北京市朝陽區(qū)2023-2024學年高一年級下冊期末考試數(shù)學試卷（含答案解析）

北京市朝陽區(qū)2023-2024學年高一下學期期末考試數(shù)學試卷

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.若復數(shù)z滿足i.z=l—i,貝Uz=()

A.1+iB.-1+iC.1-iD.-1-i

2.已知向量。=(L5),)=(O,3),貝1]|。一6|=()

A.6B.VsC.3D.5

3.如圖，八面體的每個面都是正三角形，并且4個頂點A,B,C,。在同一平面內(nèi)，若四

邊形ABC。是邊長為2的正方形，則這個八面體的表面積為()

A.8B.16C.873D.16月

4.己知加，〃是平面a外的兩條不同的直線，若〃〃a,則“〃△〃”是“〃?」?！钡?)

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

TT57r

5.在VA2C中，a=2,ZA=-,NB=——,則。=()

312

A.逑B.72C.亞D.布

33

6.李華統(tǒng)計了他爸爸2024年5月的手機通話明細清單，發(fā)現(xiàn)他爸爸該月共通話60次，他

按每次通話時間長短進行分組(每組為左閉右開的區(qū)間)，畫出了如圖所示的頻率分布直方

圖.則每次通話時長不低于5分鐘且小于15分鐘的次數(shù)為()

個頻率/組距

So7

696

S5

S.O4

s.O3

.O2

os..O1

.O

051015202530通話時間/分鐘

A.18B.21C.24D.27

7.已知向量d,b不共線，c=3a-tb，d——2ta+6b，若。與d同向，則實數(shù)t的值為（）

A.-3B.-1C.3D.一3或3

8.近年來，我國國民經(jīng)濟運行總體穩(wěn)定，延續(xù)回升向好態(tài)勢.下圖是我國2023年4月到

2023年12月規(guī)模以上工業(yè)增加值同比增長速度（以下簡稱增速）統(tǒng)計圖.

注：規(guī)模以上工業(yè)指年主營業(yè)務收入2000萬元及以上的工業(yè)企業(yè).

A.4月，5月，6月這三個月增速的方差比4月，5月，6月，7月這四個月增速的方差

大

B.4月，5月，6月這三個月增速的平均數(shù)比4月，5月，6月，7月這四個月增速的平

均數(shù)小

C.連續(xù)三個月增速的方差最大的是9月，10月，11月這三個月

D.連續(xù)三個月增速的平均數(shù)最大的是9月，10月，11月這三個月

-TT

9.在梯形ABCD中，ABDC,ACJ.BD,ZBDC=-,AB=2,DC=6,則AD與BC夾

角的余弦值為（）

口2幣「后口后

AA."D.----C.-----D.---

147147

10.己知|AM|=2,AM=2MB，若動點P，。與點共面,且滿足|AP\=\AM\,\BQ\=\BM\,

則MP.MQ的最大值為（）

試卷第2頁，共6頁

A.0C.1D.2

二、填空題

11.已知某學校漢服社、書法社、詩歌社、曲藝社四個學生社團的人數(shù)比為2:2:3:3,現(xiàn)用

比例分配的分層隨機抽樣的方法，從這四個社團中抽取20人擔任志愿者，則從曲藝社抽取

的人數(shù)為.

12.袋子中有4個大小和質地相同的小球，標號為1,2,3,4.若從中隨機摸出一個小球，

則摸到球的標號大于3的概率是；若從中隨機摸出兩個小球，則摸到球的標號之和為

偶數(shù)的概率是.

,,,uuttiuum.,-11-?,

13.在VABC中，點。，￡v滿足2Z)=DC，AE=AAC-若DE-AC—AB,則；1=___.

62

n5

14.在VA5C中，ZA=-,a=~,若VABC存在且唯一，貝恰(6eZ)的一個取值為.

