新高考數(shù)學一輪復習之幾何專項講義：解析幾何同構(gòu)

第23講同構(gòu)式的解題賞析

高考鏈接:

1.【2011年浙江理21】已知拋物線C]：d=y,圓C,：Y+（y-4）2=l的圓心為點M.

（I）求點”到拋物線的準線的距離;

（II）已知點P是拋物線C|上一點（異于原點），過點P作圓G的兩條切線，交拋物線C|于兩點,若過"，尸

兩點的直線/垂足于A3,求直線/的方程.

解析：（I）由題意可知，拋物線的準線方程為:

17

所以圓心M（0,4）到準線的距離是—.

4

（II）設尸（％,后）,A&,片）,3（%2，）），

則題意得x0wO,xow±1,%wx2,

設過點尸的圓。2的切線方程為y-片=k（x—x0）,

y=kx-kx0+xl①

貝115+4-焉I=],

、Jl+公

即（/；—1）左之+2XQ（4—尤；）左+（x；-4）2—1=0，

設PA,PB的斜率為匕，左2Aw履），則匕也是上述方程的兩根，所以

《+鼠=2%（：；4）/#,（片-4尸一1

/一1xoT

22

將①代入y=X,x-kx+kx0-XQ=0

由于與是此方程的根,

故玉=匕一%0,%2=左2-%0，所以

x2—2%o（x3—4）x；—4

------=%+%2=匕+攵2—2%=----2------2叫）,左“P=-----

%1~X2XQ-1XQ

由近；2,得勉%一1）,

解得片=/

即點P的坐標為（土

所以直線I的方程為y=土邁5工+4.

115

2.【2018年浙江21】如圖，已知點?是y軸左側(cè)（不含y軸）一點，拋物線G/=4x上存在不同的兩點4B

滿足為，處的中點均在。上.

（I）設四中點為〃，證明：9垂直于y軸；

2

（II）若尸是半橢圓三+匕=1CK0）上的動點，求△為6面積的取值范圍.

4

22

解析：（I）設尸（%,%）,4嚀~,必）,y2）,

2

則PA中點為（￡+1■,”A）,由A尸中點在拋物線上，可得

2

心產(chǎn)）2=嶺+/），化簡得y；一2%%+胱7；=0,顯然%F，

且對力也有2%%+8%-￥=0，

所以%%是二次方程V-2為y+8%o-y；=0的兩不等實根，

所以乂+%=2%，%=弘；%二與二外,即垂直于1軸?

（II）s=5（為一九p）（i%-加I+1加一%I）=~（xw一/）I必一%I，

由⑴可得乂+%=2%,%%=8%。-￥，

△=(2%>-4(8%-y：)=8(y；-4x0)>0(%wy2),

2

此時尸(%,%)在半橢圓/+\=1(犬<0)上，

22

：?△—8(%2—4x0)=8[4(1—x0)—4x0]=32(1—x0—x0)，

-1<x0<0,A>0,

；?IX_%1=~~={32(1—x。一片)=4^2(1-x0-Xg),

IYY|_父+￡Y_(%+%)2-2%%Y_4北一2(8%-尤)_6(4-4片)

\xM-xp\--xo--XQ--X。--

—3(1—x0—%o)，

所以S=E(xM一%)I%-乂1=6母(1-x0—Xp)AJ1-X0—XQ=,

t=-片e[I,1]，所以S=6衣3?[672,1^2],

即APAB的面積的取值范圍是[6后，身叵].

4

模考鏈接：

1.如圖，已知拋物線C：y2=4x,直線/過點尸（-g,0）與拋物線C交于第一象限內(nèi)兩點A,B,設Q~OB的斜率

分別為匕,右.

(I)求K+&的取值范圍；

(II)若直線Q4,03恰好與圓。:(x-1)2+(y-2)2=/(廠>0)相切，求一的值.

解析：(1)設/：X=)-*。>0),代入丁=4%,

得/一物+更=0,A=16r-->0,得”馬.

設A(小,％)，8(號,為)，則乂+%=41，=g

&+/=4+汽=內(nèi)%+%)=5r>2召,所以匕+%,的取值范圍是(2有XO

(II)由(I)知人居=生=5,設過原點且與圓相切的直線為>=依，則

整理得

(1--)左2一4左+4一/=0,

￡

kxk2=—~==5,得/=，，所以

1-1-r242

2.已知橢圓C：二+年=1(°>0),點尸,Q,R在橢圓C上，點R到直線OROQ的距離均

aa

等于￡.直線OP,OQ的斜率分別為kt,k2.

