2024年上海中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：勾股定理及其逆定理（講義）（解析版）

專題11勾股定理及其逆定理核心知識(shí)點(diǎn)精講

恒^復(fù)靠記

1.了解勾股定理的歷史，掌握勾股定理的證明方法；

2.理解并掌握勾股定理及逆定理的內(nèi)容；

3.能應(yīng)用勾股定理及逆定理解決有關(guān)的實(shí)際問題；

4.加強(qiáng)知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，用方程思想解決幾何問題.以體現(xiàn)代數(shù)與幾何之間的內(nèi)在聯(lián)系.

【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】

考點(diǎn)一、勾股定理

1.勾股定理：

直角三角形兩直角邊。、的平方和等于斜邊c的平方.（即：a2+b2^c2）

【要點(diǎn)詮釋】勾股定理也叫商高定理，在西方稱為畢達(dá)哥拉斯定理.我國(guó)古代把直角三角形中較短的直角

邊稱為勾，較長(zhǎng)的直角邊稱為股，斜邊稱為弦.早在三千多年前，周朝數(shù)學(xué)家商高就提出了“勾三，股四，

弦五”形式的勾股定理，后來人們進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)并證明了直角三角形的三邊關(guān)系為：兩直角邊的平方和等于

斜邊的平方.

2.勾股定理的證明：

勾股定理的證明方法很多，常見的是拼圖的方法.

用拼圖的方法驗(yàn)證勾股定理的思路是：

①圖形經(jīng)過割補(bǔ)拼接后，只要沒有重疊，沒有空隙，面積不會(huì)改變；

②根據(jù)同一種圖形的面積不同的表示方法，列出等式，推導(dǎo)出勾股定理.

3.勾股定理的應(yīng)用

勾股定理反映了直角三角形三邊之間的關(guān)系，是直角三角形的重要性質(zhì)之一，其主要應(yīng)用是:_____

①已知直角三角形的任意兩邊長(zhǎng)，求第三邊，在AABC中，NC=90。，貝。。=，片+^,b=y/c2-a2,

a=yjc2-b1；

②知道直角三角形一邊，可得另外兩邊之間的數(shù)量關(guān)系；

③可運(yùn)用勾股定理解決一些實(shí)際問題.

考點(diǎn)二、勾股定理的逆定理

1.原命題與逆命題

如果一個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和題設(shè)，這樣的兩個(gè)命題叫做互逆命題.如果把其

中一個(gè)叫做原命題，那么另一個(gè)叫做它的逆命題.

2.勾股定理的逆定理

勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)。、b、c,滿足后+從=。2,那么這個(gè)三角形是直角三角形.

［要點(diǎn)詮釋］

①勾篇定理的逆定理是判定一個(gè)三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過“數(shù)轉(zhuǎn)化為形”來確定

三角形的可能形狀；

②定理中a,b,c及只是一種表現(xiàn)形式，不可認(rèn)為是唯一的，如若三角形三邊長(zhǎng)a,b,c滿

足"+c2=b2,那么以“，b,c為三邊的三角形是直角三角形，但是6為斜邊；

③勾股定理的逆定理在用問題描述時(shí)，不能說成：當(dāng)斜邊的平方等于兩條直角邊的平方和時(shí)，這個(gè)三角形

是直角三角形.

3.勾股數(shù)

①能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)稱為勾股數(shù)，即￡+無=°2中，a,b,c為正整數(shù)時(shí)，稱a,

b,c為一組勾股數(shù)；

②記住常見的勾股數(shù)可以提高解題速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等；

③用含字母的代數(shù)式表示〃組勾股數(shù)：

n2—1,2n,H2+1（n>2,〃為正整數(shù)）；

2n+1,2n2+2n,2n2+2H+1（〃為正整數(shù)）

m2-M2,2mn,m1+n2（m>n,m,〃為正整數(shù)）.

考點(diǎn)三、勾股定理與勾股定理逆定理的區(qū)別與聯(lián)系

區(qū)別：勾股定理是直角三角形的性質(zhì)定理，而其逆定理是判定定理；

聯(lián)系：勾股定理與其逆定理的題設(shè)和結(jié)論正好相反，兩者互為逆定理，都與直角三角形有關(guān).

典例引領(lǐng)

【題型1:勾股定理在圖形翻折中的應(yīng)用】

【典例1】如圖，將長(zhǎng)方形紙片A3CD折疊，使邊OC落在對(duì)角線AC上，折痕為CE,且。點(diǎn)落在對(duì)角線

上處，若AB=6,AD=8,則EO的長(zhǎng)為（）

43

A.—B.3C.1D.—【答案】B

【分析】本題考查矩形的折疊，勾股定理，熟練掌握運(yùn)用勾股定理解決長(zhǎng)方形的折疊是解題的關(guān)鍵.首先

利用勾股定理計(jì)算出AC的長(zhǎng)，再根據(jù)折疊可得.DEC段,DEC,設(shè)ED=x,貝U

DE=x,AD=AC—Ciy=4,AE=8—x,再根據(jù)勾股定理可得方程4?+爐=（8-xj,再解方程即可.

