蘇科版八年級數(shù)學上冊重難點專題提優(yōu)訓練專題04難點探究專題：全等三角形中的動態(tài)問題(原卷版+解析)

專題04難點探究專題：全等三角形中的動態(tài)問題類型一利用分類討論思想求全等三角形中的動點中的時間問題類型二利用全等三角形中的動點求線段長及最值問題類型三全等三角形中的動點綜合問題類型一利用分類討論思想求全等三角形中的動點中的時間問題例題：（2021·山東臨沂·八年級期中）如圖，，垂足為點A，射線，垂足為點B，，．動點E從A點出發(fā)以3cm/s的速度沿射線AN運動，動點D在射線BM上，隨著E點運動而運動，始終保持．若點E的運動時間為，則當________個秒時，與全等．【變式訓練】（2021·全國·七年級專題練習）已知：如圖，在長方形中，延長到點，使，連接，動點從點出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿向終點運動，設點的運動時間為秒，當?shù)闹禐開______時，和全等．類型二利用全等三角形中的動點求線段長及最值問題例題：（2019·江蘇·宜興市周鐵中學八年級階段練習）已知：如圖，∠B=90°AB∥DF，AB=3cm，BD=8cm，點C是線段BD上一動點，點E是直線DF上一動點，且始終保持AC⊥CE，若AC=CE,則DE的長為______.【變式訓練】1.（2020·江蘇·泰州中學附屬初中八年級階段練習）如圖，△ABC中，點D在邊BC上，DE⊥AB于E，DH⊥AC于H，且滿足DE=DH，F(xiàn)為AE的中點，G為直線AC上一動點，滿足DG＝DF，若AE=4cm，則AG=_____cm．2.（2021·重慶八中八年級開學考試）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AB=10，AD平分∠CAB交BC于D點，E，F(xiàn)分別是AD，AC上的動點，則CE+EF的最小值為________．類型三全等三角形中的動點綜合問題例題：（2022·遼寧葫蘆島·八年級期末）如圖，在中，．點D是直線上一動點（點D不與點B，C重合），，連接．(1)如圖1，當點D在線段上時，直接寫出與之間的數(shù)量關系；(2)如圖2，當點D在邊的延長線上時，請?zhí)骄烤€段與之間存在怎樣的數(shù)量關系？并說明理由；(3)如圖3，若點D在邊的延長線上，且點A，E分別在直線的兩側，其他條件不變，若，直接寫出的長度．【變式訓練】（2022·遼寧葫蘆島·八年級期末）如圖①，點C在線段AB上（點C不與A，B重合），分別以AC，BC為邊在AB同側作等邊△ACD和等邊△BCE，連接AE，BD交于點P．(1)觀察猜想：1.AE與BD的數(shù)量關系為______；2.∠APD的度數(shù)為______；(2)數(shù)學思考：如圖②，當點C在線段AB外時，（1）中的結論①，②是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，請你寫出正確結論再給予證明．一、填空題1．（2022·江蘇·景山中學七年級期末）如圖，，垂足為，cm，cm，射線，垂足為，動點從點出發(fā)以2cm/s的速度沿射線運動，點為射線上一動點，滿足，隨著點運動而運動，當點運動______秒時，與全等．2．（2021·貴州·北京市日壇中學貴陽分校七年級期中）如圖，B，C都是直線上的點，點A是直線上方的一個動點，連接得到，D，E分別為上的點，且．當線段與具有_________的位置關系時滿足．3．（2022·全國·八年級課時練習）如圖，在中，為線段上一動點(不與點重合)，連接作，且連接，當時，______度．4．（2020·廣西·桂林市田家炳中學八年級期末）如圖所示，在邊長為4的正方形中，、分別為、的中點，為對角線上的一個動點，則的最小值的是_________.二、解答題5．