第六章 計(jì)數(shù)原理 章末小結(jié)及測試（解析版）人教版高中數(shù)學(xué)精講精練選擇性必修三

第六章計(jì)數(shù)原理章末小結(jié)及測試考法一排列數(shù)與組合數(shù)【例1-1】（2024·遼寧沈陽）（多選）若，為正整數(shù)且，則（

）A． B．C． D．【答案】BD【解析】對A：，又，故A錯(cuò)誤；對B：，故B正確；對C：，，即，故C錯(cuò)誤；對D：，，即，故D正確.故選：BD.【例1-2】（2023遼寧沈陽·期末）（1）已知，計(jì)算：；（2）解方程：．【答案】（1）126；（2）．【解析】（1）因?yàn)?，則，解得，經(jīng)驗(yàn)證符合題意，所以.（2）由，得，即，而由，知，解得，所以原方程的解為.考法二排隊(duì)問題【例2-1】（2023天津河?xùn)|·階段練習(xí)）有2名男生和3名女生，按下列要求各有多少種排法或選法，依題意列式作答：(1)若選出3人當(dāng)主持人，要求至少有1名男生，則有多少種不同的選法；(2)若2名男同學(xué)必須相鄰，共有多少種不同的排法；(3)若2名男同學(xué)不相鄰，共有多少種不同的排法；(4)若2名男同學(xué)不站兩端，共有多少種不同的排法；(5)若2名男同學(xué)中間必須有1人，共有多少種不同的排法.【答案】(1)9(2)48(3)72(4)36(5)36【解析】（1）選出3人當(dāng)主持人有種情況，選出3人當(dāng)主持人沒有男生有種情況，則至少有1名男生有種選法；（2）若2名男同學(xué)必須相鄰種排法，則2名男生和3名女生其中2名男同學(xué)必須相鄰共有種排法；（3）2名男同學(xué)不相鄰，先排3個(gè)女生種排法，有4個(gè)空排2名男生，則2名男同學(xué)不相鄰共有種排法；（4）2名男生不站兩端，可以選2名女生站兩端有種情況，則2名男同學(xué)不站兩端共有種排法；（5）2名男同學(xué)中間必須有1人，先選1名女生在2名男同學(xué)中間種排法,再排捆綁后的整體和其他人，則2名男同學(xué)中間必須有1人共有種排法.【例2-2】（2024全國·課時(shí)練習(xí)）有3名男生和4名女生，根據(jù)下列不同的要求，求不同的排列方法種數(shù)．(1)全體排成一行，其中甲只能在中間或者兩邊位置；(2)全體排成一行，其中甲不在最左邊，乙不在最右邊；(3)全體排成一行，其中3名男生必須排在一起；(4)全體排成一行，男、女各不相鄰；(5)全體排成一行，3名男生互不相鄰；(6)全體排成一行，其中甲、乙、丙三人從左至右的順序不變；(7)排成前后二排，前排3人，后排4人；(8)全體排成一行，甲、乙兩人中間必須有3人．【答案】(1)2160；(2)3720；(3)720；(4)144；(5)1440；(6)840；(7)5040；(8)720.【解析】（1）解：元素分析法．先安排甲，左、右、中三個(gè)位置可供甲選擇，有種排法，其余6人全排列，有種排法，由乘法原理得共有（種）排法；（2）解：位置分析法．先排最左邊，除去甲外有種排法，余下的6個(gè)位置全排有種排法，但應(yīng)剔除乙在最右邊的排法種，則符合條件的排法共有（種）；（3）解：捆綁法．將男生看成一個(gè)整體，進(jìn)行全排列，再與其他元素進(jìn)行全排列，共有（種）排法；（4）解：插空法．先排男生，然后將女生插入其中的四個(gè)空位，共有（種）排法；（5）解：插空法．先排女生，然后在空位中插入男生，共有（種）排法；（6）解：定序排列．7名學(xué)生排成一行，分兩步：第一步，設(shè)固定甲、乙、丙從左至右順序的排列總數(shù)為N；第二步，對甲、乙、丙進(jìn)行全排列．由乘法原理得，所以（種）；（7）解：與無任何限制的排列相同，即7個(gè)元素的全排列，有（種）排法；（8）解：從除甲、乙以外的5人中選3人排在甲、乙中間，有種排法，甲、乙互換位置，有種排法，甲、乙及中間3人看作一個(gè)整體和其余2人一起共3個(gè)元素排成一排，有種排法，所以共有（種）排法．考法三排數(shù)問題【例3-1】（2024廣東）用0、1、2、3、4五個(gè)數(shù)字．(1)可組成多少個(gè)五位數(shù)？(2)可組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)？(3)可組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字且是3的倍數(shù)的三位數(shù)？(4)可組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的五位奇數(shù)？(5)組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，將這些數(shù)字由小到大排列，42130是第幾個(gè)數(shù)？【答案】(1)2500(2)96(3)20(4)36(5)88【解析】（1）各個(gè)數(shù)位上數(shù)字允許重復(fù)，首位上不能為0，故采用分步乘法計(jì)數(shù)原理，有個(gè)．（2）考慮特殊位置“萬位”，從1、2、3、4中任選一個(gè)填入萬位，共有4種填法，其余四個(gè)位置，4個(gè)數(shù)字全排列，故共有個(gè)．（3）構(gòu)成3的倍數(shù)的三位數(shù)，其各個(gè)位上數(shù)字之和是3的倍數(shù)，則由和，以及組成三位數(shù)，由和組成的三位數(shù)有個(gè)，由以及組成三位數(shù)有個(gè)，故共有個(gè)；（4）考慮特殊位置個(gè)位和萬位，先填個(gè)位，從1、3中選一個(gè)填入個(gè)位有種填法，然后從剩余3個(gè)非0數(shù)中選一個(gè)填入萬位，有種填法，包含0在內(nèi)還有3個(gè)數(shù)在中間三個(gè)位置上全排列，排列數(shù)為，故共有個(gè)．（5）本小問的本質(zhì)就是不大于42130的數(shù)有多少．按分類加法計(jì)數(shù)原理，當(dāng)萬位數(shù)字為1、2、3時(shí)均滿足，共有三個(gè)數(shù)，當(dāng)萬位數(shù)字為4，千位數(shù)為0、1時(shí)均滿足，共有個(gè)數(shù)，當(dāng)萬位數(shù)字為4，千位數(shù)字為2，而百位數(shù)字為0和1時(shí)均滿足，共有個(gè)，所以42130是第個(gè)數(shù)．【例3-2】（2024黑龍江）用0，1，2，3，4，5六個(gè)數(shù)字排成沒有重復(fù)數(shù)字的6位數(shù)，分別有多少個(gè)？(1)0不在個(gè)位；(2)1與2相鄰；(3)1與2不相鄰；(4)0與1之間恰有兩個(gè)數(shù)；(5)1不在個(gè)位；(6)偶數(shù)數(shù)字從左向右從小到大排列．【答案】(1)480(2)192(3)408(4)120(5)504(6)60【解析】（1）0不在個(gè)位，也不在首位，所以這兩個(gè)位置就從其他5個(gè)元素選2個(gè)排列，剩下的位置不在受限，所以就全排列，故有種方法.（2）1和2相鄰，所以捆綁，看成一個(gè)復(fù)合元素共種方法，首位不能是0，所以首位就有種方法，其他全排列，故有種方法.（3）采用間接法，所有的六位數(shù)減1與2相鄰的結(jié)果，就是所有的六位數(shù)，減第二問的結(jié)果，故有種方法.（4）分兩種情況，一種是（0**1）或是（1**0），第一種情況這四個(gè)元素看成一個(gè)復(fù)合元素，不能拍首位，第二種情況，三個(gè)元素全排列，故有種方法.（5）可以采用間接法，將這6個(gè)元素都看成普通元素，共種方法，其中有首位是0的，和個(gè)位是1的六位數(shù)，所以減，這里面有減重的，首位是0同時(shí)個(gè)位是1的減了兩次，所以要加回一個(gè)，故有種方法.（6）同樣是間接法，不考慮0有種方法，其中0排首位的有種方法．故有種方法.考法四涂色問題【例4-1】（2023重慶）用四種不同的顏色給如圖所示的六塊區(qū)域A，B，C，D，E，F(xiàn)涂色，要求相鄰區(qū)域涂不同顏色，則涂色方法的總數(shù)是（

