北京市朝陽(yáng)區(qū)2023-2024學(xué)年高一年級(jí)下冊(cè)期末考試數(shù)學(xué)試卷（含答案解析）

北京市朝陽(yáng)區(qū)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.若復(fù)數(shù)z滿足i.z=l—i,貝Uz=()

A.1+iB.-1+iC.1-iD.-1-i

2.已知向量。=(L5),)=(O,3),貝1]|。一6|=()

A.6B.VsC.3D.5

3.如圖，八面體的每個(gè)面都是正三角形，并且4個(gè)頂點(diǎn)A,B,C,。在同一平面內(nèi)，若四

邊形ABC。是邊長(zhǎng)為2的正方形，則這個(gè)八面體的表面積為()

A.8B.16C.873D.16月

4.己知加，〃是平面a外的兩條不同的直線，若〃〃a,則“〃△〃”是“〃?」?！钡?)

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

TT57r

5.在VA2C中，a=2,ZA=-,NB=——,則。=()

312

A.逑B.72C.亞D.布

33

6.李華統(tǒng)計(jì)了他爸爸2024年5月的手機(jī)通話明細(xì)清單，發(fā)現(xiàn)他爸爸該月共通話60次，他

按每次通話時(shí)間長(zhǎng)短進(jìn)行分組(每組為左閉右開的區(qū)間)，畫出了如圖所示的頻率分布直方

圖.則每次通話時(shí)長(zhǎng)不低于5分鐘且小于15分鐘的次數(shù)為()

個(gè)頻率/組距

So7

696

S5

S.O4

s.O3

.O2

os..O1

.O

051015202530通話時(shí)間/分鐘

A.18B.21C.24D.27

7.已知向量d,b不共線，c=3a-tb，d——2ta+6b，若。與d同向，則實(shí)數(shù)t的值為（）

A.-3B.-1C.3D.一3或3

8.近年來，我國(guó)國(guó)民經(jīng)濟(jì)運(yùn)行總體穩(wěn)定，延續(xù)回升向好態(tài)勢(shì).下圖是我國(guó)2023年4月到

2023年12月規(guī)模以上工業(yè)增加值同比增長(zhǎng)速度（以下簡(jiǎn)稱增速）統(tǒng)計(jì)圖.

注：規(guī)模以上工業(yè)指年主營(yíng)業(yè)務(wù)收入2000萬(wàn)元及以上的工業(yè)企業(yè).

A.4月，5月，6月這三個(gè)月增速的方差比4月，5月，6月，7月這四個(gè)月增速的方差

大

B.4月，5月，6月這三個(gè)月增速的平均數(shù)比4月，5月，6月，7月這四個(gè)月增速的平

均數(shù)小

C.連續(xù)三個(gè)月增速的方差最大的是9月，10月，11月這三個(gè)月

D.連續(xù)三個(gè)月增速的平均數(shù)最大的是9月，10月，11月這三個(gè)月

-TT

9.在梯形ABCD中，ABDC,ACJ.BD,ZBDC=-,AB=2,DC=6,則AD與BC夾

角的余弦值為（）

口2幣「后口后

AA."D.----C.-----D.---

147147

10.己知|AM|=2,AM=2MB，若動(dòng)點(diǎn)P，。與點(diǎn)共面,且滿足|AP\=\AM\,\BQ\=\BM\,

則MP.MQ的最大值為（）

試卷第2頁(yè)，共6頁(yè)

A.0C.1D.2

二、填空題

11.已知某學(xué)校漢服社、書法社、詩(shī)歌社、曲藝社四個(gè)學(xué)生社團(tuán)的人數(shù)比為2:2:3:3,現(xiàn)用

比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法，從這四個(gè)社團(tuán)中抽取20人擔(dān)任志愿者，則從曲藝社抽取

的人數(shù)為.

12.袋子中有4個(gè)大小和質(zhì)地相同的小球，標(biāo)號(hào)為1,2,3,4.若從中隨機(jī)摸出一個(gè)小球，

則摸到球的標(biāo)號(hào)大于3的概率是；若從中隨機(jī)摸出兩個(gè)小球，則摸到球的標(biāo)號(hào)之和為

偶數(shù)的概率是.

,,,uuttiuum.,-11-?,

13.在VABC中，點(diǎn)。，￡v滿足2Z)=DC，AE=AAC-若DE-AC—AB,則；1=___.