（2020·全國·八年級課時練習）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，P、Q是邊AC、BC上的兩個動點，PD⊥AB于點D，QE⊥AB于點E．設點P、Q運動的時間是t秒（t0）．若點P從C點出發(fā)沿CA以每秒3個單位的速度向點A勻速運動，到達點A后立刻以原來的速度沿AC返回到點C停止運動；點Q從點B出發(fā)沿BC以每秒1個單位的速度向點C勻速運動，到達點C后停止運動，求當t為何值時，△APD和△QBE全等．6．（2020·山東濟南·七年級期末）如圖，在中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，點D是射線BC上一動點，過點B作BE⊥AD，垂足為點E，交直線AC于點P．（1）如圖（1），若點D在BC的延長線上，且點E在線段AD上，試猜想AP，CD，BC之間的數(shù)最關系，并說明理由；（2）如圖（2），若點D在線段BC上，試猜想AP，CD，BC之間的數(shù)量關系，并說明理由．7．（2022·江蘇·八年級課時練習）△ABC中，AB＝AC，點D是射線CB上的一動點（不與點B、C重合），以AD為一邊在AD的右側作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，連接CE．(1)如圖1，當點D在線段CB上，且∠BAC＝90°時，那么∠DCE＝度；(2)設∠BAC＝，∠DCE＝．①如圖2，當點D在線段CB上，∠BAC≠90°時，請你探究與之間的數(shù)量關系，并證明你的結論；②如圖3，當點D在線段CB的延長線上，∠BAC≠90°時，請將圖3補充完整，寫出此時與之間的數(shù)量關系并證明．8．（2022·云南·景谷傣族彝族自治縣教育體育局教研室八年級期末）如圖1，點P，Q分別是等邊邊AB，BC上的動點，點P從頂點A向點B運動，點Q從頂點B向點C運動，兩點同時出發(fā)，且它們的速度都相同．(1)連接AQ，CP交于點M則在P、Q運動的過程中，的大小發(fā)生變化嗎？若變化，則說明理由，若不變，則求出它的度數(shù)；(2)如圖2，若點P、Q在運動到終點后繼續(xù)在射線AB，BC上運動，直線AQ、CP交點為M，則的大小發(fā)生變化嗎？若變化，則說明理由，若不變，則求出它的度數(shù)．9．（2020·全國·八年級專題練習）如圖，在中，為的中點，，．動點從點出發(fā)，沿方向以的速度向點運動；同時動點從點出發(fā)，沿方向以的速度向點運動，運動時間是．（1）在運動過程中，當點位于線段的垂直平分線上時，求出的值；（2）在運動過程中，當時，求出的值；（3）是否存在某一時刻，使？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．10．（2019·內(nèi)蒙古·赤峰市松山區(qū)大廟中學八年級階段練習）已知：如圖，，，，，點是線段上一動點，點是直線上一動點，且始終保持．（1）證明：；（2）若點在線段上滿足時，求的長？（3）在線段的延長線上，是否存在點，使得，若存在，請求出的長度；若不存在，請說明理由．11．（2022·安徽·九年級期末）如圖，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E點為射線CB上一動點，連結AE，作AF⊥AE且AF＝AE．（1）如圖1，過F點作FD⊥AC交AC于D點，求證：FD＝BC；（2）如圖2，連結BF交AC于G點，若AG＝3，CG＝1，求證：E點為BC中點．（3）當E點在射線CB上，連結BF與直線AC交子G點，若BC＝4，BE＝3，則．（直接寫出結果）12．（2022·福建·廈門市松柏中學八年級期末）如圖所示，已知B（﹣2，0），C（2，0），A為y軸正半軸上的一點，點D為第二象限一動點，點E在BD的延長線上，CD交AB于點F，且∠BDC＝∠BAC．