數(shù)學(xué)高二 高二上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)試題（解析版）

第一學(xué)期高二年級(jí)第一次月考數(shù)學(xué)試卷本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共4頁.考試結(jié)束后，將答題卡交回.注意事項(xiàng)：1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū).2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚.3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效.4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑.5.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀.第Ⅰ卷(選擇題)一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.若直線l的方向向量為，平面的法向量為，且，則實(shí)數(shù)x的值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)直線與平面垂直時(shí)直線的方向量與平面的法向量共線，利用共線時(shí)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)關(guān)系即可計(jì)算出的值.【詳解】因?yàn)橹本€平面，直線l的方向向量為，平面的法向量為，所以，又，所以，所以.故選：C.2.已知直線，若，則實(shí)數(shù)（）A.或 B. C.或 D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)及線線垂直公式，即可求的值【詳解】因?yàn)榍宜越獾茫夯蚬蔬x：C3.在空間四點(diǎn)O，A，B，C中，若是空間的一個(gè)基底，則下列命題不正確的是（）A.O，A，B，C四點(diǎn)不共線B.O，A，B，C四點(diǎn)共面，但不共線C.O，A，B，C四點(diǎn)不共面D.O，A，B，C四點(diǎn)中任意三點(diǎn)不共線【答案】B【解析】【分析】根據(jù)基底的含義，非零向量不在同一平面內(nèi)，即O，A，B，C四點(diǎn)不共面，即可判斷【詳解】因?yàn)闉榛?，所以非零向量不在同一平面?nèi)，即O，A，B，C四點(diǎn)不共面，所以A、C、D選項(xiàng)說法正確，B錯(cuò)誤．故選：B4.若直線5x＋4y＝2m＋1與直線2x＋3y＝m的交點(diǎn)在第四象限，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A.(－∞，2) B.C.(－∞，－3) D.【答案】D【解析】【分析】聯(lián)立兩直線方程，求得交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)交點(diǎn)在第四象限，可得坐標(biāo)的正負(fù)，即可得答案.【詳解】聯(lián)立，解得，因?yàn)榻稽c(diǎn)在第四象限，所以，解得，故選：D5.已知，，則下列直線的方程不可能是的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)直線斜率與軸上的截距的關(guān)系判斷選項(xiàng)即可得解.【詳解】，直線的方程在軸上的截距不小于2，且當(dāng)時(shí)，軸上的截距為2，故D正確，當(dāng)時(shí)，,故B不正確，當(dāng)時(shí)，或，由圖象知AC正確.故選：B6.如圖，長方體中，，，、、分別是、、的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值是（）A.0 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，表示，然后利用空間向量的夾角公式計(jì)算即可.【詳解】如圖所以所以異面直線與所成角的余弦值故選：A【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成角的余弦值，利用向量的方法，便于計(jì)算，將幾何問題代數(shù)化，屬基礎(chǔ)題.7.2023年暑期檔動(dòng)畫電影《長安三萬里》重新點(diǎn)燃了人們對(duì)唐詩的熱情，唐詩中邊塞詩又稱出塞詩，是唐代漢族詩歌的主要題材，是唐詩當(dāng)中思想性最深刻，想象力最豐富，藝術(shù)性最強(qiáng)的一部分，唐代詩人李頎的邊塞詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”.詩中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)將軍的出發(fā)點(diǎn)是，軍營所在位置為，河岸線所在直線的方程為，若將軍從出發(fā)點(diǎn)到河邊飲馬，再回到軍營（“將軍飲馬”）的總路程最短，則（

