湖南省長(zhǎng)沙市師大附中2025屆高三上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)試卷 含解析

湖南師大附中2025屆高三月考試卷（二）數(shù)學(xué)命題人?審題人：高三數(shù)學(xué)備課組時(shí)量：120分鐘滿分：150分一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.復(fù)數(shù)的虛部是（）A.1 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先化簡(jiǎn)給定復(fù)數(shù)，再利用虛部的定義求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以其虛部為，故C正確.故選：C.2.已知是單位向量，向量滿足，則的最大值為（）A.2 B.4 C.3 D.1【答案】B【解析】【分析】設(shè)，由，可得點(diǎn)在以為圓心，3為半徑的圓上，利用向量的模的幾何意義，可得的最大值.【詳解】設(shè)，因?yàn)?，即，即，所以點(diǎn)在以為圓心，3為半徑的圓上，又是單位向量，則，故最大值為，即的最大值為4.故選：B.3.已知角的終邊在直線上，則的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由角的終邊，得，由同角三角函數(shù)的關(guān)系得，代入求值即可.【詳解】因?yàn)榻堑慕K邊在直線上，所以.所以.故選：D.4.已知函數(shù)對(duì)任意的，且，總滿足以下不等關(guān)系：，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由條件判定函數(shù)的單調(diào)性，再利用指數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】在R上單調(diào)遞增，又，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，只需，解得.故選：D.5.如圖，圓柱的母線長(zhǎng)為分別為該圓柱的上底面和下底面直徑，且，三棱錐的體積為，則圓柱的表面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】取的中點(diǎn)，由，可求解底面半徑，即可求解.【詳解】設(shè)底面圓半徑為，由，易得，取的中點(diǎn)，連接，則，又平面，所以平面，所以，，解得r=1，所以圓柱表面積為.故選:A.6.已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，過焦點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】（方法一）首先求出拋物線的方程為，設(shè)直線的方程為：，與拋物線的方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出的值，再根據(jù)拋物線的定義知，，從而求出的最小值即可.（方法二）首先求出，再利用基本不等式即可求解即可.【詳解】（方法一）因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，故，所以拋物線的方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1,0，設(shè)直線的方程為：，不妨設(shè)，聯(lián)立方程，整理得，則，故，又AF=x1則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為.故選：B.（方法二）由方法一可得，則，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為.故選：B.7.設(shè)函數(shù)，其中.若，都有.則的圖象與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】利用給定條件求出，再作出圖像求解交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可.【詳解】對(duì)，都有，所以是y=fx的一條對(duì)稱軸，所以，又，所以.所以，在平面直角坐標(biāo)系中畫出與的圖象，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，所以如圖所示，可知y=fx的圖象與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為3，故C正確.故選：C.8.已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足：，且，則下列說法正確的是（）A.B.是偶函數(shù)C.若，則D.若，則【答案】C【解析】【分析】對(duì)A，利用賦值法令即可求解；對(duì)B，根據(jù)題中條件求出，再利用偶函數(shù)定義即可求解；對(duì)C，先根據(jù)題意求出，再找出與的關(guān)系，根據(jù)等比數(shù)列的定義即可求解；對(duì)D，找出與的關(guān)系，再根據(jù)常數(shù)列的定義即可求解.