(1)求證：∠ABD＝∠ACD；(2)求證：AD平分∠CDE；(3)若在D點運動的過程中，始終有DC＝DA+DB，在此過程中，∠BAC的度數(shù)是否發(fā)生變化？如果變化，請說明理由；如果不變，請求出∠BAC的度數(shù)．專題04難點探究專題：全等三角形中的動態(tài)問題類型一利用分類討論思想求全等三角形中的動點中的時間問題類型二利用全等三角形中的動點求線段長及最值問題類型三全等三角形中的動點綜合問題類型一利用分類討論思想求全等三角形中的動點中的時間問題例題：（2021·山東臨沂·八年級期中）如圖，，垂足為點A，射線，垂足為點B，，．動點E從A點出發(fā)以3cm/s的速度沿射線AN運動，動點D在射線BM上，隨著E點運動而運動，始終保持．若點E的運動時間為，則當________個秒時，與全等．【答案】2或6或8【解析】【分析】分兩種情況：①當E在線段AB上時，②當E在BN上，再分別分成兩種情況AC=BE，AB=BE進行計算即可．【詳解】解：①當E在線段AB上，AC=BE時，

AC=6，BE=6，AE=12-6=6，點E的運動時間為(秒)．②當E在BN上，AC=BE時，AC=6，BE=6，AE=12+6=18．點E的運動時間為(秒)．③當E在BN上，AB=BE時，AE=12+12=24.點E的運動時間為(秒)④當E在線段AB上，AB=BE時，這時E在A點未動，因此時間為秒不符合題意．故答案為：2或6或8．【點睛】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角．【變式訓練】（2021·全國·七年級專題練習）已知：如圖，在長方形中，延長到點，使，連接，動點從點出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿向終點運動，設點的運動時間為秒，當?shù)闹禐開______時，和全等．【答案】2或11【解析】【分析】分兩種情況討論，根據(jù)題意得出BF=2t=4和AF=26-2t=4即可求得答案．【詳解】解：∵為直角三角形，且AB=DC，∴當≌時，有BF=2t=CE=4，解得：t=2；當≌時，有AF=CE=4，此時=4，解得：，故答案為：2或11．【點睛】本題考查全等三角形的判定，注意到為直角三角形，且AB=DC，故只有BF=2t=4和AF=26-2t=4兩種情況．類型二利用全等三角形中的動點求線段長及最值問題例題：（2019·江蘇·宜興市周鐵中學八年級階段練習）已知：如圖，∠B=90°AB∥DF，AB=3cm，BD=8cm，點C是線段BD上一動點，點E是直線DF上一動點，且始終保持AC⊥CE，若AC=CE,則DE的長為______.【答案】5【解析】【分析】根據(jù)全等得出對應邊相等，即可得出答案.【詳解】解：∵∠B=90°，AB∥DF，∴∠D=∠B=90°，∵AC⊥CE，∴∠ACE=90°，∴∠ECD+∠CED=90°，∠ACB+∠ECD=90°，∴∠ACB=∠CED；∴在△ABC和△CDE中∴△ABC≌△CDE（AAS），∴AB=CD=3cm，∴DE=BC=8cm-3cm=5cm故答案為5.【點睛】此題考查了全等三角形的判定與性質，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解本題的關鍵．【變式訓練】1.（2020·江蘇·泰州中學附屬初中八年級階段練習）如圖，△ABC中，點D在邊BC上，DE⊥AB于E，DH⊥AC于H，且滿足DE=DH，F(xiàn)為AE的中點，G為直線AC上一動點，滿足DG＝DF，若AE=4cm，則AG=_____cm．【答案】2或6.【解析】【詳解】∵DE⊥AB，DH⊥AC，∴∠AED=∠AHE=90°.在△ADE和△ADH中，∵AD=AD,DE=DH,∴△ADE≌△ADH(HL),∴AH=AE=4cm.∵F為AE的中點，∴AF=EF=2cm.在△FDE和△GDH中，∵DF=DG,DE=DH,∴△FDE≌△GDH(HL),∴GH=EF=2cm.