15.已知向量”，b在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，向量)滿足同=1,且a.c=?c.若

16.在正四棱錐P-ABCD中，PA與BC所成的角的大小為a,朋與底面ABC。所成的角的

大小為夕，側面與底面A2CZ)所成的角的大小為/,二面角4-尸3-。的大小為6.給

出下列四個結論：

?/3<y<a<8；

②tana=6tan月；

(3)tanacosy=1；

④sin,-sinb=sinPcos8.

其中所有正確結論的序號是.

三、解答題

17.如圖，在長方體ABCJD-A4G。］中，AB=BC=2,CCt=4,E為CC1的中點.

⑴求證：4&//平面瓦)3；

⑵求證：平面￡E?J_平面ACC1；

(3)求點C到平面ED3的距離.

18.生成式人工智能(AIGC)工具正處于蓬勃發(fā)展期，在對話系統(tǒng)、機器翻譯、文本摘要

等領域得到廣泛應用.為了解學生對生成式人工智能工具的使用情況，某校從全體學生中隨

機抽取了100名學生，調查得到如下數(shù)據(jù)：

經(jīng)常使用20人

偶爾使用30人

從未使用50人

用頻率估計概率.

(1)估計該校學生經(jīng)常使用生成式人工智能工具的概率；

(2)假設每名學生使用生成式人工智能工具的情況相互獨立，從該校全體學生中隨機抽取兩

名學生，估計這兩名學生中至少有一名學生經(jīng)常使用生成式人工智能工具的概率；

⑶從這100名學生中抽取5次，每次隨機抽取10名學生，記第i次。=1,2,3,4,5)抽取的10

名學生中，有《名學生經(jīng)常使用生成式人工智能工具，有4名學生偶爾使用或者從未使用過

生成式人工智能工具.將q,a2,a3,%,%的方差記為T，4，%，4，”，么的方差

記為s；,比較s；的大小.(結論不要求證明)

19.在VABC中，b+2c-2acosB=0.

⑴求NA；

試卷第4頁，共6頁

(2)若VABC的面積是必，求。的最小值.

2

20.如圖1,在VABC中，AB=3,AC=4,BC=5,D,E分別為AC,BC的中點.將「CDE

沿折起到△CQE的位置，得到四棱錐G-D4BE，如圖2.

(1)求證：OE_LC]A；

(2)若M是線段GB上的點，平面的f與線段GA交于點N.再從條件①、條件②、條件③

這三個條件中選擇一個作為已知.使點M唯一確定，并解答問題.

(i)求證：N為GA的中點；

(ii)求證：CAL平面。EM/V.

條件①

條件②QE〃MW；

條件③EM1.08.

注：如果選擇的條件不符合要求，第(II)問得0分，如果選擇多個符合要求的條件分別解

答，按第一個解答計分.

41012

21.設4=%022'%是由，7X〃(心3)個非負整數(shù)組成的〃行〃列的數(shù)表，記

_anlan2…ann_

Raaca+a+a

i=n+n++?,-?，j=ij2j+nj,i,je|l,2,---,n|,設與，R2,R“的平均

rj

數(shù)為〃(A),若〃(A)<5,則稱數(shù)表A為“〃階H數(shù)表”.

(1)判斷如下兩個數(shù)表是否為“4階反數(shù)表”；說明理由;

01-2

101

A=

210

321

⑵證明：對于一個給定的正整數(shù)",不存在“八階H數(shù)表"A,使得K+gN〃對任意的i,

/￡{1,2,，陽都成立;

⑶對任意的5階H數(shù)表”A,是否存在i,je{l,2,,n}f滿足%=0,使得用+。/<〃？說

明理由.

試卷第6頁，共6頁

參考答案:

題12345678910

號

答DBCBCBAADC

案

1.D

【分析】根據(jù)給定條件，利用復數(shù)乘法運算計算即得.

【詳解】由=得-i?,z=(l-i>(-i),所以z=-l-i.

故選：D

2.B

【分析】利用向量線性運算的坐標表示，再利用坐標計算模即得.

