江蘇省鎮(zhèn)江市2024屆高三下學(xué)期高考前練習(xí)(三模)數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省鎮(zhèn)江市2024屆高三下學(xué)期高考前練習(xí)(三模)數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為（）A.2 B. C.1 D.〖答案〗C〖解析〗，復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，故且，則.故選：C.2.等軸雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則其焦點(diǎn)到漸近線的距離為（）A B.2 C.4 D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)樵撉€為等軸雙曲線，不妨設(shè)該雙曲線的方程為，因?yàn)榈容S雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，解得，則，所以該雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，易知該雙曲線的一條漸近線方程為，則點(diǎn)到直線的距離．故選：A．3.命題P：的平均數(shù)與中位數(shù)相等；命題Q：是等差數(shù)列，則P是Q的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗B〖解析〗由是等差數(shù)列，所以平均數(shù)為，而中位數(shù)也是，所以的平均數(shù)與中位數(shù)相等，即,P是Q的必要條件；若數(shù)據(jù)是1,1,1,3,3,5,5,5，則平均數(shù)和中位數(shù)相等，但不是等差數(shù)列，所以P推不出Q，所以P不是Q的充分條件；所以P是Q的必要不充分條件．故選：B.4.圓被直線所截得劣弧的弧長(zhǎng)為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗圓的圓心為，半徑，圓心到直線的距離，設(shè)直線與圓的交點(diǎn)為、，的中點(diǎn)為，則，所以，所以，則，所以劣弧的弧長(zhǎng)為.故選：C.5.自“”橫空出世，全球科技企業(yè)掀起一場(chǎng)研發(fā)大模型的熱潮，隨著算力等硬件底座逐步搭建完善，大規(guī)模應(yīng)用成為可能，尤其在圖文創(chuàng)意、虛擬數(shù)字人以及工業(yè)軟件領(lǐng)域已出現(xiàn)較為成熟的落地應(yīng)用.函數(shù)和函數(shù)是研究人工智能被廣泛使用的2種用作神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的激活函數(shù)，函數(shù)的〖解析〗式為，經(jīng)過(guò)某次測(cè)試得知，則當(dāng)把變量減半時(shí)，（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗，，則，（舍）．，．故選：A.6.生活中有各種不同的進(jìn)制，計(jì)算機(jī)使用的是二進(jìn)制，數(shù)學(xué)運(yùn)算一般使用十進(jìn)制.任何進(jìn)制數(shù)均可轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)，如八進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)的算法為.若將八進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)，則轉(zhuǎn)換后的數(shù)的末位數(shù)字是（）A.1 B.3 C.5 D.7〖答案〗D〖解析〗由題意可得將八進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)，則轉(zhuǎn)換后的數(shù)為，故選：D.7.已知角滿足，，則（）A. B. C. D.2〖答案〗B〖解析〗因?yàn)椋?，所以，即，則，因?yàn)?，所以，其中，故，解?故選：B.8.