當點G在線段AH上時，AG=AH-GH=4-2=2cm;當點G在線段HC上時，AG=AH+GH=4+2=6cm;故AG的長為2或6.2.（2021·重慶八中八年級開學考試）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AB=10，AD平分∠CAB交BC于D點，E，F(xiàn)分別是AD，AC上的動點，則CE+EF的最小值為________．【答案】【解析】【分析】在AB上取點F′，使AF′=AF，過點C作CH⊥AB，垂足為H．因為EF+CE=EF′+EC，推出當C、E、F′共線，且點F′與H重合時，F(xiàn)E+EC的值最?。驹斀狻拷猓喝鐖D所示：在AB上取點F′，使AF′=AF，過點C作CH⊥AB，垂足為H．∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠BAD，又AE=AE，∴△AEF≌△AEF′（SAS），∴FE=EF′，∵S△ABC=AB?CH=AC?BC，∴CH=，∵EF+CE=EF′+EC，∴當C、E、F′共線，且點F′與H重合時，F(xiàn)E+EC的值最小，最小值為，故答案為：．【點睛】本題主要考查的是勾股定理的應用、垂線段最短等知識，解題的關鍵是正確的作出輔助線，明確當C、E、F′共線，且點F′與點H重合時，CE+EF的值最?。愋腿热切沃械膭狱c綜合問題例題：（2022·遼寧葫蘆島·八年級期末）如圖，在中，．點D是直線上一動點（點D不與點B，C重合），，連接．(1)如圖1，當點D在線段上時，直接寫出與之間的數(shù)量關系；(2)如圖2，當點D在邊的延長線上時，請?zhí)骄烤€段與之間存在怎樣的數(shù)量關系？并說明理由；(3)如圖3，若點D在邊的延長線上，且點A，E分別在直線的兩側，其他條件不變，若，直接寫出的長度．【答案】(1)CE+CD=BC，證明見解析(2)CE=BC+CD，證明見解析(3)CE=4【解析】【分析】（1）根據(jù)條件AB=AC，∠BAC=90°，AD=AE，∠DAE=90°，判定△ABD≌△ACE（SAS），即可得出BD和CE之間的關系，根據(jù)全等三角形的性質，即可得到CE+CD=BC；（2）根據(jù)已知條件，判定△ABD≌△ACE（SAS），得出BD=CE，再根據(jù)BD=BC+CD，即可得到CE=BC+CD；（3）根據(jù)條件判定△ABD≌△ACE（SAS），得出BD=CE，即可解決問題．(1)解：如圖1，∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD=CE，∴BC=BD+CD=CE+CD，(2)線段BC，CD與CE之間存在的數(shù)量關系為BC=CE-CD．理由：如圖2中，由（1）同理可得，∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE，∴在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD=CE，∴BD=BC+CD，即CE=BC+CD．(3)如圖3，由（1）同理可得，∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE，即∠BAD=∠EAC，同理，△ABD≌△ACE（SAS），∴BD=CE，∵CD=10，BC=6，∴DB=DC-BC=4，∴CE=4．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質．解決問題的關鍵是掌握：兩邊及其夾角分別對應相等的兩個三角形全等．解題時注意：全等三角形的對應邊相等．【變式訓練】（2022·遼寧葫蘆島·八年級期末）如圖①，點C在線段AB上（點C不與A，B重合），分別以AC，BC為邊在AB同側作等邊△ACD和等邊△BCE，連接AE，BD交于點P．