浙江省嘉興市2022屆高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷（解析版）

浙江省嘉興市2022屆高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.（4分）已知集合加={刈（^2%<2},N={x\2<x<5},則MUN=（）

A.{尤14cx<5}B.{x|0<x<4}C.{x|0<x<5}D.{x\2<x<4}

2.（4分）復(fù)數(shù)z滿足z（1-i）+1=0,貝U|z|=（）

A.1B.料C.aD.返

22

x-y+l》0

3.（4分）若實(shí)數(shù)x,y滿足,x+y>0>則z=2x+3y的最大值是（）

x=Co

A.0B.aC.2D.3

2

4.（4分）已知a,6均為正實(shí)數(shù),則“a歷1”是“/+d22”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

5.（4分）某幾何體的三視圖（單位：cm）如圖所示，則該幾何體的體積（單位：是

（）

生及E

A.2B.aC.3D.8

33

6.（4分）函數(shù)y=sinx?23的部分圖象可能是（）

2X+1

A.

7.（4分）如圖，在正方體ABCD-ALBICLDI中，點(diǎn)E,廠分別是和的中點(diǎn)，則下

列說(shuō)法正確的是（）

A.4C與斯共面，4c〃平面FDCi

B.AC與OCi垂直，4C〃平面尸DQ

C.AC與EP異面，￡7」_平面尸CCi

D.E尸與。G垂直，ERL,平面FDG

22

8.（4分）已知點(diǎn)A（0,V5）-B（0,-讓），若曲線七-工萬(wàn)二。（fl>0,。>0）上存在點(diǎn)

尸滿足|BMTP8|=4,則下列正確的是（）

A./?<?+1B.b<2aC.b>a+\D.b>2a

9.（4分）已知正實(shí)數(shù)x,y,z,w滿足疸怯z,且x+z=y+w,則工+曳的最小值是（）

2xy

A.1B.A/2C.2D.2V2

10.（4分）已知函數(shù)/（尤）=lnx+x2-1,若存在尤（）eRl,e2,使得/K/（xo）-bH=xo+b,

則實(shí)數(shù)b的取值范圍是（）

A.K-1,e2DB.Ko,e2-eUC.H-1,e2-eUD.HO,e2D

二、填空題：本大題共7小題，多空題每題6分，單空題每題4分，共36分。

11.（4分）魯洛克斯三角形是一種特殊的三角形，它是以正三角形的頂點(diǎn)為圓心，以其邊

長(zhǎng)為半徑作圓弧，由這三段圓弧組成的曲邊三角形.如圖，已知某魯洛克斯三角形的一段弧

向的長(zhǎng)度為兀，則線段的長(zhǎng)為.

12.(6分)已知函數(shù)f(x)=(''則/(5)=；若/(/(〃))=5,

2X+4,0<X<1,

則a的值為.

l1

13.(6分)已知多項(xiàng)式(x+1)”+(x+2)"=ao+aix+a2X+---+an^,若ao=5,4/2=16,則加

=，n—.

TT

14.（6分）已知在AABC中，/B二-，AB=3，點(diǎn)。在邊2C上，且BD=2DC=2,則A。

3

=；sinZCAD=.

15.（6分）設(shè)一個(gè)袋子里有紅色球機(jī)（m>l）個(gè)，藍(lán)色球2個(gè)，現(xiàn)每次從中任取兩個(gè)球，

不放回，直到取出兩個(gè)同色球?yàn)橹?，記取球的次?shù)為若p（g=D=g，則m=；

E?）=.

22

16.（4分）已知橢圓三三-l（a>b>0）的右焦點(diǎn)為尸，尸、。是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的

兩點(diǎn)，M、N分別是PR。尸的中點(diǎn)，若以為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，則橢圓的離心率e的范

圍是.

17.（4分）已知非零平面向量Z,t,M滿足口11=4,且G二）“三二）=-1，若彳與

E的夾角為仇且eEr—,—]>則憶I的取值范圍是_______.