62

n5

14.在VA5C中，ZA=-,a=~,若VABC存在且唯一，貝恰(6eZ)的一個(gè)取值為.

15.已知向量”，b在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，向量)滿足同=1,且a.c=?c.若

16.在正四棱錐P-ABCD中，PA與BC所成的角的大小為a,朋與底面ABC。所成的角的

大小為夕，側(cè)面與底面A2CZ)所成的角的大小為/,二面角4-尸3-。的大小為6.給

出下列四個(gè)結(jié)論：

?/3<y<a<8；

②tana=6tan月；

(3)tanacosy=1；

④sin,-sinb=sinPcos8.

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

三、解答題

17.如圖，在長(zhǎng)方體ABCJD-A4G。］中，AB=BC=2,CCt=4,E為CC1的中點(diǎn).

⑴求證：4&//平面瓦)3；

⑵求證：平面￡E?J_平面ACC1；

(3)求點(diǎn)C到平面ED3的距離.

18.生成式人工智能(AIGC)工具正處于蓬勃發(fā)展期，在對(duì)話系統(tǒng)、機(jī)器翻譯、文本摘要

等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用.為了解學(xué)生對(duì)生成式人工智能工具的使用情況，某校從全體學(xué)生中隨

機(jī)抽取了100名學(xué)生，調(diào)查得到如下數(shù)據(jù)：

經(jīng)常使用20人

偶爾使用30人

從未使用50人

用頻率估計(jì)概率.

(1)估計(jì)該校學(xué)生經(jīng)常使用生成式人工智能工具的概率；

(2)假設(shè)每名學(xué)生使用生成式人工智能工具的情況相互獨(dú)立，從該校全體學(xué)生中隨機(jī)抽取兩

名學(xué)生，估計(jì)這兩名學(xué)生中至少有一名學(xué)生經(jīng)常使用生成式人工智能工具的概率；

⑶從這100名學(xué)生中抽取5次，每次隨機(jī)抽取10名學(xué)生，記第i次。=1,2,3,4,5)抽取的10

名學(xué)生中，有《名學(xué)生經(jīng)常使用生成式人工智能工具，有4名學(xué)生偶爾使用或者從未使用過

生成式人工智能工具.將q,a2,a3,%,%的方差記為T，4，%，4，”，么的方差

記為s；,比較s；的大小.(結(jié)論不要求證明)

19.在VABC中，b+2c-2acosB=0.

⑴求NA；

試卷第4頁(yè)，共6頁(yè)

(2)若VABC的面積是必，求。的最小值.

2

20.如圖1,在VABC中，AB=3,AC=4,BC=5,D,E分別為AC,BC的中點(diǎn).將「CDE

沿折起到△CQE的位置，得到四棱錐G-D4BE，如圖2.

(1)求證：OE_LC]A；

(2)若M是線段GB上的點(diǎn)，平面的f與線段GA交于點(diǎn)N.再?gòu)臈l件①、條件②、條件③

這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知.使點(diǎn)M唯一確定，并解答問題.

(i)求證：N為GA的中點(diǎn)；

(ii)求證：CAL平面。EM/V.

條件①

條件②QE〃MW；

條件③EM1.08.

注：如果選擇的條件不符合要求，第(II)問得0分，如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解

答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

41012

21.設(shè)4=%022'%是由，7X〃(心3)個(gè)非負(fù)整數(shù)組成的〃行〃列的數(shù)表，記

_anlan2…ann_

Raaca+a+a

i=n+n++?,-?，j=ij2j+nj,i,je|l,2,---,n|,設(shè)與，R2,R“的平均

rj

數(shù)為〃(A),若〃(A)<5,則稱數(shù)表A為“〃階H數(shù)表”.

(1)判斷如下兩個(gè)數(shù)表是否為“4階反數(shù)表”；說明理由;

01-2

101

A=

210

321

⑵證明：對(duì)于一個(gè)給定的正整數(shù)",不存在“八階H數(shù)表"A,使得K+gN〃對(duì)任意的i,

/￡{1,2,，陽(yáng)都成立;

⑶對(duì)任意的5階H數(shù)表”A,是否存在i,je{l,2,,n}f滿足%=0,使得用+。/<〃？說

明理由.

試卷第6頁(yè)，共6頁(yè)

參考答案:

題12345678910

號(hào)

答DBCBCBAADC

案

1.D

【分析】根據(jù)給定條件，利用復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算計(jì)算即得.

【詳解】由=得-i?,z=(l-i>(-i),所以z=-l-i.

