2025年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 29 第四章 第一節(jié) 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)

第一節(jié)任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)考試要求：1．了解任意角的概念和弧度制．2．能進(jìn)行弧度與角度的互化．3．理解三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義．自查自測(cè)知識(shí)點(diǎn)一角的概念的推廣1．判斷下列說法的正誤，正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”.(1)小于90?的角是銳角．()×提示：－30?角不是銳角．(2)第四象限的角一定是負(fù)角．()×提示：280?角是第四象限角，但它不是負(fù)角．(3)60?角與600?角是終邊相同的角．()×提示：600?－60?＝540?不是360?的倍數(shù)．(4)將表的分針撥慢10分鐘，則分針轉(zhuǎn)過的角為60?.()√提示：分針轉(zhuǎn)一周為60分鐘，轉(zhuǎn)過的角度為－360?，將分針撥慢是逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，撥慢10分鐘轉(zhuǎn)過的角為360?×16＝2．(教材改編題)已知0?≤α＜360?，且α與600?角終邊相同，則α＝________，它是第________象限角．240?三解析：因?yàn)?00?＝360?＋240?，所以240?角與600?角終邊相同，且0?≤240?＜360?，故α＝240?，它是第三象限角．核心回扣1．角的定義：角可以看成一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)所成的圖形．2．分類：3．終邊相同的角：所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S＝{β|β＝α＋k·360?，k∈Z}或{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}．自查自測(cè)知識(shí)點(diǎn)二弧度制1．判斷下列說法的正誤，正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”．(1)一個(gè)角的度數(shù)對(duì)應(yīng)唯一一個(gè)弧度數(shù)．(√)(2)1弧度的角大于1度的角．(√)(3)角α弧度數(shù)的大小與所取圓的半徑大小有關(guān)．(×)(4)把72?化成弧度為3π7.(×2.下列與9π4的終邊相同的角的表達(dá)式中正確的是(A．2kπ＋45?(k∈Z) B．k·360?＋9π4(k∈ZC．k·360?－315?(k∈Z) D．kπ＋5π4(k∈ZC解析：終邊相同的角的表達(dá)式中不能同時(shí)出現(xiàn)角度和弧度，故應(yīng)為π4＋2kπ或k·360?＋45?(k∈Z)，因此C3．半徑為2，圓心角為π6的扇形的面積是π3解析：由已知得S扇＝12×π6×核心回扣1.定義：長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角，記作1rad.2．α的弧度數(shù)公式：|α|＝lr(弧長(zhǎng)用l表示，半徑用r表示)3．角度與弧度的換算：(1)1?＝π180rad(2)1rad＝(180π)?≈4．弧長(zhǎng)公式：弧長(zhǎng)l＝|α|r．5．扇形面積公式：S＝12lr＝12|α|r注意點(diǎn)：(1)把弧度作為單位表示角時(shí)，“弧度”兩字可以省略不寫，但把度(?)作為單位表示角時(shí)，度(?)就一定不能省略．(2)角度制與弧度制可利用180?＝πrad進(jìn)行互化，在同一個(gè)式子中，采用的度量制必須一致，不可混用．自查自測(cè)知識(shí)點(diǎn)三任意角的三角函數(shù)1．已知角α的終邊過點(diǎn)P(－1，2)，則sinα＝()A．5C．－55 D．－B解析：因?yàn)閨OP|＝－12+22＝5(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，所以sinα2．(教材改編題)若sinα＜0，且tanα＞0，則α是()A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角C解析：由sinα＜0知α的終邊在第三、第四象限或y軸的非正半軸上；由tanα＞0知α的終邊在第一或第三象限，故α是第三象限角．故選C．3．在平面直角坐標(biāo)系中，角α與角β的始邊均與x軸的非負(fù)半軸重合，它們的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱．若sinα＝15，則sinβ＝－15解析：設(shè)角α的終邊與單位圓相交于點(diǎn)P(x，y)，則角β的終邊與單位圓相交于點(diǎn)Q(x，－y)．由題意知y＝sinα＝15，所以sinβ＝－y＝－核心回扣1．定義：任意角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x，y)，則y＝sinα，x＝cosα，yx＝tanα(x≠0)2．定義的推廣：P(x，y)是角α的終邊上異于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P到原點(diǎn)O的距離為r，則sinα＝y(tǒng)r，cosα＝xr，tanα＝y(tǒng)x(x3．三角函數(shù)值在各個(gè)象限內(nèi)的符號(hào)：一全正、二正弦、三正切、四余弦，如圖．4．若角α，β的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱，則sinα＝－sinβ，cosα＝cosβ；若角α，β的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱，則sinα＝sinβ，cosα＝－cosβ.【常用結(jié)論】1．象限角2．軸線角應(yīng)用1若α是第二象限角，則－α是()A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角C解析：因?yàn)棣潦堑诙笙藿?，可得?＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z，所以－π－2kπ<－α<－π2－2kπ，k∈Z，此時(shí)－應(yīng)用2在平面直角坐標(biāo)系中，如果角α與角β的終邊互相垂直，那么角α與角β的關(guān)系式為()A．β＝α＋90? B．β＝α±90?C．β＝α＋90?＋k·360?(k∈Z) D．β＝α±90?＋k·360?(k∈Z)D解析：因?yàn)榻铅僚c角β的終邊互相垂直，所以β＝α±90?＋k·360?(k∈Z)．象限角及終邊相同的角1．與240?角終邊相同的角的集合是()A．αα=kπC．αα=kD解析：因?yàn)?40?＝4π3，所以與240?角終邊相同的角的集合是α2．(多選題)下列說法正確的是()A．時(shí)鐘經(jīng)過兩個(gè)小時(shí)，時(shí)針轉(zhuǎn)過的角是60?B．鈍角大于銳角C．三角形的內(nèi)角必是第一或第二象限角D．若α是第二象限角，則α2BD解析：對(duì)于A，時(shí)鐘經(jīng)過兩個(gè)小時(shí)，時(shí)針轉(zhuǎn)過的角是－60?，故錯(cuò)誤．對(duì)于B，鈍角一定大于銳角，顯然正確．對(duì)于C，若三角形的內(nèi)角為90?，則是終邊在y軸正半軸上的角，故錯(cuò)誤．對(duì)于D，因?yàn)榻铅恋慕K邊在第二象限，所以2kπ＋π2＜α＜2kπ＋π，k∈Z，所以kπ＋π4＜α2＜kπ＋π2，k∈Z，當(dāng)k＝2n，n∈Z時(shí)，2nπ＋π4＜α2＜2nπ＋π2，n∈Z，得α2是第一象限角；當(dāng)k＝2n＋1，n∈Z時(shí)，(2n＋1)π＋π4＜α2＜(2n＋3．若角α的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊在x軸的非負(fù)半軸上，終邊在直線y＝－3x上，則角α的取值集合是()A．αα=2kC．αα=kπD解析：因?yàn)橹本€y＝－3x的傾斜角是2π3，tanα＝－3，所以終邊落在直線y＝－3x上的角α的取值集合為αα=kπ－4．若α＝45?＋k·180?(k∈Z)，則α的終邊在()A．第二或第三象限 B．第一或第三象限C．第二或第四象限 D．第三或第四象限B解析：當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，記k＝2n＋1(n∈Z)，則α＝225?＋n·360?(n∈Z)，此時(shí)α為第三象限角；當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，記k＝2n(n∈Z)，則α＝45?＋n·360?(n∈Z)，此時(shí)α為第一象限角．故α的終邊在第一或第三象限．1．判斷象限角的方法作出已知角并根據(jù)象限角的定義判斷該角是第幾象限角或?qū)⒁阎腔癁閗·360?＋α(0?≤α<360?，k∈Z)的形式，由角α終邊所在的象限判斷已知角是第幾象限角．2．確定kα，αk(k∈N*)(方法一)先寫出kα或αk的范圍，然后根據(jù)k的可能取值確定kα或α(方法二)數(shù)形結(jié)合求αk的終邊位置：將各象限角平均分成k等份，從x軸正半軸開始，逆時(shí)針循環(huán)寫出1，2，3，4，…，k，α為αk3．求終邊在某直線上的角的方法在平面直角坐標(biāo)系中畫出該直線，按逆時(shí)針方向?qū)懗鯷0，2π)內(nèi)的角，再由終邊相同角的表示方法寫出滿足條件的角的集合并化簡(jiǎn)．提醒：確定角的終邊位置時(shí)易忽視角的終邊與坐標(biāo)軸重合的情況．