2024中考數(shù)學(xué)壓軸題：圓的綜合 專項(xiàng)訓(xùn)練（原卷版）

壓軸題05

圓的綜合

目錄

題型剖析，精準(zhǔn)提分

題型一切線的判定

題型二圓中求線段長度

題型三圓中的最值問題

題型四圓中的陰影部分面積

題型五圓中的比值（相似）問題

好題必刷?強(qiáng)化落實(shí)

題型剖析?精準(zhǔn)提分

圓的綜合

題型一切線的判定題型三圓中的最值問題

題型二圓中求線段長度題型四圓中的陰影部分面積

題型五圖中的比值（相似）問題

.................”-r卡國三三藤藪由金涵說后幾宿康’襦遇施

;'土'';考查熱度.

‘圓的綜合問題在中考中常常以選擇題以及解答題I圓的綜合

圓的綜合

:的形式出現(xiàn)，解答題居多且分值較大，難度較高.多考：

:查切線的性質(zhì)與判定、圓中求線段長度問題和圓中最值

ii

:問題，一般會(huì)用到特殊三角形、特殊四邊形、相似三角：

f

ii

:形、銳角三角函數(shù)、勾股定理、圖形變換等相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，:

:以及數(shù)形結(jié)合、整體代入等數(shù)學(xué)思想.此類題型常涉及;

jF

:以下問題：①切線的判定；②計(jì)算線段長及證明線段比i

T

:例關(guān)系；③求三角函數(shù)值；④利用“輔助圓”求最值.-

［右圖為圓的綜合問題中各題型的考查熱度.：

題型一切線的判定

I解題模板:

【例1】1.（2023-四川攀枝花-中考真題）如圖，為。。的直徑，如果圓上的點(diǎn)。恰使NADC=/B,求

證：直線CD與0。相切.

【變式1T】（2023-遼寧-中考真題）如圖，“1BC內(nèi)接于0。，是。。的直徑，CE平分NACB交。。于

點(diǎn)E,過點(diǎn)￡作所〃.，交C4的延長線于點(diǎn)足

求證：E尸與0。相切；

【變式卜2】（2023-遼寧-中考真題）如圖，48是。。的直徑，點(diǎn)C,￡在0。上，NG48=2NE48,點(diǎn)尸在

線段A3的延長線上，且=

E

(1)求證：E尸與0。相切;

4

(2)若3/=1"1144五￡1=5，求5c的長.

【變式1-3](2023-湖北鄂州-中考真題)如圖，為。。的直徑，E為。。上一點(diǎn)，點(diǎn)C為防的中點(diǎn)，過

點(diǎn)C作CDLAE,交AE的延長線于點(diǎn)。，延長DC交的延長線于點(diǎn)尸.

(1)求證：8是0。的切線;

題型二圓中求線段長度

解題模板:

分析題目條件并選取*iS的方法進(jìn)向算

【例2】(2023-西藏-中考真題)如圖，已知AB為0。的直徑，點(diǎn)C為圓上一點(diǎn)，AD垂直于過點(diǎn)C的直線,

交。。于點(diǎn)E,垂足為點(diǎn)。，AC平分/54D.

D

E

(1)求證：CD是0。的切線;

(2)若AC=8,BC=6,求DE的長.

【變式2-1](2023-內(nèi)蒙古-中考真題)如圖，是口。的直徑，E為口。上的一點(diǎn)，點(diǎn)C是AE的中點(diǎn)，連

接BC,過點(diǎn)C的直線垂直于班的延長線于點(diǎn)。，交朋的延長線于點(diǎn)尸.

(2)若尸C=2，尸3=10,求班的長.

【變式2-2](2023-遼寧大連-中考真題)如圖1,在。。中，AB為。。的直徑，點(diǎn)C為0。上一點(diǎn)，AD為

⑴求ZBED的度數(shù);

(2)如圖2,過點(diǎn)/作0。的切線交BC延長線于點(diǎn)F,過點(diǎn)。作。G〃AF交于點(diǎn)G.若AD=2后,

DE=4,求。G的長.

