九年級數(shù)學二次根式的化簡與求值培優(yōu)教程

九年級數(shù)學二次根式的化簡與求值培優(yōu)教程考點·方法·破譯1．會靈活運用二次根式的運算性質(zhì)化簡求值.2．會進行二次根式的有理化計算，會整體代入求值及變形求值.3．會化簡復合二次根式，會在根式范圍內(nèi)分解因式.經(jīng)典·考題·賞板【例１】（河北競賽）已知，那么的值等于__________【解法指導】通過平方或運用分式性質(zhì)，把已知條件和待求式的被開方數(shù)都用表示或化簡變形.解：兩邊平方得，，，兩邊同乘以x得，，∵，，∴原式==【變式題組】若（0＜a＜1），則________設(shè)，則的值為（）A． B． C． D．不能確定【例２】（全國初中數(shù)學聯(lián)賽）滿足等式＝2003的正整數(shù)對（x,y）的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解法指導】對條件等式作類似于因式分解的變形，將問題轉(zhuǎn)化為求不定方程的正整數(shù)解.解：可化為，∴∵，∴，則xy＝2003，且2003是質(zhì)數(shù)，∴正整數(shù)對（x,y）的個數(shù)有2對，應選B.【變式題組】3．若a＞0，b＞0，且，求的值.【例３】（四川）已知：，求代數(shù)式的值.【解法指導】視x－2，x2-4x為整體，把平方，移項用含a的代數(shù)式表示x－2，x2-4x，注意0＜a＜1的制約.解：平方得，，∴，，，∴化簡原式＝＝【變式題組】4．（武漢）已知，求代數(shù)式的值.5．（五羊杯競賽）已知，，且，則a的值等于（）A．－5 B．5 C．－9 D．9【例４】（全國競賽）如圖，點A、C都在函數(shù)的圖像上，點B、D都在x軸上，且使得△OAB、△BCD都是等邊三角形，則點D的坐標為________.【解法指導】解：如圖，分別過點A、C作x軸的垂線，垂足分別為E、F.設(shè)yxAOBCDEFOE=a，BF=b，則AE=a，CF=b，所以，點A、CyxAOBCDEF（2a＋b,b），所以，解得，因此，點D的坐標為（,0）【變式題組】6．（邵陽）閱讀下列材料，然后回答問題.在進行二次根式化簡時，我們有時會碰上如一樣的式子，其實我們還可以將其進一步化簡：；（一）；（二）；（三）以上這種化簡的步驟叫做分母有理化，還可以用以下方法化簡：；（四）（1）請你用不同的方法化簡；=1\*GB3①參照（三）試得：=_____________________________；（要有簡化過程）=2\*GB3②參照（四）試得：=_____________________________；（要有簡化過程）（2）化簡：【例５】（五羊杯競賽）設(shè)a、b、c、d為正實數(shù)，a＜b，c＜d，bc＞ad，有一個三角形的三邊長分別為，，，求此三角形的面積.【解法指導】雖然不能用面積公式求三角形面積(為什么?)，的幾何意義是以a、c為直角邊的直角三角形的斜邊，從構(gòu)造圖形入手，將復雜的根式計算轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決.解：如圖，作長方形ABCD，使AB＝b－a，AD＝c，延長DA至E，使DE＝d，延長DC至F，使DF＝b，連結(jié)EF、FB、EB，則BF＝，EF＝，BE=，從而知△BEF就是題設(shè)的三角形，而S△BEF＝S長方形ABCD＋S△BCF＋S△ABE－S△DEF＝(b－a)c＋(d－c)(b－a)－bd＝(bc－ad)【變式題組】7．(北京競賽)已知a、b均為正數(shù)，且a＋b＝2，求U＝演練鞏固·反饋提高01．已知，，那么代數(shù)式值為__________02．設(shè)，則＝（）A． 24 B．25 C． D．03．（天津）計算__________04．（北京競賽）若有理數(shù)x、y、z滿足，則__________05．（北京競賽）正數(shù)m、n滿足，則__________06．（河南競賽）若，則的值是（）A．2 B．4 C．6 D．807．已知實數(shù)a滿足，那么的值是（）A．1999 B．2000 C．2001 D．200208．設(shè)，，，則a、b、c之間的大小關(guān)系是（）A．a(chǎn)＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．a(chǎn)＜c＜b09．已知，化簡培優(yōu)升級·奧賽檢測01．（信利杯競賽）已知，那么__________02．已知，則__________03．（江蘇競賽）已知，則__________04．（全國聯(lián)賽），則x＝__________05．(T1杯聯(lián)賽)已知，，那么__________06．（武漢選拔賽）如果，，，那么的值為（）A． B．2001 C．1 D．007．（紹興競賽）當時，代數(shù)式的值是（）A．0 B．－1 C．1 D．08．（全國聯(lián)賽）設(shè)a、b、c為有理數(shù)，且等式成立，則的值是（）A．1999 B．2000 C．2001 D