已知及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記，，若關(guān)于對(duì)稱，是偶函數(shù)，則（）A. B.2 C.3 D.〖答案〗A〖解析〗若關(guān)于對(duì)稱，則的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，所以，兩邊求導(dǎo)得，因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以，令，就有，即有，所以，所以.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.同時(shí)投擲甲、乙兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，記“甲正面向上”為事件，“乙正面向上”為事件，“甲、乙至少一枚正面向上”為事件，則下列判斷正確的是（）A.與相互對(duì)立 B.與相互獨(dú)立C. D.〖答案〗BD〖解析〗對(duì)于A，由題意可知，事件與事件有可能同時(shí)發(fā)生，例如“甲正面向上且乙正面向上”，故事件與事件不是互斥事件，當(dāng)然也不是對(duì)立事件，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，依題意，，，所以事件與事件相互獨(dú)立，故B正確；對(duì)于C、D，，因?yàn)?，所以，所以，故D正確，C錯(cuò)誤．故選：BD．10.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A. B.C.為偶函數(shù) D.在區(qū)間的最小值為〖答案〗ACD〖解析〗由題意得，由圖象可得，又，所以，由五點(diǎn)法可得，所以.A：由以上〖解析〗可得，故A正確；B：由以上〖解析〗可得，故B錯(cuò)誤；C：，故C正確；D：當(dāng)時(shí)，，所以最小值為，故D正確；故選：ACD.11.在正四棱柱中，點(diǎn)M，N分別為面和面的中心.已知與點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)在棱柱的內(nèi)部（不含表面），并記直線與平面所成的角為，直線與所成的角為，對(duì)所有滿足上述條件的正四棱柱，下列關(guān)系式一定成立的是（）A. B.C. D.〖答案〗BC〖解析〗由題意，不妨設(shè)，，分別取棱，，，的中點(diǎn)為，，，，易知，，，，五點(diǎn)共面，且為線段的中點(diǎn).因?yàn)槠矫?，且平面平面，又平面，平面，所以平面平面，又平面平面，所以平面平面，所以點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)，即為與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)，記為.當(dāng)時(shí)，即為棱的中點(diǎn)，在棱柱表面，不符題意，舍去；當(dāng)時(shí)，，由對(duì)稱性，，此時(shí)在矩形外，故在棱柱外部，不符題意，舍去；當(dāng)時(shí)，，由對(duì)稱性，.且由平面幾何知識(shí)易得在內(nèi)，所以在棱柱內(nèi)部，符合題意.綜上所述，，所以，A選項(xiàng)錯(cuò)誤.因?yàn)?，所以B選項(xiàng)正確.在正四棱柱中，平面與平面平行，則直線與平面所成角即為直線與平面所成角，又平面，則為直線與平面所成的角，所以.所以在中，.因?yàn)?，，，，，所以，C選項(xiàng)正確.在正四棱柱中，.所以（或補(bǔ)角）即為直線與所成的角且，，，則在等腰中，取棱的中點(diǎn)為，，因?yàn)?，，，，所以，而，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.設(shè)隨機(jī)變量，則______.〖答案〗〖解析〗由隨機(jī)變量服從超幾何分布，可知3表示選出3個(gè)，2表示有2個(gè)供選擇，總數(shù)為10，根據(jù)超幾何分布公式可得.13.若對(duì)項(xiàng)數(shù)為的數(shù)列中的任意一項(xiàng)，也是該數(shù)列中的一項(xiàng)，則稱這樣的數(shù)列為“可倒數(shù)數(shù)列”.已知正項(xiàng)等比數(shù)列是“可倒數(shù)數(shù)列”，其公比為，所有項(xiàng)和為，寫出一個(gè)符合題意的的值____________.