故選：D

2.B

【分析】利用向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示，再利用坐標(biāo)計(jì)算模即得.

【詳解】向量4=(1,5),1=(0,3),則=(1,2),

所以|°一6=衽+2?=5

故選：B

3.C

【分析】先計(jì)算出每個(gè)面的面積，再乘以8即為表面積；

【詳解】每個(gè)面的面積為迫X22=VI,所以該圖形的表面積為8出.

4

故選：C

4.B

【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義結(jié)合線面間的關(guān)系分析判斷即可.

【詳解】因?yàn)榧樱ㄊ瞧矫鎍外的兩條不同的直線，n//a,

所以當(dāng)〃z_Lw時(shí)，加可能與a垂直，可能與a平行，也可能與a相交不垂直,

當(dāng)7"_1_。時(shí)，帆_1_〃成立，

所以“〃△〃”是“〃da”的必要不充分條件.

故選：B

5.C

【分析】根據(jù)給定條件，利用正弦定理求解即得.

【詳解】在VABC中，由4=］TT，/2=得S1T，得/C=：JT，

答案第1頁(yè)，共12頁(yè)

2sin-

a276

由正弦定理六二得。=4

.71

sinAsin—

3

故選：C

6.B

【分析】根據(jù)給定的頻率分布直方圖，求出每次通話時(shí)長(zhǎng)不低于5分鐘且小于15分鐘的頻

率即可得解.

【詳解】觀察頻率分布直方圖，得每次通話時(shí)長(zhǎng)不低于5分鐘且小于15分鐘的頻率為：

1-5(0.06+0.03+0.02+0.02)=0.35,貝60x0.35=21,

所以每次通話時(shí)長(zhǎng)不低于5分鐘且小于15分鐘的次數(shù)為21.

故選：B

7.A

【分析】根據(jù)給定條件，利用共線向量定理，結(jié)合平面向量基本定理求解即得.

【詳解】由向量3=32—%與d=-2ta+6A同向，得3?！?4(—2勿+6Z?),A>0,

\-2tA=3

即3a-g=-2比”+6助，而向量a,》不共線，則｛，又力>0,解得7=-3,

-t=O/t

所以實(shí)數(shù)/的值為-3.

故選：A

8.A

【分析】根據(jù)給定的折線圖，計(jì)算平均數(shù)、方差逐項(xiàng)判斷即得.

5.6+3.5+4.4

【詳解】對(duì)于AB,4月，5月，6月這三個(gè)月增速的平均數(shù)為-----------二4.5,

3

4月，5月，6月，7月這四個(gè)月增速的平均數(shù)為二.——=4.3,B錯(cuò)誤；

4

1I2+12,A]2

4月，5月，6月這三個(gè)月增速的方差為1」=0.74,

3

4月，5月，6月，7月這四個(gè)月增速的方差為L(zhǎng)*++°』+06=0.615,A正確;

4

對(duì)于CD,9月，10月，11月這三個(gè)月增速的平均數(shù)為4$+4§6+6、=零,

10月，H月，12月這三個(gè)月增速的平均數(shù)為46+636+6.1=6,口錯(cuò)誤；

10?1Q414?1

9月，10月，11月這三個(gè)月增速的方差為夕(4)2+(4)、(而力=礪，

答案第2頁(yè)，共12頁(yè)

10月，11月，12月這三個(gè)月增速的方差為丁5。一=m,C錯(cuò)誤.

3450

故選：A

9.D

【分析】首先根據(jù)題干計(jì)算出相應(yīng)的邊長(zhǎng)，再根據(jù)余弦定理計(jì)算出再計(jì)算

ADBC=(AC+CD)\BD+DC],最后代入夾角公式即可.

【詳解】設(shè)AC與交于E,因?yàn)镹BOC=4,AC±BD,CD=6,所以CE=3—,DE=3,

又因?yàn)锳B//CD,AB=2,所以NABD=NBDC=—,AACD=Z.BAC——,AE=y/3>BE=1,

所以網(wǎng)>=4,AC=4A/3,

由余弦定理得AD?=AB2+Br)2-2AB-3￡hcos/ABr)=4+16-2x2x4xg=12，即AD=26，

BC2=Cr>2+BD2-2C￡)BDcosZBr)C=36+16-2x6x4x-=28,即BC=2幣,

2

ADBC=(AC+CD^BD+DC^ACBD+ACDC+CDBD-CD2=\AC\\DC\COSZACD+\-\BD\COSZBDC

lh1ADBC125/21

=4V3X6XT+6X4X--36=12,所以.葉岡=2若x26=下，

故選：D

10.C

【分析】根據(jù)給定條件，建立平面直角坐標(biāo)系，確定點(diǎn)P,Q的軌跡，由此設(shè)其坐標(biāo)，再利

用數(shù)量積的坐標(biāo)表示，結(jié)合三角恒等變換及三角函數(shù)的性質(zhì)求出最大值.

