滬教版2024-2025學年七年級上冊同步提升講義第14講因式分解的意義提取公因式法(八大題型)(學生版+解析)

第14講因式分解的意義提取公因式法（八大題型）學習目標1、能判斷是否屬于因式分解；2、知道公因式的概念，會求公因式；3、掌握提取公因式法因式分解。一、因式分解的意義我們已經學習了整式的乘法，可以將幾個整式的乘積化為一個整式.如：m(a-b-c)=ma-mb-mc;(a-b)(a-b)=a2—b2;(a—b)2=a2-2ab-b2.反過來，有時候我們需要將一個整式化為幾個整式的積.思考：你能把下列整式化為幾個整式的積嗎?(1)ma-mb-mc=_________________(2)a2—b2=_________________(3)a2—2ab-b2=_________________幾個整式相乘，其中每個整式都稱為積的因式.把含多個項的整式化為幾個次數(shù)更低的整式的積，叫作把這個整式因式分解.如：x2-x=x(x-1);x?—1=(x2-1)(x2—1)=(x2-1)(x-1)(x—1).其中，x、x-1是x2-x的因式，x2-1、x-1、x—1是x?—1的因式.因式分解一般要分解到每個因式都不能再分解為止，如在x?—1因式分解的過程中，因式x2-1不能繼續(xù)因式分解，x2—1還能繼續(xù)因式分解為(x-1)(x—1).二、公因式整式的各項中都含有相同的因式，那么這個相同的因式就叫做公因式.【方法規(guī)律】（1）公因式必須是每一項中都含有的因式.（2）公因式可以是一個數(shù)，也可以是一個字母，還可以是一個整式.（3）公因式的確定分為數(shù)字系數(shù)和字母兩部分：①公因式的系數(shù)是各項系數(shù)的最大公約數(shù).②字母是各項中相同的字母，指數(shù)取各字母指數(shù)最低的.三、提取公因式法把整式分解成兩個因式的乘積的形式，其中一個因式是各項的公因式，另一個因式是，即，而正好是除以所得的商，這種因式分解的方法叫提取公因式法．【方法規(guī)律】（1）提取公因式法分解因式實際上是逆用乘法分配律，即.（2）用提取公因式法分解因式的關鍵是準確找出整式各項的公因式.（3）當整式第一項的系數(shù)是負數(shù)時，通常先提出“—”號，使括號內的第一項的系數(shù)變?yōu)檎龜?shù)，同時整式的各項都要變號.（4）用提取公因式法分解因式時，若整式的某項與公因式相等或它們的和為零，則提取公因式后，該項變?yōu)椋骸埃?”或“－1”，不要把該項漏掉，或認為是0而出現(xiàn)錯誤.【即學即練1】下列各式從左到右的變形，哪些是因式分解？哪些不是因式分解？(1)；(2)；(3)；(4)【即學即練2】下列因式分解結果正確的是（

）A．B．C．D．【即學即練3】因式分解：．【即學即練4】下列代數(shù)式中，不能用提公因式因式分解的是（

）A． B． C． D．【即學即練5】把分解因式，應提取的公因式是（

）A． B． C． D．【即學即練6】已知，，求的值．【即學即練7】已知，用因式分解法求的值．題型1：判斷是否屬于因式分解【典例1】．下列由左到右的變形，屬于因式分解的是（）A．B．C．D．【典例2】．對于①，②，從左到右的變形，表述正確的是（

）A．都是因式分解 B．都是乘法運算C．①是因式分解，②是乘法運算 D．①是乘法運算，②是因式分解【典例3】．下列變形屬于因式分解的有（

）①；②；③；④；⑤．A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【典例4】．下列各式從左邊到右邊的變形中，哪些是因式分解？哪些不是？（1）；（2）；（3）；（4）；（5）（6）．【典例5】．判斷下列各式從等號左邊到右邊的變形，哪些是整式乘法，哪些是因式分解．(1)a2－9b2＝(a＋3b)(a－3b)；(2)3y(x＋2y)＝3xy＋6y2；(3)(3a－1)2＝9a2－6a＋1；(4)4y2＋12y＋9＝(2y＋3)2；(5)x2＋x＝x2(1-)；(6)x2－y2＋4y－4＝(x－y)(x＋y)＋4(y－1)．題型2：公因式【典例6】．單項式，，的公因式是（