〖答案〗或（〖答案〗不唯一）〖解析〗已知正項(xiàng)等比數(shù)列是“可倒數(shù)數(shù)列”，首先，若，結(jié)合，解得，此時(shí)，但2031不在這5個(gè)數(shù)中，矛盾，故，則若，則也在數(shù)列中，若在數(shù)列中，則（且）也在數(shù)列中，因?yàn)檎?xiàng)等比數(shù)列是“可倒數(shù)數(shù)列”，所以數(shù)列嚴(yán)格單調(diào)，而，所以只能，（否則，不妨設(shè)，那么或一定有三個(gè)數(shù)小于1，而他們的倒數(shù)都大于1，這必定導(dǎo)致有一個(gè)數(shù)的倒數(shù)不在中），從而，所以，解得或（舍去），所以解得或.故〖答案〗為：或（〖答案〗不唯一）.14.有一個(gè)簡(jiǎn)易遮陽(yáng)棚三角形長(zhǎng)度分別為5米、3米、4米.兩點(diǎn)固定在底面，成正南北方向，此時(shí)太陽(yáng)光從正西方向與底面成方向射入.當(dāng)遮陽(yáng)棚與底面所成角為_(kāi)____________時(shí)，遮陰面積最大，最大面積為_(kāi)____________平方米.〖答案〗12〖解析〗因?yàn)?，所以，如圖，過(guò)點(diǎn)C作交于D，連接，由題可知，因此就是遮陽(yáng)篷ABC與地面所成的角，因?yàn)?，所以求遮陰影面面積最大，即是求最大，其中已知，設(shè)，，根據(jù)正弦定理，當(dāng)時(shí)，最大，遮陰影面面積最大，此時(shí)，最大遮陰影面為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.如圖，三棱錐中，，，，D是棱AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在棱AC上.（1）下面有①②③三個(gè)命題，能否從中選取兩個(gè)命題作為條件，證明另外一個(gè)命題成立？如果能，請(qǐng)你選取并證明（只要選取一組并證明，選取多組的，按第一組記分）；①平面⊥平面；②；③.（2）若三棱錐的體積為，以你在（1）所選的兩個(gè)條件作為條件，求平面與平面所成二面角的大小.解：（1）選擇①②，可證明③.由，是線段的中點(diǎn)，得⊥.又平面⊥平面，平面平面，且平面；所以⊥平面，AC平面ABC，得⊥，又⊥；，平面，所以⊥平面．因?yàn)槠矫?，所以，若選擇①③，可證明②.由，是線段的中點(diǎn)，得⊥.又平面⊥平面，平面平面，且平面；所以⊥平面，平面，得，又⊥，，平面，所以⊥平面，因?yàn)槠矫?，所以．選擇②③，可證明①由，是線段的中點(diǎn)，得⊥因?yàn)椤停?，平面，，所以⊥平面．PD平面PDE，得⊥，,平面，所以⊥平面．又平面，故平面⊥平面.（2）方法一：由（1），選擇①②，則③成立.取線段的中點(diǎn)F，連接，則由，及是線段的中點(diǎn)，得⊥由（1）知，⊥平面，以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系三棱錐的體積，且，，得，得所以由，是線段的中點(diǎn)，⊥，得：.所以，，，.設(shè)面與面的法向量分別為，，則，得：，所以面的一個(gè)法向量為.，得：，所以面的一個(gè)法向量為.設(shè)平面與平面所成二面角為，則，因?yàn)?，所以面與面所成二面角的大小為．方法二：延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于Q，連接，則平面與平面.由三棱錐的體積為，且，，得，解得.又由，及是線段的中點(diǎn)，⊥，在等腰直角三角形中，，，連結(jié)CD，在中，，，，在等腰直角三角形中，，，在中，，在中，由，所以，又由（1）知，⊥平面，是在面內(nèi)射影，由三垂線逆定理得：，則即為二面角的平面角，，所以面與面所成二面角的大小為.16.如圖，橢圓C：()的中心在原點(diǎn)，右焦點(diǎn)，橢圓與軸交于兩點(diǎn)，橢圓離心率為，直線與橢圓C交于點(diǎn).（1）求橢圓C方程；（2）P是橢圓C弧上動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)四邊形的面積最大時(shí)，求P點(diǎn)坐標(biāo).解：（1）設(shè)，又離心率，則.