【詳解】以點(diǎn)Af為原點(diǎn)，直線A3為無軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，則4-2,0),8(1,0),

答案第3頁(yè)，共12頁(yè)

由|AP|=|AM|=2,得點(diǎn)尸在以A為圓心，2為半徑的圓(x+2>+y2=4上,

由|BQ|=|BM|=1,得點(diǎn)。在以8為圓心，1為半徑的圓(x-l)2+V=l上,

設(shè)P(-2+2cos%2sina),Q(1+cos/3,sin0),

則MP'MQ=(-2+2cosa)(l+cos/?)+2sinasin(3

=2cosacos/?+2sinasin+2(cosa-cos/?)-2

=2cos(a一⑶+2底等+?卜”三一？卜

=_4sin?—-4sin-sinj=—(2sinj+sinj)2+sin2*4sin2*41,

2222222

當(dāng)a=5,￡=夸時(shí)，能取到所有等號(hào)，

所以MP的最大值為1.

故選：C

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：建立坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)最值處理是解

題的關(guān)鍵.

11.6

【分析】根據(jù)分層抽樣的定義結(jié)合題意直接求解即可.

【詳解】由題意得從曲藝社抽取的人數(shù)為

故答案為：6

12.—/0.25—

43

【分析】利用古典概型，結(jié)合列舉法求出概率即可.

【詳解】從中隨機(jī)摸出一個(gè)小球，摸到球的標(biāo)號(hào)大于3的概率是;;

答案第4頁(yè)，共12頁(yè)

從中隨機(jī)摸出兩個(gè)小球的樣本空間Q={12,13,14,23,24,34},共6個(gè),

摸到球的標(biāo)號(hào)之和為偶數(shù)的事件A={13,24},共2個(gè)，

所以摸到球的標(biāo)號(hào)之和為偶數(shù)的概率|=1.

o3

故答案為：;；;

13.-

3

【分析】根據(jù)給定條件，利用向量的線性運(yùn)算，結(jié)合平面向量基本定理求解即得.

UUUUUU1

【詳解】在VABC中，向量AB,AC不共線，由=AE=AAC?

^DE=AE-AD=/LAC--(AC+AB)=(A--)AC--AB,DE=-AC--AB,

22262

119

因此2—所以2=彳.

263

2

故答案為：—

14.5(答案不唯一)

【分析】根據(jù)給定條件，利用正弦定理列式求解即可.

ba得sin人”必b

【詳解】在VABC中，=?ci—p由正弦定理

6sin5sinA5

由VABC存在且唯一，知sin3=l或sin3<l且bWa,解得6=5或0<bw],而6eZ,

所以6的一個(gè)取值為5.

故答案為：5

15.02拒,或-20

(分析]建立平面直角坐標(biāo)系得到a、b的坐標(biāo)可得N-。+b);設(shè)c=(%V)，根據(jù)卜|=1,

且a-c=6-c.建立關(guān)于x，y的方程組求出x，y可得C的坐標(biāo)，再由GC的坐標(biāo)運(yùn)算可得答案.

【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則d=0,3),ft=(3,1),

所以(a-6).(a+6)=(-2,2).(4,4)=-8+8=0；

設(shè)d=(x,y),貝ijY+y'i,

且。-c=6-c，所以且無+3y=3x+y,

答案第5頁(yè)，共12頁(yè)

V2V2

X=x=------

(x+3y=3x+y22

由。+v=l一解得，或，

V2E

y=y=

2~~

(42回V20

所以C=或。=

2

所以。?c=+=2A/^,BKiz-c=-—3x-^-=-25/2.

故答案為：①0;②2及，或-2也.

16.①③④

【分析】做出四個(gè)角，利用三角函數(shù)用邊來表示，然后在逐一判斷選項(xiàng).