）A．120 B．72 C．48 D．24【答案】A【解析】先涂，有4種選擇，接下來涂，有3種選擇，再涂,有2種選擇，①當(dāng),顏色相同時(shí)涂色方法數(shù)是：，②當(dāng),顏色不相同時(shí)涂色方法數(shù)是：，滿足題意的涂色方法總數(shù)是：．故選：A．【例4-2】（2023山東德州·階段練習(xí)）中國是世界上最早發(fā)明雨傘的國家，傘是中國勞動人民一個(gè)重要的創(chuàng)造．如圖所示的雨傘，其傘面被傘骨分成個(gè)區(qū)域，每個(gè)區(qū)域分別印有數(shù)字，，，，現(xiàn)準(zhǔn)備給該傘面的每個(gè)區(qū)域涂色，要求每個(gè)區(qū)域涂一種顏色，相鄰兩個(gè)區(qū)域所涂顏色不能相同，對稱的兩個(gè)區(qū)域如區(qū)域與區(qū)域所涂顏色相同．若有種不同顏色的顏料可供選擇，則不同的涂色方案有（

）A．種 B．種C．種 D．種【答案】B【解析】由題意可得，只需確定區(qū)域，，，的顏色，即可確定整個(gè)傘面的涂色．先涂區(qū)域，有種選擇，再涂區(qū)域，有種選擇，當(dāng)區(qū)域與區(qū)域涂的顏色不同時(shí)，區(qū)域有種選擇，剩下的區(qū)域有種選擇；當(dāng)區(qū)域與區(qū)域涂的顏色相同時(shí)，剩下的區(qū)域有種選擇，故不同的涂色方案有種．故選：B．【例4-3】（2024山東菏澤·期中）如圖，用四種不同的顏色給圖中的A，B，C，D，E，F(xiàn)六個(gè)點(diǎn)涂色，要求每個(gè)點(diǎn)涂一種顏色，且圖中每條線段的兩個(gè)端點(diǎn)涂不同的顏色，則不同的涂色方法共有（