，則.法一：則C：，點(diǎn)代入得，法二：則，點(diǎn)代入得，所以C方程為：.（2）因?yàn)?，而的面積為定值，所以只要的面積最大.設(shè)，則①.，，則線段AM長(zhǎng)度為定值.由圖知，P在直線的上方，直線：，P到直線的距離為只需求的最大值.法一：設(shè)，代入得：，因?yàn)椋?當(dāng)時(shí)，聯(lián)立①，解得：，.法二：因?yàn)?所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，.所以當(dāng)四邊形的面積最大時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為().17.在一場(chǎng)羽毛球比賽中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠軍.比賽采用“雙敗淘汰制”：首先，四人通過(guò)抽簽分成兩組，每組中的兩人對(duì)陣，每組的勝者進(jìn)入“勝區(qū)”，敗者進(jìn)入“敗區(qū)”.接著，“勝區(qū)”中兩人對(duì)陣，勝者進(jìn)入“決賽區(qū)”；“敗區(qū)”中兩人對(duì)陣，敗者直接淘汰出局獲第四名.然后，“敗區(qū)”的勝者和“勝區(qū)”的敗者對(duì)陣，勝者進(jìn)入“決賽區(qū)”，敗者獲第三名.最后，“決賽區(qū)”的兩人進(jìn)行冠軍決賽，勝者獲得冠軍，敗者獲第二名.已知甲對(duì)陣乙、丙、丁獲勝的概率均為p()，且不同對(duì)陣的結(jié)果相互獨(dú)立.（1）若，經(jīng)抽簽，第一輪由甲對(duì)陣乙，丙對(duì)陣?。虎偾蠹撰@得第四名的概率；②求甲在“雙敗淘汰制”下參與對(duì)陣的比賽場(chǎng)數(shù)的數(shù)學(xué)期望；（2）除“雙敗淘汰制”外，也經(jīng)常采用“單敗淘汰制”：四人通過(guò)抽簽分成兩組，每組中的兩人對(duì)陣，每組的勝者進(jìn)入“決賽區(qū)”，敗者淘汰；最后，“決賽區(qū)”的兩人進(jìn)行冠軍決賽，勝者獲得冠軍.已知甲對(duì)陣乙、丙、丁獲勝的概率均為p()，則哪種賽制對(duì)甲奪冠有利？請(qǐng)說(shuō)明理由.解：（1）①記“甲獲得第四名”為事件，又，則；②記在甲在“雙敗淘汰制”下參與對(duì)陣的比賽場(chǎng)次為隨機(jī)變量，則的所有可能取值為2，3，4，連敗兩局：，可以分為：連勝兩局，第三局不管勝負(fù)；負(fù)勝負(fù)；勝負(fù)負(fù)；，；則的分布列如下：2340.160.5520.288所以數(shù)學(xué)期望.（2）在“單敗淘汰制”下，甲獲冠軍須比賽兩場(chǎng)，且兩場(chǎng)都勝，則甲獲得冠軍的概率為.(ii)在“雙敗淘汰制”下，設(shè)事件V為“甲獲冠軍”，設(shè)事件A為“甲比賽三場(chǎng)，連勝三場(chǎng)”，則；設(shè)事件B為“甲比賽四場(chǎng)：勝負(fù)（勝區(qū)?。﹦伲ㄚA敗區(qū)勝）勝（決賽區(qū)勝）”，則；設(shè)事件C為“甲比賽四場(chǎng)：負(fù)勝（敗區(qū)勝）勝（贏勝區(qū)?。﹦伲Q賽區(qū)勝）”，則；所以.由，且，當(dāng)時(shí)，，“雙敗淘汰制”對(duì)甲奪冠有利；當(dāng)時(shí)，，“單敗淘汰制”對(duì)甲奪冠有利；當(dāng)時(shí)，兩種賽制甲奪冠的概率一樣.18.設(shè)函數(shù)().（1）當(dāng)時(shí)，求在處的切線方程；（2）討論的單調(diào)性；（3）當(dāng)時(shí)，，求a的取值范圍.解：（1）當(dāng)時(shí)，，則，則，又，故在處的切線方程為.（2）因?yàn)椋瑒t，若，即時(shí)，恒成立，故在R上單調(diào)遞增；若，即或時(shí)，.+0─0+↗↘↗則在和上為增函數(shù)；在上為遞減函數(shù).（3）因?yàn)闀r(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，上式成立，也即當(dāng)時(shí)，恒成立，記，則.記，則，則在為減函數(shù)，則，即恒成立，則單調(diào)減，為增函數(shù)，，則，所以的取值范圍為.19.已知正整數(shù)為常數(shù)，且，無(wú)窮數(shù)列的各項(xiàng)均為正