【變式2-3](2023-湖北恩施-中考真題)如圖，AABC是等腰直角三角形，/4CB=90。，點(diǎn)。為AB的中

點(diǎn)，連接CO交0。于點(diǎn)E,。。與AC相切于點(diǎn)。.

CB

(1)求證：BC是0。的切線；

(2)延長CO交。。于點(diǎn)G,連接AG交。。于點(diǎn)F,若AC=4jI,求FG的長.

題型三圓中的最值問題

解題模板：

根據(jù)題目條件判斷國中最值模型

ji3'■利用模型技巧構(gòu)造圖形并確定動(dòng)點(diǎn)位置

分析幾何特征并代入數(shù)值計(jì)算

技巧精講：

1、輔助圓模型

向18?嗯明示嬉堂

“左。。外

當(dāng)代典線”.NlfJft值.?大值

為“?，量小值為Jr

V■&#

或KAGO上一點(diǎn)?so

OftOO±N。苒.。三點(diǎn)掛線時(shí).的有最值.■大倒

為物網(wǎng)/點(diǎn)。與點(diǎn)。的

AHM0、為“”?力《即為<30的直通）,■小值為

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四點(diǎn)共圓

用在赫伊圖.4C=￡t>M第地的。A單分修的文山

一，

【例3】（2023-湖南長沙-三模）如圖1：在0。中，為直徑，。是0。上一點(diǎn)，AC=3,BC=4.過。分別

作0HL8C于點(diǎn)”,ODLAC于點(diǎn)。，點(diǎn)E、尸分別在線段BC、AC上運(yùn)動(dòng)(不含端點(diǎn))，且保持/EOF=90°.

(1)OC=；四邊形COOH是(填矩形/菱形/正方形)；S=；

-------------------四邊彩C3OE--------

(2)當(dāng)尸和。不重合時(shí)，求證：AOFDSAOEH；

(3)□在圖1中，0P是ACEO的外接圓，設(shè)。P面積為S,求S的最小值，并說明理由；

[如圖2：若。是線段A8上一動(dòng)點(diǎn)，且QA：QB=l：w,NEQ尸=90°,。"是四邊形CEQ尸的外接圓，則當(dāng)

〃為何值時(shí)，OM的面積最??？最小值為多少？請直接寫出答案.

(1)求證：△ADC/△BCD；

(2)當(dāng)AACD的面積最大時(shí)，求/C4D的度數(shù).

【變式3-2](2023-四川-中考真題)如圖1,已知線段AB,AC,線段AC繞點(diǎn)A在直線AB上方旋轉(zhuǎn)，連

接BC,以8c為邊在8c上方作RUBOC,且/D3C=30。.

(1)若N5OC=90。，以A8為邊在AB上方作Rt454E,且NA￡B=90。，ZEBA=30°,連接。E,用等式表

示線段AC與。E的數(shù)量關(guān)系是；

(2)如圖2,在(1)的條件下，若八E_LAB,AB=4,AC=2,求BC的長；

(3)如圖3,若/3CD=90。，AB=4,AC=2,當(dāng)AD的值最大時(shí)，求此時(shí)tan/CBA的值.