）A． B． C． D．【典例7】．下列各組中，沒有公因式的一組是（

）A．與 B．與C．與 D．與【典例8】．將整式分解因式時，應提取的公因式是（

）A． B． C． D．題型3：已知公因式求另一個因式【典例9】．把5（a－b）＋m（b－a）提公因式后一個因式是（a－b），則另一個因式是（

）A．5－m B．5＋m C．m－5 D．－m－5【典例10】．若整式分解因式，其中一個因式是，則另一個因式是（

）A． B． C． D．【典例11】．把整式因式分解時，提取的公因式是xy5，則n的值可能為（

A．6 B．4 C．3 D．2題型4：已知因式分解的結果求參數(shù)【典例12】．若，則m的值是（）A．2 B． C．5 D．【典例13】．若，則、的值分別為（

）A．，2 B．4， C．， D．4，2【典例14】．已知整式分解因式后的結果為，則，的值分別為（

）A．， B．， C．， D．，題型5：用提取公因式法分解因式【典例15】．把下列各式分解因式：(1)；(2)．【典例16】．因式分解：(1)；(2)；(3)．【典例17】．用提取公因式法分解因式：(1)；(2)；(3)；(4)．【典例18】．把下列各式分解因式：(1)；(2)；(3)(4)；(5)；(6)．題型6：提取公因式法的應用【典例19】．若整式能分解成兩個一次因式的積，且其中一個一次因式為，則的值為．【典例20】．一個長、寬分別為m、n的長方形的周長為16，面積為6，則的值為．【典例21】．如圖，“L形圖形的面積為7，如果，那么．【典例22】．如圖，邊長為的長方形，它的周長為10，面積為6，則的值為．題型7：根據(jù)提取公因式法分解因式求值【典例23】．已知，，則的值是．【典例24】．先因式分解，再求值；已知，，求的值．【典例25】．先因式分解，再計算求值：，其中；3．如果二次三項式可分解為，那么的值為（

）A． B． C．1 D．24．用提取公因式法分解因式，下列因式分解正確的是（

）A． B．C． D．5．如果整式mx-A可分解為m（x﹣y），則A為（）A．m B．﹣my C．﹣y D．my6．下列因式分解：①；②；③．其中結果正確的有（

）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個7．因式分解6abc－4a2b2c2＋2ac2時應提取的公因式是()．A．abc B．2a C．2c D．2ac8．整式提取公因式后，剩下的因式應是（