【詳解】向量4=(1,5),1=(0,3),則=(1,2),

所以|°一6=衽+2?=5

故選：B

3.C

【分析】先計算出每個面的面積，再乘以8即為表面積；

【詳解】每個面的面積為迫X22=VI,所以該圖形的表面積為8出.

4

故選：C

4.B

【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義結合線面間的關系分析判斷即可.

【詳解】因為加，〃是平面a外的兩條不同的直線，n//a,

所以當〃z_Lw時，加可能與a垂直，可能與a平行，也可能與a相交不垂直,

當7"_1_。時，帆_1_〃成立，

所以“〃△〃”是“〃da”的必要不充分條件.

故選：B

5.C

【分析】根據(jù)給定條件，利用正弦定理求解即得.

【詳解】在VABC中，由4=］TT，/2=得S1T，得/C=：JT，

答案第1頁，共12頁

2sin-

a276

由正弦定理六二得。=4

.71

sinAsin—

3

故選：C

6.B

【分析】根據(jù)給定的頻率分布直方圖，求出每次通話時長不低于5分鐘且小于15分鐘的頻

率即可得解.

【詳解】觀察頻率分布直方圖，得每次通話時長不低于5分鐘且小于15分鐘的頻率為：

1-5(0.06+0.03+0.02+0.02)=0.35,貝60x0.35=21,

所以每次通話時長不低于5分鐘且小于15分鐘的次數(shù)為21.

故選：B

7.A

【分析】根據(jù)給定條件，利用共線向量定理，結合平面向量基本定理求解即得.

【詳解】由向量3=32—%與d=-2ta+6A同向，得3。—仍=4(—2勿+6Z?),A>0,

\-2tA=3

即3a-g=-2比”+6助，而向量a,》不共線，則｛，又力>0,解得7=-3,

-t=O/t

所以實數(shù)/的值為-3.

故選：A

8.A

【分析】根據(jù)給定的折線圖，計算平均數(shù)、方差逐項判斷即得.

5.6+3.5+4.4

【詳解】對于AB,4月，5月，6月這三個月增速的平均數(shù)為-----------二4.5,

3

4月，5月，6月，7月這四個月增速的平均數(shù)為二.——=4.3,B錯誤；

4

1I2+12,A]2

4月，5月，6月這三個月增速的方差為1」=0.74,

3

4月，5月，6月，7月這四個月增速的方差為L*++°』+06=0.615,A正確;

4

對于CD,9月，10月，11月這三個月增速的平均數(shù)為4$+4§6+6、=零,

10月，H月，12月這三個月增速的平均數(shù)為46+636+6.1=6,口錯誤；

10?1Q414?1

9月，10月，11月這三個月增速的方差為夕(4)2+(4)、(而力=礪，

答案第2頁，共12頁

10月，11月，12月這三個月增速的方差為丁5。一=m,C錯誤.

3450

故選：A

9.D

【分析】首先根據(jù)題干計算出相應的邊長，再根據(jù)余弦定理計算出再計算

ADBC=(AC+CD)\BD+DC],最后代入夾角公式即可.

【詳解】設AC與交于E,因為NBOC=4,AC±BD,CD=6,所以CE=3—,DE=3,

又因為AB//CD,AB=2,所以NABD=NBDC=—,AACD=Z.BAC——,AE=y/3>BE=1,

所以網(wǎng)>=4,AC=4A/3,

由余弦定理得AD?=AB2+Br)2-2AB-3￡hcos/ABr)=4+16-2x2x4xg=12，即AD=26，

BC2=Cr>2+BD2-2C￡)BDcosZBr)C=36+16-2x6x4x-=28,即BC=2幣,

2

ADBC=(AC+CD^BD+DC^ACBD+ACDC+CDBD-CD2=\AC\\DC\COSZACD+\-\BD\COSZBDC

lh1ADBC125/21

=4V3X6XT+6X4X--36=12,所以.葉岡=2若x26=下，

故選：D

10.C

【分析】根據(jù)給定條件，建立平面直角坐標系，確定點P,Q的軌跡，由此設其坐標，再利

用數(shù)量積的坐標表示，結合三角恒等變換及三角函數(shù)的性質求出最大值.