【詳解】:AB=6,AD=8,

DC=6,

根據(jù)勾股定理得AC=用+82=10，

根據(jù)折疊可得：DEC-DEC,

DC=DC=6,DE=DE,

T^ED=X,貝=AD=AC-Ciy=4,AE=8-x,

在RtAEZ7中：（AO）2+（EE＞）2=AE2,BP42+x2=（8-x）2,

解得：x-3,

故答案為：B.

即時(shí)檢測(cè)

1.如圖，ABC中，ZACB=90°,AC=12,BC=10,將VADE沿DE翻折，使點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，則CE的

長(zhǎng)為（）

A.—B.—C.3.5D.4

46

【答案】B

【分析】此題考查了勾股定理與折疊問題，設(shè)CE=x,貝l]AE=12-x,根據(jù)折疊得到gE=AE=12-x,由勾

股定理列得8c2+CE?=跖2,代入數(shù)據(jù)得到方程求出尤的值即可.

【詳解】解:設(shè)CE=X,則AE=12-x,

由折疊得BE=AE=12-x,

ZACB=90°,

BC-+CE1=BE1,

：.102+X2=（12-X）\

解得x=?，

6

故選：B.

2.如圖，將長(zhǎng)方形ABC。沿對(duì)角線5。對(duì)折，使點(diǎn)C落在點(diǎn)C處，BC交AD于E,AD=16,AB=8,則

重疊部分（即△BDE1）的面積為（）

A.24B.30C.40D.80

【答案】C

【分析】本題考查的是勾股定理與折疊問題，平行線的性質(zhì)，等角對(duì)等邊性質(zhì)，由折疊結(jié)合矩形的性質(zhì)先

證明應(yīng)三刀后，謖BE=DE=x,則AE=16-x,再利用勾股定理求解x,從而可得5DE的面積.掌握以

上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：長(zhǎng)方形ABC。，AD=\6,AB=8,

:.AD//BC

:.ZADB=NCBD

由對(duì)折可得：/CBD=NC'BD

:.ZADB=ZC'BD

:.BE=DE

設(shè)BE=DE=x,貝l]AE=16r,

ZA=90°

BE2=AB2+AE2

,-.x2=82+（16-A：）2

.,.x=10

..DE=BE=10

:.S=-DE-AJB=-X10X8=40.

BDE22

故選：C.

3.如圖，將長(zhǎng)方形紙片45co的邊沿折痕AE折疊，使點(diǎn)。落在BC上的點(diǎn)尸處，若AB=5,AD=13,則所

的長(zhǎng)為（）

【答案】B

【分析】本題主要考查了勾股定理與折疊問題，長(zhǎng)方形的性質(zhì)，先由長(zhǎng)方形的性質(zhì)得到

BC=AD=13,ZB=ZC=90°,CD=AB=5,再由折疊的性質(zhì)得到AF=AD=13,EF=DE,利用勾股定

理求出班'=12,則CF=1,設(shè)EF=DE=x,則CE=CD-￡>E=5-x,利用勾股定理建立方程

無2=仔+（5-X）、解方程即可得到答案.

【詳解】解：由長(zhǎng)方形的性質(zhì)可得BC=AD=13,ZB=ZC=90°,CD=AB=5,

由折疊的性質(zhì)可得AF=AD=13,EF=DE,

在RtAB/7中，由勾股定理得3尸=辦尸-不加=]2,

CF=BC-BF=\,

設(shè)EF=DE=x,則CE=CD-￡>E=5-x,

在RtACEF中,由勾股定理得EF-=CE2+CF2,

x2=仔+(5—尤

13

解得無=1,

故選B.

4.如圖長(zhǎng)方形ABCD中，BC=5,AB=3,點(diǎn)E為邊CD上一點(diǎn)，將3CE沿匹翻折后，點(diǎn)C恰好落在邊AD

上的點(diǎn)尸處，則CE=()

45

A.2B.-C.-D.1

33

【答案】C

【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)及勾股定理，設(shè)CE=x,則OE=3-x,由折疊性質(zhì)可知，EF=CE=x,

BF=BC=5,求出AF=4,FD=AB-AF=1,在RtABE尸中，DE2+DF2=EF2，即（3-尤>+F=Y,

即可求解.

【詳解】解：設(shè)CE=x,則DE=3—x,

由折疊性質(zhì)可知，EF=CE=x,BF=BC=5,

在RtA3/中，AB=3,BF=5,

AF=y/BF2-AB2=4，

DF^AD-AF=1,

在RtABEF中,DE2+DF2=EF2，

即（3—x）2+12=x2,

解得x=g.

故選：c.

庾例引領(lǐng)

【題型2：勾股定理及其逆定理在求圖形面積中的應(yīng)用】

【典例2】有一個(gè)面積為1的正方形，經(jīng)過一次"生長(zhǎng)”后，在他的左右肩上生出兩個(gè)小正方形，其中，三個(gè)

正方形圍成的三角形是直角三角形，再經(jīng)過一次“生長(zhǎng)"后，變成了如圖，如果繼續(xù)"生長(zhǎng)"下去，它將變得“枝

繁葉茂"，請(qǐng)你算出"生長(zhǎng)”了2023次后形成的圖形中所有的正方形的面積和是（）

A.22023B.22024C.2023D.2024【答案】D

【分析】本題主要考查了勾股定理在幾何圖形中的應(yīng)用，根據(jù)勾股定理和正方形的面積公式，知"生長(zhǎng)"1次

后，以直角三角形兩條直角邊為邊長(zhǎng)的正方形的面積和等于以斜邊為邊長(zhǎng)的正方形的面積，即所有正方形

的面積和是2x1=2；"生長(zhǎng)"2次后，所有的正方形的面積和是3x1=3,推而廣之即可求出"生長(zhǎng)”2023次后

形成圖形中所有正方形的面積之和.能夠根據(jù)勾股定理發(fā)現(xiàn)每一次得到新正方形的面積和與原正方形的面

積之間的關(guān)系是解本題的關(guān)鍵.

