10.2 事件的相互獨(dú)立性（解析版）（人教A版2019必修第二冊）-人教版高中數(shù)學(xué)精講精練必修二

10.2事件的相互獨(dú)立性考法一獨(dú)立事件的判斷【例1-1】（2023陜西）籃球比賽中，張英皓同學(xué)投球三次，設(shè)事件A為“三次投球全不是三分球”，事件B為“三次全是三分球”，事件C為“三次投球不全是三分球”，則下列結(jié)論正確的是（）A．A與C對立 B．B與C對立 C．任兩個均對立 D．任兩個均不對立【答案】B【解析】籃球比賽中，張英皓同學(xué)投球三次，設(shè)事件為“三次投球全不是三分球”，事件為“三次全是三分球”，事件為“三次投球不全是三分球”，對于，事件與事件能同時發(fā)生，不是對立事件，故錯誤；對于，事件與事件是對立事件，故正確；對于，事件與事件能同時發(fā)生，不是對立事件，故錯誤；對于，事件與事件是對立事件，故錯誤．故選：．【例1-2】（2023北京）連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣2次，設(shè)“第1次正面朝上”為事件，“第2次反面朝上”為事件，“2次朝上結(jié)果相同”為事件，有下列三個命題：①事件與事件相互獨(dú)立；②事件與事件相互獨(dú)立；③事件與事件相互獨(dú)立．以上命題中，正確的個數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣的所有結(jié)果是：(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)，由題意得，，，．因?yàn)?，故事件相互?dú)立，①正確；因?yàn)椋适录嗷オ?dú)立，②正確；因?yàn)?，故事件相互?dú)立，③正確．故選：D【一隅三反】1．（2023·山東）（多選）下列事件A，B不是獨(dú)立事件的是（）A．一枚硬幣擲兩次，A=“第一次為正面向上”，B=“第二次為反面向上”B．袋中有兩個白球和兩個黑球，不放回地摸兩球，A=“第一次摸到白球”，B=“第二次摸到白球”C．?dāng)S一枚骰子，A=“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，B=“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”D．A=“人能活到20歲”，B=“人能活到50歲”【答案】BCD【解析】對于A選項(xiàng)，兩個事件發(fā)生，沒有關(guān)系，故是相互獨(dú)立事件；對于B選項(xiàng)，A事件發(fā)生時，影響到B事件，故不是相互獨(dú)立事件；對于C選項(xiàng)，由于投的是一個骰子，是對立事件，所以不是相互獨(dú)立事件；對于D選項(xiàng)，能活到20歲的，可能也能活到50歲，故不是相互獨(dú)立事件.故選：BCD.2．（2023江西吉安）（多選）某人連續(xù)擲兩次骰子，表示事件“第一次擲出的點(diǎn)數(shù)是2”，表示事件“第二次擲出的點(diǎn)數(shù)是3”．表示事件“兩次擲出的點(diǎn)數(shù)之和為5”，表示事件“兩次擲出的點(diǎn)數(shù)之和為9”．則（

）A．與相互獨(dú)立 B．與相互獨(dú)立C．與不相互獨(dú)立 D．與不相互獨(dú)立【答案】ACD【解析】由題意知，，，．對A：∵，∴與相互獨(dú)立，故A正確．對B：∵，∴與不相互獨(dú)立，故B錯誤．對C：∵，∴與不相互獨(dú)立，故C正確．對D：∵，∴與不相互獨(dú)立，故D正確．故選：ACD.3．（2024遼寧大連）（多選）有6個相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機(jī)取兩次，每次取1個球，甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則（

）A．甲與丙相互獨(dú)立 B．甲與丁相互獨(dú)立C．乙與丙不相互獨(dú)立 D．丙與丁不相互獨(dú)立【答案】BCD【解析】兩次取出的球的數(shù)字之和為8，有共5種情況，所以；兩次取出的球的數(shù)字之和為7，有共6種情況，所以；；對于A，，故甲與丙不相互獨(dú)立，錯誤；對于B，，故甲與丁相互獨(dú)立，正確；對于C，，故乙與丙不相互獨(dú)立，正確；對于D，，故丙與丁不相互獨(dú)立，正確.故選：BCD考法二獨(dú)立事件的乘法公式【例2-1】（2023江西·開學(xué)考試）2023年10月26日神舟十七號載人飛船成功發(fā)射，某校舉辦航天知識競賽，競賽設(shè)置了，，三道必答題目.已知某同學(xué)能正確回答，，題目的概率分別為0.8，0.7，0.5，且回答各題是否正確相互獨(dú)立，則該同學(xué)最多有兩道題目回答正確的概率為（