扇形的弧長(zhǎng)、面積公式【例1】(1)(2024·日照模擬)我國(guó)北宋時(shí)期科技史上的杰作《夢(mèng)溪筆談》收錄了計(jì)算扇形弧長(zhǎng)的近似計(jì)算公式：＝弦＋2×矢2徑，公式中“弦”是指扇形中圓弧所對(duì)弦的長(zhǎng)，“矢”是指圓弧所在圓的半徑與圓心到弦的距離之差，“徑”是指圓弧所在圓的直徑．如圖，已知扇形的面積為4π3，扇形中圓弧所在圓O的半徑為2A．3＋2 B．3C．43+12 D．C解析：設(shè)扇形的圓心角為α，由扇形面積公式可知12×22×α＝4π3，所以α＝如圖，取AB的中點(diǎn)C，連接OC，交AB于點(diǎn)D，則OC⊥AB.易知∠OAD＝π6，則OD＝2sinπ6＝所以CD＝2－1＝1，AD＝2cosπ6＝3，AB＝2AD＝23所以扇形弧長(zhǎng)的近似值為＝弦＋2×矢2徑＝AB＋2(2)一扇形的圓心角為α，半徑為R，弧長(zhǎng)為l.已知α＝π3，R＝10cm解：由已知得α＝π3，R＝10cm所以S扇形＝12α·R2＝12×π3×102＝[變式1]若本例(2)條件不變，求扇形的弧長(zhǎng)及該弧所在弓形的面積．解：l＝αR＝π3×10＝10π3S弓形＝S扇形－S三角形＝12lR－12R2sinπ3＝12×10π3×10－12×102[變式2]若本例(2)已知條件改為“扇形周長(zhǎng)為20cm”，當(dāng)扇形的圓心角α為多少弧度時(shí)，這個(gè)扇形的面積最大？解：由已知得l＋2R＝20，則l＝20－2R(0＜R＜10)，所以S扇形＝12lR＝12(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋所以當(dāng)R＝5cm時(shí)，S扇形取得最大值，最大值為25cm2，此時(shí)l＝10cm，α＝2rad.應(yīng)用弧度制解決問題的方法(1)利用扇形的弧長(zhǎng)和面積公式解題時(shí)，要注意角的單位必須是弧度．(2)求扇形面積最大值的問題時(shí)，常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題，利用配方法使問題得到解決，有時(shí)也利用基本不等式及導(dǎo)數(shù)求最值．(3)在解決弧長(zhǎng)問題和扇形面積問題時(shí)，要合理地利用圓心角所在的三角形．1．已知扇形的弧長(zhǎng)是4cm，面積是2cm2，則扇形的圓心角的弧度數(shù)是()A．1 B．2C．4 D．1或4C解析：因?yàn)樯刃蔚幕￠L(zhǎng)為4cm，面積為2cm2，設(shè)扇形所在圓的半徑為r，所以扇形的面積為12×4×r＝2，解得r＝1，則扇形的圓心角的弧度數(shù)為41＝4.故選2．玉雕在我國(guó)歷史悠久，擁有深厚的文化底蘊(yùn)，數(shù)千年來始終以其獨(dú)特的內(nèi)涵與魅力深深吸引著世人．某扇形玉雕壁畫尺寸(單位：cm)如圖所示，則該玉雕壁畫的扇面面積約為()A．1600cm2 B．3200cm2C．3350cm2 D．4800cm2D解析：易知該扇形玉雕壁畫可看作由一個(gè)大扇形剪去一個(gè)小扇形得到．設(shè)大、小扇形所在圓的半徑分別為r1，r2，相同的圓心角為θ，則θ＝160r1＝80r2，得r1＝又因?yàn)閞1－r2＝40，所以r1＝80，r2＝40，該扇形玉雕壁畫面積S＝12×160×r1－12×80×r2＝12×160×80－12×80×40＝3．已知扇形AOB的周長(zhǎng)為8.(1)若這個(gè)扇形的面積為3，求圓心角的大小；(2)求這個(gè)扇形的面積取得最大值時(shí)圓心角的大小和弦長(zhǎng)AB.解：(1)設(shè)扇形AOB的半徑為r，弧長(zhǎng)為l，圓心角為α.由題意可得2r+l=所以α＝lr＝23或α＝l(2)因?yàn)?r＋l＝8，所以S扇形＝12lr＝14l·2r≤14l+當(dāng)且僅當(dāng)2r＝l，即α＝lr＝2時(shí)，扇形面積取得最大值4所以r＝2，所以弦長(zhǎng)AB＝2sin1×2＝4sin1.三角函數(shù)的定義及應(yīng)用考向1三角函數(shù)的定義【例2】(1)已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(－2，4)，則sinα－cosα的值為()A．355 B．C．15 D．－A解析：因?yàn)榻铅恋慕K邊經(jīng)過點(diǎn)P(－2，4)，所以sinα＝4－22+42＝255，cosα＝－2－22(2)已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(－8m，－6sin30?)，且cosα＝－45，則m的值為(A．－12 B．－C．1C解析：由題意得點(diǎn)P(－8m，－3)，|OP|＝64m所以cosα＝－8m64m2+9＝[變式]本例(1)中條件改為“終邊落在直線3x＋y＝0上”，求sinα，cosα，tanα的值．