32

三、解答題：本大題共5小題，共74分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

18.（14分）已知函數(shù)f（x）=sin（x't^~）cos

（1）求f（三）的值；

8

(2)當(dāng)x€[0,；]，求函數(shù)y=f(x)+f(xf)的取值范圍?

19.(15分)如圖，四棱錐A-BCDE的底面為等腰梯形，DE//BC,且/OCB=45。，AB±

AC,平面ACD_L平面AC2.

(1)求證：CDLAB-,

(2)若BC=2DE=2AB=2,求直線AE與平面AC。所成角的大小.

20.（15分）已知遞增的等差數(shù)列｛斯｝滿足〃2+〃7=9,次〃5=20,等比數(shù)列｛a｝滿足

bn+b^l=3n'

（1）分別求數(shù)列｛斯｝,｛4｝的通項(xiàng)公式；

（2）記C2工，數(shù)列｛Cn｝的前W項(xiàng)和為T”，若IT-3|>—）求〃的值.

nh1An1

?nan

21.（15分）已知拋物線C：尸=2/（0>0）上的任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離比到y(tǒng)軸的距離大

-1?

2

（1）求拋物線C的方程；

（2）過(guò)拋物線外一點(diǎn)P（m,心作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,B,若三角形尸

的重心G在定直線1：y=A±,求三角形尸面積的最大值.

2

22.(15分)已知函數(shù)f(x)=ax-2-21nx(a>0,b>0).

X

(I)若/(%)在定義域上單調(diào)遞增，求"的最小值；

(II)當(dāng)4=1,b>\,f(x)=根有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根xi，X2,證明：f(xi)+f(%2)+2m

>0.

■■■參*考*答*案■■■

一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.C

K解析H:集合M={x[k>g”<2}={x[0<x<4},

N={x|2<x<5},

...MUN={x[0<x<5}.

故選：C.

2.D

(解析』由題得z=__^1+i---1--+-i-111.

l-i(l-i)(1+i)2--22

故選：D.

3.D

x-y+l)0

K解析》先根據(jù)約束條件(X+y>0畫出可行域,

x<0

當(dāng)直線z=2x+3y過(guò)點(diǎn)A(0,I)時(shí)，

z最大是3,

故選：D.

4.A

K解析D若〃厄1,則d+必經(jīng)32成立,即充分性成立,

當(dāng)a=2,b=—,滿足/+必22,但”行1不成立，即必要性不成立，

4

即Z會(huì)1”是啥+必”，充分不必要條件,

故選:A.

5.B

[[解析》根據(jù)幾何體的三視圖轉(zhuǎn)換為直觀圖為：該幾何體為四棱錐體;

如圖所示：

故選：B.

6.C

K解析Hf(無(wú))=sin(-x)-------=-sinA,—~—=sinx-?—.....-=/(x),即f(x)是

2~x+l1+2X2X+1

偶函數(shù)，排除B,D,

9x-l

V|^——^|<1,|sinx|<l,

2X+1

/.[/,(x)|<1，排除A,

故選：C.

7.B

[解析》在正方體4BC。-ALBICLDI中，點(diǎn)、E,尸分別是AB和4。的中點(diǎn)，

彳設(shè)設(shè)￡F_L平面如Cl,VFDc^p?FDCi,：.EF.LFD,

設(shè)正方體ABC。-ALBCLDI中棱長(zhǎng)為2,則上0=泥，EP=、后，ED=?

,：FN+E留手EN,：.EF,FD不垂直，與矛盾，，￡7口，1不成立，排除CD；

；AiCu平面AjBCDi，EFCI平面AiBCOi=F,F^AiC,EGEF,平面A1BCO1，

；.4C與EE異面，故A錯(cuò)誤.

對(duì)于8,以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)正方體ABC。-AIBCLDI中棱長(zhǎng)為2,

則4(2,0,2),C(0,2,0),D(0,0,0),C1(0,2,2),F(1,0,2),

A[C=(乜2,-2),DCI=(°，2,2),?.A]'?DC；=0,與。Ci垂直,

DF=(1>0,2),Dg=(0，2,2),

設(shè)平面EDC1的法向量口=（羽y,z),

n'DF=x+2z=0?、

則I_____，取z=l,得n=(-2,-1,1),

n'DC1=2y+2z=0

7A[CPn=0,4CC平面尸DCi,???4C〃平面產(chǎn)DCi,故3正確.

