人教版高中物理舉一反三-必修二7.3萬有引力理論的成就（原卷版）

7.3萬有引力理論的成就原卷版目錄TOC\o"1-1"\h\u一、【重力和萬有引力的關(guān)系知識(shí)點(diǎn)梳理】 1二、【由環(huán)繞天體求中心天體的質(zhì)量和密度知識(shí)點(diǎn)梳理】 3三、【多星問題知識(shí)點(diǎn)梳理】 5四、【拉格朗日點(diǎn)的計(jì)算知識(shí)點(diǎn)梳理】 9【重力和萬有引力的關(guān)系知識(shí)點(diǎn)梳理】1.重力為萬有引力的分力如圖所示，設(shè)地球的質(zhì)量為M，半徑為R，A處物體的質(zhì)量為m，物體受到地球的萬有引力為F，方向指向地心。由萬有引力定律公式可得F=GMmR圖中的F1為物體隨地球自轉(zhuǎn)所需的向心力，方向垂直于地軸；F2就是物體的重力mg，故除地球兩極外，mg<GMmR2。(1)緯度對(duì)重力的影響a.物體在赤道上：F、F1、mg三者同向，向心力F1達(dá)到最大值mRω2，mg=GMmR2-mRω重力最小，指向地心。(ω為地球自轉(zhuǎn)的角速度)b.物體在地球兩極處，向心力F1為零，所以mg=F=GMmRc.物體在地面上其他的位置，重力mg<GMmR重力逐漸增大。(2)高度對(duì)重力的影響(不考慮地球自轉(zhuǎn))a.在地球表面：mg=GMmR2→地球表面的重力加速度g=b.在距地面高h(yuǎn)處：mgh=GMm(R+h)2→離地面高h(yuǎn)處的重力加速度gh=GM大，重力加速度gh越小。c.g和gh的關(guān)系：gh=RR+h2知識(shí)拓展

由于物體隨地球自轉(zhuǎn)需要的向心力很小，一般情況下認(rèn)為重力近似等于萬有引力。因此不考慮地球自轉(zhuǎn)時(shí)，在地球表面及表面附近有mg=GMmR2，化簡(jiǎn)得gR2=GM。gR2=GM通常叫作黃金代換式，適用于任何天體，在某星體的質(zhì)量M2、“稱量”地球的質(zhì)量①地球表面的物體，若不考慮地球自轉(zhuǎn)，其所受的重力等于地球?qū)ξ矬w的萬有引力，即mg=Gmm地R2，可得Gm地=gR2(黃金代換式)，地球的質(zhì)量m②推廣：若知道其他天體表面的重力加速度、天體的半徑及G值，利用上式可計(jì)算

出該天體的質(zhì)量。3、計(jì)算天體的密度：已知天體(如地球)的半徑R及其表面的重力加速度g，求解天體的質(zhì)量或密度。分析思路：不考慮天體的自轉(zhuǎn)時(shí)，天體表面物體所受的重力等于天體對(duì)物體的萬有引力，即mg=GMmR2，解得天體的質(zhì)量為M=gR2G。代入ρ=MV，特別說明：若題目中出現(xiàn)“g”“地面”“自由落體”“豎直上拋”等字樣時(shí)，常采用“地表法”求解天體的質(zhì)量。【重力和萬有引力的關(guān)系舉一反三練習(xí)】1．火星的質(zhì)量和半徑分別約為地球的和，地球表面的重力加速度為g，則火星表面的重力加速度約為（）A．0.2g B．0.4g C．2.0g D．2.5g2．由于地球自轉(zhuǎn)的影響，地球表面的重力加速度會(huì)隨緯度的變化而有所不同，已知地球表面兩極處的重力加速度大小為，在赤道處的重力加速度大小為，地球自轉(zhuǎn)的周期為，引力常量為。假設(shè)地球可視為質(zhì)量均勻分布的球體，下列說法正確的是（）A．質(zhì)量為的物體在地球北極受到的重力大小為B．質(zhì)量為的物體在地球赤道上受到的萬有引力大小為C．地球的半徑為D．地球的密度為3．在太空探測(cè)過程中，航天員乘飛船登陸了某星球，若航天員在星球表面將一個(gè)物體豎直向上以初速度拋出（不計(jì)空氣阻力），經(jīng)過t時(shí)間落回拋出點(diǎn)，已知該星球的半徑為地球半徑的k倍，地球表面重力加速度為，則該星球與地球的平均密度之比為（）A． B． C． D．4．假定太陽系一顆質(zhì)量均勻、可看作球體的小行星自轉(zhuǎn)可以忽略?，F(xiàn)若該星球自轉(zhuǎn)加快，角速度為ω時(shí)，該星球表面“赤道”上的物體對(duì)星球的壓力減為原來的。已知引力常量G，則該星球密度ρ為（）A． B． C． D．5．已知火星兩極和赤道的重力加速度之比為n，火星的自轉(zhuǎn)角速度為，將火星視為均勻球體，則火星的近地衛(wèi)星的角速度為（）A． B． C． D．6．科學(xué)家在宜居帶“金發(fā)姑娘區(qū)”發(fā)現(xiàn)一顆類地行星TRAPPIST—le，若將該行星視為半徑為R、質(zhì)量分布均勻的球體，一物體從離行星表面（）處由靜止釋放，經(jīng)時(shí)間，該物體落回到行星表面，引力常量為G，則該行星的平均密度約為（