）A．360種 B．264種 C．192種 D．144種【答案】B【解析】如圖，若4種顏色都用到，先給A、B、C三點(diǎn)涂色，有種涂法，再給D、E、F涂色，因?yàn)镈、E、F中必有一點(diǎn)用到第4種顏色，有種涂法，另外兩點(diǎn)用到A、B、C三點(diǎn)所用顏色中的兩種，有種涂法，由乘法原理得種．若只用3種顏色，先給A、B、C三點(diǎn)涂色，有種涂法，再給D、E、F涂色，因?yàn)镈點(diǎn)與A點(diǎn)不同色，有種涂法，若D點(diǎn)與B點(diǎn)同色，則F與C、D不同色，有種涂法，此時(shí)E有種涂法；若D點(diǎn)與C點(diǎn)同色，則E與B、D不同色，有種涂法，此時(shí)F有種涂法.由乘法原理得種．所以，不同的涂色方法共有種．故選：B【例4-4】（2024河北石家莊·期中）某五面體木塊的直觀圖如圖所示，現(xiàn)準(zhǔn)備給其5個(gè)面涂色，每個(gè)面涂一種顏色，且相鄰兩個(gè)面（有公共棱的兩個(gè)面）所涂顏色不能相同.若有6種不同顏色的顏料可供選擇，則不同的涂色方案有（

）A．600種 B．1080種 C．1200種 D．1560種【答案】D【解析】若用5種顏色，從6種顏色任選5種再作全排，即種；若用4種顏色，從6種顏色任選4種有種，再任選一種顏色涂在其中一組對面上有種，其它3種顏色作全排有，所以，共有種；若用3種顏色，從6種顏色任選3種有種，再任選兩種顏色涂在兩組對面上種，余下的一種顏色涂在底面有1種，所以，共有種；綜上，不同的涂色方案有種.故選：D考法五放球問題【例5-1】（2023高二·江蘇·專題練習(xí)）將4個(gè)編號為1，2，3，4的小球放入4個(gè)編號為1，2，3，4的盒子中.(1)有多少種放法？(2)每盒至多一球，有多少種放法？(3)恰好有一個(gè)空盒，有多少種放法？(4)把4個(gè)不同的小球換成4個(gè)相同的小球，恰有一個(gè)空盒，有多少種放法？【答案】(1)256(種)(2)24(種)(3)144(種)(4)12(種)【解析】（1）每個(gè)小球都可能放入4個(gè)盒子中的任何一個(gè)，將小球一個(gè)一個(gè)放入盒子，共有種放法.（2）這是全排列問題，共有(種)放法.（3）（方法1）先將4個(gè)小球分為三組，有種方法，再將三組小球投入四個(gè)盒子中的三個(gè)盒子，有種投放方法，故共有(種)放法.（方法2）先取4個(gè)球中的兩個(gè)“捆”在一起，有種選法，把它與其他兩個(gè)球共3個(gè)元素分別放入4個(gè)盒子中的3個(gè)盒子，有種投放方法，所以共有(種)放法.（4）（方法1）先從四個(gè)盒子中選出三個(gè)盒子，再從三個(gè)盒子中選出一個(gè)盒子放入兩個(gè)球，余下兩個(gè)盒子各放一個(gè).由于球是相同的即沒有順序，所以屬于組合問題，故共有(種)放法.（方法2）恰有一個(gè)空盒子，第一步先選出一個(gè)盒子，有種選法，第二步在小球之間的3個(gè)空隙中任選2個(gè)空隙各插一塊隔板，有種方法，由分步計(jì)數(shù)原理得，共有(種)放法.【例5-2】（2024河北唐山·階段練習(xí)）有4個(gè)編號為1，2，3，4的小球，4個(gè)編號為1，2，3，4的盒子，現(xiàn)需把球全部放進(jìn)盒子里，（最后結(jié)果用數(shù)字作答）(1)沒有空盒子的方法共有多少種？(2)可以有空盒子的方法共有多少種？(3)恰有1個(gè)盒子不放球，共有多少種方法？(4)恰有一個(gè)小球放入自己編號的盒中，有多少種不同的放法？【答案】(1)24(2)256(3)144(4)8【解析】（1）沒有空盒子的方法：4個(gè)球全放4個(gè)盒中，沒有空盒則全排列共種；（2）可以有空盒子，有4個(gè)球，每個(gè)球有4種放法共種；（3）恰有一個(gè)空盒子，說明另外三個(gè)盒子都有球，而球共四個(gè)，必然有一個(gè)盒子中放了兩個(gè)球，先將四盒中選一個(gè)作為空盒，再將四球中選出兩球綁在一起，再排列共種；（4）恰有一個(gè)小球放入自己編號的盒中,選定從四盒四球中選定標(biāo)號相同得球和盒，另外三球三盒不能對應(yīng)共兩種，則共種.考法六分組分配【例6-1】（2024·安徽合肥）中國救援力量在國際自然災(zāi)害中為拯救生命作出了重要貢獻(xiàn)，很好地展示了國際形象，增進(jìn)了國際友誼，多次為祖國贏得了榮譽(yù).現(xiàn)有5支救援隊(duì)前往，，等3個(gè)受災(zāi)點(diǎn)執(zhí)行救援任務(wù)，若每支救援隊(duì)只能去其中的一個(gè)受災(zāi)點(diǎn)，且每個(gè)受災(zāi)點(diǎn)至少安排1支救援隊(duì)，其中甲救援隊(duì)只能去，兩個(gè)數(shù)點(diǎn)中的一個(gè)，則不同的安排方法數(shù)是（

