2025年高考數(shù)學復習之復數(shù)

2025年高考數(shù)學復習熱搜題速遞之復數(shù)(2024年7月)

--.選擇題(共10小題)

1.設z=+2工貝！J|z|=()

1

A.0B.-C.1D.V2

2

2.右。為頭數(shù)，且,一3+工則。=()

l+i

A.-4B.-3C.3D.4

3.下列各式的運算結果為純虛數(shù)的是()

A.i(1+z)2B.z2(1-z)C.(1+z)2D.i(1+z)

4.設z=l+2i’則因()

A.2B.V3C.V2D.1

5.己知z=(ZTI+3)+(m-1)z.在復平面內(nèi)對應的點在第四象限，則實數(shù)相的取值范圍是()

A.(-3,1)B.(-1,3)C.(1,+°°)D.(-8,-3)

6.設(1+z)x=l+yi,其中x,y是實數(shù)，則|x+yi|=()

A.1B.V2C.V3D.2

若z=4+3i,則言=()

7.

4343

A.1B.-1C.一+TD.----i

5555

8.若復數(shù)z滿足(3-40z=|4+3i|,則z的虛部為()

44

A.-4B.VC.4D.-

5

9.若復數(shù)(1-z)(〃+i)在復平面內(nèi)對應的點在第二象限，則實數(shù)〃的取值范圍是()

A.(-1)B.(--1)C.(1,+8)D.(-L+°°)

10.設(1+2/)(a+i)的實部與虛部相等,其中。為實數(shù)，則a等于()

A.-3B.-2C.2D.3

二.填空題(共5小題)

11.設復數(shù)Zl,Z2滿足|zi|=|z2|=2,Zl+Z2=遮+工則|zi-Z2|=_____—

.，是虛數(shù)單位，則用的值為一

12

a—i

13.已知尤R,,?為虛數(shù)單位,若如為實數(shù),則〃的值為——

14.，是虛數(shù)單位，復數(shù)

l+2l

15.i是虛數(shù)單位，若復數(shù)(l-2z)Q+i)是純虛數(shù)，則實數(shù)a的值為.

三.解答題(共5小題)

16.已知復數(shù)z滿足|z|=a,z2的虛部為2.

(1)求復數(shù)z；

(2)設z、2、Z-Z?在復平面上的對應點分別為A、B、C,求△ABC的面積.

17.已矢口復數(shù)z=3+沅3左R),且(l+3i)?z為純虛數(shù).

(1)求復數(shù)z及2;

(2)若3=］工，求復數(shù)3的模3|.

18.已知z為復數(shù)，z+2i和3均為實數(shù)，其中i是虛數(shù)單位.

2—1

(I)求復數(shù)Z；

(II)若復數(shù)(z+ai)2在復平面上對應的點在第一象限，求實數(shù)。的取值范圍.

19.已知復數(shù)zi=l-2i,z2=3+4i,i為虛數(shù)單位.

(1)若復數(shù)zi+az2在復平面上對應的點在第四象限，求實數(shù)a的取值范圍；

⑵若z=2求z的共軟復數(shù)斤.

z2

20.已知z是復數(shù)，z+2i與M均為實數(shù).

(1)求復數(shù)z；

(2)復數(shù)(z+ai)2在復平面上對應的點在第一象限，求實數(shù)。的取值范圍.

2025年高考數(shù)學復習熱搜題速遞之復數(shù)(2024年7月)

參考答案與試題解析

一.選擇題(共10小題)

1.設z=]+j+2i,則|z|=()

1L

A.0B.-C.1D.V2

2

【考點】復數(shù)的模；復數(shù)的運算.

【專題】計算題；轉化思想；綜合法；數(shù)系的擴充和復數(shù)；數(shù)學運算.

【答案】C

【分析】利用復數(shù)的代數(shù)形式的混合運算化簡后，然后求解復數(shù)的模.

【解答】解：z=號+2i=二!+2=-i+2i=i,

則|z|=l.

故選：C.

【點評】本題考查復數(shù)的代數(shù)形式的混合運算，復數(shù)的模的求法，考查計算能力.

2+ai

2.若a為實數(shù)，且一-=3+i,則a=()

l+i

A.-4B.-3C.3D.4

【考點】虛數(shù)單位i、復數(shù).

【專題】數(shù)系的擴充和復數(shù)；數(shù)學運算.

【答案】D

【分析】根據(jù)復數(shù)相等的條件進行求解即可.

2+ai

【解答】解：由--=3+i,得2+山=(1+z)(3+力=2+4/,

l+i

則〃=4,

故選：D.

【點評】本題主要考查復數(shù)相等的應用，比較基礎.

3.下列各式的運算結果為純虛數(shù)的是()

A.i(1+z)2B.r(1-z)C.(1+z)2D.i(1+z)

【考點】純虛數(shù)；復數(shù)的運算；虛數(shù)單位i、復數(shù).