故選：B.

8.D

（解析》由點(diǎn)A（0,泥），B（0,-V5），且陷TPB|=4,

故點(diǎn)尸在雙曲線的下支上，且2〃i=4,ci=JW，所以〃i=2,b\—2_2=1.

所以雙曲線方程為。<0），其漸近線方程為〉=±2方

4

22

又點(diǎn)P在曲線2T-J=0（a>0,b>0）上，即點(diǎn)P在曲線y=±電x

a2b2a

即曲線y=±且X與雙曲線？-工：=1（y<0）相交，所以電>2，即b>2a,

a4a

故選：D.

9.B

K解析】由x+z=y+w,得vv=x+z-y,

又把后，則工):工^^^工二二十

2xy2xy2xyy

令a=Jb=—,則介厄1,且三2，

xyya

所以工？3_]=包津+6-1=里+6(A+i)-1>A+A+1-1>2M,A=V2>

2xyy2a012a2aV2a

當(dāng)且僅當(dāng)b=l,a=?,即亞x=y=z時(shí)取等號(hào).

故選:B.

10.C

[[解析U令yo=f(xo),則f(x)上存在兩點(diǎn)P(xo，yo),Q(jo-b,xo+b)關(guān)于直線y

=x+b對(duì)稱，

因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=ln.r+x2-1與直線y=x+b均單調(diào)遞增，

所以對(duì)稱點(diǎn)P，。重合且在直線上，即/(x)與y=x+6在K1,”上有交點(diǎn)，

所以匕=lnx+f-X-1在kl,el上有解，

令g(x)=liu+x2-x-\,g'(x)=」+2x-1>0在Kl,e3上恒成立，

x

所以g(X)在n,e3上單調(diào)遞增，所以g(x)eR-1,e2-e3,

所以beH-1,e2-e3.

故選：C.

二、填空題：本大題共7小題，多空題每題6分，單空題每題4分，共36分。

11.3

[[解析』設(shè)正三角形的邊長(zhǎng)為R,/ACB=6,

由弧長(zhǎng)公式可得，1=詠,

TT

則兀=——R，解得R=3.

3

故K答案X為：3.

12.-5；4

II解析D函數(shù)f(x)="4x'*1'則/(5)=-5?+4x5=-5；

2x+4,0<x<l,

令/(〃)=t,則/(/(a))—f(z)=5,

當(dāng)方>1時(shí)，/(力=-P+4/=5=/￡0,

當(dāng)0</<1時(shí)，f(Z)=2'+4=5，=0,.*./(a)=0,

當(dāng)a>l時(shí)，f(〃)=-4Q2+4〃=0=Q=4,

當(dāng)時(shí)，/(〃)=2"+4=0=>?！?.

綜上，〃=4.

故K答案X為：-5；4.

13.2；6

K解析》由已知可得⑷為展開式的常數(shù)項(xiàng)，。2為f的系數(shù)，

則令x=0可得：刈=V+26=1+2m=5,則m=2,

展開式的含/項(xiàng)的系數(shù)為Cn-2+cm-2,2m-2=n(i^lL+1=i6,解得〃=6,

故K答案X為：2；6.

14-6嚕

K解析］1在及鉆。中，ZB-?AB=3,BD=2，

3

由余弦定理得AD2=AB2+BD2-2ABBDCOSB=32+22-2X3X2CO4=7,

所以AD=有；

在AABC中，AB=3,BC=BD+DC=S

J

所以AABC是等邊三角形，

所以NC4，AC=AB=3>

在△AC。中，Nc4,AC=3,CD=1，

o

由正弦定理得萼一，

sinCsin/CAD

即行.1

.兀sin/CAD'

sirry

解得sin/CAD="①,

14_

故K答案】為：曰；返L

7'14

15.6,且

7

K解析X一個(gè)袋子里有紅色球機(jī)(m>l)個(gè)，藍(lán)色球2個(gè),

現(xiàn)每次從中任取兩個(gè)球，不放回，直到取出兩個(gè)同色球?yàn)橹?