）.A． B．C． D．9．(－8)2020＋(－8)2019能被下列哪個數(shù)整除()A．3 B．5 C．7 D．910．與相同的式子是（

）.A． B． C． D．二、填空題11．在中，從左到右的變形是，從右到左的變形是．12．若整式分解因式的結果為，則的值為．13．整式各項的公因式是．14．已知整式有一個因式是，則k的值為．15．分解因式：＝16．若x＋y＝6，xy＝4，則x2y＋xy2＝．17．已知2x-4﹣2?2x＝112，則x的值為．18．若a,b,c滿足，則三、解答題19．下列因式分解是否正確？為什么？（1）；（2）；（3）；（4）．20．把下列各式因式分解：(1)；(2)；(3)．21．把下列各式分解因式：(1)；(2)．22．把下列各式因式分解：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）．23．先化簡，再求值：30x2（y-4）-15x（y-4），其中x=2，y=-2．24．先化簡，再求值：，其中，．25．現(xiàn)有甲、乙、丙三種長方形卡片各若干張，卡片的邊長如圖1所示（）．某同學分別用這些卡片拼出了兩個長方形（不重疊無縫隙），如圖2和圖3，其面積分別為，．(1)請用含的式子分別表示，；(2)比較與的大小，并說明理由．26．仔細閱讀下面例題，解答問題：例題：已知：二次三項式x2﹣4x-m有一個因式是（x-3），求另一個因式以及m的值．解：設另一個因式為（x-n），得x2﹣4x-m＝（x-3）（x-n），則x2﹣4x-m＝x2-（n-3）x-3n∴解得：n＝﹣7，m＝﹣21∴另一個因式為（x﹣7），m的值為﹣21．問題：仿照以上方法解答下面問題：已知二次三項式2x2-3x﹣k有一個因式是（x﹣5），求另一個因式以及k的值．27．閱讀下列因式分解的過程，再回答所提出的問題：1-x-x（x-1）-x（x-1）2=（1-x）[1-x-x（x-1）]=（1-x）2（1-x）=（1-x）3（1）上述分解因式的方法是______，共應用了_____次．（2）若分解1-x-x（x-1）-x（x-1）2-…-x（x-1）2019，則需應用上述方法______次，結果是______．（3）分解因式：1-x-x（x-1）-x（x-1）2-…-x（x-1）n（n為正整數(shù)）結果是_______．28．方法探究：已知二次整式，我們把代入整式，發(fā)現(xiàn)，由此可以推斷整式中有因式（x＋3）．設另一個因式為（x＋k），整式可以表示成，則有，因為對應項的系數(shù)是對應相等的，即，解得，因此整式分解因式得：．我們把以上分解因式的方法叫“試根法”．問題解決：(1)對于二次整式，我們把x＝代入該式，會發(fā)現(xiàn)成立；(2)對于三次整式，我們把x＝1代入整式，發(fā)現(xiàn)，由此可以推斷整式中有因式（），設另一個因式為（），整式可以表示成，試求出題目中a，b的值；(3)對于整式，用“試根法”分解因式．第14講因式分解的意義提取公因式法（八大題型）學習目標1、能判斷是否屬于因式分解；2、知道公因式的概念，會求公因式；3、掌握提取公因式法因式分解。一、因式分解的意義我們已經學習了整式的乘法，可以將幾個整式的乘積化為一個整式.如：m(a-b-c)=ma-mb-mc;(a-b)(a-b)=a2—b2;(a—b)2=a2-2ab-b2.反過來，有時候我們需要將一個整式化為幾個整式的積.思考：你能把下列整式化為幾個整式的積嗎?(1)ma-mb-mc=_________________(2)a2—b2=_________________(3)a2—2ab-b2=_________________幾個整式相乘，其中每個整式都稱為積的因式.把含多個項的整式化為幾個次數(shù)更低的整式的積，叫作把這個整式因式分解.如：x2-x=x(x-1);x?—1=(x2-1)(x2—1)=(x2-1)(x-1)(x—1).其中，x、x-1是x2-x的因式，x2-1、x-1、x—1是x?—1的因式.因式分解一般要分解到每個因式都不能再分解為止，如在x?—1因式分解的過程中，因式x2-1不能繼續(xù)因式分解，x2—1還能繼續(xù)因式分解為(x-1)(x—1).二、公因式整式的各項中都含有相同的因式，那么這個相同的因式就叫做公因式.【方法規(guī)律】（1）公因式必須是每一項中都含有的因式.（2）公因式可以是一個數(shù)，也可以是一個字母，還可以是一個整式.（3）公因式的確定分為數(shù)字系數(shù)和字母兩部分：①公因式的系數(shù)是各項系數(shù)的最大公約數(shù).②字母是各項中相同的字母，指數(shù)取各字母指數(shù)最低的.三、提取公因式法把整式分解成兩個因式的乘積的形式，其中一個因式是各項的公因式，另一個因式是，即，而正好是除以所得的商，這種因式分解的方法叫提取公因式法．【方法規(guī)律】（1）提公因式法分解因式實際上是逆用乘法分配律，即.（2）用提取公因式法分解因式的關鍵是準確找出整式各項的公因式.（3）當整式第一項的系數(shù)是負數(shù)時，通常先提出“—”號，使括號內的第一項的系數(shù)變?yōu)檎龜?shù)，同時整式的各項都要變號.（4）用提取公因式法分解因式時，若整式的某項與公因式相等或它們的和為零，則提取公因式后，該項變?yōu)椋骸埃?”或“－1”，不要把該項漏掉，或認為是0而出現(xiàn)錯誤.【即學即練1】下列各式從左到右的變形，哪些是因式分解？哪些不是因式分解？(1)；(2)；(3)；(4)【答案】(1)不是因式分解(2)不是因式分解(3)是因式分解(4)是因式分解【分析】根據(jù)分解因式就是把一個整式化為幾個整式的積的形式，利用排除法求解．【解析】（1）解：，是整式的乘法，不是因式分解；（2）解：，最后結果不是幾個整式的積，不是因式分解；（3）解：，是因式分解；（4）解：，是因式分解．【點睛】本題考查了因式分解的意義，把一個整式轉化成幾個整式的積的形式是解題關鍵．【即學即練2】下列因式分解結果正確的是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】此題考查因式分解-提公因式法，首先提取公因式進而利用公式法分解因式得出即可．【解析】A.，此選項正確；B.，故此選項錯誤；C.，故此選項錯誤；D.無法分解因式，故此選項錯誤；故選A．【即學即練3】因式分解：．【答案】【分析】本題考查了因式分解，根據(jù)提公因式的方法進行因式分解即可．【解析】解：，故答案為：．【即學即練4】下列代數(shù)式中，不能用提公因式因式分解的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了提公因式法分解因式，根據(jù)提公因式法逐項判斷即可得出答案．【解析】解：A、，故能用提公因式法因式分解，不符合題意；B、，故能用提公因式法因式分解，不符合題意；C、，不能用提公因式法因式分解，符合題意；D、，故能用提公因式法因式分解，不符合題意；【即學即練5】把分解因式，應提取的公因式是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了提公因式法分解因式，根據(jù)即可得出答案，找出公因式是解此題的關鍵．【解析】解：，把分解因式，應提取的公因式是，【即學即練6】已知，，求的值．【答案】【分析】首先將提公因式，然后將，代入求解即可．【解析】解：，，且，原式．【點睛】此題考查了因式分解的應用，解題的關鍵是熟練掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．【即學即練7】已知，用因式分解法求的值．【答案】【分析】此題考查的是因式分解和整體代入法求值，先將原式提公因式進行因式分解，最后整體代入求解．【解析】解：∵，∴原式題型1：判斷是否屬于因式分解【典例1】．下列由左到右的變形，屬于因式分解的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】本題主要考查因式分解的定義．因式分解的定義：把一個整式化為幾個最簡整式的乘積的形式，這種變形叫做這個整式的因式分解，據(jù)此逐項判斷即可．【解析】解：A、，是完全平方公式，屬于整式的乘法，故不符合題意；B、，屬于整式的乘法，不是因式分解，故不符合題意；C、，右邊不是整式乘積的形式，不屬于因式分解，故不符合題意；D、，是因式分解，故符合題意；【典例2】．對于①，②，從左到右的變形，表述正確的是（

