黑龍江省牡丹江市普通高中協(xié)同發(fā)展共同體2024屆高三下學(xué)期第一次模擬數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1黑龍江省牡丹江市普通高中協(xié)同發(fā)展共同體2024屆高三下學(xué)期第一次模擬數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，，所以，因?yàn)?，所以．故選：B．2.五名應(yīng)屆畢業(yè)生報(bào)考三所高校,每人報(bào)且僅報(bào)一所院校,則不同的報(bào)名方法的種數(shù)是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意，每個(gè)人可以報(bào)任何一所院校，則結(jié)合乘法原理可得：不同的報(bào)名方法的種數(shù)是.本題選擇D選項(xiàng).3.一份新高考數(shù)學(xué)試卷中有8道單選題，小胡對(duì)其中5道題有思路，3道題完全沒有思路.有思路的題做對(duì)的概率是，沒有思路的題只能猜一個(gè)〖答案〗，猜對(duì)〖答案〗的概率為，則小胡從這8道題目中隨機(jī)抽取1道做對(duì)的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗設(shè)事件表示“考生答對(duì)”，設(shè)事件表示“考生選到有思路的題”.則小胡從這8道題目中隨機(jī)抽取1道做對(duì)的概率為：故選：C.4.已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，，且滿足，求點(diǎn)到直線距離的最大值為（）A. B. C.2 D.〖答案〗D〖解析〗，，則，即，圓心為，半徑為，圓心到直線的距離，故點(diǎn)到直線距離的最大值為．故選：．5.酒駕是嚴(yán)重危害交通安全的違法行為．為了保障交通安全，根據(jù)國(guó)家有關(guān)規(guī)定：血液中酒精含量達(dá)到的駕駛員即為酒后駕車，及以上認(rèn)定為醉酒駕車．假設(shè)某駕駛員喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了．如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量會(huì)以每小時(shí)的速度減少，那么他至少經(jīng)過幾個(gè)小時(shí)才能駕駛？（）（結(jié)果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗D〖解析〗設(shè)經(jīng)過個(gè)小時(shí)才能駕駛，則即.由于在定義域上單調(diào)遞減，.他至少經(jīng)過4小時(shí)才能駕駛.故選：D.6.已知為不共線平面向量，，若，則在方向上的投影向量為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由可得，又，如圖所示，由平行四邊形法則可得四邊形為菱形，故互相垂直平分，所以在方向上的投影向量為，故選：D．7.已知是定義在上的奇函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，若關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式恒成立，則的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以是偶函數(shù)，，所以可化為：，又在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以在0,+∞上遞增，所以，即或，即或．故選：．8.已知函數(shù)，．若有5個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意可知當(dāng)時(shí)，，令f'x<0可得：；令f'故上單調(diào)遞減，在0,1上單調(diào)遞增，，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)趨近于負(fù)無窮時(shí)，趨近于0；當(dāng)時(shí)，圖象的對(duì)稱軸為直線，．故作出的大致圖象如圖所示．令，數(shù)形結(jié)合可知要使有5個(gè)零點(diǎn)，需使方程有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，且，或．①若，，則，不成立，舍去．②若，，則，解得．當(dāng)時(shí)，方程為，解得或，不符合方程2個(gè)根的取值范圍，舍去．故實(shí)數(shù)的取值范圍為．故選：A．二、多選題：本題共3小題，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．9.下列說法中正確的是（）A.某射擊運(yùn)動(dòng)員在一次訓(xùn)練中10次射擊成績(jī)（單位：環(huán)）如下：，，，，，，，，，，這組數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)為B.若隨機(jī)變量，且，則C.若隨機(jī)變量，且，則D.對(duì)一組樣本數(shù)據(jù)，，，進(jìn)行分析，由此得到的線性回歸方程為：，至少有一個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)在回歸直線上〖答案〗ABC〖解析〗對(duì)于A，把10次射擊成績(jī)從小到大排列為，，，，，，，，，.由，可得這組數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)為第個(gè)數(shù)，等于，故A正確；對(duì)于B，若隨機(jī)變量，且，則，，故B正確；對(duì)于C，若隨機(jī)變量，且，則，，故C正確；對(duì)于D，對(duì)于線性回歸方程為：，其中的樣本數(shù)據(jù)可能都不在回歸直線上，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.10.已知為函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心，則（）A. B.函數(shù)為奇函數(shù)C.曲線y=f(x)關(guān)于對(duì)稱 D.函數(shù)y=f(x)在單調(diào)遞增〖答案〗BCD〖解析〗因?yàn)闉楹瘮?shù)的一個(gè)對(duì)稱中心，所以，即，解得，故A錯(cuò)誤；所以，，顯然為奇函數(shù)，故B正確；，是最小值，所以曲線y=f(x)關(guān)于對(duì)稱，故C正確；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)y=f(x)在單調(diào)遞增，故D正確．故選：BCD．11.如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為，為底面內(nèi)（包括邊界）的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.三棱錐的體積為定值B.存在點(diǎn)，使得C.若，則點(diǎn)在正方形底面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)軌跡長(zhǎng)為D.