浙江省諸暨市諸暨中學2025屆高二數(shù)學第一學期期末質量檢測模擬試題含解析

浙江省諸暨市諸暨中學2025屆高二數(shù)學第一學期期末質量檢測模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知向量，，則（）A. B.C. D.2．設函數(shù)，則（）A.1 B.5C. D.03．若拋物線焦點坐標為，則的值為A. B.C.8 D.44．設數(shù)列、都是等差數(shù)列，若，則等于（）A. B.C. D.5．已知等差數(shù)列的公差為，前項和為，等比數(shù)列的公比為，前項和為．若，則（）A. B.C. D.6．箱子中有5件產品，其中有2件次品，從中隨機抽取2件產品，設事件=“至少有一件次品”，則的對立事件為（）A.至多兩件次品 B.至多一件次品C.沒有次品 D.至少一件次品7．意大利數(shù)學家斐波那契，以兔子繁殖為例，引入“兔子數(shù)列”，，，，，，，，…，在實際生活中很多花朵的瓣數(shù)恰是斐波那契數(shù)列中的數(shù)，斐波那契數(shù)列在物理化學等領域也有著廣泛的應用.已知斐波那契數(shù)列滿足：，，，若，則等于（）A. B.C. D.8．下列命題錯誤的是（）A，B.命題“”的否定是“”C.設，則“且”是“”的必要不充分條件D.設，則“”是“”的必要不充分條件9．雙曲線的漸近線的斜率是（）A.1 B.C. D.10．已知各項都為正數(shù)的等比數(shù)列，其公比為q，前n項和為，滿足，且是與的等差中項，則下列選項正確的是（）A. B.C D.11．在平面直角坐標系中，橢圓的左、右焦點分別為，，過且垂直于軸的直線與交于，兩點，與軸交于點，，則的離心率為（）A. B.C. D.12．已知直線過點，且與直線垂直，則直線的方程是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．數(shù)列的前項和為，則_________________.14．若點P為雙曲線上任意一點，則P滿足性質：點P到右焦點的距離與它到直線的距離之比為離心率e，若C的右支上存在點Q，使得Q到左焦點的距離等于它到直線的距離的6倍，則雙曲線的離心率的取值范圍是______15．定義方程的實數(shù)根叫做函數(shù)的“新駐點”.（1）設，則在上的“新駐點”為___________；（2）如果函數(shù)與的“新駐點”分別為、，那么和的大小關系是___________.16．設，向量，，，且，，則___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知點是拋物線C：上的點，F(xiàn)為拋物線的焦點，且，直線l：與拋物線C相交于不同的兩點A，B.（1）求拋物線C的方程；（2）若，求k的值.18．（12分）△ABC的三個頂點分別為（1）求△ABC的外接圓M的方程；（2）設直線與圓M交于兩點，求|PQ|的值19．（12分）唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登上望烽火，黃昏飲馬傍交河，”詩中隱含著一個有趣的“將軍飲馬”問題，這是一個數(shù)學問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回軍營，怎樣走才能使得總路程最短？在平面直角坐標系中，將軍從點處出發(fā)，河岸線所在直線方程為，并假定將軍只要到達軍營所在區(qū)域即為回到軍營.軍營所在區(qū)域可表示為.（1）求“將軍飲馬”的最短總路程；（2）因軍情緊急，將軍來不及飲馬，直接從A點沿傾斜角為45°的直線路徑火速回營，已知回營路徑與軍營邊界的交點為M，N，軍營中心與M，N連線的斜率分別為，，試求的值.20．