記取球的次數(shù)為1p(g=1)二—,

C4+c乙

：.P(4=1)—,解得"2=6或(舍),

273

vcm+2

：.P(4=2)

P(￡=3)

:衛(wèi)?)=1X^+2Xy+3Xy=^.

故(答案》為：6,

7

16.k返，1)

2

K解析》設(shè)廠(C,0),

當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線PQ的方程為y=kx,

聯(lián)立橢圓方程b2x1+a2y2=a2b2,

可得可2+/3)2=次序,

解得,=士不吃

Vb+ak

設(shè)kababkab)

Vb2+a2k2Vb2+a2k2Vb2+a2k27b2+a2k2

可得M(2+L-j------，工/kab_.),

22Vb2+a2k22Vb2+a2k2

N(c_1.ab,kab),),

227b2+a2k22Vb2+a2k2

由線段MN為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)O,

可得。MLON,即而?不=0,

212.21122,2

即有J-LabLkab=0

44u2.2,4,2^2,2

+"b+ak士b+ak

2,2,224o22上4io4/2.\2

-pr4B12—ab-bc_a-Zac+c_1-2巳+e_(eT)、

寸—22—27T——22—4———Q21一—2.'

ac-abo2ac-a2e-12ne-1

可得2/-l>0,

解得返<e<l,

2

當(dāng)斜率不存在時(shí)，PQ方程為x=0,

所以A(0,b),B(0,-b),M(2,電)，M(￡,-電)，

2222

_t2,2

由0M?0N=。，得^—-^—=6:?b=c,a2=2c2,

44

.~=2=返，

a2_

綜上所述：離心率e的范圍是K返，1).

2

故K答案』為：K返，1).

2

17.[2-^3，3^3].

(解析U如圖1,令2心，b=0B.3灰，

則I瓦1=4，取中點(diǎn)M,

由(a-c)?(b_c)=-l,

可得序CB=-r

H-CB=(CM+MA)(a-MA)=|CM|2-|MA|2=|CM|2-^|AB|2=-b

所以|而|2=3'

即C在以M為圓心F為半徑的圓上.

由lcI=|QM+MCI)

當(dāng)O、M,C三點(diǎn)共線時(shí)（M在線段。C上），憶|=|而|+^，|c1^=1011+73-

由于。在以AB為弦的圓弧上，設(shè)圓心為G,

由正弦定理可知2|而尸|嗎L

sin8

Q廠「兀兀

即nn0G,r^2-，e€［―,—1

sin932

當(dāng)8—時(shí)，圓G半徑IOGI取得最大值9y,

33

2n

|GM|=V|GB|2-|BM|2=-22=yV3,

當(dāng)O、M、G三點(diǎn)共線（G在線段OM上），且e上時(shí)，|而|取得最大值，此時(shí)

3

|0M|max=|0G|+|GM1=273'

所以lc|max=|0M|maxW3=3V3-

如圖2,顯然當(dāng)0、M、C三點(diǎn)共線（點(diǎn)C在線段上），|c|min=|0MI-V3,

當(dāng)時(shí)，圓G半徑|0G|取得最小值2,

2

|GM|=V|GB|2-|BM|2=722-22=0,即〃、G兩點(diǎn)重合.|而|取得最小值為2,

貝110吟時(shí)，|c|mm=2-V3-

故向量W的模取值范圍是［2-?，又年］,

故k答案』為：［2-正，又年］.