【詳解】以點Af為原點，直線A3為無軸建立平面直角坐標系，如圖，則4-2,0),8(1,0),

答案第3頁，共12頁

由|AP|=|AM|=2,得點尸在以A為圓心，2為半徑的圓(x+2>+y2=4上,

由|BQ|=|BM|=1,得點。在以8為圓心，1為半徑的圓(x-l)2+V=l上,

設P(-2+2cos%2sina),Q(1+cos/3,sin0),

則MP'MQ=(-2+2cosa)(l+cos/?)+2sinasin(3

=2cosacos/?+2sinasin+2(cosa-cos/?)-2

=2cos(a一⑶+2底等+?卜”三一？卜

=_4sin?—-4sin-sinj=—(2sinj+sinj)2+sin2*4sin2*41,

2222222

當a=5,￡=夸時，能取到所有等號，

所以MP的最大值為1.

故選：C

【點睛】關鍵點點睛：建立坐標系，利用向量的坐標運算，轉化為求三角函數(shù)最值處理是解

題的關鍵.

11.6

【分析】根據(jù)分層抽樣的定義結合題意直接求解即可.

【詳解】由題意得從曲藝社抽取的人數(shù)為

故答案為：6

12.—/0.25—

43

【分析】利用古典概型，結合列舉法求出概率即可.

【詳解】從中隨機摸出一個小球，摸到球的標號大于3的概率是;;

答案第4頁，共12頁

從中隨機摸出兩個小球的樣本空間Q={12,13,14,23,24,34},共6個,

摸到球的標號之和為偶數(shù)的事件A={13,24},共2個，

所以摸到球的標號之和為偶數(shù)的概率|=1.

o3

故答案為：;；;

13.-

3

【分析】根據(jù)給定條件，利用向量的線性運算，結合平面向量基本定理求解即得.

UUUUUU1

【詳解】在VABC中，向量AB,AC不共線，由=AE=AAC?

^DE=AE-AD=/LAC--(AC+AB)=(A--)AC--AB,DE=-AC--AB,

22262

119

因此2—所以2=彳.

263

2

故答案為：—

14.5(答案不唯一)

【分析】根據(jù)給定條件，利用正弦定理列式求解即可.

ba得sin人”必b

【詳解】在VABC中，=?ci—p由正弦定理

6sin5sinA5

由VABC存在且唯一，知sin3=l或sin3<l且bWa,解得6=5或0<bw],而6eZ,

所以6的一個取值為5.

故答案為：5

15.02拒,或-20

(分析]建立平面直角坐標系得到a、b的坐標可得N-。+b);設c=(%V)，根據(jù)卜|=1,

且a-c=6-c.建立關于x，y的方程組求出x，y可得C的坐標，再由GC的坐標運算可得答案.

【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標系，則d=0,3),ft=(3,1),

所以(a-6).(a+6)=(-2,2).(4,4)=-8+8=0；

設d=(x,y),貝ijY+y'i,

且。-c=6-c，所以且無+3y=3x+y,

答案第5頁，共12頁

V2V2

X=x=------

(x+3y=3x+y22

由。+v=l一解得，或，

V2E

y=y=

2~~

(42回V20

所以C=或。=

2

所以。?c=+=2A/^,BKiz-c=-—3x-^-=-25/2.

故答案為：①0;②2及，或-2也.

16.①③④

【分析】做出四個角，利用三角函數(shù)用邊來表示，然后在逐一判斷選項.