解：直線3x＋y＝0，即y＝－3x，經(jīng)過第二、四象限，在第二象限取直線上的點(diǎn)Q(－1，3)，則|OQ|＝－12+32＝2，所以sinα＝32，cosα＝－12在第四象限取直線上的點(diǎn)G(1，－3)，則|OG|＝12+－所以sinα＝－32，cosα＝12，tanα＝－三角函數(shù)的定義主要應(yīng)用于兩方面利用三角函數(shù)的定義，已知角α終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)，可以求出角α的三角函數(shù)值；已知角α的三角函數(shù)值，也可以求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．考向2判斷三角函數(shù)值的符號(hào)【例3】(1)若sinαcosα＞0，cosαtanα＜0，則α的終邊落在()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限C解析：由sinαcosα＞0，得α的終邊落在第一或第三象限，由cosαtanα＝cosα·sinαcosα＝sinα＜0，得α的終邊落在第三或第四象限．綜上所述，α(2)(2024·東營(yíng)模擬)若θ為第二象限角，則下列結(jié)論一定成立的是()A．sinθ2＞0 B．cosθ2C．tanθ2＞0 D．sinθ2cosθC解析：因?yàn)棣葹榈诙笙藿?，所以?＋2kπ＜θ＜π＋2kπ，k∈Z則π4＋kπ＜θ2＜π2＋kπ，k∈Z，所以θ2為第一或第三象限角，則利用角所在的象限判定角的三角函數(shù)值的符號(hào)時(shí)，特別要注意不要忽略角的終邊在坐標(biāo)軸上的情況．1．(多選題)在平面直角坐標(biāo)系中，角α的頂點(diǎn)在原點(diǎn)O，以x軸的非負(fù)半軸為始邊，終邊經(jīng)過點(diǎn)P(1，m)(m<0)，則下列各式的值恒大于0的是()A．sinαtanα B．C．sinαcosα D．sinα＋cosαAB解析：由題意知sinα<0，cosα>0，tanα<0，則sinαtanα>0，故A正確；cosα－sinα>0，故B正確；sinαcosα<0，故C錯(cuò)誤；sinα＋cosα的符號(hào)不確定，故D錯(cuò)誤2．已知α是第二象限角，P(x，5)為其終邊上一點(diǎn)，且cosα＝2x4，則x等于(A．3 B．±3C．－2 D．－3D解析：由三角函數(shù)的定義得cosα＝xx2+5＝2x4，解得x＝±3.又點(diǎn)P(x，5)課時(shí)質(zhì)量評(píng)價(jià)(二十一)1．把－1125?化成α＋2kπ(0≤α<2π，k∈Z)的形式是()A．－π4－6π B．7π4C．－π4－8π D．7π4D解析：－1125?＝－1440?＋315?＝－8π＋7π42．已知角θ的終邊經(jīng)過點(diǎn)(2a＋1，a－2)，且cosθ＝35，則實(shí)數(shù)a的值是(A．－2 B．2C．－2或211 D．B解析：由題設(shè)可知2a+12a+12+a－22所以4a2+4a+15a2+5＝925，則11a2＋20a－4＝0，解得a＝－2或a3．點(diǎn)P從(1，0)出發(fā)，沿單位圓逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)2π3弧長(zhǎng)到達(dá)Q點(diǎn)，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(A．－12，3C．－12，－A解析：由三角函數(shù)的定義可知點(diǎn)Q的坐標(biāo)(x，y)滿足x＝cos2π3＝－12，y＝sin2π3所以點(diǎn)Q的坐標(biāo)為－14．(2024·惠州模擬)如果點(diǎn)P(2sinθ，sinθ·cosθ)位于第四象限，那么角θ所在的象限為()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限B解析：因?yàn)辄c(diǎn)P(2sinθ，sinθcosθ)位于第四象限，所以2sinθ>05．(多選題)已知扇形的周長(zhǎng)是6cm，面積是2cm2，則下列說法中正確的有A．扇形的半徑為2cmB．扇形的半徑為1cmC．圓心角的弧度數(shù)是1D．圓心角的弧度數(shù)是2ABC解析：設(shè)扇形的半徑為rcm，圓心角的弧度數(shù)為α，則由題意得2r+αr=所以圓心角的弧度數(shù)是4或1，扇形的半徑是1cm或2cm.6．已知角α的始邊與x軸的正半軸重合，頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，角α終邊上的一點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離為2.若α＝π4，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，1)解析：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，則由三角函數(shù)的定義得sinπ故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，1)．