【詳解】如圖：。為底面的中心，E分別為A8的中點(diǎn)，連接AC,PO,O&

2

設(shè)底面邊長(zhǎng)為。，側(cè)棱長(zhǎng)為6,斜高尸E為"顯然/=幺+〃2,

4

因?yàn)锳D/ABC,所以NA4。為異面直線K4與BC所成的角，

h-

即a=ZPAD,并且sina=—,2〃，

bcosa-—~——

b2b

因?yàn)槭琌,平面A5CD,所以/PAO為K4與平面ABC。所成的角，即分=NPAO,并且

sm.j3c=—PO—

bf

因?yàn)镋為依的中點(diǎn)，所以PELAB,OELAB,所以/PEO為平面與平面ABC。所成

角的平面角，

PO-

即/=Z.PEO,且sin/=,_2_。，

hcosz=7=ii

過點(diǎn)A作尸3,垂足為歹，連接尸C,由側(cè)面三角形全等可知CFLPB,

所以NA/C為二面角A—P3—C的平面角，即5=/AFC,AF=CF=—,

答案第6頁(yè)，共12頁(yè)

2a2h2c2

r-2仁~2

AF2+CF2-AC2

且cosNA"=22

2AFCF-2a/?-h

b2

因?yàn)椤?lt;/?,所以cos/AFC<0,即S為鈍角，所以5最大,

因?yàn)?<上-,所以cos(z<cos7n,因?yàn)?所以sin7>sin力=>/>尸,

2b2hhb

綜上所述，所以，故①正確；

當(dāng)tan小4=

tan。=故②錯(cuò)誤;

a°AO

tanacos/=—-—=1,故③正確;

a2h

/一叫b-PObyj2h2-b2,

sin)3-sin0cos8=sin

丁J-^

而sinB=Jl平U]戶叫一。=sin._sin￡cos1，即sin分一sinb=sin尸cos<5,故④

正確.

故答案為：①③④

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是做出4個(gè)平面角，然后通過用邊來表示這些角的三角函

數(shù)，沒有具體數(shù)據(jù)，所以運(yùn)算比較抽象并且運(yùn)算量較大，在運(yùn)算過程中，需要注意邊之間的

寺星天祭

17.(1)證明見解析；

⑵證明見解析；

⑶手.

【分析】(1)令A(yù)CcBDnB,由三角形中位線性質(zhì)，線面平行的判定推理即得.

答案第7頁(yè)，共12頁(yè)

(2)利用線面垂直、面面垂直的判定推理即得.

(3)過C作CGLEF于G,由(2)的結(jié)論，結(jié)合面面垂直的性質(zhì)推理計(jì)算即得.

【詳解】(1)在長(zhǎng)方體中，令=尸，則尸為AC中點(diǎn)，連接口,

由E為CC］的中點(diǎn)，得EF//AC\,而AC［<z平面ED3,EFu平面￡2出,

所以AC"/平面EZ出.

(2)由CC|_L平面ABCD,BDu平面ABCD,得CG_LBD,

矩形ABC。中，AB=BC,則矩形ABC。為正方形，ACJ.BD,

而A。CG=C,AC,CGu平面ACC1，則加人平面ACC］，又3Du平面ED3,

所以平面￡DB_L平面ACC1.

(3)在一￡FC中，過C作CG_LEF于G,由平面￡DB_L平面ACG,平面EDBc平面

ACG=EF,

CGu平面ACG，因此CGL平面瓦必，顯然=EF=yjFC2+EC2=46>

在RtZiEFC中，CG=".EC=空

EF3

所以點(diǎn)C到平面汨的距離為2叵.

3

18.(1):；

(3)s：=s。

【分析】(1)根據(jù)給定條件，利用古典概型計(jì)算即得.

答案第8頁(yè)，共12頁(yè)

（2）利用（1）的結(jié)論，利用獨(dú)立事件、對(duì)立事件的概率公式計(jì)算即得.

（3）利用平均數(shù)、方差的定義計(jì)算判斷即得.

【詳解】（1）依題意，這100名學(xué)生中有20名學(xué)生經(jīng)常使用生成式人工智能工具，

所以所求概率的估計(jì)值為赤=：.