【詳解】解：由題意得，正方形A的面積為1,

由勾股定理得，正方形B的面積+正方形C的面積=1

二"生長(zhǎng)”了1次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為2,

同理可得，"生長(zhǎng)”了2次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為3,

二"生長(zhǎng)”了3次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為4,

二"生長(zhǎng)”了2023次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為2024,

故選：D.

即時(shí)檢過

1.如圖，這是由兩個(gè)直角三角形和三個(gè)正方形組成的圖形，其中陰影部分的面積是（）

12

A.169B.144C.30D.25

【答案】D

【分析】本題主要考查了勾股定理，在RtaABC由勾股定理得到AB?=25,由題意得，=則Er=25,

在RtAEFP中,根據(jù)勾股定理得出：EF2=EP2+PF2=25,貝!J陰影部分面積=2產(chǎn)+尸^=石尸=25.

【詳解】解：如圖所示：

Q

由題意得，AB=EF,

EF2=25,

在RtAEFP中，根據(jù)勾股定理得出：EF-=EP2+PF2=25,

陰影部分面積=PF2+PE2=EF2=25.

故選：D.

2.如圖、在Rt^ABC中，分別以這個(gè)三角形的三邊為邊長(zhǎng)向外側(cè)作正方形、面積分別記為豆，邑，S3.若

H+邑-S3=18.則圖中陰影部分的面積為（）

-22

【答案】B

【分析】本題考查了勾股定理，解題的關(guān)鍵是由勾股定理得出邑-邑=z是解題的關(guān)鍵.由勾股定理得出

S—,再根據(jù)4+S2-M=18可得出"的值，即可求解.

【詳解】解：由勾股定理得：BC2-AC2=AB2,

即$2-53=，，

Sl+S2-S3=18,

...S1=9,

由圖形可知，陰影部分的面積為gd，

9

，陰影部分的面積為

故選：B.

3.李伯伯家有一塊四邊形田地A3CD,其中NA=90。，AB=9m,BC=36m,CD=39m,AD=Um,則

這塊地的面積為（）

A.196m2B.225m2C.324m2D.256m2

【答案】C

【分析】本題考查了勾股定理和三角形面積的應(yīng)用，連接30,運(yùn)用勾股定理逆定理可證△D8C為直角三

角形，可求出兩直角三角形的面積，此塊地的面積為兩個(gè)直角三角形的面積和.

【詳解】解：連接3。，則在Rt4）3中，

BD1=AB2+AD2=122+92=225,

:.BD=\5,

在△￡>BC中，CD2=1521,DB2+BC2=152+362=1521,

DC2=BD2+BC2,

/DBC=90°,

:.S+S（平方米），

nADRLnJ=-2AB-A￡>+-B2￡>-CB=-2xl2x9+-x2l5x36=54+270=324,

故答案為：c.

4.如圖，四邊形ABCD中，E為AB中點(diǎn)，DEJ.AB于點(diǎn)E,AB=8,DE=&BC=2,CD=5,則四邊

形ABC。的面積為（）

AEB

A.02IB.475+5C.4逐+傷D.無法求解

【答案】C

【分析】連接先求出80的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理的逆定理得出△BCD是直角三角形，進(jìn)而利用三角形

的面積公式解答即可.

【詳解】解：連接,

E為A3的中點(diǎn)，DE±AB,

是AB的垂直平分線，/DEB=90。，

AB=8,

.-.AE=BE=4,

DE=y/5,

\BD=《DE。+BE?=?耳+4?=亞,

BC=2,CD=5,

\BD'+BC2=(721)2+22=25=52=CD2,

.?.△BCD是直角三角形，NDBC=90°,

..?四邊形ABCD的面積=5⑻+5的=3"?。石；BD?BC；倉(cāng)$百+g倉(cāng)山而=4非+叵,

故選：C.

【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理的逆定理得出△38是直角三角

形.

或例系領(lǐng)

【題型3：勾股定理及其逆定理的綜合應(yīng)用】

【典例3】暑假中，小明和同學(xué)們到某海島去探寶旅游，按照如圖所示的路線探寶，他們登陸后先往東走

8km,又往北走2km,遇到障礙后又往西走3km,再折向北走6km處往東一拐，僅走1km就找到了寶藏，

則登陸點(diǎn)到埋寶藏點(diǎn)的直線距離為km.

十埋寶藏點(diǎn)

/6

/【答案】10

/3

/I2

登陸點(diǎn)8圖i-i-5

【詳解】試題分析：過埋寶藏點(diǎn)作垂線，然后根據(jù)勾股定理求出直線距離.