）A．0.56 B．0.72 C．0.89 D．0.92【答案】B【解析】，，三道必答題目，該同學(xué)都回答正確的概率為，該同學(xué)最多有兩道題目回答正確的概率為.故選：B.【例2-2】（2023河南）甲、乙兩個籃球隊(duì)進(jìn)行比賽，獲勝隊(duì)將代表所在區(qū)參加市級比賽，他們約定，先贏四場比賽的隊(duì)伍獲勝．假設(shè)每場甲、乙兩隊(duì)獲勝的概率均為，每場比賽不存在平局且比賽結(jié)果相互獨(dú)立，若在前三場比賽中，甲隊(duì)贏了兩場，乙隊(duì)贏了一場，則最終甲隊(duì)獲勝的概率為．【答案】/【解析】由題意得甲、乙兩隊(duì)獲勝的概率均為，且最多再進(jìn)行四場比賽，最少再進(jìn)行兩場比賽.則①再進(jìn)行兩場比賽甲隊(duì)獲勝的概率為；②再進(jìn)行三場比賽甲隊(duì)獲勝的概率為；③再進(jìn)行四場比賽甲隊(duì)獲勝的概率為，由互斥事件的概率加法公式，可得最終甲隊(duì)獲勝的概率為．故答案為.【一隅三反】1．（2023河南駐馬店）如圖，用三個不同的元件連接成一個系統(tǒng)．當(dāng)元件正常工作且元件至少有一個正常工作時，系統(tǒng)正常工作．已知元件正常工作的概率依次為，則系統(tǒng)能正常工作的概率為．【答案】/【解析】系統(tǒng)能正常工作，則至少有個能正常工作且能正常公式，所以系統(tǒng)能正常工作的概率為.故答案為：2．（2023全國·課時練習(xí)）如圖，已知電路中有4個開關(guān)，每個開關(guān)獨(dú)立工作，且閉合的概率為，則燈亮的概率為．

【答案】/0.8125【解析】記開關(guān)閉合為事件A，B，C，D，因?yàn)殚_關(guān)斷開且開關(guān)至少有一個斷開時，線路才斷開，導(dǎo)致燈不亮，所以燈不亮的概率為,所以燈亮的概率為.故答案為：3．（2023安徽亳州·期末）“秋風(fēng)起．月漸圓，桂樹落葉，兔兒下凡間”．中秋節(jié)是中國傳統(tǒng)節(jié)日，為了讓更多的小朋友參與到中秋節(jié)的歡樂氛圍中來，秦皇島市青少年宮特別推出了“團(tuán)圓中秋喜迎國慶”——中秋猜燈謎活動，歡迎小朋友們前來，感受傳統(tǒng)文化的熏陶，品味傳統(tǒng)習(xí)俗的趣味．現(xiàn)有甲，乙兩位小朋友組成“快樂寶貝隊(duì)”參加猜燈謎活動，每輪活動由甲，乙各猜一個燈謎，已知甲每輪猜對的概率為，乙每輪精對的概率為．在每輪活動中，甲和乙猜對與否互不影響，各輪結(jié)果也互不影響，則“快樂寶貝隊(duì)”在兩輪活動中猜對2個燈謎的概率為．【答案】【解析】設(shè)分別表示甲兩輪猜對個，個，個燈謎的事件，分別表示乙兩輪猜對個，個，個燈謎的事件．根據(jù)獨(dú)立事件的性質(zhì)，可得，，設(shè)“兩輪活動‘快樂寶貝隊(duì)’猜對2個燈謎”，則，且互斥，與，與，與分別相互獨(dú)立，所以，因此，“快樂寶貝隊(duì)”在兩輪活動中猜對2個燈謎的概率是．故答案為：4．（2024黑龍江）2023年10月26日神舟十七號載人飛船發(fā)射任務(wù)取得圓滿成功，開啟了我國空間站應(yīng)用發(fā)展的新階段.太空站內(nèi)甲，乙?丙三名航天員分別出倉進(jìn)行同一試驗(yàn)，已知甲?乙?丙試驗(yàn)成功的概率分別為，若三人能否試驗(yàn)成功相互獨(dú)立，且三人中恰有2人試驗(yàn)成功的概率為，則三人中只有甲?乙兩人試驗(yàn)成功的概率的最大值為.【答案】【解析】因?yàn)槿四芊裨囼?yàn)成功相互獨(dú)立，且三人中恰有2人試驗(yàn)成功的概率為，所以，所以.所以（當(dāng)且僅當(dāng)時取“”），即.解得或，即或，又因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)時取等號.三人中只有甲?乙兩人試驗(yàn)成功的概率為.故答案為：考法三獨(dú)立事件與互斥事件【例3-1】（2023江蘇宿遷·期末）下列關(guān)于互斥事件、對立事件、獨(dú)立事件（上述事件的概率都大于零）的說法中正確的是（