（12分）已知過點的圓的圓心M在直線上，且y軸被該圓截得的弦長為4（1）求圓M的標準方程；（2）設點，若點P為x軸上一動點，求的最小值，并寫出取得最小值時點P的坐標21．（12分）已知函數(shù)（1）當時，求的單調遞減區(qū)間；（2）若關于的方程恰有兩個不等實根，求實數(shù)的取值范圍22．（10分）已知函數(shù)的圖象在點處的切線與直線平行（是自然對數(shù)的底數(shù)）.（1）求的值；（2）若在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】按空間向量的坐標運算法則運算即可.【詳解】.故選：D.2、B【解析】由題意結合導數(shù)的運算可得，再由導數(shù)的概念即可得解.【詳解】由題意，所以，所以原式等于.故選：B.3、A【解析】先把拋物線方程整理成標準方程，進而根據拋物線的焦點坐標，可得的值.【詳解】拋物線的標準方程為，因為拋物線的焦點坐標為，所以，所以，故選A.【點睛】該題考查的是有關利用拋物線的焦點坐標求拋物線的方程的問題，涉及到的知識點有拋物線的簡單幾何性質，屬于簡單題目.4、A【解析】設等差數(shù)列的公差為，根據數(shù)列是等差數(shù)列可求得，由此可得出，進而可求得所求代數(shù)式的值.【詳解】設等差數(shù)列的公差為，即，由于數(shù)列也為等差數(shù)列，則，可得，即，可得，即，解得，所以，數(shù)列為常數(shù)列，對任意的，，因此，.故選：A.【點睛】關鍵點點睛：本題考查等差數(shù)列基本量的求解，通過等差數(shù)列定義列等式求解公差是解題的關鍵，另外，在求解有關等差數(shù)列基本問題時，可充分利用等差數(shù)列的定義以及等差中項法來求解.5、D【解析】用基本量表示可得基本量的關系式，從而可得，故可得正確的選項.【詳解】若，則，而，此時，這與題設不合，故，故，故，而，故，此時不確定，故選：D.6、C【解析】利用對立事件的定義，分析即得解【詳解】箱子中有5件產品，其中有2件次品，從中隨機抽取2件產品，可能出現(xiàn)：“兩件次品”，“一件次品，一件正品”，“兩件正品”三種情況根據對立事件的定義，事件=“至少有一件次品”其對立事件為：“兩件正品”，即”沒有次品“故選：C7、A【解析】利用可化簡得，由此可得.【詳解】由得：，，即.故選：A.8、C【解析】根據題意，對四個選項一一進行分析，舉出例子當時，，即可判斷A選項；根據特稱命題的否定為全稱命題，可判斷B選項；根據充分條件和必要條件的定義，即可判斷CD選項.【詳解】解：對于A，當時，，，故A正確；對于B，根據特稱命題的否定為全稱命題，得“”的否定是“”，故B正確；對于C，當且時，成立；當時，卻不一定有且，如，因此“且”是“”的充分不必要條件，故C錯誤；對于D，因為當時，有可能等于0，當時，必有，所以“”是“”的必要不充分條件，故D正確.故選：C.9、B【解析】由雙曲線的漸近線方程為：，化簡即可得到答案.【詳解】雙曲線的漸近線方程為：，即，漸近線的斜率是.故選：B10、D【解析】根據題意求得，即可判斷AB，再根據等比數(shù)列的通項公式即可判斷C；再根據等比數(shù)列前項和公式即可判斷D.【詳解】解：因為各項都為正數(shù)的等比數(shù)列，，所以，又因是與的等差中項，所以，即，解得或（舍去），故B錯誤；所以，故A錯誤；所以，故C錯誤；所以，故D正確.故選：D.11、B【解析】由題意結合幾何性質可得為等腰三角形，且，所以，求出的長，結合橢圓的定義可得答案.【詳解】如圖，由題意軸，軸，則又為的中點，則為的中點，又，則為等腰三角形，且，所以將代入橢圓方程得，，即所以，則由橢圓的定義可得，即則橢圓的離心率故選：B12、D【解析】由題意設直線方程為，然后將點坐標代入求出，從而可求出直線方程【詳解】因為直線與直線垂直，所以設直線方程為，因為直線過點，所以，得，所以直線方程為，故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】利用計算可得出數(shù)列的通項公式.