）A．都是因式分解 B．都是乘法運算C．①是因式分解，②是乘法運算 D．①是乘法運算，②是因式分解【答案】B【分析】此題考查了因式分解．解題的關鍵是掌握因式分解的定義：把一個整式化為幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個整式因式分解．根據(jù)因式分解的定義判斷即可．【解析】解：①，從左到右的變形是因式分解；，從左到右的變形是整式的乘法，不是因式分解；所以①是因式分解，②是乘法運算．【典例3】．下列變形屬于因式分解的有（

）①；②；③；④；⑤．A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】D【分析】根據(jù)因式分解的定義，逐一進行判斷即可．【解析】解：①等式左邊不是整式，不是因式分解；②等式右邊不是整式，不是因式分解；③是整式的乘法，不是因式分解；④等式右邊不是整式的乘法的形式，不是因式分解；⑤是因式分解；故選D．【點睛】本題考查因式分解的定義：把一個整式分解成幾個整式的積的形式，叫做把這個整式進行因式分解．【典例4】．下列各式從左邊到右邊的變形中，哪些是因式分解？哪些不是？（1）；（2）；（3）；（4）；（5）（6）．【答案】（3）（6）是因式分解，（1）（2）（4）（5）不是因式分解【分析】本題考查了因式分解的定義，把一個整式化成幾個整式的積的形式，叫因式分解，據(jù)此求解即可．【解析】（1）左邊不是整式，不是因式分解；（2）從左到右的變形屬于整式乘法，不是因式分解；（3）從左到右的變形符合因式分解的定義，是因式分解；（4）從左到右的變形不是化成整式積的形式，不是因式分解；（5）從左到右的變形不是化成整式積的形式，不是因式分解；（6）從左到右的變形符合因式分解的定義，是因式分解．∴（3）（6）是因式分解，（1）（2）（4）（5）不是因式分解【典例5】．判斷下列各式從等號左邊到右邊的變形，哪些是整式乘法，哪些是因式分解．(1)a2－9b2＝(a＋3b)(a－3b)；(2)3y(x＋2y)＝3xy＋6y2；(3)(3a－1)2＝9a2－6a＋1；(4)4y2＋12y＋9＝(2y＋3)2；(5)x2＋x＝x2(1-)；(6)x2－y2＋4y－4＝(x－y)(x＋y)＋4(y－1)．【答案】(2)(3)是整式乘法，(1)(4)是因式分解．【分析】根據(jù)因式分解和整式乘法的定義即可解答.【解析】(1)(4)的變形是把整式化為整式乘積的形式，是因式分解；(2)(3)是整式乘法；(5)雖然是把整式化為積的形式，但(1＋)不是整式，不是因式分解；(6)運用乘法公式，結果不是整式乘積的形式，故既不是整式乘法，也不是因式分解．(2)(3)是整式乘法，(1)(4)是因式分解．【點睛】本題主要考查因式分解，因式分解是把一個整式轉化成幾個整式積的形式．題型2：公因式【典例6】．單項式，，的公因式是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】將，，寫成，，即可．【解析】解：∵，，∴，，的公因式為．【點睛】本題主要考查了公因式的知識，將，，寫成，，的形式是正確解題的關鍵．【典例7】．下列各組中，沒有公因式的一組是（