）A.將軍從出發(fā)點(diǎn)到河邊的路線所在直線的方程是B.將軍在河邊飲馬的地點(diǎn)的坐標(biāo)為C.將軍從河邊回軍營的路線所在直線的方程是D.“將軍飲馬”走過的總路程為5【答案】B【解析】【分析】由題意畫出圖形，則由三角形三邊關(guān)系可知點(diǎn)為使得總路程最短“最佳飲水點(diǎn)”，三點(diǎn)共線滿足題意，其中點(diǎn)為點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，對(duì)于A，由根據(jù)被垂直平分求出的坐標(biāo)進(jìn)一步可求得方程對(duì)比即可；對(duì)于B，聯(lián)立直線方程求解即可；對(duì)于C，由兩點(diǎn)求出斜率，寫出直線的點(diǎn)斜式方程，化簡對(duì)比即可；對(duì)于D，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式求解即可.【詳解】如圖所示：由題意可知在的同側(cè)，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，三點(diǎn)共線滿足題意，點(diǎn)為使得總路程最短的“最佳飲水點(diǎn)”，則，解得，即，對(duì)于A，直線的斜率為，所以將軍從出發(fā)點(diǎn)到河邊的路線所在直線的方程是，即，故A正確；對(duì)于B，聯(lián)立，解得，即將軍在河邊飲馬的地點(diǎn)的坐標(biāo)為，故B正確；對(duì)于C，由C選項(xiàng)分析可知點(diǎn)，直線的斜率為，所以直線的方程為，即，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，即“將軍飲馬”走過的總路程為，故D錯(cuò)誤.故選：B.8.如圖，在正方體中，為棱上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，為棱上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則平面與底面所成角的余弦值的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】建立合適的空間直角坐標(biāo)系，求出所需點(diǎn)的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出平面EFB的法向量，由向量的夾角公式求解二面角的余弦值的取值范圍，由此判斷求解即可．【詳解】設(shè)平面與底面所成的二面角的平面角為θ，由圖可得θ不為鈍角.以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則，所以，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，故，又底面的一個(gè)法向量為，所以，因?yàn)?，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，則，，則，則當(dāng)時(shí)，分母取到最小值，此時(shí)，當(dāng)，時(shí)，則，此時(shí)，綜上，故選：A.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.直線過，兩點(diǎn)，那么直線的傾斜角有可能是（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)斜率的取值范圍求得傾斜角的取值范圍，進(jìn)而選擇正確答案.【詳解】設(shè)的傾斜角分別為，直線的斜率，，又，直線的傾斜角的取值范圍是.故選：AD.10.如圖，在平行六面體中，設(shè)，若為與的交點(diǎn)，則下列等式正確的是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】利用向量加法的三角形法則，平行四邊形法則即可求答案.【詳解】，故A錯(cuò)誤；，故B正確；，故C錯(cuò)誤；，故D正確；故選：BD11.已知和兩條異面直線都垂直相交的直線叫做兩條異面直線的公垂線，公垂線與兩條直線相交的點(diǎn)所形成的線段，叫做這兩條異面直線的公垂線段.兩條異面直線的公垂線段的長度，叫做這兩條異面直線的距離.如圖，在棱長為1的正方體中，點(diǎn)在上，且；點(diǎn)在上，且.則下列結(jié)論正確的是（）A.線段是異面直線與的公垂線段B.異面直線與距離為C.點(diǎn)到直線的距離為D.點(diǎn)到平面的距離為【答案】ACD【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法依次求解判斷.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.，A1,0,0，，，，，，，，，.對(duì)于A，，，，，，即，，所以線段是異面直線與的公垂線段，故A正確；對(duì)于B，由正方體可得異面直線與的公垂線的方向向量為，又，所以異面直線與的距離為.故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，，所以在方向的投影向量的模為，所以點(diǎn)到直線的距離為.故C正確；對(duì)于D，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，得，，，又，所以點(diǎn)到平面的距離為.故D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查空間中的距離問題.解題思路是建立空間直角坐標(biāo)系，求出點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式，異面直線距離公式，點(diǎn)到面的距離公式，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解.第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知點(diǎn)M(0，－1)，點(diǎn)N在直線x－y＋1＝0上，若直線MN垂直于直線x＋2y－3＝0，則N點(diǎn)的坐標(biāo)是________．【答案】(2,3)【解析】【分析】由于點(diǎn)N在直線x－y＋1＝0上可設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為，然后根據(jù)直線MN垂直于直線x＋2y－3＝0可求出，進(jìn)而得到點(diǎn)N的坐標(biāo)．【詳解】由點(diǎn)N在直線x－y＋1＝0上可設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為，∴．又直線MN垂直于直線x＋2y－3＝0，∴，解得，∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為．故答案為【點(diǎn)睛】本題考查兩直線垂直的條件及有關(guān)計(jì)算，解題時(shí)注意把兩直線的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)的計(jì)算問題處理，屬于基礎(chǔ)題．13.已知兩條平行直線：，：，則與間的距離為______.【答案】【解析】【分析】先根據(jù)兩直線平行求出直線方程，然后根據(jù)平行直線的距離公式直接求解.【詳解】由，得，得，所以：，即，又：，所以與間的距離.故答案為：14.在棱長為1的正方體中，，，分別在棱，，上，且滿足，，，是平面，平面與平面的一個(gè)公共點(diǎn)，設(shè)，則_________.【答案】##1.2【解析】【分析】根據(jù)共面定理列方程組可解.【詳解】如圖所示，