【詳解】如圖：。為底面的中心，E分別為A8的中點，連接AC,PO,O&

2

設底面邊長為。，側棱長為6,斜高尸E為"顯然/=幺+〃2,

4

因為AD/ABC,所以NA4。為異面直線K4與BC所成的角，

h-

即a=ZPAD,并且sina=—,2〃，

bcosa-—~——

b2b

因為尸O,平面A5CD,所以/PAO為K4與平面ABC。所成的角，即分=NPAO,并且

sm.j3c=—PO—

bf

因為E為依的中點，所以PELAB,OELAB,所以/PEO為平面與平面ABC。所成

角的平面角，

PO-

即/=Z.PEO,且sin/=,_2_。，

hcosz=7=ii

過點A作尸3,垂足為歹，連接尸C,由側面三角形全等可知CFLPB,

所以NA/C為二面角A—P3—C的平面角，即5=/AFC,AF=CF=—,

答案第6頁，共12頁

2a2h2c2

r-2仁~2

AF2+CF2-AC2

且cosNA"=22

2AFCF-2a/?-h

b2

因為〃</?,所以cos/AFC<0,即S為鈍角，所以5最大,

因為&<上-,所以cos(z<cos7n,因為,所以sin7>sin力=>/>尸,

2b2hhb

綜上所述，所以，故①正確；

當tan小4=

tan。=故②錯誤;

a°AO

tanacos/=—-—=1,故③正確;

a2h

/一叫b-PObyj2h2-b2,

sin)3-sin0cos8=sin

丁J-^

而sinB=Jl平U]戶叫一。=sin._sin￡cos1，即sin分一sinb=sin尸cos<5,故④

正確.

故答案為：①③④

【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是做出4個平面角，然后通過用邊來表示這些角的三角函

數(shù)，沒有具體數(shù)據(jù)，所以運算比較抽象并且運算量較大，在運算過程中，需要注意邊之間的

寺星天祭

17.(1)證明見解析；

⑵證明見解析；

⑶手.

【分析】(1)令ACcBDnB,由三角形中位線性質，線面平行的判定推理即得.

答案第7頁，共12頁

(2)利用線面垂直、面面垂直的判定推理即得.

(3)過C作CGLEF于G,由(2)的結論，結合面面垂直的性質推理計算即得.

【詳解】(1)在長方體中，令=尸，則尸為AC中點，連接口,

由E為CC］的中點，得EF//AC\,而AC［<z平面ED3,EFu平面￡2出,

所以AC"/平面EZ出.

(2)由CC|_L平面ABCD,BDu平面ABCD,得CG_LBD,

矩形ABC。中，AB=BC,則矩形ABC。為正方形，ACJ.BD,

而A。CG=C,AC,CGu平面ACC1，則加人平面ACC］，又3Du平面ED3,

所以平面￡DB_L平面ACC1.

(3)在一￡FC中，過C作CG_LEF于G,由平面￡DB_L平面ACG,平面EDBc平面

ACG=EF,

CGu平面ACG，因此CGL平面瓦必，顯然=EF=yjFC2+EC2=46>

在RtZiEFC中，CG=".EC=空

EF3

所以點C到平面汨的距離為2叵.

3

18.(1):；

(3)s：=s。

【分析】(1)根據(jù)給定條件，利用古典概型計算即得.

答案第8頁，共12頁

（2）利用（1）的結論，利用獨立事件、對立事件的概率公式計算即得.

（3）利用平均數(shù)、方差的定義計算判斷即得.

【詳解】（1）依題意，這100名學生中有20名學生經(jīng)常使用生成式人工智能工具，

所以所求概率的估計值為赤=：.

（2）設“第i名學生經(jīng)常使用生成式人工智能工具”為事件4,7=1,2,

“從該校全體學生中隨機選取兩名學生，至少有一名學生經(jīng)常使用生成式人工智能工具”這事

件B,

p（B）=1-p（AA）=1-A）-依題意，P（A）與尸（4）估計為E，

———14

于是P（4）與尸（4）估計為i-二=丁

所以所求概率尸⑻估計為1=4x]4=會9

（3）記4，〃2，〃3，〃4，。5的平均數(shù)為鼠b],4,b3,“，燈的平均數(shù)為辦，

—15-1515_

依題意，q+白=10。=1,2,3,4,5）,￡1=可%,b=三￡白=三￡（10-。,）=10-a,

53i=i3i=i

因此S；-a）2,S；=生佃-5）2=生[（1。-溝T=生（4溝2,

3i=i>i=i3i=i3i=i

所以￡=s；.