考點(diǎn)：勾股定理

即時(shí)掇1L

1.兩個(gè)大小不同的等邊三角形三角板按圖①所示擺放.將兩個(gè)三角板抽象成如圖②所示的△抽。和4

VADE,點(diǎn)8、C、D依次在同一條直線上，連接CE.若C￡>=1,CE=3,則點(diǎn)A到直線BC的距離為.

圖①圖②

【答案】出

【分析】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用等，首先根據(jù)等

邊三角形的性質(zhì)得ZBAC=60。，AB^AC,ZDAE^6O°,AD=AE,進(jìn)而可得出N54D=NC4E,據(jù)此可

依據(jù)"SAS"判定△AB。和3CE全等，從而得出8D=CE=3,進(jìn)而得3C=2,然后過點(diǎn)A作AHJ_BC于

點(diǎn)H,在RtAHC中，利用勾股定理可求出的長(zhǎng).

【詳解】解：ABC和VADE均為等邊三角形，

ZBAC^60°,AB^AC,AD=AE,ZDAE=60°,

：.ZBAC=ZDAE,

：.NBAC+NCAD=NDAE+NCAD,

即：ZBAD=ZCAE,

在△回￡)和上次慮中，

AB=AC

<ABAD=NCAE,

AD=AE

ABD^,ACE(SAS),

BD=CE,

BC+CD=CE,

-：CD=1,CE=3,

：.BC+}=3,

BC=2,

???ABC是等邊三角形，

BH=CH=—BC=—x2=1,AC=BC=2,

22

在RtAHC中，AC=2,

由勾股定理得：AH=y/AC2-CH2=A/22-I2=>/3.

二點(diǎn)A到直線BC的距離為用.

故答案為：73.

2.如圖，已知NBAC=NZME=90。，ZABC=ZADE=30°,AC=DE=2g,將VADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),

旋轉(zhuǎn)角為a(0°<a<180°),當(dāng)點(diǎn)。恰好落在ABC的邊上時(shí)，的長(zhǎng)為.

【答案】3或3g或3石

【分析】本題考查了圖形的旋轉(zhuǎn)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握?qǐng)D形的旋轉(zhuǎn)及直角三角形的性質(zhì)是解答本

題的關(guān)鍵.先利用直角三角形的性質(zhì)求出和的長(zhǎng)，再求出Rt^ABC斜邊上的高A”的長(zhǎng)，當(dāng)點(diǎn)。落

在A5邊上時(shí)，BD=AB-AD=3,當(dāng)點(diǎn)。落在BC邊上時(shí)，可得點(diǎn)。與點(diǎn)H重合，利用勾股定理求得8。的

長(zhǎng)；當(dāng)點(diǎn)。落在AC邊上時(shí)，直接利用勾股定理求得2D的長(zhǎng)，由此即得答案.

【詳解】作斜邊上的高AH,

ZBAC=9Q°,ZABC=30°,

BC=2AC=4A/3,

AB=VBC2-AC2=7(4A/3)2-(273)2=6，

?=①蛆=*=3

BC473

ZZME=90°,ZADE=3Q°,

:.AE=-DE=y/3,

2

AD=^DE2-AE2=J(2后-(拘2=3,

當(dāng)點(diǎn)。落在AB邊上時(shí)，如圖1,BD=AB-AD=6-3=3；

當(dāng)點(diǎn)。落在8c邊上時(shí)，如圖2,點(diǎn)。與點(diǎn)H重合，

BD=yjAB2-AD2=762-32=373；

當(dāng)點(diǎn)D落在AC邊上時(shí)，如圖3,

BD=^AB2+AD2=762+32=3石；

綜上所述，的長(zhǎng)為3或3百或3石.

3.在Rt/XABC中，ZABC=90°,AB=15,BC=8.以BC為底在ABC內(nèi)部作等腰△D8C,連接AD,

若BD=5,則AD的長(zhǎng)為.

【答案】4廂

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理,等腰三角形的性質(zhì)；過點(diǎn)D作DELBC,DF±AB,

垂足分別為E,F；由等腰三角形的性質(zhì)及勾股定理求得OE的長(zhǎng)，再證明BDE^DBF,可得防、。/的

長(zhǎng)，再由勾股定理即可求得長(zhǎng).

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)。作OELBC,DF±AB,垂足分別為E,F,

則/Z)FB="E3=90。；

△￡>8C是等腰三角形，

BE=-BC=4-

2

由勾股定理得DE=^BEr-BEr=，25-16=3；

DFAB,ZABC=90°,

DF//BE,

■■ZFDB=ZDBE；

NDFB=NDEB=90。,BD=DB,

BDE^DBF(AAS),

：.BF=DE=3、DF=BE=A,

AF=AB-BF=15-3=12,

由勾股定理得AD=ylAF2+DF2=V144+16=4而?

故答案為：4^10.

4.如圖，在.ABC中，ZABC=3O°,A8=AC=2石，點(diǎn)。是邊BC上的點(diǎn)，將.ACD沿AD折疊得到△AED,

點(diǎn)E是點(diǎn)C的對(duì)稱點(diǎn).若NCDE為120。，則8的長(zhǎng)是.

【答案】2或4/4或2

【分析】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)以及含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理.先求得3c=6,

分兩種情況討論，利用等腰三角形的判定和性質(zhì)以及含30度角的直角三角形的性質(zhì)求解即可.