）A．互斥事件一定是對立事件 B．對立事件一定是互斥事件C．互斥事件一定是獨(dú)立事件 D．獨(dú)立事件一定是互斥事件【答案】B【解析】互斥事件不一定是對立事件，對立事件一定是互斥事件，故A錯誤，B正確；互斥事件一定不能同時發(fā)生，而獨(dú)立事件可以同時發(fā)生，所以互斥事件一定不是獨(dú)立事件，獨(dú)立事件可能互斥也可能不互斥，故C，D均錯誤.故選：B.【例3-2】（2023陜西咸陽）（多選）國家于2021年8月20日表決通過了關(guān)于修改人口與計(jì)劃生育法的決定，修改后的人口計(jì)生法規(guī)定，國家提倡適齡婚育、優(yōu)生優(yōu)育，一對夫妻可以生育三個子女，該政策被稱為三孩政策．某個家庭積極響應(yīng)該政策，一共生育了三個小孩．假定生男孩和生女孩是等可能的，記事件：該家庭既有男孩又有女孩；事件：該家庭最多有一個男孩；事件：該家庭最多有一個女孩．通過判斷或計(jì)算可知，下列說法正確的是（

）A．事件與事件互斥且對立 B．事件與事件互斥且對立C．事件與事件相互獨(dú)立 D．事件與事件相互獨(dú)立【答案】AD【解析】有三個小孩的家庭的樣本空間：={(男,男,男),(男,男,女),(男,女,男),(女,男,男),(男,女,女),(女,男,女),(女,女,男),(女,女,女)}，事件={(男,男,女),(男,女,男),(女,男,男),(男,女,女),(女,男,女),(女,女,男)}事件={(男,女,女),(女,男,女),(女,女,男),(女,女,女)}，事件={(男,男,男),(男,男,女),(男,女,男),(女,男,男)}，對于A，,且，則事件B與事件C互斥且對立，A正確；對于B，{(男,女,女),(女,男,女),(女,女,男)}，則事件與事件不互斥，B錯誤；對于C，事件有4個樣本點(diǎn)，事件有4個樣本點(diǎn)，事件有0個樣本點(diǎn)，，顯然，即事件與事件不相互獨(dú)立，C錯誤；對于D，事件有6個樣本點(diǎn)，事件有4個樣本點(diǎn)，事件有3個樣本點(diǎn)，，顯然，即事件與事件相互獨(dú)立，D正確.故選：AD【一隅三反】1．（2023河南焦作）（多選）一個不透明袋子中裝有大小和質(zhì)地完全相同的2個紅球和3個白球，從袋中一次性隨機(jī)摸出2個球，則（

）A．“摸到2個紅球”與“摸到2個白球”是互斥事件B．“至少摸到1個紅球”與“摸到2個白球”是對立事件C．“摸出的球顏色相同”的概率為D．“摸出的球中有紅球”與“摸出的球中有白球”相互獨(dú)立【答案】ABC【解析】2個紅球?yàn)椋?個白球?yàn)椋瑒t任意摸出2個球有，共10種，“摸到2個紅球”有，“摸到2個白球”有，“至少摸到1個紅球”有，“摸出的球顏色相同”有，“摸出的球中有白球”有，“摸出的球顏色不相同”有，A：“摸到2個紅球”與“摸到2個白球”不可能同時發(fā)生，故是互斥事件，故A正確；B：“至少摸到1個紅球”與“摸到2個白球”不可能同時發(fā)生，且必有一個發(fā)生，故是對立事件，故B正確；C：給每個球編號，不同的摸球結(jié)果有10種，“摸出的球顏色相同”包含4種結(jié)果，故其概率為，故C正確；D：設(shè)“摸出的球中有紅球”，“摸出的球中有白球”，用古典概型的方法計(jì)算可知，，，顯然，故，不相互獨(dú)立，故D錯誤.故選：ABC2（2023北京）分別擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，“第一枚為正面”記為事件A，“第二枚為正面”記為事件B，“兩枚結(jié)果相同”記為事件C，那么事件A與B，A與C間的關(guān)系是（

）A．A與B，A與C均相互獨(dú)立B．A與B相互獨(dú)立，A與C互斥C．A與B，A與C均互斥D．A與B互斥，A與C相互獨(dú)立【答案】A【解析】因?yàn)槭录嗀是否發(fā)生對事件B、C是否發(fā)生不產(chǎn)生影響，所以A與B，A與C均相互獨(dú)立.故選：A3．（2024湖南岳陽）（多選）將一枚質(zhì)地均勻且標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6的骰子隨機(jī)擲兩次，記錄每次正面朝上的數(shù)字，甲表示事件“第一次擲出的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次擲出的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次擲出的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次擲出的數(shù)字之和是7”.則（

