上海市華東師范大學(xué)周浦中學(xué)2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷(解析)

高中數(shù)學(xué)精編資源學(xué)年第二學(xué)期高一期末考試數(shù)學(xué)試卷一、填空題1.若角的終邊上有一點(diǎn),則的值是______.【答案】【解析】【分析】直接利用正切函數(shù)的定義可以求解.【詳解】由正切函數(shù)的定義可得,則.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)定義的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.2.函數(shù)的最小正周期為________【答案】【解析】【詳解】試題分析:因?yàn)?所以其最小正周期考點(diǎn):三角函數(shù)周期3.已知復(fù)數(shù)滿足,則__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出,再根據(jù)復(fù)數(shù)的模的公式即可得解.【詳解】由,得,所以.故答案為:.4.在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的平方根是__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)概念即可求解.【詳解】因?yàn)?復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的平方根為,故答案為:5.已知坐標(biāo)平面上三個(gè)點(diǎn)、、,則的重心坐標(biāo)是__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)三角形重心坐標(biāo)公式即可求解.【詳解】.故答案為:6.已知,,則在方向上的投影向量的坐標(biāo)為__________.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)投影向量的定義求解即可.【詳解】由,,得在方向上的投影向量為.故答案為:.7.在△ABC中,若則____.【答案】【解析】【詳解】試題分析:(a+b+c)(b+c﹣a)=3bc,展開化為:b2+c2﹣a2=bc.再利用余弦定理即可得出.詳解:∵(a+b+c)(b+c﹣a)=3bc,∴(b+c)2﹣a2=3bc,化為:b2+c2﹣a2=bc.∴cosA=,∵A∈(0,π),∴A=60°.故答案為.點(diǎn)睛:本題主要考查正弦定理邊角互化及余弦定理的應(yīng)用與特殊角的三角函數(shù),屬于簡(jiǎn)單題.對(duì)余弦定理一定要熟記兩種形式:(1);(2),同時(shí)還要熟練掌握運(yùn)用兩種形式的條件.另外,在解與三角形、三角函數(shù)有關(guān)的問題時(shí),還需要記住等特殊角的三角函數(shù)值,以便在解題中直接應(yīng)用.8.等差數(shù)列{an}是遞增數(shù)列,若a2＋a4＝16,a1·a5＝28,則通項(xiàng)an＝_________.【答案】3n－1【解析】【分析】由已知結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)可得,解方程組求出,從而可求出公差,進(jìn)而可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式【詳解】設(shè)公差為d,∵a2＋a4＝a1＋a5＝16,∴由,解得或.∵等差數(shù)列{an}是遞增數(shù)列,∴a1＝2,a5＝14.∴d＝＝＝3,∴an＝a1＋(n－1)d＝2＋3(n－1)＝3n－1.故答案為:3n－19.已知等差數(shù)列的各項(xiàng)不為零,且、、成等比數(shù)列,則公比是________【答案】1或【解析】【分析】由、、成等比數(shù)列,列方程找出,從而可求出公比【詳解】解:設(shè)等差數(shù)列的公差為,因?yàn)?、、成等比?shù)列,所以,即,化簡(jiǎn)得,或當(dāng)時(shí),等差數(shù)列的每一項(xiàng)都相等,所以、、成等比數(shù)列時(shí)的公比為1當(dāng)時(shí),,所以,所以等比數(shù)列的公比為1或5故答案為:1或【點(diǎn)睛】此題考查的是等差數(shù)列和等比數(shù)列的基本量的運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題10.已知正方形的邊長(zhǎng)為2,點(diǎn)滿足,則__.【答案】-1【解析】【分析】首先根據(jù)條件確定點(diǎn)位置,然后建立平面直角坐標(biāo)系并寫出各點(diǎn)坐標(biāo),然后根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行求解即可.【詳解】建立坐標(biāo)系如圖,正方形的邊長(zhǎng)為2,則,,,點(diǎn)滿足,所以,,,所以.故答案為:11.已知三點(diǎn)共線于直線,對(duì)直線外任意一點(diǎn),都有,則的最小值為________.【答案】【解析】【分析】先由A、B、C三點(diǎn)共線,得到,利用基本不等式“1”的妙用求最值.