）A．72 B．84 C．100 D．120【答案】C【解析】若甲去點(diǎn)，則剩余4人，可只去、兩個(gè)點(diǎn)，也可分為3組去，，3個(gè)點(diǎn).當(dāng)剩余4人只去、兩個(gè)點(diǎn)時(shí)，人員分配為或，此時(shí)的分配方法有；當(dāng)剩余4人分為3組去，，3個(gè)點(diǎn)時(shí)，先從4人中選出2人，即可分為3組，然后分配到3個(gè)小組即可，此時(shí)的分配方法有，綜上可得，甲去點(diǎn)，不同的安排方法數(shù)是.同理，甲去點(diǎn)，不同的安排方法數(shù)也是，所以，不同的安排方法數(shù)是.故選：C.【例6-2】（2024青海西寧）由未來科學(xué)大獎(jiǎng)聯(lián)合中國科技館共同主辦的“同上一堂科學(xué)課”——科學(xué)點(diǎn)燃青春：未來科學(xué)大獎(jiǎng)獲獎(jiǎng)?wù)邔υ捛嗌倌昊顒佑?023年9月8日在全國各地以線上線下結(jié)合的方式舉行．現(xiàn)有某市組織5名獲獎(jiǎng)?wù)叩疆?dāng)?shù)厝齻€(gè)不同的會場與學(xué)生進(jìn)行對話活動，要求每個(gè)會場至少派一名獲獎(jiǎng)?wù)?，每名獲獎(jiǎng)?wù)咧蝗ヒ粋€(gè)會場，則不同的派出方法有（

）A．60種 B．120種 C．150種 D．240種【答案】C【解析】依題意，5名獲獎(jiǎng)?wù)甙慈サ饺齻€(gè)不同會場，有種方法，5名獲獎(jiǎng)?wù)甙慈サ饺齻€(gè)不同會場，有種方法，所以不同的派出方法有（種）.故選：C【例6-3】（22024·山西·階段練習(xí)）基礎(chǔ)學(xué)科對于一個(gè)國家科技發(fā)展至關(guān)重要，是提高核心競爭力，保持戰(zhàn)略領(lǐng)先的關(guān)鍵．其中數(shù)學(xué)學(xué)科尤為重要．某雙一流大學(xué)為提高數(shù)學(xué)系學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，特開設(shè)了“九章算術(shù)”，“古今數(shù)學(xué)思想”，“數(shù)學(xué)原理”，“世界數(shù)學(xué)通史”，“算術(shù)研究”五門選修課程，要求數(shù)學(xué)系每位同學(xué)每學(xué)年至多選三門，且已選過的課程不能再選，大一到大三三學(xué)年必須將五門選修課程選完，則每位同學(xué)的不同選修方式種數(shù)為（

）．A．種 B．種 C．種 D．種【答案】B【解析】若兩年修完全部五門選修課程，先將五門課程分成兩組，再從三個(gè)學(xué)年中選取兩年來安排課程，則共有種選修方式；若三年修完全部五門選修課程，則先將五門課程分成三組，再安排到三個(gè)學(xué)年中，則共有種選修方式；綜上所述：每位同學(xué)不同的選修方式種數(shù)為種.故選：B.【例6-4】（2024）《數(shù)術(shù)記遺》是東漢時(shí)期徐岳編撰的一部數(shù)學(xué)專著，該書記述了我國古代14種算法，分別是：積算（即算籌）?太乙算?兩儀算?三才算?五行算?八卦算?九宮算?運(yùn)籌算?了之算?成數(shù)算?把頭算?龜算?珠算?和計(jì)數(shù).某學(xué)習(xí)小組有甲?乙?丙3人，該小組要收集九宮算?運(yùn)籌算?了之算?成數(shù)算?把頭算?珠算6種算法相關(guān)資料，要求每種算法只能一人收集，每人至少收集其中一種，則不同的分配方案種數(shù)為（）A．240 B．300 C．420 D．540【答案】D【解析】根據(jù)題意，將6種算法分成3組，有1，1，4一組，有1，2，3一組，以及2，2，2一組，然后將這3組分配給甲乙丙三個(gè)人，所以不同的分配方案有.故選：D【例6-5】（2024遼寧）某校高三年級有8名同學(xué)計(jì)劃高考后前往武當(dāng)山?黃山?廬山三個(gè)景點(diǎn)旅游.已知8名同學(xué)中有4名男生，4名女生.每個(gè)景點(diǎn)至少有2名同學(xué)前往，每名同學(xué)僅選一處景點(diǎn)游玩，其中男生甲與女生不去同一處景點(diǎn)游玩，女生與女生去同一處景點(diǎn)游玩，則這8名同學(xué)游玩行程的方法數(shù)為（

）A．564 B．484 C．386 D．640【答案】A【解析】8人分三組可分為2人，2人，4人和2人，3人，3人，共兩種情況.第一種情況分成2人，2人，4人：女生去同一處景點(diǎn)，當(dāng)成2人組時(shí)，其他6人分成2人，4人兩組且男生甲與女生不同組，有種方法；當(dāng)在4人組時(shí)，有種方法.第二種情況分成2人，3人，3人：當(dāng)成2人組時(shí)，有種方法；當(dāng)在3人組時(shí)，有種方法.故這8名同學(xué)游玩行程的方法數(shù)為.故選：A.考法七二項(xiàng)式定理【例7-1】（2023福建龍巖）（多選）已知二項(xiàng)式的展開式，則（）A．常數(shù)項(xiàng)是 B．系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)共有4項(xiàng)C．第5項(xiàng)和第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等 D．奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為256【答案】ACD【解析】由題意二項(xiàng)式的展開式通項(xiàng)為，對于A，令，得，所以常數(shù)項(xiàng)是，故A正確；對于B，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，這些項(xiàng)的系數(shù)為有理數(shù)，即系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)共有5項(xiàng)，故B錯(cuò)誤；對于C，第5項(xiàng)和第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)滿足，故C正確；對于D，奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為，故D正確.故選：ACD.【例7-2】（2023·江西上饒）（多選）已知，則下列結(jié)論成立的有（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】設(shè)，可得出，可判斷A選項(xiàng)；利用二項(xiàng)展開式通項(xiàng)可判斷B選項(xiàng)；由可判斷C選項(xiàng)；由可判斷D選項(xiàng).【詳解】【解析】設(shè)，對于A選項(xiàng)，，A對；對于B選項(xiàng)，的展開式通項(xiàng)為，所以，，B對；對于CD選項(xiàng)，，解得，，C錯(cuò)D對.故選：ABD.【例7-3】（2024江西九江）（多選）已知二項(xiàng)式，則下列說法正確的是（