）A．事件甲與事件丙是互斥事件B．事件甲與事件丁是相互獨(dú)立事件C．事件乙包含于事件丙D．事件丙與事件丁是對立事件【答案】AB【解析】由題意，事件甲：第一次擲出的數(shù)字是1有：，事件乙：第二次擲出的數(shù)字是2有：，事件丙：兩點(diǎn)數(shù)之和為8的所有可能為：，事件?。簝牲c(diǎn)數(shù)之和為7的所有可能為：，其中，對于A中，事件甲與事件丙不能同時發(fā)生，所以事件甲與事件丙是互斥事件，所以A正確；對于B中，由，所以，所以事件甲與事件丁是相互獨(dú)立事件，所以B正確；對于C中，事件乙不包含于事件丙，所以C錯誤；對于D中，根據(jù)對立事件的定義，可得事件丙與事件丁不對立，所以D錯誤.故選：AB.4．（2023高一·全國·隨堂練習(xí)）已知事件A，B發(fā)生的概率分別為，，分別在A，B互斥和獨(dú)立的條件下，求出下列事件的概率并填入表中：A，B互斥A，B獨(dú)立A，B都發(fā)生A，B都不發(fā)生A，B恰有一個發(fā)生A，B至少有一個發(fā)生A，B至多有一個發(fā)生【答案】答案見解析【解析】,互斥,獨(dú)立,都發(fā)生,都不發(fā)生,恰有一個發(fā)生,至少有一個發(fā)生,至多有一個發(fā)生考法四獨(dú)立事件的實(shí)際應(yīng)用【例4】（2023高一上·安徽）與國家安全有關(guān)的問題越來越受到社會的關(guān)注和重視.為了普及國家安全教育，某校組織了一次國家安全知識競賽，已知甲、乙、丙三位同學(xué)答對某道題目的概率分別為，，，且三人答題互不影響.(1)求甲、乙兩位同學(xué)恰有一個人答對的概率；(2)若甲、乙、丙三個人中至少有一個人答對的概率為，求的值.【答案】(1)(2)【解析】（1）設(shè)“甲答對”，“乙答對”，則，，，，“甲，乙兩位同學(xué)恰有一個人答對”的事件為，且與互斥由三人答題互不影響，知A，互相獨(dú)立，則A與，與，與均相互獨(dú)立，則，所以甲，乙兩位同學(xué)恰有一個人答對的概率為.（2）設(shè)“丙答對”，則，設(shè)“甲，乙，丙三個人中至少有一個人答對”，由（1）知，，解得，所以的值為.【一隅三反】1．（2023湖南長沙·期末）某校舉行圍棋比賽，甲?乙?丙三人通過初賽，進(jìn)入決賽.決賽比賽規(guī)則如下：首先通過抽簽的形式確定甲?乙兩人進(jìn)行第一局比賽，丙輪空；第一局比賽結(jié)束后，勝利者和丙進(jìn)行比賽，失敗者輪空，以此類推，每局比賽的勝利者跟本局比賽輪空者進(jìn)行下一局比賽，直到一人累計(jì)獲勝三局，則此人獲得比賽勝利，比賽結(jié)束.假設(shè)每局比賽雙方獲勝的概率均為，且每局比賽相互獨(dú)立.(1)求丙每局都獲勝的概率(2)求甲獲得比賽勝利的概率.【答案】(1)(2)【解析】（1）丙每局都獲勝有以下兩種情況：第一局甲獲勝，后三局丙獲勝；第一局乙獲勝，后三局丙獲勝，第一局甲獲勝，后三局丙獲勝的概率，第一局乙獲勝，后三局丙獲勝的概率，丙每局都獲勝的概率.（2）設(shè)甲獲勝為事件，乙獲勝為事件，丙獲勝為事件，比賽進(jìn)行三局，甲獲勝的概率為，比賽進(jìn)行五局，有以下6種情況：AABBA，AABCA，ACBAA，ACCAA，BBAAA，BCAAA，甲獲勝的概率為，比賽進(jìn)行七局，有一下8種情況：AABCCBA，ACBBCAA，ACBACBA，ACCABBA，BBACCAA，BCAACBA，BCABCAA，.甲獲勝的概率為，故甲獲得比賽勝利的概率為.2．（2024湖南）為迎接第二屆湖南旅發(fā)大會，郴州某校舉辦“走遍五大洲，最美有郴州”知識能力測評，共有1000名學(xué)生參加，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，記錄他們的分?jǐn)?shù)，將數(shù)據(jù)分成4組：，并整理得到如下頻率分布直方圖：