【詳解】對(duì)A，，令，即，解得，故A錯(cuò)；對(duì)B，根據(jù)，得，即，故為奇函數(shù)，故B錯(cuò)；對(duì)C，令，即，，，又，，，由題知：，令，即，，，即是以為首項(xiàng)為公比的等比數(shù)列；故，故C正確；對(duì)D，由題意知：，令，得，又，即，即數(shù)列為常數(shù)列，由上知，故，故D錯(cuò).故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是對(duì)抽象函數(shù)進(jìn)行賦值，難點(diǎn)是C，D選項(xiàng)通過賦值再結(jié)合數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行求解.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列說法中正確的是（）A.一個(gè)樣本的方差，則這組樣本數(shù)據(jù)的總和等于60B.若樣本數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為8，則數(shù)據(jù)，的標(biāo)準(zhǔn)差為16C.數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)是23D.若一個(gè)樣本容量為8的樣本的平均數(shù)為5，方差為2，現(xiàn)樣本中又加入一個(gè)新數(shù)據(jù)5，此時(shí)樣本容量為9，平均數(shù)不變，方差變小【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)于A，由題意可得樣本容量為20，平均數(shù)是從而可得樣本數(shù)據(jù)的總和，即可判斷；對(duì)于B，根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差為8，可得方差為64，從而可得新數(shù)據(jù)的方差及標(biāo)準(zhǔn)差，即可判斷；對(duì)于C，根據(jù)百分位數(shù)的定義，求出第70百分位數(shù)，即可判斷；對(duì)于D，由題意可求得新數(shù)據(jù)的平均數(shù)及方差，即可判斷.【詳解】解：對(duì)于A，因?yàn)闃颖镜姆讲钏赃@個(gè)樣本有20個(gè)數(shù)據(jù)，平均數(shù)是這組樣本數(shù)據(jù)的總和為A正確；對(duì)于B，已知樣本數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為，則，數(shù)據(jù)的方差為，其標(biāo)準(zhǔn)差為，故B正確；對(duì)于C，數(shù)據(jù)共10個(gè)數(shù)，從小到大排列為，由于，故選擇第7和第8個(gè)數(shù)的平均數(shù)作為第70百分位數(shù)，即，所以第70百分位數(shù)是23.5，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，某8個(gè)數(shù)的平均數(shù)為5，方差為2，現(xiàn)又加入一個(gè)新數(shù)據(jù)5，設(shè)此時(shí)這9個(gè)數(shù)的平均數(shù)為，方差為，則，故D正確.故選：ABD.10.已知函數(shù)，則（）A.的值域?yàn)锽.圖象的對(duì)稱中心為C.當(dāng)時(shí)，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減D.當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)極值點(diǎn)【答案】BD【解析】【分析】利用一次函數(shù)、三次函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合分類討論思想可判定A，利用函數(shù)的奇偶性判定B，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合特殊值法排除C，利用極值點(diǎn)的定義可判定D.【詳解】對(duì)于A：當(dāng)至少一個(gè)不為0，則為三次或者一次函數(shù)，值域均為R；當(dāng)均為0時(shí)，值域?yàn)?，錯(cuò)誤；對(duì)于B：函數(shù)滿足，可知奇函數(shù)，其圖象關(guān)于中心對(duì)稱，所以的圖象為的圖象向上移動(dòng)兩個(gè)單位后得到的，即關(guān)于0,2中心對(duì)稱，正確；對(duì)于C：，當(dāng)時(shí)，取，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，錯(cuò)誤；對(duì)于D：，當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，正確.故選：BD.11.我國(guó)古代太極圖是一種優(yōu)美的對(duì)稱圖.定義：能夠?qū)A的周長(zhǎng)和面積同時(shí)等分成兩個(gè)部分的函數(shù)稱為圓的一個(gè)“太極函數(shù)”，則下列命題中正確的是（）A.函數(shù)是圓的一個(gè)太極函數(shù)B.對(duì)于圓的所有非常數(shù)函數(shù)的太極函數(shù)中，都不能為偶函數(shù)C.對(duì)于圓的所有非常數(shù)函數(shù)的太極函數(shù)中，均為中心對(duì)稱圖形D.