn)`v`出發(fā)，表示當(dāng)前正在考慮的第`0`級(jí)祖先。

2.若`l`為`0`，則停止搜索，返回`ptr`。

3.若`l`為奇數(shù)，則將`ptr`跳躍至其父親節(jié)點(diǎn)。

4.若`l`為偶數(shù)，則將`ptr`跳躍至其父親節(jié)點(diǎn)的父親節(jié)點(diǎn)。

5.將`l`右移一位，回到步驟2。

時(shí)間復(fù)雜度分析

通過(guò)二分搜索優(yōu)化后，輕量級(jí)樹(shù)上倍增算法的時(shí)間復(fù)雜度變?yōu)閌O(logh)`。這是由于在每次跳躍中，深度至少減少一半，因此跳躍次數(shù)最多為`logh`。此外，每次跳躍只需常數(shù)時(shí)間，因此總的時(shí)間復(fù)雜度為`O(logh)`。

優(yōu)化效果

二分搜索優(yōu)化對(duì)輕量級(jí)樹(shù)上倍增算法的性能提升非常顯著。對(duì)于深度較大的樹(shù)，二分搜索優(yōu)化的版本比暴力遍歷版本快幾個(gè)數(shù)量級(jí)。

應(yīng)用場(chǎng)景

輕量級(jí)樹(shù)上倍增算法及其二分搜索優(yōu)化廣泛應(yīng)用于各種需要在樹(shù)形結(jié)構(gòu)中高效查詢祖先和路徑相關(guān)信息的場(chǎng)景，例如：

*最近公共祖先查詢

*子樹(shù)查詢

*路徑查詢

*節(jié)點(diǎn)顏色的動(dòng)態(tài)維護(hù)

*圖論中強(qiáng)連通分量和雙連通分量的求解

結(jié)論

二分搜索優(yōu)化是輕量級(jí)樹(shù)上倍增算法中的關(guān)鍵優(yōu)化，它通過(guò)利用樹(shù)的高度受限的特性，將暴力遍歷替換為二分搜索，從而將算法的時(shí)間復(fù)雜度降低為`O(logh)`。這使得輕量級(jí)樹(shù)上倍增算法在處理大型和深度樹(shù)時(shí)具有更高的效率。第七部分LCA查詢時(shí)間復(fù)雜度關(guān)鍵詞關(guān)鍵要點(diǎn)輕量級(jí)樹(shù)上倍增的LCA查詢時(shí)間復(fù)雜度

1.基于二進(jìn)制分解：使用二進(jìn)制分解將查詢路徑分解為若干個(gè)長(zhǎng)度為2的子路徑，通過(guò)對(duì)這些子路徑進(jìn)行倍增操作，得到LCA。

2.前處理：算法使用前處理技術(shù)，預(yù)計(jì)算每個(gè)節(jié)點(diǎn)到其2^i個(gè)祖先的距離，并存儲(chǔ)在跳表中，時(shí)間復(fù)雜度為O(N*logN)。

3.查詢過(guò)程：查詢過(guò)程中，通過(guò)二進(jìn)制分解和跳表，將查詢路徑拆分為幾個(gè)長(zhǎng)度為2的子路徑，再通過(guò)對(duì)這些子路徑進(jìn)行倍增操作，得到LCA。時(shí)間復(fù)雜度為O(logN)。

時(shí)間復(fù)雜度分析

1.前處理時(shí)間復(fù)雜度：O(N*logN)，其中N為樹(shù)中節(jié)點(diǎn)數(shù)。

2.查詢時(shí)間復(fù)雜度：O(logN)，其中l(wèi)ogN是樹(shù)的高度。

3.空間復(fù)雜度：O(N*logN)，存儲(chǔ)跳表所需的空間。輕量級(jí)樹(shù)上倍增算法

LCA查詢時(shí)間復(fù)雜度

在輕量級(jí)樹(shù)上倍增算法中，LCA（最近公共祖先）查詢時(shí)間復(fù)雜度為O(logn)，其中n為樹(shù)中節(jié)點(diǎn)的數(shù)量。

算法過(guò)程

輕量級(jí)樹(shù)上倍增算法通過(guò)預(yù)處理和查詢兩個(gè)階段實(shí)現(xiàn)高效的LCA查詢：

預(yù)處理階段：

*計(jì)算每個(gè)節(jié)點(diǎn)與其2^i代祖先之間的距離，記為L(zhǎng)CA[i][node]。

*時(shí)間復(fù)雜度：O(nlogn)