(I)求發(fā)色的值；

(II)證明：|0尸||0。區(qū)；/.

解析：(1)設尺(%0，%),因為直線OP：y=klx,OQ：y=k2x,

22

所以坪二%=La,化簡得(x；+y0--?=0

，1+匕22I4；4

22

同理(x；--^-tz^Z:2-2k2x0y0+%2_92_Q

所以匕#2是方程［片-卜2—2%為k+%2—；/=0的兩個不相等的實數(shù)根,

、，；一：/

由韋達定理得，左左2=-------

片——a2

°4

2Q221

因為點R(%%)在橢圓C上，所以烏+*=1,即為2=幺一工12

aa33

12

-----Cl

4

所以kyk2=

12

—ci

4

（II）設尸（士,乂）,。?,%），3左芯+1=0，即亞匹+1=0,即y；yj=[x：xj

王多

2

網(wǎng)\3短一1a12

-----玉

a22a33

因為尸（%，%），。（9，%）在橢圓C上，所以＜，即

2Q22

a12

々.3%_i2

----1y2-----x.

Ia2-------2a33

整理得年+x；=片,

所以%2+￡=］展切+［展*＞］，所以|0葉+佻,竽

\OP\\OQ\<^-.

3.【2019屆9+1聯(lián)盟期中考試】已知拋物線C：丁=以上動點「（占,%）,點4在射線/:工-2丫+8=0（、20）上,

滿足P4的中點。在拋物線C上.

（I）若直線尸4的斜率為1,求點尸的坐標；

（II）若射線/上存在不同于A的另一點8,使得P8的中點也在拋物線C上，求|AB|的最大值.

解析：（I）設直線R4的方程為y=x+6,則48-26,8-3，設。（%,必），由

所以△=16-16Z?>0,b<\,1%+%一4

1%丫2=44

b=0,b=-24,

又必+8-。=2%,解得，%=0,或.X二—8,

羋=4,72=12.

經(jīng)檢驗都是方程的解，所以P（0,0）或（16,-8）.

(II)設A(2%-8,Q,B(2t2-8,?2),>0,貝U由叢的中點。(2-+%-4,3^)在拋物線C上，可得

(寫入尸=4(1+4一4),整理得片+(2%-16兌+64-y；=0,

同理]+(2y_]6?2+64_靖=0,

所以是方程r+(2x-16)1+64-城=。的兩個不相等的非負根，

A=(2%-16)2-4(64-短)>0,

所以f+L=16-2%>0,所以一8<乂<0.

卬2=64-靖>0,

所以|知卜布11一丫=2后而口金\326，當且僅當％=-8時，取“=”號.

所以|A同的最大值為32占.

4.【2018金華十校4月模擬】已知拋物線丁=尤和C,過拋物線上的一點尸(x0,%)(%21),作C的兩條切線,

與〉軸分別相交于A,B兩點.

(I)若切線尸8過拋物線的焦點，求直線尸B斜率；

(II)求面積AA8P的最小值.

解析：(I)拋物線的焦點為/[,。],設切線PB的斜率為k,

則切線尸8的方程為：丁=后(尤即Ax-y-%=0.

-----.-.4-=1,解得：k=±-.

7FT73

4

?,尸(%，%)(為之1)，*'?k=-.

(II)設切線方程為了=履+〃7,由點尸在直線上得：笈=4二絲①

圓心C到切線的距離匚竺^=1,整理得：■-2km—\=b②

將①代入②得：（%o+2）m2-2yom-%=0③

設方程的兩個根分別為叫，..，由韋達定理得：g+餌="°，2

%+2%+2

/2+3%

從而[AB]=帆—叫=｛（仍+”）2—4町”=2,

（%+2產(chǎn)

S忑*忙于”.

記函數(shù)g⑺=?爰。汕，則，

.從柳的最小值為g,當x0=l取得等號.

5.12018浙江省名校協(xié)作體試題】如圖，已知拋物線G:爐=2py的焦點

在拋物線C2：y=/+1上，點尸是拋物線G上的動點.

(I)求拋物線G的方程及其準線方程；

（II）過點..作拋物線。2的兩條切線，A,3分別為兩個切點，求.PA8面積的最小值