【詳解】由題意,A、B、C三點(diǎn)共線所以存實(shí)數(shù)λ使得,即,所以而所以則,所以當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號(hào).因此的最小值為.故答案為:.12.已知向量是平面內(nèi)的一組基底,O為內(nèi)的一定點(diǎn),對(duì)于內(nèi)任意點(diǎn)P,當(dāng)時(shí),則稱有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y)為點(diǎn)P的廣義坐標(biāo),若點(diǎn)A?B的廣義坐標(biāo)分別為,有以下四個(gè)命題:①線段AB中點(diǎn)的廣義坐標(biāo)為②A,B兩點(diǎn)間的距離為③向量平行于向量的充要條件是:④向量垂直于向量的的充要條件是:其中正確命題為___________(填寫序號(hào)).【答案】①③【解析】【分析】利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可判斷①;利用平面兩點(diǎn)間的距離公式可判斷②;利用向量平行的充要條件可判斷③;利用向量垂直的充要條件可判斷④.【詳解】由題意知,根據(jù)中點(diǎn)公式知①正確;只有平面直角坐標(biāo)中兩點(diǎn)間的距離公式②才正確,而題意未必是平面直角坐標(biāo)系,故②錯(cuò)誤;由向量平行的充要條件得③正確;與垂直的充要條件為,故④錯(cuò)誤.故答案為:①③二、選擇題,每題只有一個(gè)選項(xiàng),正確的結(jié)論代號(hào)寫在題后的括號(hào)內(nèi)13.已知復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位)為純虛數(shù),則實(shí)數(shù)()A.2 B. C.或2 D.【答案】A【解析】【分析】由于復(fù)數(shù)為純虛數(shù),所以,從而可求出的值【詳解】解:因?yàn)閺?fù)數(shù)(為虛數(shù)單位)為純虛數(shù),所以,由,得或,由,得且,所以,故選:A14.將函數(shù)的圖像向右平移單位,再向上平移1個(gè)單位,所得函數(shù)圖像對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為()A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意,結(jié)合圖象的平移變化即可求解.【詳解】將函數(shù)的圖像向右平移單位,得函數(shù),再將函數(shù)向上平移1個(gè)單位,得函數(shù).故選:D.15.關(guān)于等差數(shù)列和等比數(shù)列,下列四個(gè)選項(xiàng)中正確的有()A.若數(shù)列的前n項(xiàng)和(a,b,c為常數(shù)),則數(shù)列為等差數(shù)列B.若數(shù)列的前n項(xiàng)和,則數(shù)列為等比數(shù)列C.數(shù)列是等差數(shù)列,為前n項(xiàng)和,則,,,…仍為等差數(shù)列D.數(shù)列是等比數(shù)列,為前n項(xiàng)和,則,,,…仍為等比數(shù)列【答案】BC【解析】【分析】由得,進(jìn)而可判斷A和B;由等差數(shù)列的性質(zhì)判斷C;舉反例判斷D.【詳解】根據(jù)題意,依次分析選項(xiàng):對(duì)于選項(xiàng)A:因?yàn)?,當(dāng)時(shí),,所以,所以只有當(dāng)時(shí),數(shù)列成等差數(shù)列,故A錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)B:因?yàn)?,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,符合上式,所以,則數(shù)列成等比數(shù)列,故B正確;對(duì)于選項(xiàng)C:數(shù)列是等差數(shù)列,為前項(xiàng)和,則,,,是公差為(為的公差)的等差數(shù)列,故C正確;對(duì)于選項(xiàng)D:令,則,,,是常數(shù)列,顯然不是等比數(shù)列,故D錯(cuò)誤.故選:BC.16.歐拉公式(為虛數(shù)單位,,為自然底數(shù))是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)明的,它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù),建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系,它在復(fù)變函數(shù)論里占有非常重要的地位,被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”,現(xiàn)有以下兩個(gè)結(jié)論:①;②其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是()A.①②均正確 B.①②均錯(cuò)誤C.①對(duì)②錯(cuò) D.①錯(cuò)②對(duì)【答案】A【解析】【分析】對(duì)①,通過歐拉公式,,算出即可;對(duì)②,先將歐拉公式逆用,將原式化簡(jiǎn)為,再通過指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn),最后再用歐拉公式展開,最后算出即可.