）A．與 B．與C．與 D．與【答案】A【分析】將每一組因式分解，找公因式即可【解析】A.，，有公因式，故不符合題意；B.，，沒有公因式，符合題意；C.，，有公因式，故不符合題意；D.與有公因式，故不符合題意；故選：B【點睛】本題考查公因式，熟練掌握因式分解是解決問題的關鍵【典例8】．將整式分解因式時，應提取的公因式是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】分別找出系數(shù)的最大公約數(shù)和相同字母的最低指數(shù)次冪，即可確定公因式．【解析】解：；整式的公因式為故選B【點睛】本題主要考查公因式的確定，解決本題的關鍵是掌握找公因式的要點：（1）公因式的系數(shù)是整式各項系數(shù)的最大公約數(shù)；（2）字母取各項都含有的相同字母；（3）相同字母的指數(shù)取次數(shù)最低的．題型3：已知公因式求另一個因式【典例9】．把5（a－b）＋m（b－a）提公因式后一個因式是（a－b），則另一個因式是（

）A．5－m B．5＋m C．m－5 D．－m－5【答案】D【分析】適當變形后提公因式，可得答案．【解析】解：原式，另一個因式是，【點睛】本題考查了因式分解，利用提公因式是解題關鍵．【典例10】．若整式分解因式，其中一個因式是，則另一個因式是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】將整式因式分解，即可得到結果．【解析】解：∵=∴另一個因式是，【點睛】此題主要考查了因式分解，熟練應用提公因式法解題關鍵．【典例11】．把整式因式分解時，提取的公因式是xy5，則n的值可能為（

A．6 B．4 C．3 D．2【答案】D【分析】利用提公因式法，即可解答．【解析】解：把整式因式分解時，提取的公因式是xy5，則：n【點睛】本題考查了因式分解-提公因式法，熟練掌握因式分解-提公因式法是解題的關鍵．題型4：已知因式分解的結果求參數(shù)【典例12】．若，則m的值是（）A．2 B． C．5 D．【答案】D【分析】把等式的右邊展開得：，然后根據(jù)對應項系數(shù)相等列式求解即可．【解析】解：，，，，解得，．【點睛】本題考查因式分解與整式的乘法是互為逆運算，根據(jù)對應項系數(shù)相等列出等式是解本題的關鍵．【典例13】．若，則、的值分別為（

）A．，2 B．4， C．， D．4，2【答案】A【分析】把式子展開，根據(jù)對應項系數(shù)相等，列式求解即可得到、的值．【解析】解：，，，，，，、的值分別為：4，．【點睛】本題主要考查了因式分解的意義；根據(jù)整式乘整式的法則，再根據(jù)對應項系數(shù)相等求解是解本題的關鍵．【典例14】．已知整式分解因式后的結果為，則，的值分別為（