（2）設(shè)“第i名學(xué)生經(jīng)常使用生成式人工智能工具”為事件4,7=1,2,

“從該校全體學(xué)生中隨機(jī)選取兩名學(xué)生，至少有一名學(xué)生經(jīng)常使用生成式人工智能工具”這事

件B,

p（B）=1-p（AA）=1-A）-依題意，P（A）與尸（4）估計(jì)為E，

———14

于是P（4）與尸（4）估計(jì)為i-二=丁

所以所求概率尸⑻估計(jì)為1=4x]4=會(huì)9

（3）記4，〃2，〃3，〃4，。5的平均數(shù)為鼠b],4,b3,“，燈的平均數(shù)為辦，

—15-1515_

依題意，q+白=10。=1,2,3,4,5）,￡1=可%,b=三￡白=三￡（10-。,）=10-a,

53i=i3i=i

因此S；-a）2,S；=生佃-5）2=生[（1。-溝T=生（4溝2,

3i=i>i=i3i=i3i=i

所以￡=s；.

2兀

19.（Dy

⑵n

【分析】（i）用余弦定理進(jìn)行邊角互化可解；

（2）由面積公式得到A=2,再用余弦定理和基本不等式可解.

【詳解】（1）人+2c—2acos5=0,用余弦定理得到，b+2c-2ax---------=0,化簡(jiǎn)得

lac

到c?+加一/=_反，則cosA="+cj-=色」,Ae（0,兀），則A=§.

2bc2bc23

（2）由于A=?,s=—bcsinA=^>bc=2.

322

由余弦定理可得°=yjb2+c2—2bccosA=\!b2+c2+be>y/2bc+bc=J3bc—瓜,當(dāng)且僅當(dāng)

b=c=0時(shí)等號(hào)成立，所以”的最小值為".

答案第9頁(yè)，共12頁(yè)

20.（1）證明見解析；

（2）選擇條件，答案見解析.

【分析】（1）利用線面垂直的判定、性質(zhì)推理即得.

（2）選擇條件①③，利用線面平行的判定、性質(zhì)推理得（i）；利用線面垂直的判定推理得

（ii）.

【詳解】（1）在VABC中，由AB=3,AC=4,8C=5,得AB1AC,

由。，E分別為AC,BC的中點(diǎn)，得DE//AB,則DE人AC,

因此。E_LG，Z）E_LA。，而CQA。=。，GO,A。u平面ClAO,

則。平面GA。，又￡Au平面GA。，

所以DELGA.

（2）選條件①：C\M=MB,

（i）由￡>￡7/AB,DE.平面。3氏48<=平面648,得DE〃平面C[42,

又DEu平面?！?V,平面DEMN平面GA8=MW,因此DE7/NM,則MW〃AB,

而所以GN=NA,即N為C|A的中點(diǎn).

（ii）因?yàn)?。G=ZM,由（i）得CN=NA,則DN^GA,

由（1）得。E_LC]A,又DN\DE=D,DN,DEu平面DEMN,

所以GA_L平面OEMN.

選條件③：EM±QB,由EC】=EB,得

（i）由DE〃/IB,DEU平面GAB,A8u平面GAB,得DE〃平面C^AB,

又。Eu平面。EMN,平面DEMN「平面GAB=MW,因此DE//MW,則MW〃AB,

而所以C|N=NA,即N為C|A的中點(diǎn).

（ii）因?yàn)?。G=ZM,由⑴得QN=NA,則。N，GA,

由（1）得。E_LC]A,又DN\DE=D,DN,DEu平面DEMN,

答案第10頁(yè)，共12頁(yè)

所以GA_L平面O￡MN.

條件②，DE//NM,

由(1)可得。E//平面則過直線。E的平面與平面C|AB相交，所得交線均與OE平

行，

給定條件為上述交線，因此這樣的點(diǎn)M不唯一確定.

21.(1)A不是“4階H數(shù)表”；數(shù)表3是“4階H數(shù)表”.

(2)證明見解析

(3)存在，理由見解析

【分析】(1)計(jì)算有〃(4)==4：4+6=5z2即可判斷數(shù)表A,計(jì)算〃(A)=1+—+2=^<2

444

即可判斷數(shù)表2;

(2)利用反證法，根據(jù)定義有K+&++R?=Cl+C2++C“，證明出

〃(A)=N+&++&W，則與假設(shè)矛盾，即證明出原命題；

(3)設(shè)p=min{&&,，叫CC，…C}，然后分。=。和PNO兩大類討論即可.

【詳解】(1)數(shù)表A不是“4階H數(shù)表”，數(shù)表8是“4階H數(shù)表”，理由如下：

+”士,,,,K+R2+H3+凡6+4+4+6.

在數(shù)表A中，〃(4)=」-—￡=---------=5>2,

44

因此數(shù)表A不是“4階H數(shù)表”.

在數(shù)表B中，+1+2='<2,因