【變式3-3](2023-陜西西安-模擬預(yù)測)【問題情境】

如圖1,在z/LBC中，44=120。，AB=AC,8c=56，則的外接圓的半徑值為,；

【問題解決】

如圖2,點(diǎn)尸為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且ZBPC=90。，若AB=4,求利的最小值；

【問題解決】

如圖3,正方形A5CO是一個(gè)邊長為4國的書展區(qū)域設(shè)計(jì)圖，CE為大門，點(diǎn)E在邊8C上，CE=晶,

點(diǎn)P是正方形ABCD內(nèi)設(shè)立的一個(gè)活動(dòng)治安點(diǎn)，到8、E的張角為120。，即=120。，點(diǎn)A、D為另兩

個(gè)固定治安點(diǎn)，現(xiàn)需在展覽區(qū)域內(nèi)部設(shè)置一個(gè)補(bǔ)水供給點(diǎn)Q,使得Q到A、。、P三個(gè)治安點(diǎn)的距離和最

小，試求QA+QD+Q尸的最小值.(結(jié)果精確到01m,參考數(shù)據(jù)舊”7,14.322205)

題型四圓中的陰影部分面積

技巧精講:

【例4】(2024-西藏拉薩-一模)如圖，等腰AABC的頂點(diǎn)C在。。上，3c邊經(jīng)過圓心0且與。。交

于。點(diǎn)，ZB=30°.

(1)求證：A2是。。的切線;

(2)若45=6,求陰影部分的面積

【變式4-1](2023-陜西西安-一模)如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于

⑴若P是CO上的動(dòng)點(diǎn)，連接8尸，F(xiàn)P,求ZBPF的度數(shù)；

(2)已知△ADF的面積為23,求0。的面積.

【變式4-2](2023-浙江衢州-中考真題)如圖，在RtZXABC中，NACB=90。,。為AC邊上一點(diǎn)，連結(jié)03.以

OC為半徑的半圓與A3邊相切于點(diǎn)。，交AC邊于點(diǎn)E.

B

(1)求證：BC=BD.

(2)若O8=Q4,AE=2.

□求半圓。的半徑.

□求圖中陰影部分的面積.

【變式4-3](2023-遼寧阜新-中考真題)如圖，A2是。。的直徑，點(diǎn)C,。是0。上A2異側(cè)的兩點(diǎn)，DELCB,

交CB的延長線于點(diǎn)E,且8。平分/ABE.

(2)若NABC=60。，AB=4,求圖中陰影部分的面積.

【變式4-4](2023-山東棗莊-中考真題)如圖，為0。的直徑，點(diǎn)C是AO的中點(diǎn)，過點(diǎn)C做射線2。的

垂線，垂足為￡

(2)若8E=3,AB=4,求8c的長；

(3)在(2)的條件下，求陰影部分的面積(用含有口的式子表示).

題型五圓中的比值（相似）問題

技巧精講:

【例5】（2024-陜西西安-模擬預(yù)測）如圖，AB為。。的直徑，點(diǎn)。為上一點(diǎn)，過點(diǎn)8作。。切線交

AD延長線于點(diǎn)C,CE平分NACB,CE,BD交于F.

（1）求證：BE=BF；

（2）若0。半徑為2,sinA=|,求。F的長度.

【變式5-1］（2023-湖南湘西-二模）如圖，是O。的直徑，點(diǎn)C,D在。。上，AO平分/C43,交BC

于點(diǎn)E,連接2D.

(1)求證：ABED~LABD.

3

(2)當(dāng)tan/A8C=—,且AB=10時(shí)，求線段2。的長.

4

(3)點(diǎn)G為線段AE上一點(diǎn)，且3G平分NA3C,若GE=^,BG=3,求CE的長.

【變式5-2](2024-陜西西安-一模)如圖，A3是。。的直徑CD與。。相切于點(diǎn)C,與54的延長線交于點(diǎn)

D,連接BC,點(diǎn)E在線段03上，過點(diǎn)E作3。的垂線交。C的延長線于點(diǎn)尸，交8c于點(diǎn)G.

(1)求證：FC=FG；

(2)若49=2AD=20,點(diǎn)E為05的中點(diǎn)，求GE的長.

【變式5-3X2024-陜西西安-一模)如圖，是0。的直徑，點(diǎn)D在直徑A2上(D與A8不重合)，CD1AB

且C￡)=AB,連接C2,與0。交于點(diǎn)尸，在CD上取一點(diǎn)E,使EF與。。相切.