若函數(shù)是圓的太極函數(shù)，則【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)題意，對(duì)于A，D利用新定義逐個(gè)判斷函數(shù)是否滿足新定義即可，對(duì)于B，C舉反例說明．【詳解】對(duì)于A，圓，圓心為0,1，的圖象也過0,1，且0,1是其對(duì)稱中心，所以的圖象能將圓一分為二，所以A正確；對(duì)于B,C，根據(jù)題意圓，如圖，與圓交于點(diǎn)，1,0，且在軸上方三角形面積與軸下方個(gè)三角形面積之和相等，為圓的太極函數(shù)，且是偶函數(shù)，所以B，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)椋詾槠婧瘮?shù)，由，得或，所以的圖象與圓的交點(diǎn)為，且過圓心，由，得，令，則，即，得或，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，若，則方程無解，合題意；若，則，若，即時(shí)，方程無解，合題意；所以時(shí)，兩曲線共有兩個(gè)交點(diǎn)，函數(shù)能將圓一分為二，如圖，若，即時(shí)，函數(shù)與圓有4個(gè)交點(diǎn)，將圓分成四部分，若，即時(shí)，函數(shù)與圓有6個(gè)交點(diǎn)，且均不能把圓一分為二，如圖，所以，所以D正確.故選：AD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵是理解新定義，即如果一個(gè)函數(shù)過圓心，并且函數(shù)圖象關(guān)于圓心中心對(duì)稱，且函數(shù)將圓分成2部分，不能超過2部分必然合題．如果函數(shù)不是中心對(duì)稱圖形，則考慮與圓有2個(gè)交點(diǎn)，交點(diǎn)連起來過圓心，再考慮如何讓面積相等．三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.曲線在點(diǎn)處的切線與拋物線相切，則__________.【答案】1【解析】【分析】求出曲線在點(diǎn)處的切線方程，由該切線與拋物線相切，聯(lián)立消元，得到一元二次方程，其，即可求得.【詳解】由，則，則，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即，當(dāng)時(shí)，則，得，由，得.故答案為：1.13.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左?右焦點(diǎn)分別為，若為橢圓上一點(diǎn)，【答案】【解析】【分析】由內(nèi)切圓半徑的計(jì)算公式，利用等面積法表示焦點(diǎn)三角形的面積，得到方程，即可得到離心率的方程，計(jì)算得到結(jié)果.【詳解】由題意，可知為橢圓通徑的一半，故，的面積為，又由于的內(nèi)切圓的半徑為，則的面積也可表示為，所以，即，整理得：，兩邊同除以，得，所以或，又橢圓的離心率，所以橢圓的離心率為.故答案為：.14.設(shè)函數(shù)，若是從四個(gè)數(shù)中任取一個(gè)，是從六個(gè)數(shù)中任取一個(gè)，則恒成立的概率為__________.【答案】##0.625【解析】【分析】根據(jù)題意，利用基本不等式，求得，轉(zhuǎn)化為恒成立，結(jié)合是從四個(gè)數(shù)中任取一個(gè)，是從六個(gè)數(shù)中任取一個(gè)，得到基本事件總數(shù)有24個(gè)，再利用列舉法，求得成立的基本事件的個(gè)數(shù)，結(jié)合古典概型的概率計(jì)算公式，即可求解.【詳解】因?yàn)椋傻?，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故，由不等式恒成立轉(zhuǎn)化為恒成立，因?yàn)槭菑乃膫€(gè)數(shù)中任取一個(gè)，是從六個(gè)數(shù)中任取一個(gè)，則構(gòu)成的所有基本事件總數(shù)有24個(gè)，又由，，設(shè)事件“不等式恒成立”，則事件包含事件：，，，共15個(gè)，因此不等式恒成立的概率為.故答案為：.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.在中，角所對(duì)的邊分別為，已知.（1）求；（2）若面積為，且，求的最小值.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理可得，再結(jié)合余弦定理得，從而可求解.（2）結(jié)合的面積可求得，再由.，平方后得，，再結(jié)合基本不等式即可求解.【小問1詳解】由正弦定理得，即，由余弦定理可得，因?yàn)椋?【小問2詳解】因?yàn)榈拿娣e為，所以，所以.因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為.16.已知雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，離心率為，點(diǎn)在雙曲線上，點(diǎn)分別為雙曲線的左?右焦點(diǎn).