2025年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 69 課時(shí)質(zhì)量評(píng)價(jià)(六十九)

課時(shí)質(zhì)量評(píng)價(jià)(六十九)1．(2024·煙臺(tái)模擬)某籃球隊(duì)為提高隊(duì)員訓(xùn)練的積極性，進(jìn)行小組投籃游戲．游戲規(guī)則如下：每個(gè)小組由兩名隊(duì)員組成，每個(gè)小組的兩名隊(duì)員在每輪游戲中分別投籃兩次，投進(jìn)的次數(shù)之和不少于3次的稱為“神投小組”．已知隊(duì)員甲與隊(duì)員乙組成一個(gè)小組，甲、乙兩名隊(duì)員投進(jìn)籃球的概率分別為p1，p2.(1)若p1＝12，p2＝(2)已知p1＋p2＝65①p1，p2取何值時(shí)能使得甲、乙兩名隊(duì)員在一輪游戲中獲得“神投小組”稱號(hào)的概率最大？并求出此時(shí)的最大概率；②在第①問的前提下，若甲、乙兩名隊(duì)員想要獲得297次“神投小組”的稱號(hào)，則他們平均要進(jìn)行多少輪游戲？解：(1)每小組投進(jìn)的次數(shù)之和不少于3次的稱為“神投小組”，則可能的情況有：①甲投中一次，乙投中兩次；②甲投中兩次，乙投中一次；③甲投中兩次，乙投中兩次．因?yàn)閜1＝12所以他們在第一輪游戲獲得“神投小組”稱號(hào)的概率為C2(2)①由題意得他們在一輪游戲中獲得“神投小組”稱號(hào)的概率P＝C21×p1×1－p1×p22+p＝2p1p2(p1＋p2)－2p1p2(p1＋p2)－3p1因?yàn)閜1＋p2＝65，所以P＝12又0≤p1≤1，0≤p2≤1，則15≤p1≤1令m＝p1p2＝－p12+6令P所以fm＝125m此時(shí)p1＝p2＝35②他們小組在n輪游戲中獲得“神投小組”稱號(hào)的次數(shù)ξ滿足ξ～Bn，所以np＝297，則n＝297297625＝所以平均要進(jìn)行625輪游戲．2．某公司在一種傳染病毒的檢測試劑品上加大了研發(fā)投入，其研發(fā)的檢驗(yàn)試劑品α分為兩類不同劑型α1和α2.現(xiàn)對其進(jìn)行兩次檢測，第一次檢測時(shí)兩類試劑α1和α2合格的概率分別為34和35，第二次檢測時(shí)兩類試劑α1和α2合格的概率分別為45和23(1)設(shè)經(jīng)過兩次檢測后兩類試劑α1和α2合格的種類數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)若地區(qū)排查期間，一戶4口之家被確認(rèn)為“與確診患者的密切接觸者”，這種情況下醫(yī)護(hù)人員要對其家庭成員逐一使用試劑品α進(jìn)行檢測，如果有一人檢測呈陽性，則檢測結(jié)束，并確定該家庭為“感染高危戶”．設(shè)該家庭每個(gè)成員檢測呈陽性的概率均為p(0＜p＜1)且相互獨(dú)立，該家庭至少檢測了3個(gè)人才確定為“感染高危戶”的概率為f(p)，若當(dāng)p＝p0時(shí)，f(p)最大，求p0的值．解：(1)試劑α1合格的概率為34試劑α2合格的概率為35由題意知X的所有可能取值為0，1，2.則P(X＝0)＝1－35×1－25＝625，P(X＝1)＝1X012P6136數(shù)學(xué)期望E(X)＝0×625+(2)檢測3人確定“感染高危戶”的概率為(1－p)2p，檢測4人確定“感染高危戶”的概率為(1－p)3p，則f(p)＝(1－p)2p＋(1－p)3p＝(1－p)2p(2－p)．令x＝1－p，因?yàn)?＜p＜1，所以0＜x＜1，原函數(shù)可化為g(x)＝x2(1－x2)(0＜x＜1)．因?yàn)閤2(1－x2)≤x2當(dāng)且僅當(dāng)x2＝1－x2，即x＝22此時(shí)p＝1－22，所以p0＝1－23．(2024·濟(jì)南模擬)某市為提升中學(xué)生的環(huán)境保護(hù)意識(shí)，舉辦了一次“環(huán)境保護(hù)知識(shí)競賽”，分預(yù)賽和復(fù)賽兩個(gè)環(huán)節(jié)，預(yù)賽成績排名前三百名的學(xué)生參加復(fù)賽．已知共有12000名學(xué)生參加了預(yù)賽，現(xiàn)從參加預(yù)賽的全體學(xué)生中隨機(jī)地抽取100人的預(yù)賽成績作為樣本，得到如圖所示的頻率分布直方圖．(1)規(guī)定預(yù)賽成績不低于80分為優(yōu)良，若從上述樣本中預(yù)賽成績不低于60分的學(xué)生中隨機(jī)地抽取2人，求至少有1人預(yù)賽成績優(yōu)良的概率，并求預(yù)賽成績優(yōu)良的人數(shù)的數(shù)學(xué)期望．