）A． B． C． D．7．用彈簧秤稱量一個(gè)相對(duì)于地球靜止的小物體的重力，隨稱量位置的變化可能會(huì)有不同的結(jié)果。已知地球質(zhì)量為M，自轉(zhuǎn)周期為T，萬有引力常量為G。將地球視為半徑為R，質(zhì)量均勻分布的球體，不考慮空氣的影響。設(shè)在地球北極地面稱量時(shí)，彈簧秤的讀數(shù)是F0。（1）若在北極上空高出地面h處稱量，彈簧秤讀數(shù)為F1，求比值的表達(dá)式，并就的情形算出具體數(shù)值（計(jì)算結(jié)果保留兩位有效數(shù)字）；（2）若在赤道地面稱量，彈簧秤讀數(shù)為F2，求比值的表達(dá)式?！居森h(huán)繞天體求中心天體的質(zhì)量和密度知識(shí)點(diǎn)梳理】已知行星(或衛(wèi)星)環(huán)繞中心天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑r及其他相關(guān)運(yùn)動(dòng)參量，如線速度(v)、角速度(ω)或周期(T)，求解中心天體的質(zhì)量或密度。分析思路：行星(或衛(wèi)星)繞中心天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，中心天體對(duì)行星(或衛(wèi)星)的萬有引力提供向心力，可得GMmr2=mv2r=mrωM=rv2G=r3ω2G=4π2r3GT2。若已知中心天體的半徑為R特殊情況：當(dāng)衛(wèi)星在中心天體表面附近環(huán)繞中心天體運(yùn)動(dòng)時(shí)，其軌道半徑r可認(rèn)為等于中心天體的半徑R，則ρ=3πGT若已知衛(wèi)星的線速度v和運(yùn)行周期T(軌道半徑r未知)，則由GMmr2=mv2r解得中心天體的質(zhì)量M=Tv【由環(huán)繞天體求中心天體的質(zhì)量和密度舉一反三練習(xí)】8．一顆衛(wèi)星繞X行星做圓形軌道運(yùn)行，且軌道距離行星表面非常近．要估計(jì)行星X的密度，我們只需測(cè)量（）A．衛(wèi)星的周期B．軌道半徑C．衛(wèi)星的速度D．行星X的質(zhì)量E．衛(wèi)星的質(zhì)量9．火星繞太陽運(yùn)轉(zhuǎn)可看成是勻速圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)火星運(yùn)動(dòng)軌道的半徑為r，火星繞太陽一周的時(shí)間為T，萬有引力常量為G，則下列說法正確的是（

）A．火星的質(zhì)量 B．火星的向心加速度C．太陽的平均密度 D．太陽的質(zhì)量10．2023年11月23日《中國日?qǐng)?bào)》消息，11月23日18時(shí)00分04秒，我國在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心使用長(zhǎng)征二號(hào)丁運(yùn)載火箭及遠(yuǎn)征三號(hào)上面級(jí)成功將互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)試驗(yàn)衛(wèi)星發(fā)射升空，衛(wèi)星順利進(jìn)入預(yù)定軌道，發(fā)射任務(wù)取得圓滿成功。如果互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)試驗(yàn)衛(wèi)星的軌道半徑為r，周期為T，地球的半徑為R，引力常量為G，則（