(1)根據(jù)直方圖，估計(jì)這次知識能力測評的平均數(shù)；(2)用分層隨機(jī)抽樣的方法從，兩個區(qū)間共抽取出4名學(xué)生，再從這4名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名依次進(jìn)行交流分享，求第二個交流分享的學(xué)生成績在區(qū)間的概率；(3)學(xué)校決定從知識能力測評中抽出成績最好的兩個同學(xué)甲乙進(jìn)行現(xiàn)場知識搶答賽，比賽共設(shè)三個項(xiàng)目，每個項(xiàng)目勝方得1分，負(fù)方得0分，沒有平局．三個項(xiàng)目比賽結(jié)束后，總得分高的人獲得冠軍．已知甲在三個項(xiàng)目中獲勝的概率分別為，各項(xiàng)目的比賽結(jié)果相互獨(dú)立，甲至少得1分的概率是，甲乙兩人誰獲得最終勝利的可能性大？并說明理由．【答案】(1)分(2)(3)甲最終獲勝的可能性大；理由見解析【解析】（1）解：由頻率分布直方圖，根據(jù)平均數(shù)的計(jì)算公式，估計(jì)這次知識能力測評的平均數(shù)：分.（2）解：由頻率分布直方圖，可得的頻率為，的頻率為，所以用分層隨機(jī)抽樣的方法從，兩個區(qū)間共抽取出4名學(xué)生，可得從抽取人，即為，從中抽取人，即為，從這4名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名依次進(jìn)行交流分享，有，共有12個基本事件；其中第二個交流分享的學(xué)生成績在區(qū)間的有：，共有3個，所以概率為.（3）解：甲最終獲勝的可能性大.理由如下：由題意，甲至少得1分的概率是，可得，其中，解得，則甲的2分或3分的概率為：，所以乙得分為2分或3分的概率為，因?yàn)?，所以甲最終獲勝的可能性更大.單選題1．（2023廣東順德）某工廠有甲、乙、丙三名工人進(jìn)行零件安裝比賽，甲每個零件的安裝完成時間少于丙的概率為.乙每個零件的安裝完成時間少于丙的概率為，比賽要求甲、乙、丙各安裝一個零件，且他們安裝每個零件相互獨(dú)立，則甲和乙中至少有一人安裝完成時間少于丙的概率為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】甲和乙安裝完成時間均多于丙的概率為，甲和乙中至少有一人安裝完成時間少于丙的概率為.故選：C.2．（2024江西萍鄉(xiāng)）甲、乙兩選手進(jìn)行象棋比賽，已知每局比賽甲獲勝的概率為0.6，乙獲勝的概率為0.4，若采用三局二勝制，則乙最終獲勝的概率為（

）A．0.36 B．0.352 C．0.288 D．0.648【答案】B【解析】由題意可得乙最終獲勝有兩種情況：一是前兩局乙獲勝，則獲勝的概率為，二是前兩局乙勝一局，第三局乙獲勝，則獲勝的概率為，而這兩種情況是互斥的，所以乙最終獲勝的概率為.故選：B.3．（2024山東日照）中國夢蘊(yùn)含航天夢，航天夢助力中國夢.2023年10月25日，神舟十七號載人飛船在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心成功點(diǎn)火發(fā)射．在太空站內(nèi)有甲，乙，丙三名航天員依次出倉進(jìn)行同一試驗(yàn)，每次只派一人，每人最多出倉一次．若前一人試驗(yàn)不成功，返倉后派下一人重復(fù)進(jìn)行該試驗(yàn)；若試驗(yàn)成功，終止試驗(yàn)．已知甲，乙，丙各自出倉試驗(yàn)成功的概率分別為，，，每人出倉試驗(yàn)?zāi)芊癯晒ο嗷オ?dú)立，則該項(xiàng)試驗(yàn)最終成功的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)試驗(yàn)任務(wù)不成功的的概率是，所以成功的概率為，故選：D.4．（2024上海楊浦）已知，，，則事件與的關(guān)系是（

）A．與互斥不對立 B．與對立C．與相互獨(dú)立 D．與既互斥又獨(dú)立【答案】C【解析】由可得，因?yàn)椋瑒t與不互斥，不對立，由可得，因?yàn)?，所以與相互獨(dú)立故選：C5．（2024四川涼山）一個盒子中裝有標(biāo)號為1，2，3，4的4張?zhí)柡?，從中隨機(jī)地選取兩張?zhí)柡?，事件“取到?biāo)號為1和3的號簽”，事件“兩張?zhí)柡灅?biāo)號之和為5”，則下列說法正確的是（

）A．與互斥 B．與獨(dú)立 C．與對立 D．【答案】A【解析】根據(jù)題意，選取兩張?zhí)柡炗帽硎疽淮螌?shí)驗(yàn)結(jié)果，則隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的樣本空間，，.對A，，所以與互斥，故A選項(xiàng)正確；對B，，，，所以，與不獨(dú)立，故B選項(xiàng)錯誤；對C，，，所以與不對立，故C選項(xiàng)錯誤；對D，，故D選項(xiàng)錯誤.故選：A.6．（2024江西撫州）從甲袋中摸出一個紅球的概率是，從乙袋中摸出一個紅球的概率是，從兩袋各摸出一個球，下列結(jié)論錯誤的是（