(2)由頻率分布直方圖可認(rèn)為該市全體參加預(yù)賽學(xué)生的預(yù)賽成績Z服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，其中μ可近似為樣本中的100名學(xué)生預(yù)賽成績的平均值(同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替)，且σ2＝362，已知小明的預(yù)賽成績?yōu)?1分，利用該正態(tài)分布，估計(jì)小明是否有資格參加復(fù)賽？(3)復(fù)賽規(guī)則如下：①每人的復(fù)賽初始分均為100分；②參賽學(xué)生可在開始答題前自行決定答題數(shù)量n，每一題都需要“花”掉(即減去)一定分?jǐn)?shù)來獲取答題資格，規(guī)定答第k題時(shí)“花”掉的分?jǐn)?shù)為0.2k(k＝1，2，…，n)；③每答對一題加2分，答錯(cuò)既不加分也不減分；④答完n題后參賽學(xué)生的最終分?jǐn)?shù)即為復(fù)賽成績．已知參加復(fù)賽的學(xué)生甲答對每道題的概率均為0.8，且每題答對與否都相互獨(dú)立．若學(xué)生甲期望獲得最佳的復(fù)賽成績，則他的答題數(shù)量n應(yīng)為多少？附：若Z～N(μ，σ2)，則P(μ－σ≤Z≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤Z≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤Z≤μ＋3σ)≈0.9973；362≈19.解：(1)預(yù)賽成績在[60，80)范圍內(nèi)的樣本量為0.0125×20×100＝25，預(yù)賽成績在[80，100)范圍內(nèi)的樣本量為0.0075×20×100＝15，設(shè)抽取的2人中預(yù)賽成績優(yōu)良的人數(shù)為X，則X的可能取值為0，1，2，則P(X≥1)＝C15又P(X＝0)＝C252C402＝513，P(X＝1)＝C15則X的分布列為X012P5257故E(X)＝0×513(2)μ＝x＝(10×0.005＋30×0.01＋50×0.015＋70×0.0125＋90×0.0075)×20＝53，σ2＝362，則σ≈19，所以Z～N(53，362)，故P(Z≥91)＝P(Z≥μ＋2σ)＝12[1－P(μ－2σ＜Z＜μ＋2σ)]≈0.02275故全市參加預(yù)賽的學(xué)生中，成績不低于91分的有120000×0.02275＝273(人)，因?yàn)?73＜300，故小明有資格參加復(fù)賽．(3)設(shè)學(xué)生甲答對的題目數(shù)為ξ，復(fù)賽成績?yōu)閅，則ξ～B(n，0.8)，故E(ξ)＝0.8n，Y＝100－0.2(1＋2＋3＋…＋n)＋2ξ，故E(Y)＝100－0.2(1＋2＋3＋…＋n)＋2E(ξ)＝－110n2＋3n2＋100＝－1因?yàn)閚∈N*，所以答題數(shù)量為7或8時(shí)，學(xué)生甲可獲得最佳的復(fù)賽成績．4．現(xiàn)如今國家大力提倡養(yǎng)老社會(huì)化、市場化，老年公寓是其養(yǎng)老措施中的一種，能夠滿足老年人的高質(zhì)量、多樣化、專業(yè)化生活及療養(yǎng)需求．某老年公寓負(fù)責(zé)人為了能給老年人提供更加良好的服務(wù)，現(xiàn)對所入住的120名老年人征集意見，該公寓老年人的入住房間類型情況如下表所示．入住房間的類型單人間雙人間三人間人數(shù)366024(1)若按入住房間的類型采用分層隨機(jī)抽樣的方法從這120名老年人中隨機(jī)抽取10人，再從這10人中隨機(jī)抽取4人進(jìn)行詢問，記隨機(jī)抽取的4人中入住單人間的人數(shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．(2)記雙人間與三人間為多人間，若在征集意見時(shí)要求把入住單人間的2人和入住多人間的m(m＞2且m∈N*)人組成一組，負(fù)責(zé)人從某組中任選2人進(jìn)行詢問，若選出的2人入住房間類型相同，則該組標(biāo)為Ⅰ，否則該組標(biāo)為Ⅱ.記詢問的某組被標(biāo)為Ⅱ的概率為p.①試用含m的代數(shù)式表示p；②若一共詢問了5組，用g(p)表示恰有3組被標(biāo)為Ⅱ的概率，試求g(p)的最大值及此時(shí)m的值．解：(1)因?yàn)閱稳碎g、雙人間、三人間入住人數(shù)比為36∶60∶24，即3∶5∶2，所以這10人中，入住單人間、雙人間、三人間的人數(shù)分別為10×310＝3所以ξ的所有可能取值為0，1，2，3，P(ξ＝0)＝C74C104＝16，P(ξ＝1)＝C31C73C104＝所以ξ的分布列為ξ0123P1131E(ξ)＝0×16(2)①從m＋2人中任選2人，有Cm+22種選法，其中入住房間類型相同的有所以詢問的某組被標(biāo)為Ⅱ的概率為p＝1－Cm②由題意，5組中恰有3組被標(biāo)為Ⅱ的概率g(p)＝C53p3(1－p)2＝10p3(1－2p＋p2)＝10(p3－2p4＋p5所以g′(p)＝10