(1)求證：EF=EC；

⑵若。是。4的中點(diǎn)，AB=4,求成的長.

好題必刷，強(qiáng)化落實(shí)

一、解答題

1.(2024-云南-模擬預(yù)測)如圖，四邊形A3C。內(nèi)接于0。，對(duì)角線AC是0。的直徑，過點(diǎn)。作47的垂

線交的延長線于點(diǎn)E,歹為CE的中點(diǎn)，連接8。，DF,與AC交于點(diǎn)p.

(1)求證：。F是0。的切線；

⑵若NZ)PC=45。，PD2+PB2=8,求AC的長.

2.(2024-湖北黃岡-模擬預(yù)測)如圖，尸。平分/APO,與口。相切于點(diǎn)A,延長4。交于點(diǎn)C,過

點(diǎn)。作垂足為B.

(1)求證：PB是□。的切線；

(2)若□。的半徑為4,OC=5,求R4的長.

3.(2024-江蘇淮安-模擬預(yù)測)如圖，已知直線/與0。相離，Q4，/于點(diǎn)/,交0。于點(diǎn)P,點(diǎn)B是。。

上一點(diǎn)，連接成并延長，交直線/于點(diǎn)C,使得A5=AC.

(1)判斷直線AB與0。的位置關(guān)系并說明理由;

(2)PC=2#,。4=4,求線段PB的長.

4.(2024-四川涼山-模擬預(yù)測)如圖，CD是0。的直徑，點(diǎn)尸是CD延長線上一點(diǎn)，且AP與。。相切于點(diǎn)

A,弦ABJ_CD于點(diǎn)尸，過。點(diǎn)作OE_L"于點(diǎn)E.

⑴求證：ZEAD=ZFAD；

⑵若B4=4,PD=2,求G)O的半徑和DE的長.

5.(2024-四川涼山-模擬預(yù)測)如圖，在RtZXABC中，ZACB=90°,以AC為直徑的交AB于點(diǎn)。，E

為BC的中點(diǎn)，連接。E并延長交AC的延長線于點(diǎn)孔

(1)求證：OE是0。的切線；

(2)若/A=30。，DF=3,求CE長.

6.(2024-山東泰安-一模)如圖，AB,CD是0。的兩條直徑，過點(diǎn)C的0。的切線交AB的延長線于點(diǎn)E,

連接AC,BD.

(1)求證：ZABD=ZCAB；

⑵若3是的中點(diǎn)，AC=12,求的半徑.

7.(2024-福建南平-一模)如圖1,點(diǎn)。是的邊上一點(diǎn).AD=AC,ZCAB=a,0。是△BCD的

外接圓，點(diǎn)E在OBC上（不與點(diǎn)C,點(diǎn)D重合），且NCEO=9（r-a.

（1）求證：是直角三角形；

（2）如圖2,若CE是口。的直徑，且CE=2,折線AT用是由折線ACE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a得到.

口當(dāng)a=30°時(shí)，求4cDE的面積；

□求證：點(diǎn)C,D,尸三點(diǎn)共線.

8.（2023-四川甘孜-中考真題）如圖，在RtZXA3c中，ZABC=9Q°,以BC為直徑的0。交AC邊于點(diǎn)

過點(diǎn)C作。。的切線，交8。的延長線于點(diǎn)E.

⑴求證：ZDCE=ZDBC；

(2)若AB=2,CE=3,求0。的半徑.

9.（2023-湖北黃石-中考真題）如圖，AB為0。的直徑，D4和0。相交于點(diǎn)尸，AC平分ND4B,點(diǎn)。在

0。上，且CDJ_D4,AC交所于點(diǎn)尸.

D

(1)求證：8是0。的切線;

(2)求證：ACPC=BCi;

AF

(3)已知BC2=3FP.￡>C,求的值.