(1)觀察猜想：1.AE與BD的數(shù)量關系為______；2.∠APD的度數(shù)為______；(2)數(shù)學思考：如圖②，當點C在線段AB外時，（1）中的結論①，②是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，請你寫出正確結論再給予證明．【答案】(1)①AE＝BD；②60°(2)上述結論成立．∠APD＝60°，證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件只要證明△DCB≌△ACE，即可證明出AE于BD的數(shù)量關系，以及∠APD的角度；（2）根據(jù)△ACD，△BCE均為等邊三角形，可知＝AC，BC＝EC，∠DCA＝∠BCE＝60°，進而可知∠DCA＋∠ACB＝∠ACB＋∠BCE，即∠DCB＝∠ACE，從而可證△DCB≌△ACE（SAS），則DB＝AE，∠CDB＝∠CAE，根據(jù)∠DCA＝∠DPA＝60°可證∠APD＝60°．(1)解：∵△ACD和△CBE都是等邊三角形，∴AC=DC，CE=CB，∠ACD=∠ECB=60°，∵∠ACE=∠ACD+∠DCE，∠DCB=∠DCE＋∠ECB，∴∠DCB=∠ACE，∴△DCB≌△ACE，∴AE=BD，∠BDC=∠CAE，又∵∠DOP=∠COA，∴∠APD=∠ACD=60°，故答案是：AE=BD，60°；(2)上述結論成立，∵△ACD，△BCE均為等邊三角形，∴DC＝AC，BC＝EC，∠DCA＝∠BCE＝60°，∴∠DCA＋∠ACB＝∠ACB＋∠BCE，即∠DCB＝∠ACE，在△DCB和△ACE中，，∴△DCB≌△ACE（SAS），∴DB＝AE，∠CDB＝∠CAE，如圖，設BD與AC交于點O，易知∠DOC＝∠AOP（對頂角相等），∴∠CDB＋∠DCA＝∠CAE＋∠DPA，∴∠DCA＝∠DPA＝60°，即∠APD＝60°．【點睛】本題考查全等三角形的性質與判定，等邊三角形的性質，能夠熟練掌握全等三角形的性質與判定是解決本題的關鍵．一、填空題1．（2022·江蘇·景山中學七年級期末）如圖，，垂足為，cm，cm，射線，垂足為，動點從點出發(fā)以2cm/s的速度沿射線運動，點為射線上一動點，滿足，隨著點運動而運動，當點運動______秒時，與全等．【答案】0或2或4或6【解析】【分析】根據(jù)題意可分點P在點B的左側和右側進行分類求解即可．【詳解】解：設點P的運動時間為t秒，由題意得：CP=2tcm，①當t=0時，即點C與點P重合，滿足△ACB≌△NBP，②當點P在點B的左側時，且滿足AC=BP=2cm，∵，∴（HL），∵CP=2tcm，∴，即，解得：；③當點P在點B的右側時，且滿足AC=BP=2cm，則，∴，即，解得：；④當點P在點B的右側時，且滿足BC=BP=6cm，則，∴，即，解得：；綜上所述：當或0或4或6秒時，與全等．故答案為0或2或4或6．【點睛】本題主要考查全等三角形的性質與判定，熟練掌握全等三角形的性質與判定是解題的關鍵．2．（2021·貴州·北京市日壇中學貴陽分校七年級期中）如圖，B，C都是直線上的點，點A是直線上方的一個動點，連接得到，D，E分別為上的點，且．當線段與具有_________的位置關系時滿足．【答案】【解析】【分析】利用“SSS”證明△AED和△BCD全等，根據(jù)全等三角形對應角相等可得∠AED=∠C，再根據(jù)垂直的定義證明即可．【詳解】當AC⊥BC時，DE⊥AB；∵AC⊥BC，∴∠C＝90°，∵在△AED和△BCD中，∴△AED≌△BCD(SSS)，∴∠AED＝∠C＝90°，∴DE⊥AB．故答案為：AC⊥BC．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質，垂直的定義，熟練掌握三角形全等的判定方法是解題的關鍵．3．