【詳解】對(duì)①,由題意,,正確;對(duì)②,原式===,正確.故選:A.三、解答題(滿分48分,)本大題共5題,解答下列各題必須寫出必要的步驟.17已知,.(1)若,求實(shí)數(shù)的值;(2)若,求實(shí)數(shù)的值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)根據(jù)向量共線滿足的坐標(biāo)關(guān)系即可求解,(2)根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)關(guān)系即可求解.【小問1詳解】因?yàn)?所以,所以;【小問2詳解】因?yàn)?所以,所以.18.已知復(fù)數(shù),,其中為虛數(shù)單位,.(1)當(dāng)、是實(shí)系數(shù)一元二次方程的兩個(gè)虛根時(shí),求、的值.(2)求的值域.【答案】(1),;(2).【解析】【分析】(1)由于、是方程的兩個(gè)虛根,得出,求出的值,再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可求出、;(2)直接求出的表達(dá)式,利用三角函數(shù)以及二次函數(shù)的性質(zhì),求出值域即可.【詳解】(1)已知復(fù)數(shù),,、是方程的兩個(gè)虛根,所以,即,所以,所以,,由韋達(dá)定理可得,;(2)【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:三角函數(shù)最值的不同求法:①利用和的最值直接求;②把形如的三角函數(shù)化為的形式求最值;③利用和的關(guān)系轉(zhuǎn)換成二次函數(shù)求最值;④形如或轉(zhuǎn)換成二次函數(shù)求最值.19.如圖,摩天輪上一點(diǎn)P在時(shí)刻t(單位:分鐘)距離地面的高度y(單位:米)滿足,已知該摩天輪的半徑為50米,圓心O距地面的高度為60米,摩天輪做勻速轉(zhuǎn)動(dòng),每3分鐘轉(zhuǎn)一圈,點(diǎn)P的起始位置在摩天輪的最低點(diǎn)處.(1)根據(jù)條件寫出y關(guān)于t的函數(shù)解析式;(2)在摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)的一圈內(nèi),有多長(zhǎng)時(shí)間點(diǎn)P距離地面的高度超過85米?【答案】(1);(2)分鐘【解析】【分析】(1)根據(jù)題意得到,,當(dāng)時(shí),,解得答案.(2)解不等式得到答案.【詳解】(1)根據(jù)題意:,故,,,故.當(dāng)時(shí),,即,,故..(2),故,.解得,解得,故有分鐘長(zhǎng)的時(shí)間點(diǎn)P距離地面的高度超過85米.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的應(yīng)用,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.20.已知等比數(shù)列,前項(xiàng)和為,滿足.(1)求的值及的通項(xiàng)公式;(2)求值;(3)若數(shù)列滿足,求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1),(2)(3)【解析】【分析】(1)根據(jù)與的關(guān)系求出前3項(xiàng),再由題意知為等比數(shù)列即可求出及公比和首項(xiàng)即可求解;(2)把(1)的結(jié)論代入化簡(jiǎn),再根據(jù)等比數(shù)列前項(xiàng)和公式即可求解;(3)分組求和即可求解.【小問1詳解】由可得,,,因?yàn)閿?shù)列是等比數(shù)列,所以,即,所以,.所以,,符合題意;【小問2詳解】由(1)知,,所以,令,則,,所以是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列,所以.【小問3詳解】因?yàn)?所以.21.數(shù)列的數(shù)列的首項(xiàng),前n項(xiàng)和為,若數(shù)列滿足:對(duì)任意正整數(shù)n,k,當(dāng)時(shí),總成立,則稱數(shù)列是“數(shù)列”(1)若是公比為2的等比數(shù)列,試判斷是否為“”數(shù)列？(2)若是公差為d的等差數(shù)列,且是“數(shù)列”,求實(shí)數(shù)d的值;(3)若數(shù)列既是“”,又是“”,求證:數(shù)列為等差數(shù)列.【答案】(1)不是“”數(shù)列;(2);(3)證明見解析;【解析】【分析】(1)假設(shè)是數(shù)列,由已知,可得,當(dāng)時(shí),,,,故可判斷不是為為數(shù)列;(2)設(shè)的公差為d,則,由題意,即,解方程即可;(3)由數(shù)列既是“數(shù)列”,又是“數(shù)列”,可得,,進(jìn)一步推理可得成等差數(shù)列,成等差數(shù)列,從而即成等差數(shù)列.【詳解】(1)因?yàn)?,所以,假設(shè)是數(shù)列,則當(dāng)時(shí),則成立,但時(shí),,,,所