若點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，過，作平面平面，則平面截正方體的截面面積為〖答案〗ABD〖解析〗對(duì)于A，由等體積法，三棱錐的高為，底面積，所以，所以三棱錐的體積為定值，A正確；對(duì)于B，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，，，，，，，若，則，即，取，此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合，滿足題意，所以存在點(diǎn)，使得，B正確；對(duì)于C，，若，，即，所以點(diǎn)的軌跡就是線段，軌跡長(zhǎng)為，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，如圖取中點(diǎn)，連接，由題可得，平面，連接，因?yàn)?，平面，則，，又，平面，則平面，又取中點(diǎn)為，則，有四點(diǎn)共面，則平面即為平面，又由兩平面平行性質(zhì)可知，，，，又都是中點(diǎn)，故是中點(diǎn)，是中點(diǎn)，則平面截正方體的截面為正六邊形，又正方體棱長(zhǎng)為，則，故截面面積為，D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已如角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，點(diǎn)在終邊上，則__________．〖答案〗〖解析〗由題意可得，所以.13.已知，則______.(用數(shù)字作答)〖答案〗〖解析〗由二項(xiàng)式定理可得展開式中含的項(xiàng)為，所以．14.設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，是以為焦點(diǎn)的拋物線上任意一點(diǎn)，是線段上的點(diǎn)，且，則直線的斜率的最大值為______．〖答案〗〖解析〗根據(jù)題意可設(shè)，，Mx,y，又F1,0，，，，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，直線的斜率的最大值為．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.設(shè)，若數(shù)列的前項(xiàng)和為，且是與的等差中項(xiàng)；（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和．解：（1）因?yàn)槭桥c的等差中項(xiàng)，可得，當(dāng)時(shí)，可得，解得，當(dāng)時(shí)，由，可得，兩式相減可得，即為，可得數(shù)列是首項(xiàng)和公比均為的等比數(shù)列，所以；（2）若是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，則，可得，數(shù)列的前項(xiàng)和，，兩式相減可得，化簡(jiǎn)可得．16.某高中舉辦詩(shī)詞知識(shí)競(jìng)賽答題活動(dòng)，比賽分兩輪，具體規(guī)則如下：第一輪，參賽選手從類道題中任選道進(jìn)行答題，答完后正確數(shù)超過兩道(否則終止比賽)才能進(jìn)行第二輪答題；第二輪答題從類道題中任選道進(jìn)行答題，直到答完為止．類題每答對(duì)一道得10分，類題每答對(duì)一道得分，答錯(cuò)不扣分，以兩輪總分和決定優(yōu)勝．總分分或分為三等獎(jiǎng)，分為二等獎(jiǎng)，分為一等獎(jiǎng)．某班小張同學(xué)類題中有5道會(huì)做，類5題中，每題答對(duì)的概率均為，且各題答對(duì)與否互不影響．（1）求小張同學(xué)被終止比賽的概率；（2）現(xiàn)已知小張同學(xué)第一輪中回答的類題全部正確，求小張同學(xué)第二輪答完題后總得分的分布列及期望；（3）求小張同學(xué)獲得三等獎(jiǎng)的概率．解：（1）從類道題中任選道，其中2道會(huì)做，2道不會(huì)做，則被終止比賽，所以小張同學(xué)被終止比賽的概率為．（2）由題意可知，的所有可能取值為40,60,80,100，則，，，，所以的分布列為：所以．（3）小張獲得三等獎(jiǎng)，共有兩種情況，①第一輪得30分（答對(duì)3道），則第二輪得40分（對(duì)2道），概率為；②第一輪得40分（答對(duì)4道），則第二輪得40分（對(duì)2道），概率為，所以小張同學(xué)獲得三等獎(jiǎng)的概率為．17.如圖，在四棱錐中，平面，，，，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且．（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值．（3）設(shè)點(diǎn)在上，且判斷直線是否在平面內(nèi)，說明理由．（1）證明：因?yàn)槠矫?，又平面，則，又，且，，平面，故CD平面；又面，，，為中點(diǎn)，，，CD，面，面；（2）解：過點(diǎn)作AD的垂線交于點(diǎn)，因?yàn)槠矫?，且，平面，所以，，故以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則A0,0,0，，，，，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，所以，又，所以，故，設(shè)平面的法向量為n=x,y,z，則，即，令，則y=-1，x=-1，故，又因?yàn)槠矫娴姆ㄏ蛄繛?，所以，所以平面與平面的夾角余弦值為；（3）解：直線不在平面內(nèi)，因?yàn)辄c(diǎn)在上，且，又，故，則，由（2）可知，平面的法向量為，所以，所以直線不在平面內(nèi)．18.已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，雙曲線C的虛軸長(zhǎng)為2，有一條漸近線方程為．如圖，點(diǎn)A是雙曲線C上位于第一象限內(nèi)的點(diǎn)，過點(diǎn)A作直線l與雙曲線的右支交于另外一點(diǎn)B，連接并延長(zhǎng)交雙曲線左支于點(diǎn)P，連接與，其中l(wèi)垂直于的平分線m，垂足為D．（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求證：直線m與直線的斜率之積為定值；（3）求的最小值．（1）解：因?yàn)樘撦S長(zhǎng)為2，即，所以．又因?yàn)橛幸粭l漸近線方程為，所以，所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）證明：由題意，點(diǎn)A與點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．設(shè)Ax0,由題意可知直線m的斜率存在，設(shè)直線m的斜率為k，記直線m的方向向量為，又直線m為的平分線，則．因?yàn)?，所以，同理，又，代入得，，化?jiǎn)得．所以，即直線與直線m的斜率之積為定值；（3）解：由（2）可知．又，所以，將代入得，，所以．設(shè)直線m的方程為，將代入得，所以直線m的方程為．由點(diǎn)到直線距離公式得，．又直線的斜率為，設(shè)直線的方程為，將代入得，所以直線的方程為．將其與聯(lián)立得．設(shè)Ax1,由得，所以．所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，的最小值為3．19.設(shè)，.（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值；（2）當(dāng)時(shí)，證明：；（3）證明：.（1）解：因?yàn)榈亩x域?yàn)?，且，所以為偶函?shù)，下取，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，則，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，令，則，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，因?yàn)?，則，使得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