【專題】轉化思想；數(shù)系的擴充和復數(shù).

【答案】C

【分析】利用復數(shù)的運算法則、純虛數(shù)的定義即可判斷出結論.

【解答】解：A.i(1+z)2=?2Z=-2,是實數(shù).

B.r(1-/)=-1+z,不是純虛數(shù).

C.(1+z)2=2i為純虛數(shù).

D.i(1+z)=i-1不是純虛數(shù).

故選：C.

【點評】本題考查了復數(shù)的運算法則、純虛數(shù)的定義，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題.

4.設2=白去，貝!J|z|=()

A.2B.V3C.V2D.1

【考點】復數(shù)的模.

【專題】對應思想；轉化法；數(shù)系的擴充和復數(shù).

【答案】C

【分析】直接利用復數(shù)商的模等于模的商求解.

【解答】解：由2=得，得團=1卷=品!i==&

故選：C.

【點評】本題考查復數(shù)模的求法，考查數(shù)學轉化思想方法，是基礎題.

5.已知z=(機+3)+(w-1)i在復平面內(nèi)對應的點在第四象限，則實數(shù)機的取值范圍是()

A.(-3,1)B.(-1,3)C.(1,+8)D.(-8,-3)

【考點】復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義.

【專題】計算題；規(guī)律型；轉化思想；數(shù)系的擴充和復數(shù).

【答案】A

【分析】利用復數(shù)對應點所在象限，列出不等式組求解即可.

【解答】解：z=(777+3)+Un-1)i在復平面內(nèi)對應的點在第四象限，

可得：［m+3＞°,解得-3＜租＜1.

1m—1VO

故選：A.

【點評】本題考查復數(shù)的幾何意義，考查計算能力.

6.設(1+z)x=l+yi,其中x,y是實數(shù)，則|x+yi|=()

A.1B.V2C.V3D.2

【考點】復數(shù)的模.

【專題】方程思想；定義法；數(shù)系的擴充和復數(shù)；數(shù)學運算.

【答案】B

【分析】根據(jù)復數(shù)相等求出x,y的值，結合復數(shù)的模長公式進行計算即可.

【解答】解：：。+力x=l+yi,

.,.x+xi—1+yi,

即［［；，解得二;，BPM=|1+/1=V2,

故選：B,

【點評】本題主要考查復數(shù)模長的計算，根據(jù)復數(shù)相等求出尤,y的值是解決本題的關鍵.

Z

7.右z=4+3i,則77=()

4343

A.1B.-1C.一十一，D.---i

5555

【考點】共物復數(shù)；復數(shù)的運算.

【專題】計算題；規(guī)律型；轉化思想；數(shù)系的擴充和復數(shù).

【答案】D

【分析】利用復數(shù)的除法以及復數(shù)的模化簡求解即可.

z4-3i4-3i43

【解答】解：z=4+3i,則77=...=~T-~~~~i-

|z||4A+3oi|555

故選：D.

【點評】本題考查復數(shù)的代數(shù)形式混合運算，考查計算能力.

8.若復數(shù)z滿足（3-4力z=|4+3i|,則z的虛部為（）

44

A.-4B.一言C.4D.-

55

【考點】復數(shù)的除法運算.

【專題】數(shù)系的擴充和復數(shù).

【答案】D

【分析】由題意可得2=號察=息，再利用兩個復數(shù)代數(shù)形式的乘除法法則化簡為|>由此

3-3—4155

可得Z的虛部.

【解答】解：???復數(shù)Z滿足（3-4i）z=|4+3i|,；.Z=中卵=昌=5（%旬=,+

4

故Z的虛部等于E，

故選：D.

【點評】本題主要考查復數(shù)的基本概念，兩個復數(shù)代數(shù)形式的乘除法法則的應用，屬于基礎題.

9.若復數(shù)(1-0(a+i)在復平面內(nèi)對應的點在第二象限，則實數(shù)a的取值范圍是()

A.(-8,1)B.(-°°,-1)C.(1,+8)D.(-1,+8)

【考點】復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義.

【專題】轉化思想；不等式的解法及應用；數(shù)系的擴充和復數(shù)；數(shù)學運算.

【答案】B

【分析】復數(shù)(1-/)(a+力=a+l+(1-a)i在復平面內(nèi)對應的點在第二象限，可得解得

(1-a>0

a范圍.

【解答】解：復數(shù)(1-z)(4+力=4+1+(15)i在復平面內(nèi)對應的點在第二象限，

fa+1<0月…一

?!,斛得-1.

11-a>0

則實數(shù)。的取值范圍是(-8,-1).

故選：B.

【點評】本題考查了復數(shù)的運算法則、幾何意義、不等式的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于基

礎題.