）A．2個球都是紅球的概率為B．2個球中恰有1個紅球的概率為C．至少有1個紅球的概率為D．2個球不都是紅球的概率為【答案】D【解析】記從甲袋中摸出一個紅球的事件為，從乙袋中摸出一個紅球的事件為，且，，相互獨(dú)立，對于A選項(xiàng)，2個球都是紅球的事件為，則有，故A正確；對于B選項(xiàng)，2個球中恰有1個紅球的事件為，則，故B正確；對于C選項(xiàng)，至少有1個紅球的事件的對立事件是，則，所以至少有1個紅球的概率為，故C正確；對于D選項(xiàng)，2個球不都是紅球的事件是事件的對立事件，其概率為，故D不正確．故選：D.7．（2024江西·開學(xué)考試）現(xiàn)有張完全相同的卡片，分別寫有字母、、、、，從中任取一張，看后再放回，再任取一張.甲表示事件“第一次抽取卡片的字母為”，乙表示事件“第二次抽取卡片的字母為”，丙表示事件“兩次抽取卡片的字母相鄰”，丁表示事件“兩次抽取卡片的字母不相鄰”，則（

）A．乙與丁相互獨(dú)立 B．甲與丙相互獨(dú)立C．丙與丁相互獨(dú)立 D．甲與乙相互獨(dú)立【答案】D【解析】設(shè)事件甲、乙、丙、丁分別記為、、、，由題意可得，有放回的抽取卡片兩次的基本事件數(shù)為，兩次抽取卡片的字母相鄰的基本事件為、、、、、、、，共個，兩次抽取卡片的字母不相鄰的基本事件為個，則，，顯然丙與丁為對立事件，C錯誤；對于A，乙與丁同時發(fā)生的基本事件為、、，有個，則，所以乙與丁不相互獨(dú)立，A錯誤；對于B，甲與丙同時發(fā)生的基本事件、，有個，則，所以甲與丙不相互獨(dú)立，B錯誤；對于D，甲與乙同時發(fā)生的基本事件為，只有個，則，所以甲與乙相互獨(dú)立，D正確.故選：D.8．（2023·廣西）已知甲袋中有標(biāo)號分別為的四個小球，乙袋中有標(biāo)號分別為的四個小球，這些球除標(biāo)號外完全相同，第一次從甲袋中取出一個小球，第二次從乙袋中取出一個小球，事件表示“第一次取出的小球標(biāo)號為3”，事件表示“第二次取出的小球標(biāo)號為偶數(shù)”，事件表示“兩次取出的小球標(biāo)號之和為7”，事件表示“兩次取出的小球標(biāo)號之和為偶數(shù)”，則（

）A．與相互獨(dú)立 B．與是對立事件C．與是對立事件 D．與相互獨(dú)立【答案】D【解析】由題意可得基本事件總數(shù)為，設(shè)，由題意可得與可以同時發(fā)生，故不是對立事件，易知與不同時發(fā)生，為互斥事件，但不是對立事件，比如還可以有發(fā)生，則錯誤.，則，從而與不相互獨(dú)立，與相互獨(dú)立，故A錯誤，D正確.故選：D多選題9．（2023·河南安陽·期末）在12張卡片上分別寫上數(shù)字1~12，從中隨機(jī)抽出一張，記抽出的卡片上的數(shù)字為，甲表示事件“為偶數(shù)”，乙表示事件“為質(zhì)數(shù)”，丙表示事件“能被3整除”，丁表示事件“”，則（

）A．甲與丙為互斥事件 B．乙與丁相互獨(dú)立C．丙與丁相互獨(dú)立 D．甲乙乙丙）【答案】CD【解析】由已知，該試驗(yàn)的樣本空間為．甲，乙，丙，丁．對于A，因?yàn)榧妆?，故甲與丙不互斥，錯誤；對于B，乙丁，所以乙丁，又（乙），（?。裕ㄒ遥ǘ。ㄒ叶。?，故乙與丁不相互獨(dú)立，錯誤；對于C，丙丁，所以（丙?。?，又P（丙），P（?。?，P（丙）P（丁）=P（丙?。?，故丙與丁相互獨(dú)立，正確；對于D，甲乙，乙丙，故P（甲乙）=P（乙丙），正確．故選：CD.10．（2023高一下·湖南常德·期末）下列四個命題中錯誤的是（