（2022·全國·八年級課時練習）如圖，在中，為線段上一動點(不與點重合)，連接作，且連接，當時，______度．【答案】24【解析】【分析】由“SAS”可證△ABD≌△ACE，可得∠B=∠ACE，可證△ABC是等邊三角形，可得∠BAC=∠DAE=∠ACB=∠ACE=60°，即可求解．【詳解】解：∵∠DAE=∠BAC，∴∠BAC-∠CAD=∠DAE-∠CAD，即∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠B=∠ACE，∵CE∥AB，∴∠BAC=∠ACE，∴∠BAC=∠B，∴AC=BC，∴△ABC是等邊三角形，∴∠BAC=∠DAE=∠ACB=∠ACE=60°，∴△DAE是等邊三角形，∴∠AED=60°，∴∠DEC=180°-36°-60°-60°=24°，故答案為：24．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質，等邊三角形的判定和性質，證明△ABC是等邊三角形是解題的關鍵．4．（2020·廣西·桂林市田家炳中學八年級期末）如圖所示，在邊長為4的正方形中，、分別為、的中點，為對角線上的一個動點，則的最小值的是_________.【答案】【解析】【分析】連接CP，當點E，P，C在同一直線上時，AP+PE的最小值為CE長，根據(jù)勾股定理計算即可．【詳解】解：如圖，連接CP，由AD=CD，∠ADP=∠CDP=45°，DP=DP，可得△ADP≌△CDP（SAS），∴AP=CP，∴AP+PE=CP+PE，∴當點E，P，C在同一直線上時，AP+PE的最小值為CE長，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=CD=AB=4，∠ADC=90°，∵E是AD的中點，∴ED=2，由勾股定理得：CE=，故答案為：．【點睛】本題考查的是軸對稱，最短路線問題，根據(jù)題意作出A關于BD的對稱點C是解答此題的關鍵．二、解答題5．（2020·全國·八年級課時練習）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，P、Q是邊AC、BC上的兩個動點，PD⊥AB于點D，QE⊥AB于點E．設點P、Q運動的時間是t秒（t0）．若點P從C點出發(fā)沿CA以每秒3個單位的速度向點A勻速運動，到達點A后立刻以原來的速度沿AC返回到點C停止運動；點Q從點B出發(fā)沿BC以每秒1個單位的速度向點C勻速運動，到達點C后停止運動，求當t為何值時，△APD和△QBE全等．【答案】2s或4s【解析】【分析】分兩種情況：①0≤t＜時，點P從C到A運動，則AP=AC﹣CP=8﹣3t，BQ=t，求得t=2，②t≥時，點P從A到C運動，則AP=3t﹣8，BQ=t，求得t=4．【詳解】解：①0≤t＜時，點P從C到A運動，則AP=AC﹣CP=8﹣3t，BQ=t，當△ADP≌△QBE時，則AP=BQ，即8﹣3t=t，解得：t=2，②t≥時，點P從A到C運動，則AP=3t﹣8，BQ=t，當△ADP≌△QBE時，則AP=BQ，即3t﹣8=t，解得：t=4，綜上所述：當t=2s或4s時，△ADP≌△QBE．【點睛】此題主要考查了全等三角形的判定，正確進行分類討論，不要漏解以及找到全等三角形對應邊相等列出方程是解題的關鍵．6．（2020·山東濟南·七年級期末）如圖，在中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，點D是射線BC上一動點，過點B作BE⊥AD，垂足為點E，交直線AC于點P．（1）如圖（1），若點D在BC的延長線上，且點E在線段AD上，試猜想AP，CD，BC之間的數(shù)最關系，并說明理由；（2）如圖（2），若點D在線段BC上，試猜想AP，CD，BC之間的數(shù)量關系，并說明理由．【答案】（1）BC＝AP+CD，理由見解析；（2）AP＝BC+CD，理由見解析．