）A．若，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)為15B．展開式中有理項(xiàng)的個(gè)數(shù)為4C．若展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為64，則D．展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第3項(xiàng)【答案】AB【解析】因?yàn)?對于A：若，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)為，故A正確；對于B：展開式中有理項(xiàng)的個(gè)數(shù)為4，故B正確；對于C：若展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為64，則令，有，或，故C錯(cuò)誤；對于D：展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)最大的為，對應(yīng)第4項(xiàng)，故D錯(cuò)誤；故選：AB.考法八楊輝三角【例8-1】（2023廣東廣州·期末）（多選）我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》就給出了著名的楊輝三角，由此可見我國古代數(shù)學(xué)的成就是非常值得自豪的，以下關(guān)于楊輝三角的敘述正確的是（

）第1行

1

1第2行

1

2

1第3行

1

3

3

1第4行

1

4

6

4

1第5行

1

5

10

10

5

1第6行

1

6

15

20

15

6

1……

……A．第9行中從左到右第6個(gè)數(shù)是126 B．C． D．【答案】ABD【解析】對于A，第9行中從左到右第6個(gè)數(shù)是，A正確；對于B，，B正確；對于C，由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，得，C錯(cuò)誤；對于D，，D正確.故選：ABD【例8-2】（23-24高二上·遼寧葫蘆島·期末）（多選）“楊輝三角”是中國數(shù)學(xué)史上的一個(gè)偉大成就，揭示了二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列規(guī)律.請結(jié)合“楊輝三角”判斷下列敘述，正確的是（

）A．B．第20行中，第11個(gè)數(shù)最大C．記第行的第個(gè)數(shù)為，則D．第34行中，第15個(gè)數(shù)與第16個(gè)數(shù)的比為【答案】BCD【解析】由圖知，第行的第個(gè)數(shù)為，則，對于A，由可得，，故A錯(cuò)誤；對于B，第20行有21項(xiàng)，中間一項(xiàng)最大為，是第11個(gè)數(shù)，故B正確；對于C，第行的第個(gè)數(shù)為，，，故C正確；對于D，第34行中，第15個(gè)數(shù)與第16個(gè)數(shù)的比為，故D正確.故選：BCD.【例8-3】（2023湖南長沙·階段練習(xí)）（多選）“楊輝三角”是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列，中國南宋數(shù)學(xué)家楊輝在1261年所著的《詳解九章算法》一書中就有出現(xiàn)，比歐洲早393年發(fā)現(xiàn).如圖所示，在“楊輝三角”中，除每行兩邊的數(shù)都是1外，其余每個(gè)數(shù)都是其“肩上”的兩個(gè)數(shù)之和，例如第4行的6為第3行中兩個(gè)3的和.則下列命題中正確的是（

）

A．由“在相鄰兩行中，除1以外的每個(gè)數(shù)都等于它肩上的兩個(gè)數(shù)字之和”猜想B．由“第行所有數(shù)之和為”猜想：C．第20行中，第10個(gè)數(shù)最大D．第15行中，第7個(gè)數(shù)與第8個(gè)數(shù)的比為7：9【答案】ABD【解析】對于A選項(xiàng)，由“楊輝三角”的規(guī)律可得A正確；對于B選項(xiàng)，由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)知，B正確；第20行的數(shù)是，最大的是第11個(gè)數(shù)，C錯(cuò)誤；第15行中，第7個(gè)數(shù)與第8個(gè)數(shù)分別是和，，D正確.故選：ABD.【例8-4】（2024江西）楊輝三角（如下圖所示）是數(shù)學(xué)史上的一個(gè)偉大成就，楊輝三角中從第2行到第2023行，每行的第3個(gè)數(shù)字之和為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】,由題意可得，第2行到第2023行，每行的第3個(gè)數(shù)字之和為,故選：B．單選題1.（2024遼寧朝陽）如圖，已知每條線路僅含一條通路，當(dāng)一條電路從處到處接通時(shí)，不同的線路可以有（

）A．5條 B．6條 C．7條 D．8條【答案】D【解析】由題意知可以按上、下兩條線路分為兩類，上線路中有條，下線路中有條.根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，不同的線路可以有條.故選：D2．（2024江西）某影城有一些電影新上映，其中有3部科幻片、4部警匪片、3部戰(zhàn)爭片及2部喜劇片，小明從中任選1部電影觀看，不同的選法共有（