三、解答題：本大題共5小題，共74分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

18.M：(1):函數(shù)f(x)=sin(x"t^~)cos(x-^-)=sin2(x+-^-)

2

l+sin2x

2

十

⑵當(dāng)xt[0,時(shí)，

函數(shù)y=f(x)+f(x4)=瞥蟲+""26尸"1=$必2*；。。式、+1

=^^.sin(2x+』~)+1,

24_

當(dāng)xGHo,-^-3時(shí)，2x+^-G,，'吟%sin(2x+-^-)eH-12,

244442

.??函數(shù)y=f(X)+f(X+^-)的取值范圍是%,1+冬.

19.(1)證明：因?yàn)槠矫鍭CDJ_平面ACB,且平面ACDC1平面ACB=AC,ABA.AC,ABu

平面ACB

所以AB_L平面ACD,又CDu平面AC。，所以CD_LAB；

(2)解：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

由已知條件，得A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,V3-0)

在ABCD中，由余弦定理，可得BD2=A+4-2x2/2x2x返=5,

2222

所以AZ)=7BD2-AB2=^y,

旦+3」

在AACD中，由余弦定理，可得cos/ZMC=-2k」—=工返,

2嗎Xg3

所以。(0,2"3.,"6)

36____

因?yàn)樨?fù)=工混，所以c(1,'3,76),AE=+、3,Q6),

2266266

又平面ACD的一個(gè)法向量為標(biāo)=(1,0,0),

設(shè)直線AE與平面ACD所成角為6,

則sin0=|cos<AB-標(biāo)>I=L.回?=返?

IAB|X|AEI2

所以直線AE與平面ACD所成角的大小為二.

4

20.解：⑴設(shè)數(shù)列｛斯｝的公差為d,d>0,則。2+的=2m+7d=9①,

。4〃5=(〃i+3d)(〃i+4d)=20②，

由①②解得。1=1，d=l,所以即=〃.

設(shè)等比數(shù)列的公比為必b則—+b更毛，再由加+3加=3,得b[=^，

卜江1+14

-Qn

所以bn=T

⑵入管,號(hào)號(hào)+…■亭,

兩式作差得Qi停號(hào)號(hào)+,?￡?堞)f)

4(i-(4)n)

擊]=2一黃

4[-——一

1萬(wàn)

所以T=3空之匕3卜簧吟即n(2n+3)>1,

n3n3n

記dJ(2n+3),

n3n

_(n+1)(2n+5)_n(2n+3)_(n+l)(2n+5)-3n(2n+3)_-4n2-2n+5(0,

n+1n-gn+13n-^n+l-gn+1

所以為+1＜為，又d3=l，所以〃的值為1或2.

21.解：(1)根據(jù)題意，拋物線C上的任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到直線尤=-△的距離相等,

2

由拋物線的定義可知豈=工，即0=1,

22

所以拋物線C的方程為y2=2x.

Yi2y2

(2)設(shè)動(dòng)點(diǎn)尸(m,n),切點(diǎn)A(--，yi),B(--9-，”)，

22

2

設(shè)過(guò)A的切線外的方程為(y-yi),

2

將切線PA的方程與拋物線的方程聯(lián)立，消去x整理得y-2ty+(2tyi-yi)=0'

所以A=4?-8ai+4y；=0,即t—yi,

2

所以切線外的方程為yiy=x+￡,①

2

同理可得切線PB的方程為y2y=x+^-,②

聯(lián)立①②解得兩切線的交點(diǎn)P士眨）,

22

y,yyi+y

BPW—--9-=m,---9-=n,艮13yly2=2m,yi+y2=2〃,

22

222

因?yàn)門曰某竿22nm

=7K(yi+y2)-月刊=-

01O

1,了1+丫2、y1+了2

yG=—(yi+y2+-----)=-----=n,

322

又因?yàn)镚在定直線/：y=1"x上，

所以有根=2/-2〃，即點(diǎn)尸的軌跡為x=2j/-2y,

因?yàn)辄c(diǎn)尸在拋物線外,所以層＞2(2層-2〃)，

所以(0,-1),如圖，取的中點(diǎn)Q,

22

2

則XQ=J(0-+等)=-1K(y+y)-2yl曰=層-m,yQ=ll_Zl=n,

22241d