10.設(1+2力(〃+力的實部與虛部相等，其中〃為實數(shù)，則〃等于()

A.-3B.-2C.2D.3

【考點】復數(shù)的乘法及乘方運算.

【專題】計算題；規(guī)律型；轉化思想；數(shù)系的擴充和復數(shù).

【答案】A

【分析】利用復數(shù)的乘法運算法則，通過復數(shù)相等的充要條件求解即可.

【解答】解：(1+2，)(a+i)=a-2+(2a+1)i的實部與虛部相等，

可得：〃-2=2〃+1,

解得a=-3.

故選：A.

【點評】本題考查復數(shù)的相等的充要條件的應用，復數(shù)的乘法的運算法則，考查計算能力.

二.填空題(共5小題)

11.設復數(shù)zi,Z2滿足Izi|=|z2|=2,Z1+Z2=V3+Z,則|ZLZ2|=_2A/3_.

【考點】復數(shù)的模.

【專題】計算題；轉化思想；分析法；數(shù)系的擴充和復數(shù)；數(shù)學運算.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】利用復數(shù)模的計算公式和復數(shù)的運算性質(zhì)，求解即可.

【解答】解：復數(shù)zi,Z2滿足卬=閡=2,Z1+Z2=百+i,所以|ZI+Z2|=2,

,,IZ1+z2|2=CZ1+Z2).Z]+Z2—4,

8+z1藥+Z7Z2=4.得Zi為+z^z2=—4.

|zi-z2『=8-(+z[z2)=12.

又|Z1-Z2|>O,故|Z1-Z2|=2k.

故答案為：2g.

【點評】熟練掌握復數(shù)的運算法則和純虛數(shù)的定義、復數(shù)模的計算公式是解題的關鍵.

12.i是虛數(shù)單位，則||，|的值為_反_.

【考點】復數(shù)的運算；復數(shù)的模.

【專題】計算題；定義法；數(shù)系的擴充和復數(shù)；數(shù)學運算.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】本題可根據(jù)復數(shù)定義及模的概念及基本運算進行計算.

【解答】解：由題意，可知：

5-i(57)(1)5-61+產(chǎn)_

1+i(l+i)(l—i)1-建

??.|蕓|=|2-3z|=J22+(—3)2=V13.

故答案為：V13.

【點評】本題主要考查復數(shù)定義及模的概念及基本運算.本題屬基礎題.

CL—1

13.已知a€R,i為虛數(shù)單位，若一：為實數(shù)，則。的值為-2.

2+1-----------

【考點】復數(shù)的除法運算.

【專題】轉化思想；定義法；數(shù)系的擴充和復數(shù).

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】運用復數(shù)的除法法則，結合共軌復數(shù)，化簡匕，再由復數(shù)為實數(shù)的條件：虛部為0,解方程

2+1

即可得到所求值.

【解答】解：a&R,i為虛數(shù)單位，

ci—i(ci—f)(2—f)2a—1—(2+a)i2Q-12+a

2+i(2+i)(2—i)4+1—5—5

CL—l

由「為實數(shù)，

可得—牛=0,

解得a=-2.

故答案為：-2.

【點評】本題考查復數(shù)的乘除運算，注意運用共輾復數(shù)，同時考查復數(shù)為實數(shù)的條件：虛部為0,考查

運算能力，屬于基礎題.

14.i是虛數(shù)單位，復數(shù)絲4=4-z.

1+21-------------

【考點】復數(shù)的運算.

【專題】計算題；對應思想；定義法；數(shù)系的擴充和復數(shù).

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】根據(jù)復數(shù)的運算法則計算即可.

6+7i(6+7i)(l-2i)6+14+7i-12i20-5i

【解答】解:

l+2i(l+2i)(l-2i)-55

故答案為：4-i

【點評】本題考查了復數(shù)的運算法則，屬于基礎題.

15.i是虛數(shù)單位，若復數(shù)(1-20(?+z)是純虛數(shù)，則實數(shù)。的值為-2.

【考點】純虛數(shù)；虛數(shù)單位i、復數(shù).

【專題】數(shù)系的擴充和復數(shù).

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】由復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，再由實部等于0且虛部不等于0求得。的值.

【解答】解：由(1_2z)(a+i)—(a+2)+(1-2a)i為純虛數(shù)，

得槨+廣工，解得：a=-2.

11—2aW0

故答案為：-2.

【點評】本題考查了復數(shù)代數(shù)形式的乘法運算，考查了復數(shù)為純虛數(shù)的條件，是基礎題.

三.解答題(共5小題)

16.已知復數(shù)z滿足|z|=&,z?的虛部為2.

(1)求復數(shù)z；

(2)設z、z-z?在復平面上的對應點分別為A、B、C,求△ABC的面積.