）A．9種 B．12種 C．24種 D．72種【答案】B【解析】任選1部電影可分四類：第一類選的是科幻片，第二類選的是警匪片，第三類選的是戰(zhàn)爭片，第四類選的是喜劇片，由分類加法計(jì)數(shù)原理可得不同的選法共有（種）．故選：B．3．（2023江西九江·期末）從1，2，3，4，5，6，7，9中，任取兩個(gè)不同的數(shù)作對數(shù)的底數(shù)和真數(shù)，則所有不同的對數(shù)的值有（

）A．30個(gè) B．42個(gè) C．41個(gè) D．39個(gè)【答案】D【解析】當(dāng)取時(shí)，則只能為真數(shù)，此時(shí)這個(gè)對數(shù)值為，當(dāng)不取時(shí)，底數(shù)有種，真數(shù)有種，其中，故此時(shí)有個(gè)，所以共有個(gè).故選：D.4．（2024高二下·全國·專題練習(xí)）用1，2，3，4四個(gè)數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中比2000大的偶數(shù)共有（

）A．16個(gè) B．12個(gè) C．9個(gè) D．8個(gè)【答案】D【解析】比2000大，故千位為2，3，4，若千位為2，則個(gè)位為4，有（個(gè)）符合題意的四位數(shù)；若千位為3，則個(gè)位為2或4，有（個(gè)）符合題意的四位數(shù)；若千位為4，則個(gè)位為2，有（個(gè)）符合題意的四位數(shù)．根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理得，一共有（個(gè)）符合題意的四位數(shù)．故選:D．5．（2024安徽）將5個(gè)相同的白球和5個(gè)相同的紅球全部放入3個(gè)不同的盒子中，每個(gè)盒子既要有白球，又要有紅球，則不同的放球方法共有(

)A．18種 B．24種 C．36種 D．48種【答案】C【解析】先在每個(gè)盒子中放一個(gè)白球和一個(gè)紅球，剩下2個(gè)紅球、2個(gè)白球共四個(gè)球，紅球有種放法，同理白球也有6種放法，總共種放法．故選：C．6．（2024四川雅安）已知集合，非空集合，且中所有元素之和為奇數(shù)，則滿足條件的集合共有（

）A．12個(gè) B．14個(gè) C．16個(gè) D．18個(gè)【答案】C【解析】，由于中所有元素之和為奇數(shù)，且非空集合，當(dāng)中只有一個(gè)元素時(shí)，則或或，當(dāng)中有2個(gè)元素時(shí)，則中的元素必為一偶一奇，故有個(gè)滿足條件的，當(dāng)中有3個(gè)元素時(shí)，則中的元素必為2偶一奇或者三個(gè)元素均為奇數(shù)，故有4個(gè)滿足條件的，當(dāng)中有4個(gè)元素時(shí)，則中的元素必為一偶3奇，故有2個(gè)滿足條件的，當(dāng)中有5個(gè)元素時(shí)，則滿足條件，故共有，故選：C7．（2024黑龍江哈爾濱）我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書里出現(xiàn)了如圖所示的楊輝三角，這是中國數(shù)學(xué)史上的一個(gè)偉大成就．在楊輝三角中，第行的所有數(shù)字之和為，若去除所有為1的項(xiàng)，依次構(gòu)成數(shù)列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，……．則此數(shù)列的前15項(xiàng)之和為（

）A．114 B．116 C．124 D．126【答案】A【解析】根據(jù)題意可知構(gòu)成的新數(shù)列的前15項(xiàng)分別為楊輝三角的第三層到第七層除去1之外的所有數(shù)構(gòu)成的，除第一行有一個(gè)1以外，其余每行都有兩個(gè)1，又第行的所有數(shù)字之和為，所以構(gòu)成的新數(shù)列前15項(xiàng)之和為.故選：A8．（2024·廣東佛山·模擬預(yù)測）若，則下列不正確（

）A．B．C．D．【答案】B【解析】將代入得，解得，A正確；由二項(xiàng)式定理可知展開式的通項(xiàng)為，令得，所以，B錯(cuò)誤；將代入得，即，C正確；將代入得，即①，將代入得，即②，①+②得，所以，①-②得，所以，所以，D正確；故選：B多選題9．（2023山東德州）甲、乙、丙、丁、戊五名同學(xué)站一排，下列結(jié)論正確的是（

）A．不同的站隊(duì)方式共有120種B．若甲和乙不相鄰，則不同的站隊(duì)方式共有36種C．若甲在乙的左邊，則不同的站隊(duì)方式共有60種D．若甲和乙相鄰，且甲不在兩端，則不同的站隊(duì)方式共有36種【答案】ACD【解析】對于A，甲、乙、丙、丁、戊五名同學(xué)站一排，不同的站隊(duì)方式共有種，A正確；對于B，甲和乙不相鄰的站隊(duì)方式有種，B錯(cuò)誤；對于C，甲在乙的左邊的不同的站隊(duì)方式有種，C正確；對于D，將甲與乙捆綁看做一個(gè)整體，再與其他三人站成一排，有種站隊(duì)方式，其中甲站在兩端的情形有種，所以符合題意的站隊(duì)方式共有種，D正確.故選：ACD10．（2024福建寧德）已知，則（

）A． B．C． D．展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第項(xiàng)【答案】AB【解析】設(shè).對于A選項(xiàng)，，A對；對于B選項(xiàng)，，B對；對于C選項(xiàng)，，所以，，C錯(cuò)；對于D選項(xiàng)，展開式共項(xiàng)，展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第項(xiàng)，D錯(cuò).故選：AB.11．（2024山西陽泉）將四大名著《紅樓夢》《西游記》《三國演義》《水滸傳》，詩集《唐詩三百首》《徐志摩詩集》和戲曲《中華戲曲》7本書放在一排，則（