7．若圓弧長(zhǎng)度等于該圓內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)，則其圓心角的弧度數(shù)是________.2解析：設(shè)圓的半徑為r，則圓內(nèi)接正方形的對(duì)角線長(zhǎng)為2r，所以正方形邊長(zhǎng)為2r，所以該圓弧的圓心角的弧度數(shù)是2rr＝8．設(shè)角α的終邊為射線OP，射線OP1與OP關(guān)于y軸對(duì)稱，射線OP2與OP1關(guān)于直線y＝－x對(duì)稱，則以射線OP2為終邊的角的集合是____________________.{β|β＝k·360?＋90?＋α，k∈Z}解析：依題意，以射線OP1為終邊的角γ＝k1·360?＋180?－α，k1∈Z，從而以射線OP2為終邊的角β＝－(k1·360?＋180?－α)＋k2·360?－90?＝(k2－k1)·360?＋90?＋α＝k·360?＋90?＋α(k1，k2，k∈Z)．9．“數(shù)摺聚清風(fēng)，一捻生秋意”是宋朝朱翌描寫折扇的詩句，折扇出入懷袖，扇面書畫，扇骨雕琢，是文人雅士的寵物，所以有“懷袖雅物”的別號(hào)．如圖，當(dāng)折扇所在扇形的圓心角為2π3時(shí)，折扇的外觀看上去是比較美觀的，則此時(shí)折扇所在扇形的弦長(zhǎng)AB與弧長(zhǎng)AB之比為332π解析：設(shè)扇形的弧長(zhǎng)為l，半徑為r，如圖，取AB的中點(diǎn)D，連接由題意知圓心角α為2π3，則∠BOD＝π所以弦長(zhǎng)AB＝2AD＝2rsinπ3＝3r又弧長(zhǎng)AB＝2π3r，所以弦長(zhǎng)AB與弧長(zhǎng)AB之比為3r2π10．已知1sinα＝－1sinα，且(1)試判斷角α所在的象限；(2)若角α的終邊上一點(diǎn)M35，m，且|OM|＝1(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求m的值及解：(1)由1sinα＝－1sin由lg(cosα)有意義，可知cosα>0，所以角α在第四象限．(2)因?yàn)閨OM|＝1，所以352＋m2＝1，解得m＝±又角α為第四象限角，故m<0，從而m＝－45，sinα＝mOM＝－4511．(數(shù)學(xué)與文化)《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，卷一《方田》中有如下兩個(gè)問題：[三三]今有宛田，下周三十步，徑十六步．問為田幾何？[三四]又有宛田，下周九十九步，徑五十一步．問為田幾何？翻譯為：[三三]現(xiàn)有扇形田，弧長(zhǎng)30步，直徑長(zhǎng)16步．問這塊田面積是多少？[三四]又有一扇形田，弧長(zhǎng)99步，直徑長(zhǎng)51步．問這塊田面積是多少？則下列說法正確的是()A．問題[三三]中扇形的面積為240平方步B．問題[三四]中扇形的面積為5049C．問題[三三]中扇形的面積為60平方步D．問題[三四]中扇形的面積為5049B解析：依題意，問題[三三]中扇形的面積為12lr＝12×30×162＝120(平方步)，問題[三四]中扇形的面積為12lr＝12×99×51212．已知角α的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊上一點(diǎn)M的坐標(biāo)為sin3π4，cosA．π4 B．C．5π4 D．D解析：角α的終邊上一點(diǎn)M的坐標(biāo)為sin3π4，cos3π4，即M22，－22，故點(diǎn)M在第四象限，且13．(數(shù)學(xué)與文化)(2024·常州模擬)趙爽是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，約公元222年，趙爽在注解《周髀算經(jīng)》一書時(shí)介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”，它是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的大正方形．如圖所示的是一張弦圖，已知大正方形的面積為100，小正方形的面積為20，若直角三角形中較小的銳角為α，則sinαcosα的值為________.25解析：設(shè)直角三角形的短直角邊長(zhǎng)為x，一個(gè)直角三角形的面積為100－20因?yàn)樾≌叫蔚拿娣e為20，則邊長(zhǎng)為25，大正方形的面積為100，則邊長(zhǎng)為10.所以直角三角形的面積為12·x(x＋25)＝20，解得x＝25(x＝－45舍去)所以直角三角形的長(zhǎng)直角邊為45.故sinα＝55，cosα＝255，即sinαcosα14．若角α的終邊落在直線y＝3x上，角β的終邊與單位圓交于點(diǎn)12，m，且sinαcosβ＜0，則cosα·si