2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：集合與常用邏輯用語

2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義一一集合與常用邏輯用語

【高考考情分析】

集合是高考的必考內(nèi)容，一般試題較為簡單，屬于送分題，集合主要考查集合的基本運(yùn)算，

常結(jié)合不等式進(jìn)行考查.

常用邏輯用語的考查涉及的知識點(diǎn)較廣，主要以其他知識為背景考查充分條件、必要條件

的判斷，全（特）稱命題的否定，難度中等偏易，以選擇題和填空題為主.

【基礎(chǔ)知識復(fù)習(xí)】

1.集合中元素的三個(gè)特征：

（1）確定性：對于給定的集合，元素必須是確定的.

（2）互異性：一個(gè)給定集合中的元素是互不相同的，相同的對象歸入同一個(gè)集合時(shí)，只能算

作集合的一個(gè)元素.

（3）無序性：只要構(gòu)成兩個(gè)集合的元素是一樣的，就稱這兩個(gè)集合是相等的.

2.元素與集合的關(guān)系：如果。是集合A的元素，就說。屬于集合A,記作aeA；如果a不是

集合A中的元素，就說a不屬于集合A,記作

3.子集：一般地，對于兩個(gè)集合A,B,如果集合A中任意一個(gè)元素都是集合3中的元素，就

稱集合A為集合3的子集.記作：AqB或3衛(wèi)A.讀作：“A包含于5”（或“8包含A”）.

4.集合的相等：如果集合A的任何一個(gè)元素都是集合3的元素，同時(shí)集合3的任何一個(gè)元素都

是集合A的元素，那么集合A與集合5相等，記作A=B.

也就是說，若AQB，且8口4，則A=B.

5.空集：一般地，我們把不含任何元素的集合叫做空集，記為0,并規(guī)定：空集是任何集合的

子集.

6.并集的運(yùn)算性質(zhì)：

（1）AUA=A,即任何集合與其本身的并集等于這個(gè)集合本身；

（2）AU0=A,即任何集合與空集的并集等于這個(gè)集合本身.

7.交集的運(yùn)算性質(zhì)：

（1）AnA=A,即任何集合與其本身的交集等于這個(gè)集合本身；

(2)AC\0=0^即任何集合與空集的交集等于空集.

8.充分條件與必要條件的定義：

一般地，“若P，則q”為真命題，就是指由p通過推理可以得到3由p可以推出q,記

作‘nq.并且說，2是q的充分條件，q是p的必要條件.如果“若p,則q”為假命題，那

么由條件"不能推出結(jié)論q,記作p力此時(shí)，p不是q的充分條件，q不是Q的必要條件.

9.充要條件的定義:如果“若p,則q”和它的逆命題“若q,則〃”均是真命題，即既有夕nq,

又有qnp，就記作p=q.如果p=q,那么p與q互為充要條件.

10.全稱量詞命題的真假判斷：全真為真，一假為假.

存在量詞命題的真假判斷：一真為真，全假為假.

n.全稱量詞的否定：VxeM，p(x)的否定：*GM，」P(X).也就是說，全稱量詞命題的否

定是存在量詞命題.

12.存在量詞的否定：*eM，p(x)的否定：VXGM-.也就是說，存在量詞命題的否

定是全稱量詞命題.

【重點(diǎn)難點(diǎn)復(fù)習(xí)】

1.集合的運(yùn)算性質(zhì)及重要結(jié)論

(1)集合元素的特性：確定性、互異性、無序性.

(2)集合與集合之間的關(guān)系：A^B,BcC=>AcC.

(3)空集是任何集合的子集.

(4)含有〃個(gè)元素的集合的子集有2"個(gè)，真子集有2"-1個(gè)，非空真子集有2"-2個(gè).

(5)a.A\jA=A,A\J0=A,A\JB=B\JA；

b.AC\A=A,AQ0=0,AC\B=BC\A；

c.An@A)=。，AU(V9=。；

d.A[}B=A<^A^B,A\jB=Ac^B^A.

2.集合運(yùn)算中的常用方法

(1)數(shù)軸法：若已知的集合是不等式的解集，用數(shù)軸法求解.

（2）圖象法：若已知的集合是點(diǎn)集，用圖象法求解.

（3）Venn圖法：若已知的集合是抽象集合，用Venn圖法求解.

3.全（特）稱命題及其否定

⑴全稱命題p：VxeM,.它的否定-jp：3XQ^M,-ip（x0）；

（2）特稱命題p：3x0eM,/?（%）.它的否定力：

4.充分與必要條件的判斷：若小q中所涉及的問題與變量有關(guān)，p、q中相應(yīng)變量的取值集合

分別記為A,B,那么有以下結(jié)論：

〃與q的關(guān)系集合關(guān)系結(jié)論

p=q,qKpA\jBp是q的充分不必要條件

p/q,qnpB\jAp是q的必要不充分條件

p=q,q=pA=Bp是4的充要條件

p/q,q衣pA刎&3A?是q的既不充分也不必要條件

【基本方法與技能復(fù)習(xí)】

1.根據(jù)兩集合的關(guān)系求參數(shù)的方法

（1）若集合中元素是一一列舉的，依據(jù)集合間的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為解方程（組）求解，此時(shí)注意

集合中元素的互異性；

（2）若集合表示的是不等式的解集，常依據(jù)數(shù)軸轉(zhuǎn)化為不等式（組）求解，此時(shí)需注意端點(diǎn)

值能否取到.