）A．戲曲書放在正中間位置的不同放法有種 B．詩集相鄰的不同放法有種C．四大名著互不相鄰的不同放法有種 D．四大名著不放在兩端的不同放法有種【答案】ABC【解析】A選項(xiàng)，戲曲書放在正中間，其余6本書和6個(gè)位置進(jìn)行全排列，共有種不同放法，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，將兩本詩集進(jìn)行捆綁，有2種放法，再將捆綁的詩集和剩余的5本書，進(jìn)行全排列，此時(shí)有種放法，故詩集相鄰的不同放法有種，B正確；C選項(xiàng)，先將詩集和戲曲進(jìn)行全排列，有種方法，且3本書互相之間有4個(gè)空，將4大名著進(jìn)行插空，有種方法，故共有種放法，C正確；D選項(xiàng)，將除四大名著外的3本書中，挑選2本放在兩端，有種放法，再將剩余5本書和5個(gè)位置進(jìn)行全排列，有種放法，故四大名著不放在兩端的不同放法有種，D錯(cuò)誤.故選：ABC12．（2024江蘇常州）2023年國外某智庫發(fā)布《尖端技術(shù)研究國家競爭力排名》的報(bào)告，涵蓋了超音速、水下無人潛航器、量子技術(shù)、人工智能、無人機(jī)等二十多個(gè)領(lǐng)域.報(bào)告顯示，中國在其中19個(gè)領(lǐng)域處于領(lǐng)先.某學(xué)生是科技愛好者，打算從這19個(gè)領(lǐng)域中選取這5個(gè)領(lǐng)域給班級同學(xué)進(jìn)行介紹，每天隨機(jī)介紹其中一個(gè)領(lǐng)域，且每個(gè)領(lǐng)域只在其中一天介紹，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．都在后3天介紹的方法種數(shù)為36B．相隔一天介紹的方法種數(shù)為36C．A不在第一天，不在最后一天介紹的方法種數(shù)為72D．A在，之前介紹的方法種數(shù)為40【答案】ABD【解析】A選項(xiàng)，在后3天中選擇2天，有種選擇，再將和剩余的3天進(jìn)行全排列，有種選擇，故有種方法數(shù)，A正確；B選項(xiàng)，先把進(jìn)行全排列，再從選擇1個(gè)放在之間，有種方法，再將這三個(gè)領(lǐng)域捆綁，和剩余的兩個(gè)領(lǐng)域進(jìn)行全排列，共有種選擇，綜上，共有種方法數(shù)，B正確；C選項(xiàng)，若A在最后一天進(jìn)行介紹，則將剩余4個(gè)領(lǐng)域進(jìn)行全排列，有種方法，若A不在最后一天進(jìn)行介紹，從3天中選擇1天安排A，再從除了最后一天的剩余3天中選擇1天安排，有種選擇，最后將剩余的3個(gè)領(lǐng)域和3天進(jìn)行全排列，有種選擇，則此時(shí)有種選擇，綜上，A不在第一天，不在最后一天介紹的方法種數(shù)為，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，進(jìn)行全排列，共有種方法，將進(jìn)行全排列，共有種方法，其中A在，之前的有2種，故120種排列中，A在，之前的有種，故D正確.故選：ABD填空題13．（2024重慶大足）為弘揚(yáng)志愿者精神，某校舉行“樂于助人”服務(wù)活動，現(xiàn)安排甲，乙等4人到三個(gè)不同地方參加活動，每個(gè)地方至少1人，若甲和乙不能去同一個(gè)地方，則不同的安排方式有種．【答案】【解析】安排甲，乙等4人到三個(gè)不同地方參加活動，每個(gè)地方至少1人，則將4人按分組，若不考慮限制條件，則此時(shí)不同的安排方式有種，當(dāng)甲和乙去同一個(gè)地方時(shí)，有種不同的安排方式，所以若甲和乙不能去同一個(gè)地方，則不同的安排方式有種.故答案為：14．（2024北京·開學(xué)考試）已知，則.【答案】3【解析】的通項(xiàng)為，所以展開式中的系數(shù)為，的通項(xiàng)為，所以展開式中的系數(shù)為，所以.故答案為：3.15．（2024江西）網(wǎng)課期間，小王同學(xué)趁課余時(shí)間研究起了七巧板，有一次他將七巧板拼成如下圖形狀，現(xiàn)需要給下圖七巧板右下方的五個(gè)塊涂色（圖中的1，2，3，4，5），有4種不同顏色可供選擇，要求有公共邊的兩塊區(qū)域不能同色，有種不同的涂色方案.【答案】252【解析】第一步：涂2，有4種顏色；第二步：涂5，有3種顏色第三步：涂3、4，當(dāng)3與5同色時(shí)，4有3種顏色；當(dāng)3和5不同色時(shí)，3有2種顏色，4有2種顏色，第三步共7種.第四步：涂1，有3種顏色.共計(jì)種.故答案為：25216．（2024遼寧朝陽）孿生素?cái)?shù)是指相差2的素?cái)?shù)對，例如5和7，“孿生素?cái)?shù)猜想”正式由希爾伯特在1900年國際數(shù)學(xué)家大會的報(bào)告上第8個(gè)問題中提出，可以這樣描述：存在無窮多個(gè)素?cái)?shù)，使得是素?cái)?shù)，素?cái)?shù)對稱為孿生素?cái)?shù).