2兀

19.（Dy

⑵n

【分析】（i）用余弦定理進行邊角互化可解；

（2）由面積公式得到A=2,再用余弦定理和基本不等式可解.

【詳解】（1）人+2c—2acos5=0,用余弦定理得到，b+2c-2ax---------=0,化簡得

lac

到c?+加一/=_反，則cosA="+cj-=色」,Ae（0,兀），則A=§.

2bc2bc23

（2）由于A=?,s=—bcsinA=^>bc=2.

322

由余弦定理可得°=yjb2+c2—2bccosA=\!b2+c2+be>y/2bc+bc=J3bc—瓜,當且僅當

b=c=0時等號成立，所以”的最小值為".

答案第9頁，共12頁

20.（1）證明見解析；

（2）選擇條件，答案見解析.

【分析】（1）利用線面垂直的判定、性質推理即得.

（2）選擇條件①③，利用線面平行的判定、性質推理得（i）；利用線面垂直的判定推理得

（ii）.

【詳解】（1）在VABC中，由AB=3,AC=4,8C=5,得AB1AC,

由。，E分別為AC,BC的中點，得DE//AB,則DE人AC,

因此。E_LG，Z）E_LA。，而CQA。=。，GO,A。u平面ClAO,

則。平面GA。，又￡Au平面GA。，

所以DELGA.

（2）選條件①：C\M=MB,

（i）由￡>￡7/AB,DE.平面。3氏48<=平面648,得DE〃平面C[42,

又DEu平面。￡%V,平面DEMN平面GA8=MW,因此DE7/NM,則MW〃AB,

而所以GN=NA,即N為C|A的中點.

（ii）因為。G=ZM,由（i）得CN=NA,則DN^GA,

由（1）得。E_LC]A,又DN\DE=D,DN,DEu平面DEMN,

所以GA_L平面OEMN.

選條件③：EM±QB,由EC】=EB,得

（i）由DE〃/IB,DEU平面GAB,A8u平面GAB,得DE〃平面C^AB,

又。Eu平面。EMN,平面DEMN「平面GAB=MW,因此DE//MW,則MW〃AB,

而所以C|N=NA,即N為C|A的中點.

（ii）因為。G=ZM,由⑴得QN=NA,則。N，GA,

由（1）得。E_LC]A,又DN\DE=D,DN,DEu平面DEMN,

答案第10頁，共12頁

所以GA_L平面O￡MN.

條件②，DE//NM,

由(1)可得。E//平面則過直線。E的平面與平面C|AB相交，所得交線均與OE平

行，

給定條件為上述交線，因此這樣的點M不唯一確定.

21.(1)A不是“4階H數(shù)表”；數(shù)表3是“4階H數(shù)表”.

(2)證明見解析

(3)存在，理由見解析

【分析】(1)計算有〃(4)==4：4+6=5z2即可判斷數(shù)表A,計算〃(A)=1+—+2=^<2

444

即可判斷數(shù)表2;

(2)利用反證法，根據(jù)定義有K+&++R?=Cl+C2++C“，證明出

〃(A)=N+&++&W，則與假設矛盾，即證明出原命題；

(3)設p=min{&&,，叫CC，…C}，然后分。=。和PNO兩大類討論即可.

【詳解】(1)數(shù)表A不是“4階H數(shù)表”，數(shù)表8是“4階H數(shù)表”，理由如下：

+”士,,,,K+R2+H3+凡6+4+4+6.

在數(shù)表A中，〃(4)=」-—￡=---------=5>2,

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因此數(shù)表A不是“4階H數(shù)表”.

在數(shù)表B中，+1+2='<2,因