）A．， B．， C．， D．，【答案】D【分析】利用乘法公式將展開，再與對應即可．【解析】∵整式分解因式后的結果為，∴，∴，【點睛】本題考查因式分解與整式乘法運算之間的關系，正確的理解他們之間的關系是解題的關鍵．題型5：用提取公因式法分解因式【典例15】．把下列各式分解因式：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）直接利用提公因式法解答即可；注意首項系數(shù)為負數(shù)，需把“-”號提出來；（2）利用提公因式法解答，注意符號的變化．【解析】（1）．（2）．【點睛】本題考查了整式的因式分解，找準整式的公因式是解題的關鍵．【典例16】．因式分解：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】根據(jù)分解因式的方法求解即可．【解析】（1）解：原式；（2）原式．（3）原式．【點睛】此題考查了因式分解的方法，解題的關鍵是熟練掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．【典例17】．用提公因式法分解因式：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】本題考查的是提公因式分解因式，掌握公因式的判定是解本題的關鍵；（1）提取公因式分解因式即可：（2）提取公因式分解因式即可：（3）提取公因式分解因式即可：（4）提取公因式分解因式即可：【解析】（1）解：．（2）．（3）．（4）．【典例18】．把下列各式分解因式：(1)；(2)；(3)(4)；(5)；(6)．【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)【分析】（1）提出公因式a即可分解因式；（2）提出公因式即可分解因式；（3）提出公因式即可分解因式；（4）提出公因式即可分解因式；（5）提出公因式即可分解因式；（6）提出公因式即可分解因式．【解析】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：；（5）解：；（6）解：．【點睛】本題考查了提公因式法因式分解，利用相反數(shù)確定的公因式是解題關鍵．題型6：提取公因式法的應用【典例19】．若整式能分解成兩個一次因式的積，且其中一個一次因式為，則的值為．【答案】【分析】本題主要考查了因式分解，根據(jù)題意可得當時，的值也為0，則，解之即可得到答案．【解析】解：∵整式能分解成兩個一次因式的積，且其中一個一次因式為，∴當時，的值也為0，∴當時，的值也為0，∴，∴，故答案為：．【典例20】．一個長、寬分別為m、n的長方形的周長為16，面積為6，則的值為．【答案】【分析】本題主要考查了因式分解的應用，代數(shù)式求值，根據(jù)長方形面積公式和周長公式得到，再根據(jù)進行求解即可．【解析】解：由題意得，，∴，∴，故答案為：．【典例21】．如圖，“L形圖形的面積為7，如果，那么．【答案】7【分析】本題考查整式的乘法與圖形的面積，以及因式分解的應用．將圖形分成兩個長方形，根據(jù)圖形的面積列出算式，然后因式分解即可得到答案．【解析】解：如圖，由題意，得：，即∵，∴，故答案為：7．【典例22】．如圖，邊長為的長方形，它的周長為10，面積為6，則的值為．【答案】30【分析】本題主要考查了提取公因式法分解因式，正確分解因式是解題關鍵．【解析】解：邊長為，的長方形，它的周長為10，面積為6，，，．故答案為：30．題型7：根據(jù)提取公因式法分解因式求值【典例23】．已知，，則的值是．【答案】【分析】此題考查了因式分解的應用，提取公因式法的運用，將進行因式分解，得出，再將，代入計算即可，熟練掌握知識點的應用是解題的關鍵．【解析】解：∵，∴，又，∴，故答案為：．【典例24】．先因式分解，再求值；已知，，求的值．【答案】10【分析】先將代數(shù)式用提公因式法因式分解，然后代入已知條件即可求值．【解析】解：，將，代入，原式．【點睛】本題考查了因式分解的應用，熟練掌握因式分解的方法是解題的關鍵．【典例25】．先因式分解，再計算求值：，其中；【答案】；【分析】本題主要考查了因式分解，先將原式運用提公因式法分解后，再代入求值即可【解析】解：；把代入得，原式．【典例26】．已知，求的值．【答案】【解析】解：，，，．【典例27】．已知a、b、x、y滿足，，求：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意得出，計算求得即可；（2）首先將原式重新分組進行因式分解，進而代入，求出即可．【解析】（1）∵，∴，∴，∵，∴；（2）∵，，∴【點睛】此題主要考查了整式的混合運算，提取公因式法分解因式以及代數(shù)式求值，正確分組分解因式是解題關鍵．題型8：提取公因式法分解因式拓展【典例28】．觀察下列因式分解的過程：①②③……根據(jù)上述因式分解的方法，嘗試將下列各式進行因式分解：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)題中的方法，適當加減適合的數(shù)，再提取公因式，將各式分解即可；（2）根據(jù)題中的方法分解因式即可．【解析】解：（1）；（2）．【點睛】本題考查了因式分解，解題的關鍵是熟練掌握提取公因式進行因式分解．【典例29】．閱讀下列因式分解的過程，再回答所提出的問題：．(1)上述因式分解的方法是______________，共應用了_________次；(2)將下列整式分解因式：；(3)若分解，則需應用上述方法________次，結果是_________．【答案】(1)提取公因式法；2(2)(3)2023；【分析】（1）根據(jù)題意可知題干的因式分解方法是提公因式法，一共應用了2次；（2）仿照題意進行提取公因式進行分解因式即可得到答案；（3）根據(jù)題意可得規(guī)律，提n次公因式，據(jù)此求解即可．【解析】（1）解：由題意得，題干的因式分解方法是提公因式法，一共應用了2次，故答案為：提公因式法；2；（2）解：原式；（3）解：，提1次公因式，提2次公因式，提3次公因式……∴依次類推，，提n次公因式，∴，提2023次公因式，故答案為：2023；．【點睛】本題主要考查了分解因式，正確理解題意掌握提公因式法分解因式是解題的關鍵．一、單選題1．下列從左到右的變形，是因式分解的是（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】本題考查了因式分解的定義，能熟記因式分解的定義是解此題的關鍵，根據(jù)因式分解的定義逐個判斷即可．【解析】A．從等式的左邊到右邊的變形屬于整式乘法不屬于因式分解，故本選項不符合題意；B．從左邊到右邊的變形屬于因式分解，故本選項符合題意；C．從等式的左邊到右邊的變形是乘法交換律，不屬于因式分解，故本選項不符合題意；D．從等式的左邊到右邊的變形是錯誤，是因式分解錯誤，故本選項不符合題意；2．下面式子從左邊到右邊的變形為因式分解的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題考查的知識點是因式分解的定義．根據(jù)把一個整式化為幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個整式因式分解進行分析即可．【解析】解：A、右邊幾個整式的積的形式，不是因式分解，故本選項不符合題意；B、屬于整式乘法，不是因式分解，故本選項不符合題意；C、是因式分解，故本選項符合題意；D、右邊幾個整式的積的形式，不是因式分解，故本選項不符合題意；3．如果二次三項式可分解為，那么的值為（