）A．地球的質(zhì)量為 B．地球的質(zhì)量為C．地球的密度為 D．地球的密度為11．中子星是一種密度很大的特殊天體。若某中子星恰好能維持不解體，其自轉(zhuǎn)的周期為T，已知引力常量為G，則中子星的平均密度為（）A． B． C． D．12．（多選）太空探測(cè)器來到某未知星球，貼著該星球表面做圓周運(yùn)動(dòng)，周期為T；在離星球表面高度為h的軌道上做圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)行周期為8T，引力常量為G，則（）A．該星球的密度為 B．該星球的密度為C．該星球的半徑為3h D．該星球的半徑為13．中國新聞網(wǎng)宣布：在摩洛哥墜落的隕石被證實(shí)來自火星。某同學(xué)想根據(jù)平時(shí)收集的部分火星資料（如圖所示）計(jì)算出火星的密度，再與這顆隕石的密度進(jìn)行比較。下列計(jì)算火星密度的公式錯(cuò)誤的是（引力常量G已知，忽略火星自轉(zhuǎn)的影響）（）火星-Mars火星的小檔案直徑d=6779km質(zhì)量M=6.4171×1023kg表面的重力加速度g0=3.7m/s2近地衛(wèi)星的周期T=3.4hA． B． C． D．14．地球半徑為，距地面高為處有一顆同步衛(wèi)星。另一星球半徑為，距該星球球面高度為處也有一顆同步衛(wèi)星，它的周期為72小時(shí)，則該星球的平均密度與地球的平均密度之比為（）A．1：3 B．1：6 C．1：9 D．1：815．（多選）假設(shè)“天問一號(hào)”探測(cè)器在環(huán)繞火星軌道上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，探測(cè)到它恰好與火星表面某一山脈相對(duì)靜止，測(cè)得相鄰兩次看到日出的時(shí)間間隔為T，探測(cè)器儀表上顯示的繞行速度為v，已知引力常量為G，則（）A．火星的質(zhì)量為 B．火星的質(zhì)量為C．探測(cè)器的軌道半徑為 D．火星的平均密度為16．2020年11月24日成功發(fā)射的“嫦娥五號(hào)”是中國首個(gè)實(shí)施無人月面取樣返回的月球探測(cè)器。已知月球半徑為R，地心與月球中心之間的距離為r，月球繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的公轉(zhuǎn)周期為，“嫦娥五號(hào)”探測(cè)器繞近月軌道做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為，引力常量為G，由以上條件可知（）A．月球質(zhì)量為 B．地球質(zhì)量為C．月球的密度為 D．地球的密度為【多星問題知識(shí)點(diǎn)梳理】1、雙星模型(1)構(gòu)建“雙星”模型兩個(gè)離得比較近的天體，其他星球?qū)λ鼈兊娜f有引力可以忽略不計(jì)，它們?cè)诒舜碎g的引力作用下繞兩者連線上的某一點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)，這樣的兩顆星組成的系統(tǒng)稱為雙星模型(2)“雙星”模型的特點(diǎn)①兩顆星的運(yùn)行軌道為同心圓，圓心是它們連線上的某一點(diǎn)。②兩顆星的周期、角速度相同，即T1=T2，ω1=ω2。③兩顆星的運(yùn)動(dòng)半徑之和等于它們的中心之間的距離，即r1+r2=L。④兩顆星的向心力大小相等，由它們之間的萬有引力提供，即Gm1m2L2=m1ω12r1=m1v12r1=m1r14π2T(3)幾個(gè)結(jié)論①軌道半徑：r1=m2m1+m2L，r2=m1m1+m(2)“雙星”模型的特點(diǎn)②星體質(zhì)量：m1=4π2r2L2GT2，m2=③周期：T=2πLLG(2、三星模型常見情景圖示三個(gè)質(zhì)量相等的星體，一個(gè)星體位于中心位置不動(dòng)，另外兩個(gè)星體圍繞它做圓周運(yùn)動(dòng)三個(gè)質(zhì)量相等的星體分別位于一正三角形的頂點(diǎn)處，都繞三角形的中心做圓周運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)這三個(gè)星體始終位于同一直線上，中心星體受力平衡，運(yùn)轉(zhuǎn)的星體由其余兩個(gè)星體的萬有引力的合力提供向心力，兩運(yùn)轉(zhuǎn)星體的轉(zhuǎn)動(dòng)方向相同，角速度、線速度、周期大小相等三個(gè)星體在同一圓軌道上運(yùn)動(dòng)，相對(duì)位置不變，即構(gòu)成的正三角形的邊長(zhǎng)不變化。每個(gè)星體運(yùn)行所需的向心力都由其余兩個(gè)星體對(duì)它的萬有引力的合力提供。三個(gè)星體的轉(zhuǎn)動(dòng)方向相同，角速度、線速度、周期大小相等【多星問題舉一反三練習(xí)】17．如圖所示，由恒星A與恒星B組成的雙星系統(tǒng)繞其連線上的O點(diǎn)各自做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，經(jīng)觀測(cè)可知恒星B的運(yùn)行周期為T。若恒星A的質(zhì)量為m，恒星B的質(zhì)量為2m，引力常量為G，則恒星A與O點(diǎn)間的距離為（）A． B． C． D．18．宇宙中存在一些離其它恒星較遠(yuǎn)的三星系統(tǒng)，其中一種三星系統(tǒng)如圖所中示，三顆恒星位于同一直線上，兩顆環(huán)繞星甲、丙繞中央星乙在同一半徑的圓軌道上運(yùn)行，假設(shè)甲、丙的質(zhì)量均為m，圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑均為R，向心加速度的大小均為a，引力常量為G，下列說法正確的是（