【解析】【分析】（1）由題意可得∠DAC=∠DBE，根據(jù)“ASA”可證，可得CD=CP，即可求出AP，CD，BC之間的數(shù)量關系；（2）由題意可得∠PAE=∠PBC，根據(jù)“ASA”可證，可得CD=CP，即可求出AP，CD，BC之間的數(shù)量關系．【詳解】解：（1）BC＝AP+CD，理由如下：∵∠ACB＝90°，BE⊥AD，∴∠D+∠DAC＝90°，∠D+∠DBE＝90°，∴∠DAC＝∠DBE，且∠ACB＝∠ACD，AC＝BC，∴（ASA），∴CD＝CP，∵BC＝AC＝CP+AP，∴BC＝AP+CD，（2）AP＝BC+CD，理由如下：∵∠ACB＝90°，BE⊥AD，∴∠P+∠PAE＝90°，∠P+∠PBC＝90°，∴∠PAE＝∠PBC，且∠ACB＝∠BCP，AC＝BC，∴（ASA），∴CD＝CP，∵AP＝AC+CP，∴AP＝BC+CD．【點睛】本題考查了直角三角形的兩銳角互余，全等三角形的判定和性質，熟練運用全等三角形的判定與性質解決問題是本題的關鍵．7．（2022·江蘇·八年級課時練習）△ABC中，AB＝AC，點D是射線CB上的一動點（不與點B、C重合），以AD為一邊在AD的右側作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，連接CE．(1)如圖1，當點D在線段CB上，且∠BAC＝90°時，那么∠DCE＝度；(2)設∠BAC＝，∠DCE＝．①如圖2，當點D在線段CB上，∠BAC≠90°時，請你探究與之間的數(shù)量關系，并證明你的結論；②如圖3，當點D在線段CB的延長線上，∠BAC≠90°時，請將圖3補充完整，寫出此時與之間的數(shù)量關系并證明．【答案】(1)90(2)①＋＝180°，證明見解析；②＝，證明見解析【解析】【分析】（1）易證∠BAD＝∠CAE，即可證明△BAD≌△CAE，可得∠ACE＝∠B，即可解題；（2）易證∠BAD＝∠CAE，即可證明△BAD≌△CAE，可得∠ACE＝∠B，根據(jù)∠B＋∠ACB＝180°﹣即可解題；（3）易證∠BAD＝∠CAE，即可證明△BAD≌△CAE，可得∠ACE＝∠B，根據(jù)∠ADE＋∠AED＋＝180°，∠CDE＋∠CED＋＝180°即可解題．（1）∵∠BAD＋∠DAC＝90°，∠DAC＋∠CAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ACE＝∠B，∵∠B＋∠ACB＝90°，∴∠DCE＝∠ACE＋∠ACB＝90°；故答案為90．（2）①∵∠BAD＋∠DAC＝，∠DAC＋∠CAE＝，∴∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ACE＝∠B，∵∠B＋∠ACB＝180°﹣，∴∠DCE＝∠ACE＋∠ACB＝180°﹣＝，∴＋＝180°；②作出圖形，∵∠BAD＋∠BAE＝，∠BAE＋∠CAE＝，∴∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠AEC＝∠ADB，∵∠ADE＋∠AED＋＝180°，∠CDE＋∠CED＋＝180°，∠CED＝∠AEC＋∠AED，∴＝．【點睛】本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應邊相等的性質，本題中求證△BAD≌△CAE是解題的關鍵．8．（2022·云南·景谷傣族彝族自治縣教育體育局教研室八年級期末）如圖1，點P，Q分別是等邊邊AB，BC上的動點，點P從頂點A向點B運動，點Q從頂點B向點C運動，兩點同時出發(fā)，且它們的速度都相同．(1)連接AQ，CP交于點M則在P、Q運動的過程中，的大小發(fā)生變化嗎？若變化，則說明理由，若不變，則求出它的度數(shù)；(2)如圖2，若點P、Q在運動到終點后繼續(xù)在射線AB，BC上運動，直線AQ、CP交點為M，則的大小發(fā)生變化嗎？