）A． B． C．1 D．2【答案】A【分析】本題考查了因式分解的意義，因式分解與整式的乘法互為逆運算，根據(jù)對應項系數(shù)相等列式是解題的關鍵．利用整式的乘法運算法則展開，然后根據(jù)對應項的系數(shù)相等列式求出a、b的值，然后代入代數(shù)式進行計算即可得解．【解析】解：，∵二次三項式可分解為，∴，∴，，解得：，∴故選：B．4．用提公因式法分解因式，下列因式分解正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先確定公因式，再用原整式除以公因式，可得另外一個因式，進而即可分解因式．【解析】解：A.，故該選項錯誤；B.，故該選項錯誤；C.，故該選項錯誤；

D.，故該選項正確，故選D．【點睛】本題主要考查分解因式，掌握提取公因式法分解因式，是解題的關鍵．5．如果整式mx-A可分解為m（x﹣y），則A為（）A．m B．﹣my C．﹣y D．my【答案】A【分析】直接去括號，進而得出A代表的式子即可．【解析】解：整式mx-A可分解為m（x﹣y），mx-A＝m（x﹣y）＝mx﹣my．A＝﹣my．【點睛】本題主要考查了單項式乘以整式，提公因式法因式分解．正確去括號是解題關鍵．6．下列因式分解：①；②；③．其中結果正確的有（

）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】A【分析】根據(jù)因式分解的方法，提取公因式法進行因式分解，對照選項逐一驗證即可．【解析】根據(jù)題意知，①，因式分解錯誤；②，因式分解正確；③，因式分解錯誤，正確的結果有②，【點睛】本題考查了提取公因式法分解因式，掌握提公因式法分解因式是解題的關鍵．7．因式分解6abc－4a2b2c2＋2ac2時應提取的公因式是()．A．abc B．2a C．2c D．2ac【答案】D【分析】數(shù)字因式的公因式為2，字母因式的公因式取各項均有的字母，且該字母的指數(shù)要取各項最低.【解析】解：該整式中，三個單項式的數(shù)字公因式為2，字母公因式為ac，則應提取的公因式是2ac，故選擇D.【點睛】本題考查了提公因式時公因式的確定.8．整式提取公因式后，剩下的因式應是（

）.A． B．C． D．【答案】A【分析】通過觀察知公因式為，提取后得即可判斷.【解析】解：==∴此整式的公因式為，提取公因式后，剩下的因式是.故選B【點睛】本題考查公因式的定義，掌握找公因式的要點是解答此題的關鍵，即公因式的系數(shù)是整式各項系數(shù)的最大公約數(shù)；字母取各項都含有的相同字母，相同字母的指數(shù)取次數(shù)最低的.另外題中第二項為公因式，故提取后不可漏掉1也是解答此題的關鍵之處.9．(－8)2020＋(－8)2019能被下列哪個數(shù)整除()A．3 B．5 C．7 D．9【答案】B【分析】根據(jù)乘方的性質，提取公因式（-8）2019，整理即可得到是7的倍數(shù)，所以能被7整除．【解析】解：(?8)2020-(?8)2019=(?8)(?8)2019-(?8)2019=(?8-1)(?8)2019=?7×(?8)2019=7×82019所以能被7整除．故答案選：C．【點睛】本題考查的知識點是因式分解的應用，解題的關鍵是熟練的掌握因式分解的應用．10．與相同的式子是（