查詢階段：

*設(shè)節(jié)點(diǎn)u和v的LCA為lca。

*將u和v提升到同一高度，即找出k使得2^k<=depth[u]和2^k<=depth[v]。

*查詢LCA[k][u]和LCA[k][v]中較深的節(jié)點(diǎn)lca1，即lca1=LCA[k][max(depth[u],depth[v])。

*再次提升lca1和較淺的節(jié)點(diǎn)（即除了lca1外的u或v），使兩者的深度相同。

*查詢LCA[k-1][max(depth[u],depth[v])]中較深的節(jié)點(diǎn)lca2，并更新lca1為lca2。

*重復(fù)上述步驟，直到k=0。最后，lca1即為u和v的LCA。

*時(shí)間復(fù)雜度：O(logn)

時(shí)間復(fù)雜度分析

在查詢階段，算法執(zhí)行l(wèi)ogn次查詢，每次查詢時(shí)間為O(1)。因此，總的時(shí)間復(fù)雜度為O(logn)。

優(yōu)化

輕量級(jí)樹(shù)上倍增算法可以通過(guò)一些優(yōu)化進(jìn)一步提高查詢性能：

*跳表優(yōu)化：使用跳表代替鏈表存儲(chǔ)祖先信息，以減少查詢中鏈表遍歷的時(shí)間。

*二分搜索優(yōu)化：在查詢時(shí)，使用二分搜索算法查找LCA，以避免不必要的查詢。第八部分倍增算法應(yīng)用關(guān)鍵詞關(guān)鍵要點(diǎn)【樹(shù)的分解】：

1.將樹(shù)分解為重鏈和輕鏈，重鏈上的節(jié)點(diǎn)數(shù)不超過(guò)樹(shù)的高度的對(duì)數(shù)。

2.利用EulerTour定理遍歷樹(shù)，將重鏈和輕鏈記錄在樹(shù)鏈剖分?jǐn)?shù)組中。

3.通過(guò)倍增算法預(yù)處理出從每個(gè)節(jié)點(diǎn)出發(fā)，向上跳躍2^k個(gè)節(jié)點(diǎn)的祖先節(jié)點(diǎn)。

【路徑查詢】：

倍增算法應(yīng)用

倍增算法是一種在樹(shù)形結(jié)構(gòu)上有效解決路徑查詢問(wèn)題的算法。其基本思想是預(yù)處理出每個(gè)節(jié)點(diǎn)以特定步長(zhǎng)（2的冪）為單位的祖先信息，從而快速查找兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的路徑長(zhǎng)度、公共祖先以及節(jié)點(diǎn)在路徑上的相對(duì)位置。

路徑長(zhǎng)度查詢

倍增算法可以高效地計(jì)算任意兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的路徑長(zhǎng)度。給定節(jié)點(diǎn)A和B，其路徑長(zhǎng)度可以通過(guò)如下遞推關(guān)系計(jì)算：

```

dist(A,B)=dist(A,parent(B))+dist(parent(B),B)

```

其中，`parent(B)`表示節(jié)點(diǎn)B的父節(jié)點(diǎn)，即向上跳躍一步到達(dá)B的祖先節(jié)點(diǎn)。

公共祖先查詢

倍增算法還可以快速找到兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的公共祖先。對(duì)于節(jié)點(diǎn)A和B，其公共祖先可以通過(guò)如下方式查找：

1.找到兩個(gè)節(jié)點(diǎn)到其最近公共祖先（LCA）的距離，記為lca_a和lca_b。

2.如果lca_a>lca_b，則A向上跳躍lca_a-lca_b步，到達(dá)公共祖先。

3.否則，B向上跳躍lca_b-lca_a步，到達(dá)公共祖先。

節(jié)點(diǎn)在路徑上的位置

倍增算法可以確定一個(gè)節(jié)點(diǎn)在從其到另一個(gè)節(jié)點(diǎn)的路徑上的相對(duì)位置。給定節(jié)點(diǎn)A和B，節(jié)點(diǎn)A在從A到B的路徑上的位置可以用如下方式計(jì)算：

1.找到節(jié)點(diǎn)A和B的公共祖先C。

2.從A向上跳躍dist(A,C)-dist(C,B)步，即可到達(dá)B在路徑上的位置。

倍增算法的復(fù)雜度

倍增算法的預(yù)處理階段需要O(nlogn)的時(shí)間，其中n為樹(shù)中的節(jié)點(diǎn)數(shù)。對(duì)于路徑長(zhǎng)度查詢、公共祖先查詢和節(jié)點(diǎn)在路徑上的位置查詢，其復(fù)雜度均為O(logn)。

應(yīng)用場(chǎng)景

倍增算法在樹(shù)形結(jié)構(gòu)的路徑查詢問(wèn)題中具有廣泛的應(yīng)用，包括：

*求解樹(shù)形網(wǎng)絡(luò)中的最短路徑

*查找樹(shù)中兩點(diǎn)之間的公共祖先

*計(jì)算樹(shù)