2.判斷集合之間關(guān)系的方法

（1）列舉法：根據(jù)題中限定條件把集合中元素表示出來，然后比較集合中元素的異同，從而

找出集合之間的關(guān)系.

（2）結(jié)構(gòu)法：從集合中元素的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)入手，結(jié)合通分、化簡、變形等技巧，從元素結(jié)構(gòu)上

找差異進(jìn)行判斷.

（3）數(shù)軸法：在同一個(gè)數(shù)軸上表示出兩個(gè)集合，比較端點(diǎn)值之間的大小關(guān)系，從而確定集合

之間的關(guān)系.

3.求解集合的基本運(yùn)算問題的步驟

（1）確定元素：確定集合中的元素及其滿足的條件.

（2）化簡集合：根據(jù)元素滿足的條件解方程或不等式，得出元素滿足的最簡條件，將集合清

晰表示出來.

（3）運(yùn)算求解：利用交集、并集、補(bǔ)集的定義求解，必要時(shí)可應(yīng)用數(shù)軸或Venn圖直觀求解.

4.判斷充分條件和必要條件的方法

（1）定義法：直接判斷“若Q則/與“若q,則2”的真假，并注意和圖示相結(jié)合.

（2）等價(jià)法：利用pnq與qnp與-pn「q,p=q與=的等價(jià)關(guān)系，

對于條件或結(jié)論是否定式的命題，一般運(yùn)用等價(jià)法.

（3）集合法：若則A是3的充分條件或3是A的必要條件；若A=B,則A是3的

充要條件.

5.全（特）稱命題的否定步驟

（1）改寫量詞：確定命題所含量詞的類型，省去量詞的要結(jié)合命題的含義加上量詞，再對量

詞進(jìn)行改寫；

（2）否定結(jié)論：對原命題的結(jié)論進(jìn)行否定.

【典型例題復(fù)習(xí)】

1.【2023年新課標(biāo)I卷】已知集合/={—2,—1,0,1,2},N={。620},貝!]A/nN=()

A.{-2,-1,0,1}B.[0,1,2}C.{-2}D.{2}

2.【2023年新課標(biāo)I卷】記S“為數(shù)列{4}的前〃項(xiàng)和，設(shè)甲：{%}為等差數(shù)列；乙：，}，為

等差數(shù)列.則（）

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

3.【2023年新課標(biāo)H卷】設(shè)集合A={0,—a},B={l,a-2,2a-2},若4口3,則a=（）

A.2B.lC.-D.-l

3

4.【2022年新高考I卷】若集合M={x[&<4},N={x|3xNl},則MAN=（）

B.卜4x<2,

A.{x|0<x<2}

D.jx|j<x<16

C.{x|3<x<16}

5.【2022年新高考H卷】已知集合4={-1,1,2,4},B={xl|x-l|<l},則4口3=()

A.{-1,2}B.{1,2}C.{1,4}D.{-1,4}

答案以及解析

1.答案：C

解析：因?yàn)镹={為M—X—620}={RXN3或所以MC|N={—2},故選C.

2.答案：C

解析：若{%}為等差數(shù)列，設(shè)其公差為力則為=4+(〃-l)d,所以s,=〃4+Wd,所以

+=G+(〃—1)弓，所以，}=q+5+l—1)!—[囚+5—1)q]=弓，為常數(shù)，所以為

等差數(shù)列，即甲n乙；若[鳥]為等差數(shù)列，設(shè)其公差為/,則2=縣+(“-)=弓+5-?,

[〃Jn1

所以S〃+〃(〃一1?,所以當(dāng)2時(shí)，an=Sn-Sn_1

=na1+n(nV)ax+(n-l)(n-2)t]=a1+2(〃一1)彳,當(dāng)〃=1時(shí)，5=q也滿足上式，所以

a“=q+2(“_l)f(“eN*),所以—4=%+2(九+1_1"—[%+2("_1)4=27,為常數(shù)，所以{4}

為等差數(shù)列，即甲U乙.所以甲是乙的充要條件，故選C.

3.答案：B

解析：依題意，有a—2=0或2。一2=0.當(dāng)a—2=0時(shí)，解得a=2,止匕時(shí)A={0,—2},§={1,0,2},

不滿足AqB；當(dāng)2a—2=0時(shí)，解得a=l,此時(shí)A={0,—1},3={—1,0,1},滿足所以a=l,

故選B.

4.答案：D

解析：通解(直接法)因?yàn)锳/={x|《＜4},所以M={x|0Wx＜16};因?yàn)镹={x|3xNl},所以

N=,無2；}.所以MnN={g4尤＜16卜故選D.

光速解(特取法)觀察選項(xiàng)進(jìn)行特取，取x=4,則4e〃，