【詳解】解：作AGJ_BC于點(diǎn)G,

AB=AC=2y/3,ZABC=30°,

AG=-AB=A/3,

2

22

?1?CG=BG^^IAB+AG=3<

BC=2BG=6,

當(dāng)點(diǎn)E在直線BC的下方時(shí)，如圖,

A

E

由折疊的性質(zhì)得/ADC=/ADE,

???ZCDE=120°,

：.ZADC=ZADE=120°,

：.ZAB6=60°,

ZBAD^90°,/ZMC=NC=30°,

:.AD=CD,BD=2AD,

：.CD=-BD=-BC=2；

23

綜上，CO的長(zhǎng)是2或4.

故答案為：2或4.

好嬴

a礎(chǔ)過姜

1.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（-5,0）,點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0,12）,點(diǎn)M是上一點(diǎn)，將二ABM

沿A"折疊，點(diǎn)B恰好落在x軸上的點(diǎn)9處，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為（）

【答案】B

【分析】此題重點(diǎn)考查圖形與坐標(biāo)、勾股定理、軸對(duì)稱的性質(zhì)等知識(shí)，求得O*=8并且推導(dǎo)出

BM=BM=12-OM是解題的關(guān)鍵.

由勾股定理得AB=&M2+O32=13,由折疊得AB，=AB=13,BM=BM=12-OM,貝!|。8'=AB—Q4=8,

由OM2+O髭2=?加2,得OM2+82=（12-OMY,求得0M=5,則于是得到問題的答案.

【詳解】解：4-5,0）,B（0,12）,ZAOB=ZMOB'=90°,

:.OA=5,08=12,

AB=yjOAr+OB2=752+122=13，

由折疊得AB'=AB=13,B'M=BM=12-OM,

:.OB'=AB'-OA=13-5=8,

OM2+OB'2=B'M2,

.-.OM2+82=（12-OM）2,

解得aw=T，

M吟），

故選：B.

2.如圖，在RtABC中，AB=4,點(diǎn)M是斜邊BC的中點(diǎn)，以為邊作正方形AMEF,S正方形.廣=16,

則$ABC=（）

A

A.4A/3B.8如C.12D.16

【答案】B

【分析】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，正方形的面積計(jì)算公式，直角三角形面積

的計(jì)算公式，勾股定理，掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵.

先根據(jù)正方形AWEF的面積求出AM的長(zhǎng)，然后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求出BC的長(zhǎng),

最后根據(jù)勾股定理求出AC的長(zhǎng)，然后即可求出直角三角形ABC的面積.

【詳解】???四邊形4期是正方形，

又「S正方形/WEF=16,

:.AM2=16,

:.AM=4,

在及ABC中，點(diǎn)M是斜邊BC的中點(diǎn)，

:.AM=-BC,

2

即BC=2AM=8,

在心ABC中，AB=4,

22

AC=A/BC2-AB2=>/8-4=473,

$VABC=]".AC=—x4X4A/3=8/,

故選：B.

3.如圖，在RtABC中，ZA=90°,AB=3,BC=5f用圓規(guī)在上分別截取BD,BE,使BD=BE,

分別以為圓心，大于[OE長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧在/A5c內(nèi)交于點(diǎn)尸，連接班■并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)G,

2

則BCG的面積是（）

159

A.—B.6C.—D.-

244

【答案】C

【分析】本題考查角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理，根據(jù)作圖過程得到BG平分/ABC,

過G作GH,8c于H,根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到AG=GH,進(jìn)而證明RtABG絲RtHBG（HL）得到

BH=AB=3,則S=2,然后根據(jù)勾股定理求得GH=弓即可求解.

【詳解】解：,?.在RtASC中，44=90。,48=3,3。=5,

AC=^BC1-AB1=752-32=4>

由作圖過程得BG平分/ABC,過G作G"_LBC于H,

AG=GH,又BG=BG,

RtABG^RtHBG(HL),

BH=AB=3,

：.CH=BC—BH=2,

在RtCHG中，由勾股定理得22+G/f2=CG2=(4-Ga)2,

解得G4=g,

3CG的面積是1創(chuàng)5-=—,

2224

故選：C.

4.如圖，在?ABC中，ZACB=90°,ZA=22.5°,CDL4B于點(diǎn)D,點(diǎn)E為A3的中點(diǎn)，連接CE,若CO=#,

A.2君B.8C.4A/3D.3娓

【答案】C

【分析】本題考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、等邊對(duì)等角，根據(jù)直

角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得CE=AE=BE=3AB,由等邊對(duì)等角得出ZACE=ZA=22.5°,

從而得出NCEE>=NACE+NA=45。，進(jìn)而aCDE是等腰直角三角形，由勾股定理得出CE=，即可得出

答案，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵.

【詳解】解：，在ABC中，/4CB=90。，點(diǎn)￡為45的中點(diǎn)，

:.CE=AE=BE=-AB,

2

ZA=22.5°,

:.ZACE=ZA=22.5°,

:.ZCED=ZACE+ZA=45°,

CDLAB,

：.CDE是等腰直角三角形，

CD=DE=^6,

:.CE=y/CD2+DE2=2A/3，

AB=2CE=4g,

故選：C.