【詳解】當時，;而不適合上式，.故答案：.14、【解析】若Q到的距離為有，由題設有，結合雙曲線離心率的性質，即可求離心率的范圍.【詳解】由題意，，即，整理有，所以或，若Q到的距離為，則Q到左、右焦點的距離分別為、，又Q在C的右支上，所以，則，又，綜上，雙曲線的離心率的取值范圍是.故答案為：【點睛】關鍵點點睛：若Q到的距離為，根據給定性質有Q到左、右焦點的距離分別為、，再由雙曲線性質及已知條件列不等式組求離心率范圍.15、①.②.【解析】（1）根據“新駐點”的定義求得，結合可得出結果；（2）求出的值，利用零點存在定理判斷所在的區(qū)間，進而可得出與的大小關系.詳解】（1），，根據“新駐點”的定義得，即，可得，，解得，所以，函數(shù)在上的“新駐點”為；（2），則，根據“新駐點”的定義得，即.，則，由“新駐點”的定義得，即，構造函數(shù)，則函數(shù)在定義域上為增函數(shù)，，，，由零點存在定理可知，，.故答案為：（1）；（2）.【點睛】本題考查導數(shù)的計算，是新定義的題型，關鍵是理解“新駐點”的定義.16、3【解析】利用向量平行和向量垂直的性質列出方程組，求出，，再由空間向量坐標運算法則求出，由此能求出【詳解】解：設，，向量，，，且，，，解得，，所以，，，故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）1或.【解析】(1)根據拋物線的定義，即可求得p值；(2)由過拋物線焦點的直線的性質，結合拋物線的定義，即可求出弦長AB【詳解】（1）拋物線C：的準線為，由得：，得.所以拋物線的方程為.（2）設，，由，，∴，∵直線l經過拋物線C的焦點F，∴解得：，所以k的值為1或.【點睛】考核拋物線的定義及過焦點弦的求法18、（1）；（2）.【解析】（1）設出圓的一般方程，根據的坐標滿足圓方程，待定系數(shù)，即可求得圓方程；（2）根據（1）中所求圓方程，結合弦長公式，即可求得結果.【小問1詳解】設圓M的方程為，因為都在圓上，則，解得，故圓M的方程為，也即.【小問2詳解】由（1）可知，圓M的圓心坐標為，半徑為，點M到直線的距離故.19、（1）；（2）.【解析】（1）根據題意作出圖形，然后求出關于直線的對稱點，進而根據圓的性質求出到圓上的點的最短距離即可；（2）將直線方程代入圓的方程并化簡，進而結合韋達定理求得答案.【小問1詳解】若軍營所在區(qū)域為，圓：的圓心為原點，半徑為，作圖如下：設將軍飲馬點為，到達營區(qū)點為，設為A關于直線的對稱點，因為，所以線段的中點為，則，又，聯(lián)立解得：，即，所以總路程，要使得總路程最短，只需要最短，即點到圓上的點的最短距離，即為.【小問2詳解】過點A傾斜角為45°的直線方程為：，設兩個交點，聯(lián)立，消去y得.由韋達定理，，.20、（1）（2），【解析】（1）用待定系數(shù)法設出圓心，根據圓過點和弦長列出方程求解即可；（2）當三點共線時有最小值，求出直線MN的方程，令y=0即可.【小問1詳解】由題意可設圓心，因為y軸被圓M截得的弦長為4，所以，又，則，化簡得，解得，則圓心，半徑，所以圓M的標準方程為【小問2詳解】點關于x軸的對稱點為，則，當且僅當M，P，三點共線時等號成立，因為，則直線的方程為，即，令，得，則21、（1）；（2）【解析】（1）求出導數(shù)，令，得出變化情況表，即可得出單調區(qū)間；（2）分離參數(shù)得，構造函數(shù)，利用導數(shù)討論單調性，根據與恰有兩個不同交點即可得出.【詳解】（1）當時，函數(shù)，則令，得，，當x變化時，的變化情況如下表:1+00+↗極大值↘極小值↗∴在上單調遞減（2）依題意，即．則令，則當時，，故單調遞增，且；當時，，故單調遞減，且∴函數(shù)在處取得最大值故要使與恰有兩個不同的交點，只需∴實數(shù)a的取值范