）.A． B． C． D．【答案】B【解析】試題分析：首先對題目中的式子利用提取公因式法進行因式分解，然后再判斷．原式=（3x-2）（－3-4）-（x＋1）（3﹣4）=－（3－4）（2x-1）考點：因式分解二、填空題11．在中，從左到右的變形是，從右到左的變形是．【答案】整式乘法因式分解【分析】此題主要是考查了因式分解的意義，根據(jù)因式分解的定義、整式乘法的定義和平方差公式進行求解，緊扣因式分解的定義是解題的關鍵．【解析】解：在中，從左到右的變形是整式乘法，從右到左的變形是因式分解，故答案為：整式乘法，因式分解．12．若整式分解因式的結果為，則的值為．【答案】【分析】本題考查了因式分解．根據(jù)整式的乘法法則計算，與比較求出a和b的值，然后代入計算．【解析】解：∵，∴，∴，∴.故答案為：.13．整式各項的公因式是．【答案】【分析】根據(jù)公因式的定義，找出系數(shù)的最大公約數(shù)，相同字母的最低指數(shù)次冪，然后即可確定公因式2y，即可求解．【解析】解：∵整式系數(shù)的最大公約數(shù)是2，相同字母的最低指數(shù)次冪y，∴該整式的公因式為2y，故答案為：．【點睛】本題考查整式的公因式，掌握整式每項公因式的求法是解題的關鍵．14．已知整式有一個因式是，則k的值為．【答案】-9【分析】令=（x-3）A的形式，當x=-3時，可以轉化為關于k的一元一次方程，解方程即可求出k的值．【解析】令=（x-3）A，當x=-3時，-27-27-9-k=0，解得k=-9，故答案為：-9．【點睛】本題考查了因式分解—提公因式法，令x-3=0，則x=-3，代入因式分解的式子轉化為關于k的一元一次方程是解題的關鍵．15．分解因式：＝【答案】【分析】直接運用提公因式法分解即可．【解析】解：．故答案為：．【點睛】此題考查了因式分解，熟練掌握因式分解的基本方法是解題的關鍵．16．若x＋y＝6，xy＝4，則x2y＋xy2＝．【答案】24【分析】先對后面的式子進行因式分解，然后根據(jù)已知條件代值即可．【解析】x＋y＝6，xy＝4，x2y＋xy2故答案為：24．【點睛】本題主要考查提取公因式進行因式分解，屬于基礎題，比較容易，熟練掌握因式分解的方法是解題的關鍵．17．已知2x-4﹣2?2x＝112，則x的值為．【答案】3【分析】根據(jù)題意直接利用同底數(shù)冪的乘法運算法則以及提取公因式法分解因式，進而得出答案．【解析】解：∵2x-4﹣2?2x＝112，∴2x-1×（23﹣1）＝112，故2x-1＝16＝24，解得：x＝3．故答案為：3．【點睛】本題主要考查同底數(shù)冪的乘法運算以及提取公因式法分解因式，熟練并正確掌握相關運算法則是解題的關鍵．18．若a,b,c滿足，則【答案】【分析】關鍵整式的乘法法則運算，并整體代入變形即可.【解析】因為所以，即因為所以因為所以因為所以即因為即故答案為：【點睛】本題考查的是整式的乘法，熟練掌握乘法法則并會對算式進行變形是關鍵.三、解答題19．下列因式分解是否正確？為什么？（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1）不正確．因為提取的公因式不對；（2）不正確．因為提取公因式后，第三項沒有變號；（3）正確．（4）不正確．因為最后結果不是乘積的形式．【分析】（1）判斷整式的公因式提取是否正確即可判斷；（2）（3）與（1）分析相同；（4）根據(jù)因式分解的定義判斷即可．【解析】（1）整式的公因式是n，而不是2n，故不正確；（2）因為提取公因式后，第三項沒有變號，故不正確；（3），故正確；（4）根據(jù)因式分解的定義知，最后結果應是乘積的形式，但分解的結果不是乘積的形式，故錯誤．【點睛】本題考查了因式分解的定義及提公因式法，掌握因式分解的定義及提公因式是關鍵．20．把下列各式因式分解：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)；(2)；(3)．【分析】（）提取公因式即可；（）提取公因式即可；（）提取公因式即可；本題考查了提公因式法因式分解，熟練掌握提公因式法進行因式分解是解題的關鍵．【解析】（1）解：原式；（2）解：原式；（3）解：原式．21．把下列各式分解因式：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查了分解因式，：（1）提取公因式分解因式即可；（2）提取公因式分解因式即可．【解析】（1）原式（2）解：原式．22．把下列各式因式分解：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）．【分析】找公因式－－－取各項系數(shù)的最大公約數(shù)；取各項相同字母的最低次數(shù)；取相同整式的最低次數(shù)，進而提取公因式進行分解．【解析】解：（1）原式＝；（2）原式＝；（3）原式＝；（4）原式＝；（5）原式＝；（6）原式＝；（7）原式＝；（8）原式＝．【點睛】此題主要考查了提取公因式法分解因式，正確找出公因式是解題關鍵．23．先化簡，再求值：30x2（y-4）-15x（y-4），其中x=2，y=-2．【答案】180【解析】試題分析：本題考查了整式的化簡求值，用提公因式法分解因式，將原式化為5x(y-4)(2x-1)，然后代入求值即可.原式=15x(y-4)(2x-1)當x=2,y=-2時原式=15×2×(-2-4)(2×2-1)=18024．先化簡，再求值：，其中，．【答案】，【分析】根據(jù)整式的運算法則先化簡，再代入求值即可得到答案【解析】解：，∴，∴，∴．26．仔細閱讀下面例題，解答問題：例題：已知：二次三項式x2﹣4x-m有一個因式是（x-3），求另一個因式以及m的值．解：設另一個因式為（x-n），得x2﹣4x-m＝（x-3）（x-n），則x2﹣4x-m＝x2-（n-3）x-3n∴解得：n＝﹣7，m＝﹣21∴另一個因式為（x﹣7），m的值為﹣21．問題：仿照以上方法解答下面問題：已知二次三項式2x2-3x﹣k有一個因式是（x﹣5），求另一個因式以及