）A．甲對(duì)丙的引力大小為 B．甲的速度大小為C．乙的質(zhì)量為 D．丙對(duì)乙的引力大小為19．（多選）宇宙空間有一種由三顆星體A、B、C組成的三星系統(tǒng)，它們分別位于等邊三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)上，繞一個(gè)固定且共同的圓心O做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，軌道如圖中實(shí)線所示，其軌道半徑rA<rB<rC。忽略其他星體對(duì)它們的作用，可知這三顆星體（）

A．線速度大小關(guān)系是vA<vB<vCB．加速度大小關(guān)系是aA>aB>aCC．質(zhì)量大小關(guān)系是mA>mB>mCD．所受萬有引力合力的大小關(guān)系是FA=FB=FC20．（多選）在銀河系中，雙星的數(shù)量非常多，研究雙星，對(duì)于了解恒星形成和演化過程的多樣性有重要的意義。如圖所示為由A、B兩顆恒星組成的雙星系統(tǒng)，A、B繞連線上一點(diǎn)O做圓周運(yùn)動(dòng)，測(cè)得A、B兩顆恒星間的距離為L(zhǎng)，恒星A的周期為T，恒星A做圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度是恒星B的2倍，忽略其他星球?qū)、B的影響，則下列說法正確的是（）A．恒星B的周期為B．A、B兩顆恒星質(zhì)量之比為1：2C．恒星B的線速度是恒星A的2倍D．A、B兩顆恒星質(zhì)量之和為21．如圖是宇宙中由三顆星體構(gòu)成的一個(gè)系統(tǒng)，忽略其他星體對(duì)它們的作用，存在著一種運(yùn)動(dòng)形式：三顆星體在相互之間的萬有引力作用下，分別位于等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上，正在繞某一共同的圓心在三角形所在的平面內(nèi)順時(shí)針做角速度相等的圓周運(yùn)動(dòng)。已知星體A的質(zhì)量為3m，星體B、C的質(zhì)量均為m，三角形邊長(zhǎng)為L(zhǎng)（L遠(yuǎn)大于星體自身半徑），萬有引力常量為G。求：（1）若A星體可視為球體，且半徑為R，求A星體的第一宇宙速度大??；（2）A星體所受合力的大?。唬?）A、B、C三星體做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)向心加速度之比。22．（多選）如圖所示，A、B、C三顆星體分別位于等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上，在相互之間的萬有引力作用下，繞圓心O在三角形所在的平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，rBO=rCO=2rAO。忽略其他星體對(duì)它們的作用，則下列關(guān)系正確的是（