正方體中，，，，A，，四點(diǎn)共面，，，，四點(diǎn)共面，，解得，；．故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.根據(jù)下列各條件分別寫出直線的方程，并化成一般式.（1）斜率是，且經(jīng)過點(diǎn)；（2）在軸和軸上的截距分別是和；（3）經(jīng)過點(diǎn)，且一個(gè)方向向量.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)直線方程的點(diǎn)斜式即可得解；（2）根據(jù)直線方程的截距式即可得解；（3）首先根據(jù)方向方程可得直線斜率，再根據(jù)點(diǎn)斜式即可得解.【小問1詳解】解：根據(jù)點(diǎn)斜式可得直線方程為，化簡可得；【小問2詳解】解：根據(jù)截距式可得：，化簡可得；【小問3詳解】解：由直線的方向向量為可得直線的斜率，所以所求直線方程即.16.如圖所示，在幾何體中，四邊形和均為邊長為2的正方形，，底面，M、N分別為、的中點(diǎn)，.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，求得直線的方向向量，求得平面的法向量，然后利用，證明，從而得出平面；（2）求得直線的方向向量，由（1）知平面的法向量，結(jié)合線面角的向量公式即可得解.【小問1詳解】因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，底面，所以，，兩兩相互垂直，如圖，以A為原點(diǎn)，分別以，，方向?yàn)閤軸、y軸、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，由題意可得A0,0,0，，，，，，，，，則，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為n1=x1故，即，則，令，得，所以，所以，又平面，所以平面.【小問2詳解】由（1）得直線的一個(gè)方向向量為，平面的一個(gè)法向量為，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.17.已知直線方程為．（1）若直線的傾斜角為，求的值；（2）若直線分別與軸、軸的負(fù)半軸交于、兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求面積的最小值及此時(shí)直線的方程．【答案】（1）；（2）面積的最小值為，此時(shí)直線的方程為.【解析】【分析】（1）由直線斜率和傾斜角的關(guān)系可求得的值；（2）求出點(diǎn)、的坐標(biāo)，根據(jù)已知條件求出的取值范圍，求出的面積關(guān)于的表達(dá)式，利用基本不等式可求得面積的最小值，利用等號(hào)成立的條件可求得的值，即可得出直線的方程.【小問1詳解】解：由題意可得.【小問2詳解】解：在直線的方程中，令可得，即點(diǎn)，令可得，即點(diǎn)，由已知可得，解得，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)直線的方程為，即.18.已知直線：，.（1）證明直線過定點(diǎn)，并求出點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）在（1）的條件下，若直線過點(diǎn)，且在軸上的截距是在軸上的截距的，求直線的方程；（3）若直線不經(jīng)過第四象限，求的取值范圍.【答案】（1）證明見解析，點(diǎn)的坐標(biāo)為（2）或（3）【解析】【分析】（1）化簡方程為直線系方程的形式，組成方程組解出直線過的點(diǎn)；（2）根據(jù)題意分直線過原點(diǎn)、不過原點(diǎn)討論，分析解決即可；（3）分①，②，③，且三種情況進(jìn)行討論分析解決.【小問1詳解】證明：整理直線的方程，得，所以直線過直線與的交點(diǎn)，聯(lián)立方程組，解得，所以直線過定點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為.【小問2詳解】當(dāng)截距為0時(shí)，直線的方程為，即，當(dāng)截距不為0時(shí)，設(shè)直線的方程為，則，解得，直線的方程為，即，故直線的方程為或.【小問3詳解】當(dāng)時(shí)，直線的方程為，符合題意；當(dāng)時(shí)，直線的方程為，不符合題意；當(dāng)，且時(shí)，，所以解得或，綜上所述，當(dāng)直線不經(jīng)過第四象限時(shí)，的取值范圍是：.19.如圖，在四棱錐中，底面是邊長為6的正方形，是正三角形，平面，為的中點(diǎn)，，，分別是，，上的點(diǎn)，且滿足．（1）求平面與平面所成銳二面角的大小;（2）在線段上是否存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角為?若存在，求線段的長度；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）（2）不存在，理由見解析【解析】【分析】（1）先證明平面，然后建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面與平面的兩個(gè)法向量，借助向量法計(jì)算二面角所成角的公式即可得解.（2）令，然后求出，利用向量法的計(jì)算線面角的公式，建