【考點】復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義；復數(shù)的模.

【專題】綜合題；對應思想；轉化法；數(shù)系的擴充和復數(shù).

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】(1)設2="4(a,6CR),由已知列關于a,b的方程組，求解可得復數(shù)z；

(2)分類求得A、B、C的坐標，再由三角形面積公式求解.

【解答】解：(1)設z=a+bi(a,Z?￡R),

由已知可得：朦｝廠佟即｛::呼=2，

解得｛、；或憶二

.,.z=l+i或z=-1-i；

(2)當z=l+z.時，Z2=2Z,Z-z2=l-i,

：.A(1,1),B(0,2),C(1,-1),

i

故△ABC的面積S=2x2X1=1；

當z=T-i時,Z2=2Z,Z-Z2=-1-3z,

AA(-1,-1),B(0,2),C(-1,-3),

故△ABC的面積S=2x2義1=1.

.?.△ABC的面積為1.

【點評】本題考查復數(shù)的乘方和加減運算，考查復數(shù)相等的條件和復數(shù)的幾何意義，以及三角形的面積

的求法，考查運算能力，屬于中檔題.

17.已知復數(shù)z=3+bi(Z?CR),且(l+3i)?z為純虛數(shù).

(1)求復數(shù)z及2；

(2)若3=1工，求復數(shù)3的模|3|.

【考點】共施復數(shù)；復數(shù)的運算；虛數(shù)單位i、復數(shù).

【專題】轉化思想；數(shù)學模型法；數(shù)系的擴充和復數(shù).

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】(1)把z=3+bi(66R)代入(l+3/)-z,利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡結合已知條件即可

求出復數(shù)z及2；

(2)利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡3=1工，再由復數(shù)求模公式計算得答案.

【解答】解：(1)Vz=3+W(Z?eR),

，(1+3力?z=(1+31X3+瓦)=(3-36)+(9+6)i

又：(l+3i)?z是純虛數(shù),

...3-36=0,且9+bWO,

.*.z=3+z,z=3—i；

s、3+i(3+i)(2-07-i71.

⑵^=2+7=(2+0(2-0=~=5-5{

7-i71.

=-=5-5Z

，31=J(j)2+(-1)2=V2.

【點評】本題考查了復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查了復數(shù)的基本概念以及復數(shù)模的求法，是中檔題.

18.已知z為復數(shù)，z+2i和三均為實數(shù)，其中i是虛數(shù)單位.

2—1

(I)求復數(shù)Z;

(II)若復數(shù)(z+ai)2在復平面上對應的點在第一象限，求實數(shù)。的取值范圍.

【考點】復數(shù)的混合運算.

【專題】計算題.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】(/)設出復數(shù)的代數(shù)形式，整理出z+2z?和三，根據(jù)兩個都是實數(shù)虛部都等于0,得到復數(shù)的

2—1

代數(shù)形式.

(〃)根據(jù)上一問做出的復數(shù)的結果，代入復數(shù)(z+出)2,利用復數(shù)的加減和乘方運算，寫出代數(shù)的標

準形式，根據(jù)復數(shù)對應的點在第一象限，寫出關于實部大于0和虛部大于0,解不等式組，得到結果.

【解答】解：(I)設復數(shù)z=a+bi(a,6CR),

由題意，z+2，=q+/?i+萬=〃+(Z?+2)zGR,

.,./?+2=0,BPb=-2.

z(a+bi)(2+i)2a-b2b+a

又有二—5—+-------i￡R,

55

2b+a=0,即a=-26=4.；.z=4-2i.

(II)由(I)可知z=4-2i,

,/(z+flz)2=(4-2i+ai)2=[4+(a-2)z]2=16-(a-2)2+8(A-2)i

對應的點在復平面的第一象限，

C16-(a-2)2>0

l8(a-2)>0

解得a的取值范圍為2<a<6.

【點評】本題考查復數(shù)的加減乘除運算，考查復數(shù)的代數(shù)形式和幾何意義，考查復數(shù)與復平面上點的對

應，考查解決實際問題的能力，是一個綜合題.

19.已知復數(shù)zi=l-2i,z2=3+4i,i為虛數(shù)單位.

(1)若復數(shù)Z1+4Z2在復平面上對應的點在第四象限，求實數(shù)。的取值范圍;

⑵若z=fl,求Z的共匏復數(shù)2.

z2

【考點】共輾復數(shù)；復數(shù)的運算；復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義.

【專題】轉化思想；定義法；數(shù)系的擴充和復數(shù)；數(shù)學運算.

【答案】⑴實數(shù)。的取值范圍是(J1);

(2)Z=-E+三乙

【分析】(1)根據(jù)題意化簡Z1+Q22,由該復數(shù)在復平面上對應的點在第四象限列方程組求出。的取值范

圍；

(2)化