若變化，則說明理由，若不變，則求出它的度數(shù)．【答案】(1)不變；(2)不變；【解析】【分析】（1）通過證明得到，再利用三角形外角的性質即可求解；（2）同樣通過證明得到，再利用三角形外角的性質和三角形內(nèi)角和的性質進行求解即可．(1)解：（1）點、在運動的過程中，不變.∵是等邊三角形，∴，，又∵點、運動速度相同，∴，且，，∴，∴.∵，∴(2)點、在運動的過程中，不變.由（1）可知：，∴，∵，∴，∴點、在運動的過程中，不變．【點睛】本題考查了動點問題，涉及到了三角形全等的判定與性質，三角形外角的性質和三角形的內(nèi)角和是180°等知識，解題關鍵是正確找到全等三角形．9．（2020·全國·八年級專題練習）如圖，在中，為的中點，，．動點從點出發(fā)，沿方向以的速度向點運動；同時動點從點出發(fā)，沿方向以的速度向點運動，運動時間是．（1）在運動過程中，當點位于線段的垂直平分線上時，求出的值；（2）在運動過程中，當時，求出的值；（3）是否存在某一時刻，使？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）時，點位于線段的垂直平分線上；（2）；（3）不存在，理由見解析．【解析】【分析】（1）根據(jù)題意求出BP，CQ，結合圖形用含t的代數(shù)式表示CP的長度，根據(jù)線段垂直平分線的性質得到CP＝CQ，列式計算即可；（2）根據(jù)全等三角形的對應邊相等列式計算；（3）根據(jù)全等三角形的對應邊相等列式計算，判斷即可．【詳解】解：（1）由題意得，則，當點位于線段的垂直平分線上時，，∴，解得，，則當時，點位于線段的垂直平分線上；（2）∵為的中點，，∴，∵，∴，∴，解得，，則當時，；（3）不存在，∵，∴，則解得，，，∴不存在某一時刻，使．【點睛】本題考查的是幾何動點運動問題、全等三角形的性質、線段垂直平分線的性質、等腰三角形的性質，掌握全等三角形的對應邊相等是解題的關鍵．10．（2019·內(nèi)蒙古·赤峰市松山區(qū)大廟中學八年級階段練習）已知：如圖，，，，，點是線段上一動點，點是直線上一動點，且始終保持．（1）證明：；（2）若點在線段上滿足時，求的長？（3）在線段的延長線上，是否存在點，使得，若存在，請求出的長度；若不存在，請說明理由．【答案】（1）見解析；（2）5cm；（3）存在，11cm【解析】【分析】（1）由題意易得，進而可證，，然后問題得證；（2）由題意可證，則有，然后根據(jù)線段的和差關系可求解；（3）由題意易得，進而可證，當時，，則有，最后根據(jù)線段的關系可求解．【詳解】解：（1）∵，，∴，∵，∴，∴，，∴（2）∵在和中∴，∴，∴（3）存在，理由如下：∵，，∴，∵，∴，∴，，∴；∵在和中∴，∴，∵，BD=8cm∴．【點睛】本題主要考查直角三角形的性質及全等三角形的性質與判定，熟練掌握直角三角形的性質及全等三角形的性質與判定是解題的關鍵．11．（2022·安徽·九年級期末）如圖，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E點為射線CB上一動點，連結AE，作AF⊥AE且AF＝AE．（1）如圖1，過F點作FD⊥AC交AC于D點，求證：FD＝BC；（2）如圖2，連結BF交AC于G點，若AG＝3，CG＝1，求證：E點為BC中點．（3）當E點在射線CB上，連結BF與直線AC交子G點，若BC＝4，BE＝3，則．（直接寫出結果）【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）或【解析】【分析】（1）證明△AFD≌△EAC，根據(jù)全等三角形的性質得到DF=AC，等量代換證明結論；（2）作FD⊥AC于D，證明△FDG≌△BCG，得到DG=CG，求出CE，CB的長，得到答案；（3）過F作FD⊥AG的延長線交于點D，根據(jù)全等三角形的性質得到CG=GD