能力想升

1.如圖，MC和.ECO都是等腰直角三角形，ABC的頂點(diǎn)A在'ECD的斜邊OE上.下列結(jié)論：其中

正確的有（）

@AACE^A5CD；②NDAB=ZACE；（3）AE+AC=CD,@AE2+AD2^2AC2

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】C

【分析】由ABC和-ECD都是等腰直角三角形，可證NEG4=NDCB,根據(jù)SAS得證△ACE絲ABCD①

正確；由全等得?=ZEAC=NDBC,ZBDC=ZE=45°,于是NAZ)3=90。，可證/ACO=/ABD,

從而//MB=/ACE.故②正確；及△"￡>中，AB?=4￡>2+3。2,于是A^+A^=2AC?；④正確；由ABC

的頂點(diǎn)A在ECD的斜邊OE上，得AE+ACWCE,從而AE+ACNCD,故③錯(cuò)誤.

【詳解】解；ABC和ECD都是等腰直角三角形，

ZE=ZEDC=ZCAB=ZCBA=45°,

CE=CD,CA=CB.

：.ZECA=ZDCB.

：.△ACE絲△BCD.①正確；

AE=DB,ZEAC=ZDBC,NBDC=NE=45。.

/.ZADB=ZEDC+ZBDC=90°；

?「ZEAC=ZACD+ZADC,ZDBC=ZABC+ZABD,

ZACD=ZABD.

?/ZABD+ABAD=90°,ZACE+ZACD=90°,

/.ZDAB=ZACE.故②正確；

中，AB2=AD2+BD2

而AB2=AC2+BC2=2AC\AE=BD

AE2+AD2=2AC2;④正確；

:ABC的頂點(diǎn)/在的斜邊OE上，

.,.AE+AC2CE,

而CE=CD

AE+AC>CD,故③錯(cuò)誤.

故選：C

【點(diǎn)睛】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，兩點(diǎn)之間線段最短；由

全等三角形得到線段相等，角相等是解題的關(guān)鍵.

2.如圖，在四邊形ABDE中，AB//DE,點(diǎn)C是邊8D上一點(diǎn)，BC=DE=a,CD=AB=b,

1211

AC=CE=c.下列結(jié)論：①ABC^CDE；②ZACE=90。；③^^+匕）--5才=2xyb；④該圖可

以驗(yàn)證勾股定理.其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是（）

【答案】A

【分析】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，勾股定理的證明；證明ZiABC/△CQE（SAS）,由全等

三角形的性質(zhì)可得出/BAC=/OCE,ZACB=ZE.再由圖形的面積逐項(xiàng)分析判斷即可求解.

【詳解】解：AB//DE,ABYBD,

:.DE±BD,

:.ZB=ZD=90°.

在.ABC和CDE■中,

AB=CD

ZB=ZD=90°,

BC=DE

AABC^ACr)E(SAS),

:.NBAC=NDCE,ZACB=ZE.

/BAC+ZACB=9伊,

ZDCE+ZACB=90°.

ZDCE+ZACB+ZACE=180°,

ZACE=90。，

故①②正確；

梯形ABE史的面積-直角三角形ACE的面積=兩個(gè)直角三角形的面積，

—(a+b)2——c2=2x—ab

222f

222

a+b-c>(0+6)2=/,

故③④正確

故選：A.

3.如圖，在四邊形ABC。中，AB=2.,BC=2,CD=4,DA=2娓,且NABC=90。，則四邊形ABC。的面

A.4B.1+2&C.2+40D.1+72

【答案】C

【分析】連接AC,在RtABC中得到AC的值，然后再根據(jù)：DC2+AC2=AD2,可得是直角三角

形，最后求得RtACD和RtA3c的面積和就是所求四邊形的面積.

【詳解】解：連接AC,

D

,/ZABC=90°,AB=2,BC=2,

在RtABC中，AC2=AB2+BC2,

AC2=8,AC=2V2,

文:CD=4,DA=2巫,

DC2=16,AD2=24.

在，ACD中有：DC"+AC1=16+8=24=AD2,

ACD是直角三角形，ZDC4=90°,

四邊形ABC。的面積

=S+S=-DC-AC+-AB-BC=-X4X2A/2+-X2X2=2+4^,

.Arn/AtoReC2222

故選：c.

【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，通過作輔助線可將一般的四邊形轉(zhuǎn)化為兩個(gè)直角三角

形，使面積的求解過程變得簡(jiǎn)單.

4.如圖，一塊鐵皮（圖中陰影部分），測(cè)得AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,ABIBC,則陰影部分

【答案】A

【分析】連接AC,先根據(jù)勾股定理求出AC的長(zhǎng)，再由勾股定理的逆定理判斷出ACD是直角三角形，進(jìn)

而可得出結(jié)論.

【詳解】解：如圖，連接AC.

A

在ABC中，ABIBC,即？390?,AB=3,BC=4,

AC=\lAB2+BC2=5.

CD=12,AD=13,AC=5,

AC2+CD2=AD2,

ACD是直角三角形，

S陰影=—S/^ABC=—x5xl2--x3x4=30-6=24.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理及勾股定理的逆定理，三角形的面積等知識(shí)，先根據(jù)題意判斷出A8是直

角三角形是解答此題的關(guān)鍵.