）A．若事件A，B相互獨(dú)立，則滿足B．若事件A，B，C兩兩獨(dú)立，則C．若事件A，B，C彼此互斥，則D．若事件A，B滿足，則A，B是對立事件【答案】BCD【解析】若事件A，B相互獨(dú)立，則滿足，A說法正確；舉例說明：投擲兩個骰子，記事件A：第一個骰子的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)，事件B：第二個骰子點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)，事件C：兩個骰子的點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)，于是有，，，可以看出事件A，B，C兩兩獨(dú)立，但A，B，C不互相獨(dú)立，所以，B說法錯誤；舉例說明：投擲一個骰子三次，記事件A：第一次骰子的點(diǎn)數(shù)為1，事件B：第二次骰子點(diǎn)數(shù)為2，事件C：第三次骰子點(diǎn)數(shù)為3，則事件A，B，C被此互斥，則，C說法錯誤；舉例說明：記事件A：投擲一個骰子，骰子的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)，事件B：投擲一枚硬幣，正面朝上，則，滿足，但A，B不是對立事件，D說法錯誤.故選：BCD11．（2023浙江·期中）先后兩次鄭一枚質(zhì)地均勻的骰子，表示事件“兩次鄭出的點(diǎn)數(shù)之和是6”，表示事件“第二次鄭出的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)”，表示事件“兩次鄭出的點(diǎn)數(shù)相同”，表示事件“至少出現(xiàn)一個奇數(shù)點(diǎn)”，則（

）A．事件，為互斥事件 B．事件，為對立事件C． D．事件，為相互獨(dú)立事件【答案】CD【解析】因?yàn)锳事件包含兩次擲出點(diǎn)數(shù)分別為（3，3），所以事件A，可以同時發(fā)生，故A錯誤；因?yàn)槭录暗诙梧嵆龅狞c(diǎn)數(shù)是偶數(shù)”與事件“至少出現(xiàn)一個奇數(shù)點(diǎn)”可以同時發(fā)生，如事件（1,2），故B錯誤；因?yàn)榛臼录臻g為，，，，，，共36個基本事件，至少出現(xiàn)一個奇數(shù)的事件共有27個，所以，故C正確；因?yàn)楦鶕?jù)C選項(xiàng)可知，，，，所以，故D正確.故選：CD12．（2024河南商丘·期中）設(shè)A，B為兩個隨機(jī)事件，若，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．若，則 B．若，則A，B相互獨(dú)立C．若A與B相互獨(dú)立，則 D．若A與B相互獨(dú)立，則【答案】BD【解析】A，若，則，A錯誤；B，因?yàn)?，則，B正確；C，因?yàn)锳與B相互獨(dú)立，則也相互獨(dú)立，則，C錯誤；D，若A與B相互獨(dú)立，則也相互獨(dú)立，則，D正確.故選：BD填空題13．（2023山東淄博·期中）我市男子乒乓球隊(duì)為備戰(zhàn)下屆市運(yùn)會，在某訓(xùn)練基地進(jìn)行封閉時訓(xùn)練，甲、乙兩隊(duì)隊(duì)員進(jìn)行對抗賽，每局依次輪流發(fā)球，連續(xù)贏兩個球者獲勝．通過分析甲、乙過去對抗賽的數(shù)據(jù)知，甲發(fā)球甲贏的概率為，乙發(fā)球甲贏的概率為，不同球的結(jié)果互不影響．已知某局甲先發(fā)球，該局打四個球，甲贏的概率是【答案】【解析】由于連勝兩局者贏，甲先發(fā)球可分為：該局：第一個球甲贏、第二個球乙贏、第三個球甲贏、第四個球甲贏，則概率為；故答案為：14．（2024山東濟(jì)寧·期中）如圖所示，由到的電路中有4個元件，分別為，，，．若，，，能正常工作的概率都是，記事件“到的電路是通路”，則．