（1）求的方程；（2）過作兩條相互垂直的直線和，與雙曲線的右支分別交于，兩點(diǎn)和兩點(diǎn)，求四邊形面積的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由和，及點(diǎn)在雙曲線上，求出，即可求出的方程；（2）設(shè)直線，其中，根據(jù)題中條件確定，再將的方程與聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系，用表示，的長(zhǎng)，再利用，即可求出四邊形面積的最小值.【小問1詳解】因?yàn)?，又由題意得，則有，又點(diǎn)在雙曲線上，故，解得，故方程為.【小問2詳解】根據(jù)題意，直線的斜率都存在且不為，設(shè)直線，其中，因?yàn)榫c的右支有兩個(gè)交點(diǎn)，所以，所以，將的方程與聯(lián)立，可得.設(shè)，則，所以，同理，所以.令，所以，則，當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.故四邊形面積的最小值為.17.如圖，側(cè)面水平放置的正三棱臺(tái)，側(cè)棱長(zhǎng)為為棱上的動(dòng)點(diǎn).（1）求證：平面；（2）是否存在點(diǎn)，使得平面與平面的夾角的余弦值為？若存在，求出點(diǎn)；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）證明見解析（2）存在，點(diǎn)為中點(diǎn)【解析】【分析】（1）延長(zhǎng)三條側(cè)棱交于一點(diǎn)，由勾股定理證明，，根據(jù)線面垂直的判定定理得證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面和平面的法向量，利用向量夾角公式求解.【小問1詳解】延長(zhǎng)三條側(cè)棱交于一點(diǎn)，如圖所示，由于，所以，所以，所以，同理又，平面，所以平面，即平面.【小問2詳解】由（1）知，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，所以，.設(shè)，則，設(shè)平面和平面的法向量分別為，所以取，則.整理得，即，所以或（舍），故存在點(diǎn)（點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)），滿足題意.18.若無窮正項(xiàng)數(shù)列同時(shí)滿足下列兩個(gè)性質(zhì)：①存在，使得；②為單調(diào)數(shù)列，則稱數(shù)列具有性質(zhì).（1）若，（i）判斷數(shù)列是否具有性質(zhì)，并說明理由；（ii）記，判斷數(shù)列是否具有性質(zhì)，并說明理由；（2）已知離散型隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，記為奇數(shù)的概率為.證明：數(shù)列具有性質(zhì).【答案】（1）（i）數(shù)列不具有性質(zhì)，數(shù)列具有性質(zhì)，理由見解析；（ii）數(shù)列具有性質(zhì)，理由見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）判斷數(shù)列是否滿足條件①②，可得（i）的結(jié)果；利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前項(xiàng)和，再判斷是否滿足條件①②.（2）先求數(shù)列的通項(xiàng)公式，再判斷是否滿足條件①②.【小問1詳解】（i）因?yàn)閱握{(diào)遞增，但無上限，即不存在，使得恒成立，所以數(shù)列an不具有性質(zhì).因?yàn)?，又?jǐn)?shù)列bn為單調(diào)遞減數(shù)列，所以數(shù)列bn具有性質(zhì).（ii）數(shù)列具有性質(zhì).，，兩式作差得，即，所以數(shù)列滿足條件①.為單調(diào)遞增數(shù)列，滿足條件②.綜上，數(shù)列具有性質(zhì)【小問2詳解】因?yàn)?，若為奇?shù)的概率為為偶數(shù)的概率為，①②，，即.所以當(dāng)時(shí)，，故隨著的增大而增大，且.故數(shù)列具有性質(zhì).19.已知函數(shù)，（且）.（1）令是的導(dǎo)函數(shù)，判斷的單調(diào)性；（2）若對(duì)任意的恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）hx在和0,+∞上單調(diào)遞增；（2）.【解析】【分析】（1）需要二次求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)分析函數(shù)的單調(diào)性.（2）法一先利用這一特殊情況，探索的取值范圍，再證明對(duì)時(shí)，恒成立；法二利用導(dǎo)數(shù)工具求出函數(shù)的最小值，同法一求證時(shí)，接著求證時(shí)不符合題意即可得解.【小問1詳解】，定義域?yàn)椋?，所?所以在和上單調(diào)遞增.【小問2詳解】法一：由題知即，即或，所以.下證當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的恒成立.令，則，所以在單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，遞單調(diào)增，所以，故，要證，只需證，即證，令，則，若，則，所以.若，則對(duì)稱軸，所以在遞增，故，綜上所述，的取值范圍為.法二：由題知對(duì)任意的恒