5.如圖，Rt^ABC中，/ACB=90。，分別以AC,BC,AB為邊作等腰直角三角形，

NZMC=N3￡C=NA"=90。，若,BCE的面積是3,ACD的面積是4,則的面積是（）

【答案】B

【分析】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理.根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和三角形的面積公式

分別求得3。2=2③2=12,AC2=8,再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和三角形的面積公式即可求解.

【詳解】解：；8CE是等腰直角三角形，

BC2=2CE2,

'''BCE的面積是3,

11,

S=-CEXBE=-CE2=3,

BRCCEF22

BC2=2CE2=12,

ACD的面積是4,

AC?=8,

5^=^52=|（^2+5^）=|（8+12）=10,

故選:B.

6.如圖，在Rt^ABC中，/ACB=90。，ZA=60°,AC=6,將.ASC繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到△A'3'C,

此時(shí)點(diǎn)A恰好在AB邊上，則點(diǎn)&與點(diǎn)B之間的距離為（）

C.6夜D.673

【答案】D

【分析】連接班'，根據(jù)已知條件以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得6=6',進(jìn)而可得，ACA是等邊三角形，可得旋轉(zhuǎn)

角為60。，即可得V3CB'是等邊三角形，即可求解.

【詳解】解：如圖，連接班'，

將ABC繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到△A'3'C,此時(shí)點(diǎn)A恰好在AB邊上,

CA=CA,CB=CB',

又NA=60。，

.,.一AC4'是等邊三角形，

???旋轉(zhuǎn)角ZB'CB=//VC4=60。，

CB=CB',

??.VBC8'是等邊三角形，

BB'=BC,

在Rt^ABC中，ZACB=90°,ZA=60°,AC=6,

.-.ZABC=30°,

:.AB=2AC=12,

BC=\lAB2-AC2=7122-62=6y/3，

???點(diǎn)8'與點(diǎn)B之間的距離為BB'=BC=6y[3,

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，

找到旋轉(zhuǎn)角是解題的關(guān)鍵.

7.如圖，在RtAABC中，AB=AC,D,E是斜邊8C上兩點(diǎn)，且NZME=45。，將△ADC繞點(diǎn)A順時(shí)針

旋轉(zhuǎn)90。后，得到連接EF,下列結(jié)論：

①

②ABE^ACD；

（3）BE+DC=DE；

@BE2+DC2=DE~.

其中正確的是（）

A.②④B.①④C.②③D.①③

【答案】B

【分析】利用SAS證明可判斷①；由物與CD不一定相等，可判斷②；由DE=EF,

在△BEF中,BE+BF>EF,可判斷③；利用勾股定理判斷④.

【詳解】解：在Rt^ABC中，AB=AC,

：.ABAC=900°,ZABC=ZC=45°,

ZDAE=45°,

ZBAE+ZDAC^45°,

,將AADC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，得到△相?,

△AFB絲△ADC,

NBAF=NCAD,AF=AD,BF=CD,ZABF=ZACD=45°,

：.ZEAF=ZBAF+ZBAE=ZCAD+ZBAE=45°,

?.ZEAF=ZEAD,ZEBF=ZABF+ZABD=45°+45°=90°,

在△AED與△?!￡下中,

AD=AF

<ZEAD=ZDAF,

AE=AE

AED^AEF(SAS),故結(jié)論①正確；

DE=FE，

在A/?/獷中,BE+BF>EF,

..BE+CD>DE,故結(jié)論③錯(cuò)誤；

在，ABE與ACD中，

AB^AC,ZABC=NC=45°,

但BE與CD不一定相等，

:._ABE與ACD不一定全等，故結(jié)論②錯(cuò)誤；

???/EBF=90。,

在RtABEF中，BE1+BF2=EF2，

BE2+DC2DE2,故結(jié)論④正確，

,正確的結(jié)論是①④.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，勾

股定理等知識(shí)，證明是解題的關(guān)鍵.

8.如圖，AD所在的直線是ABC的對(duì)稱軸，AC=5cm,CD=3cm,AD=4cm,貝。ABC的面積為cm.

【答案】12

【分析】本題考查了勾股定理的逆定理，對(duì)稱的性質(zhì)，如果三角形的兩邊的平方的和等第三邊的平方，那

么這個(gè)三角形是直角三角形.

【詳解】解：AC2=CD2+AE>2,

ADC是直角三角形，

S=-CD-AD=—x4x3=6,

/A-A/ILZC22

AO是ABC的對(duì)稱軸，

SADC=S=6,

故答案為：12.

9.如圖，ABC中，AC=5,CB=12,AB=13,CO是A3邊上的中線，CD=.

【答案】6.5

【分析】本題考查了勾股定理的逆定理和直角三角形的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，先根據(jù)勾股定理的逆定理判定

ABC為直角三角形，然后根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論，先判定.ABC為直角三角形是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：AC=5,BC=12,AB=13,

AC2+BC-=5?+12?=169,

又AB2=169，

AC"+BC"=AB1,

..ABC是以NACB為直角的直角三角形，

???CD是AB邊上的中線，

CD=-AB^6.5.

故答案為：6.5.

10.如圖，在等邊AfiC中取點(diǎn)尸使得上4,PB,PC的長(zhǎng)分別為3,4,5,則必APC+SfPB~?