【答案】【解析】設(shè)“正常工作”，“沒有正常工作，正常工作，且中至少有一個正常工作”由于“到的電路是通路”等價于“正常工作”或“沒有正常工作，正常工作，且中至少有一個正常工作”，即，由于事件互斥，所以根據(jù)互斥事件的概率加法公式，可得.故答案為：15．（2024·安徽蕪湖）設(shè)樣本空間含有等可能的樣本點(diǎn)，且事件，事件，事件，使得，且滿足兩兩不獨(dú)立，則.【答案】【解析】由題意，，所以，所以是共同的唯一的樣本點(diǎn)，又兩兩不獨(dú)立，即，，，可見不可以為或，所以為或，即.故答案為：16．（2023·云南保山·期末）弘揚(yáng)中學(xué)有一支籃球隊(duì)，甲、乙為該球隊(duì)隊(duì)員，已知甲、乙兩名隊(duì)員投籃命中的概率分別為和.現(xiàn)兩人各進(jìn)行一次投籃比賽，假定兩人是否投中互不影響，則甲、乙兩人至少有一人投中的概率為.【答案】【解析】甲、乙兩人投中的概率分別為，據(jù)相互獨(dú)立事件的概率公式，甲、乙兩人都未投中的概率為，所以甲、乙兩人至少有一個投中的概率為1?=．故答案為：．解答題17．（2023高一上·北京石景山·期末）已知甲投籃命中的概率為0.6，乙投籃不中的概率為0.3，乙、丙兩人都投籃命中的概率為0.35，假設(shè)甲、乙、丙三人投籃命中與否是相互獨(dú)立的.(1)求丙投籃命中的概率；(2)甲、乙、丙各投籃一次，求甲和乙命中，丙不中的概率；(3)甲、乙、丙各投籃一次，求恰有一人命中的概率.【答案】(1)(2)(3)【解析】（1）設(shè)甲投籃命中為事件，乙投籃命中為事件，丙投籃命中為事件，由題意可知，，，，則，,所以丙投籃命中的概率為；（2）甲和乙命中，丙不中為事件，則，所以甲和乙命中，丙不中的概率為；（3）甲、乙、丙各投籃一次，求恰有一人命中為事件，則,18．（2024河南）某項(xiàng)考試按科目、科目依次進(jìn)行，只有當(dāng)科目成績合格時，才可繼續(xù)參加科目的考試．已知每個科目只允許有一次補(bǔ)考機(jī)會，兩個科目成績均合格方可獲得證書．現(xiàn)某人參加這項(xiàng)考試，科目每次考試成績合格的概率均為，科目每次考試成績合格的概率均為．假設(shè)各次考試成績合格與否均互不影響．(1)求他在科目考試第一次合格的概率；(2)在這項(xiàng)考試過程中，假設(shè)他不放棄所有的考試機(jī)會，求他可獲得證書的概率．【答案】(1)(2)【解析】（1）科目考試合格的概率為，則他在科目考試第一次合格的概率為.（2）他考試的次數(shù)為2且獲得證書的概率為，他考試的次數(shù)為3且獲得證書的概率為，他考試的次數(shù)為4且獲得證書的概率為，所以他可獲得證書的概率為.19．（2024湖北）甲、乙兩名射擊運(yùn)動員進(jìn)行射擊比賽，每輪比賽甲、乙各射擊一次，已知甲中靶的概率為，乙中靶的概率為，每輪比賽中甲、乙兩人射擊的結(jié)果互不影響，求下列事件的概率：(1)第一輪射擊中恰好有一人中靶；(2)經(jīng)過兩輪射擊，兩人共中靶3次【答案】(1)(2)【解析】（1）記每輪比賽中，“甲中靶”為事件，“乙中靶”為事件，則，記“第一輪射擊中恰好有一人中靶”為事件，則包含事件甲中靶乙不中靶，或甲不中靶乙中靶，所以，所以第一輪射擊中恰好有一人中靶的概率為（2）記“經(jīng)過兩輪射擊，兩人共中靶3次”為事件，則，所以經(jīng)過兩輪射擊，兩人共中靶3次概率為20（2023浙江紹興·期末）某班學(xué)生分A，，，四組參加數(shù)學(xué)知識競答，規(guī)則如下：四組之間進(jìn)行單循環(huán)（每組均與另外三組進(jìn)行一場比賽）；每場比賽勝者積3分，負(fù)者0分；若出現(xiàn)平局，則比賽雙方各積1分.現(xiàn)假設(shè)四個組戰(zhàn)勝或者負(fù)于對手的概率均為，出現(xiàn)平局的概率為，每場比賽相互獨(dú)立.(1)求A組在參加兩場比賽后得分為3分的概率；(2)一輪單循環(huán)結(jié)束后，求四組總積分一樣的情況種數(shù)，并計(jì)算四組總積分一樣的概率.【答案】(1)(2)7種，【解析】（1）A組在參加兩場比賽后得分為3分的概率為（2）四組總積分一樣，可以每次都是平局，也可以每組學(xué)生是一勝一負(fù)一平.如:A勝B負(fù)，A負(fù)C勝，AD平BC平，B勝D負(fù)，C負(fù)D勝不難發(fā)現(xiàn)，A的三種情況確定后，比賽結(jié)果是確定的，所以只要去看可能出現(xiàn)的情況，A勝B負(fù)，A負(fù)C勝，AD平，A負(fù)B勝，A勝C負(fù)，AD平A勝B負(fù)，A負(fù)D勝，AC平，A負(fù)B勝，A勝D負(fù)，AC平A勝C負(fù)，A負(fù)D勝，

AB平，A負(fù)C勝，A勝D負(fù)，AB平共6+1=7種21．（23-24高一上·江西撫州·期末）2023年9月23日，中國農(nóng)歷象征收獲的秋分時節(jié)，第19屆亞洲運(yùn)動會在浙江杭州隆重開幕．杭州基礎(chǔ)設(shè)施全面升級、城市面貌煥然一新、民生服務(wù)格局大變．為了解杭州老百姓對城市基礎(chǔ)設(shè)施升級工作滿意度，從該地的A，B兩地區(qū)分別隨機(jī)調(diào)查了40戶居民，根據(jù)大家對城市基礎(chǔ)設(shè)施升級工作的滿意度評分（單位：分），得到地區(qū)的居民滿意度評分的頻率分布直方圖（如圖）