在不超過20的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，則這兩個(gè)數(shù)為孿生素?cái)?shù)的概率為.【答案】【解析】由題意分析知：不超過20的素?cái)?shù)有，隨機(jī)抽取兩個(gè)不同的素?cái)?shù)，基本事件總數(shù)，取出的兩個(gè)數(shù)是孿生素?cái)?shù)包含的基本事件有：,，,，,，,，共4個(gè)，故兩個(gè)數(shù)為孿生素?cái)?shù)的概率是.故答案為：.解答題17（2023湖南長沙）從A，B，C等8人中選出5人排成一排.(1)A必須在內(nèi)，有多少種排法？(2)A，B，C三人不全在內(nèi)，有多少種排法？(3)A，B，C都在內(nèi)，且A，B必須相鄰，C與A，B都不相鄰，都多少種排法？(4)A不允許站排頭和排尾，B不允許站在中間（第三位），有多少種排法？【答案】(1)4200(2)5520(3)240(4)4440【解析】（1）由題意，先從余下的7人中選4人共有種不同結(jié)果，再將這4人與A進(jìn)行全排列有種不同的排法，故由乘法原理可知共有種不同排法；（2）從8人中任選5人排列共有種不同排法，A，B，C三人全在內(nèi)有種不同排法，由間接法可得A，B，C三人不全在內(nèi)共有種不同排法；（3）因A，B，C都在內(nèi)，所以只需從余下5人中選2人有種不同結(jié)果，A，B必須相鄰，有種不同排法，由于C與A，B都不相鄰，先將選出的2人進(jìn)行全排列共有種不同排法，再將A、B這個(gè)整體與C插入到選出的2人所產(chǎn)生的3個(gè)空位中有種不同排法，由乘法原理可得共有種不同排法；（4）分四類：第一類：所選的5人無A、B，共有種排法；第二類：所選的5人有A、無B，共有種排法；第三類：所選的5人無A、有B，共有種排法；第四類：所選的5人有A、B，若A排中間時(shí)，有種排法，若A不排中間時(shí)，有種排法，共有種排法；綜上，共有4440種不同排法.18．（2024天津·期中）從包含甲、乙2人的8人中選4人參加4×100米接力賽，求在下列條件下，各有多少種不同的排法？（結(jié)果用數(shù)字作答）(1)甲、乙2人都被選中且必須跑中間兩棒；(2)甲、乙2人只有1人被選中且不能跑中間兩棒；(3)甲、乙2人都被選中且必須跑相鄰兩棒；(4)甲、乙2人都被選中且不能相鄰兩棒；(5)甲、乙2人都被選中且甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒.【答案】(1)60(2)480(3)180(4)180(5)210【解析】（1）先安排甲、乙2人位置，再從出甲、乙之外的6人中選2人安排他們的位置，則方法數(shù)為（2）先從甲、乙2人中選一人安排其位置，再從出甲、乙之外的6人中選3人安排他們的位置，則方法數(shù)為（3）先把甲、乙2人看作一個(gè)元素，再從除甲、乙之外的6人中選2人和甲和乙這個(gè)整體來排序，則方法數(shù)為（4）從除甲、乙之外的6人中選2人排序，再讓甲和乙來插空，則方法數(shù)為（5）第一步，從除甲、乙之外的6人中選2人第二步，分甲跑第四棒和甲不跑第四棒則方法數(shù)為19．（2024山西臨汾·階段練習(xí)）某班有一個(gè)5男4女組成的社會實(shí)踐調(diào)查小組，準(zhǔn)備在暑假進(jìn)行三項(xiàng)不同的社會實(shí)踐，若不同的組合調(diào)查不同的項(xiàng)目算作不同的調(diào)查方式，求按下列要求進(jìn)行組合時(shí)，有多少種不同的調(diào)查方式？(1)將9人分成人數(shù)分別為2人、3人、4人的三個(gè)組去進(jìn)行社會實(shí)踐；(2)將9人平均分成3個(gè)組去進(jìn)行社會實(shí)踐；(3)將9人平均分成每組既有男生又有女生的三個(gè)組去進(jìn)行社會實(shí)踐.【答案】(1)；(2)；(3).【解析】（1）將9人按分組，有種分組方法，再把各組分配到三個(gè)項(xiàng)目中去有方法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理得：，所以不同的調(diào)查方式有.（2）從9人中任取3人去調(diào)查第一個(gè)項(xiàng)目，從余下6人中任取3人去調(diào)查第二個(gè)項(xiàng)目，最后3人去調(diào)查第三個(gè)項(xiàng)目，由分步乘法計(jì)數(shù)原理得：，所以不同的調(diào)查方式有.（3）把4個(gè)女生按分組，有種分法，再從5個(gè)男生中任取1個(gè)到兩個(gè)女生的一組，從余下4個(gè)男生中任取2人到1個(gè)女生的一組，最后2個(gè)男生到最后的1個(gè)女生組，分法種數(shù)為，將分得的三個(gè)小組分配到三個(gè)項(xiàng)目中去有方法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理得：，所以不同的調(diào)查方式有.20．（23-24高二上·全國·課時(shí)練習(xí)）由字母A、E及數(shù)字1、2、3、4形成的排列．(1)由這些字母，數(shù)字任意排成一排共能形成多少不同的排列？(2)要求首位及末位只能排字母，排成一列