【答案】6+手

【分析】把線段AP以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到線段AD,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)以

及全等三角形的判定定理SAS證得AADB2△APC,連接PD,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知AAPD是等邊三角形，利用

勾股定理的逆定理可得△PBD為直角三角形，NBPD=90°,由△AO8V△APCSAADB=SAAPC,則有S"PC

+S4APB=5"DB+$4APB=S"DP+5/BPD,根據(jù)等邊三角形的面積為邊長(zhǎng)平方的3倍和直角三角形的面積

2

公式即可得到SAADP+SABPD=^X3+|X3X4=6+—.

【詳解】將線段AP以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到線段/W,連接PD

AD=AP,ZDAP=60°,

文:△ABC為等邊三角形，

ZBZ\C=60°,AB=AC,

zDAB+ABAP=NPAC+ABAP,

ZDAB=NPAC,

XAB=AC,AD=AP

△ADBV△APC

???DA^PA,NDAP=60°,

△ADP為等邊三角形，

在APBO中，PB=4,PD=3,BD=PC=5,

?；32+42=52,即PD2+PB2=BU,

：.△P8D為直角三角形，ZBPD=90°,

,/△ADB^：△APC,

/.S"DB=S"PC,

m1

SAPC+SAAPB=SAADB+SAAPB=SAADP+SBPD=X32+-x3x4=6+^-.

AA424

故答案為：6+.

4

【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵是熟知旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作出輔助線進(jìn)行求解.

11.如圖，RtZkABC中，ZC=90°,AB=5,AC=4,分別以RtZkABC三邊為直徑作半圓，則陰影部分面積為.

【答案】6

【分析】先利用勾股定理列式求出BC,再根據(jù)陰影部分面積等于以AC、BC為直徑的兩個(gè)半圓的面積加上

直角三角形ABC的面積減去以AB為直徑的半圓的面積，列式計(jì)算即可得解.

【詳解】解：；在RtAABC中,ZACB=90°,

■,AC2+BC2=AB2,

AB=5,AC=4,

BC=7AB2-AC2=A/52-42=3>

S陰影=直徑為AC的半圓的面積+直徑為BC的半圓的面積+SAABC一直徑為AB的半圓的面積

1（AC?1fBC\

一萬(wàn)111可}+2Jl{T）

1919191

=-n（AC）+-Ji（BC）——兀（AB）+—ACxBC

8882

=1JI（AC2+BC2-AB2）+1ACXBC

=-ACxBC

2

=—x3x4

2

=6.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，半圓的面積，熟記定理并觀察圖形表示出陰影部分的面積是解題的關(guān)鍵.

12.如圖，高速公路上有A,B兩點(diǎn)相距10km,C,。為兩村莊，已知/M=4km,CB=6km.于

A,8,45于8,現(xiàn)要在A3上建一個(gè)服務(wù)站E,使得C,。兩村莊到E站的距離相等，則胡的長(zhǎng)是.

【答案】6km

【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)于4CBLAB于B,DE=CE,列式

AD2+AE1=DE1=BE2+BC2=CE2,解出AE的值，即可作答.

【詳解】解：由題意知，AB-10km,ZM=4km,CB-6km,

設(shè)AE=xkm,則BE=（1。一x）km,

因?yàn)镈4_LAB于4于B,DE=CE

所以在Rt^ADE與RtBCE中,

由勾股定理得，AD2+AE2=DE2=BE2+BC2=CE2,

4?+尤2=（10-尤）2+62,

解得x=6,

AE=6km,

故答案為：6km.

直睡的

1.（2023?四川瀘州?統(tǒng)考中考真題）《九章算術(shù)》是中國(guó)古代重要的數(shù)學(xué)著作，該著作中給出了勾股數(shù)。，b,

c的計(jì)算公式：（祖2-1/），b=mn,c=；（/+”2）,其中m，，是互質(zhì)的奇數(shù).下列四組

勾股數(shù)中，不熊由該勾股數(shù)計(jì)算公式直接得出的是（）

A.3,4,5B.5,12,13C.6,8,10D.7,24,25

【答案】C

【分析】首先證明出6+加=02,得到公。是直角三角形的直角邊然后由小>〃>0,m，〃是互質(zhì)的奇數(shù)

逐項(xiàng)求解即可.

[詳解]:a=1(m2-n2

,b=mn,c^-m2+n2

2

a2+b2=—(m2—n2]+(mn)2=—(m2—n2]+m2n2=—m4+—m2n2+—H4.

2、74V)424

1/72\1/72、21412214

—m+n=—\m+n=—m+—mn+—n,

2、74V7424

?*-a2-\-b2=c2?

二.a,匕是直角三角形的直角邊,

m,〃是互質(zhì)的奇數(shù)，

A.3=1x3,

/.當(dāng)機(jī)=3,〃=1時(shí)，a=-(m2-n2]=4,b=mn=3,

??.3,4,5能由該勾股數(shù)計(jì)算公式直接得出;

B.5=1x5,

221/22

「?當(dāng)加=5,幾=1時(shí)，a=—m—n=12,b=rm=5,c=—\m+〃=13,

22V

,5,12,13能由該勾股數(shù)計(jì)算公式直接得出;

C.6=2x