）

A．星體的線速度vA=2vB B．星體的加速度2aA=aBC．星體所受合力FA=FB D．星體的質(zhì)量mB=mC23．（多選）如圖所示，天文觀測(cè)中觀測(cè)到有質(zhì)量相等的三顆天體位于邊長(zhǎng)為l的等邊三角形△ABC三個(gè)頂點(diǎn)上，三顆天體均做周期為T的勻速圓周運(yùn)動(dòng)。已知引力常量為G，不計(jì)其他天體對(duì)它們的影響，關(guān)于這個(gè)三星系統(tǒng)，下列說法中正確的是（）A．三顆天體的質(zhì)量均為 B．三顆天體的質(zhì)量均為C．三顆天體線速度大小均為 D．三顆天體線速度大小均為24．宇宙間存在一些離其他恒星較遠(yuǎn)的雙星系統(tǒng)。雙星系統(tǒng)由兩顆相距較近的恒星組成，在相互之間的萬有引力作用下，繞連線上的一點(diǎn)做周期相同的勻速圓周運(yùn)動(dòng)。某雙星系統(tǒng)由甲、乙兩顆恒星組成，甲、乙兩顆恒星的質(zhì)量分別為，且。它們做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T，萬有引力常量為G。關(guān)于雙星系統(tǒng)的下列說法正確的是（）A．恒星甲做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑大于恒星乙做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑B．恒星甲做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的線速度大于恒星乙做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的線速度C．雙星做圓周運(yùn)動(dòng)的速率之和D．雙星之間的距離25．我國科學(xué)家團(tuán)隊(duì)在某個(gè)河外星系中發(fā)現(xiàn)了一對(duì)相互繞轉(zhuǎn)的超大質(zhì)量雙黑洞系統(tǒng)，這是迄今為止發(fā)現(xiàn)的第二例超大質(zhì)量雙黑洞繞轉(zhuǎn)系統(tǒng)，兩黑洞繞它們連線上某點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。黑洞1、2的質(zhì)量分別為，下列關(guān)于黑洞1、2的說法中正確的是（）A．半徑之比為 B．向心力之比為C．動(dòng)能之比為 D．角速度之比為【拉格朗日點(diǎn)的計(jì)算知識(shí)點(diǎn)梳理】?jī)蓚€(gè)靠的很近的天體繞著它們連線上的一點(diǎn)（質(zhì)心）做圓周運(yùn)動(dòng)，構(gòu)成穩(wěn)定的雙星系統(tǒng)，雙星系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，其軌道平面存在著一些特殊的點(diǎn)，在這些點(diǎn)處，質(zhì)量極小的物體（例如人造衛(wèi)星）可以與兩星體保持相對(duì)靜止，這樣的點(diǎn)被稱為“拉格朗日點(diǎn)”。一般一個(gè)雙星系統(tǒng)有五個(gè)拉格朗日點(diǎn)?！纠窭嗜拯c(diǎn)的計(jì)算舉一反三練習(xí)】26．在兩個(gè)大物體引力場(chǎng)空間中存在著一些點(diǎn)，在這些點(diǎn)處的小物體可相對(duì)于兩個(gè)大物體基本保持靜止，這些點(diǎn)稱為拉格朗日點(diǎn)，比如圖中的點(diǎn)，，衛(wèi)星在這些點(diǎn)可以幾乎不消耗燃料與月球同步繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)。則關(guān)于處于拉格朗日點(diǎn)和上的兩顆衛(wèi)星，下列說法正確的是（）A．兩衛(wèi)星繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力相等B．兩衛(wèi)星繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的線速度相等C．處于點(diǎn)的衛(wèi)星繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的角速度較大D．處于點(diǎn)的衛(wèi)星繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度較大27．拉格朗日點(diǎn)指的是在太空中類似于“地一月”或“日一地”的天體系統(tǒng)中的某些特殊位置，在該位置處的第三個(gè)相對(duì)小得多（質(zhì)量可忽略不計(jì)）的物體靠?jī)蓚€(gè)天體的引力的矢量和提供其轉(zhuǎn)動(dòng)所需要的向心力，進(jìn)而使得該物體與該天體系統(tǒng)處于相對(duì)靜止?fàn)顟B(tài)，即具有相同的角速度。如圖所示是地一月天體系統(tǒng)，在月球外側(cè)的地月連線上存在一個(gè)拉格朗日點(diǎn)，發(fā)射一顆質(zhì)量為m的人造衛(wèi)星至該點(diǎn)跟著月球一起轉(zhuǎn)動(dòng)，距離月球的距離為s。已知地球的半徑為R，地