山東省德州市2025屆高三上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1山東省德州市2025屆高三上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題第I卷選擇題（共58分）一?選擇題（本題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的.）1.已知集合，集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，所以，所以，所?故選：A.2.已知一組數(shù)據(jù)（且）的回歸直線方程為，若，則的值為（）A.-1 B.0 C.1 D.2〖答案〗C〖解析〗由于，∴，.將代入，∴，解得：.故選：C.3.在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，，則（）A.2 B.3 C.4 D.5〖答案〗C〖解析〗因?yàn)閿?shù)列為等比數(shù)列，且，所以，所以，故選：C.4.為積極落實(shí)“雙減”政策，豐富學(xué)生的課外活動(dòng)，某校開設(shè)了舞蹈?攝影等5門課程，分別安排在周一到周五，每天一節(jié)，舞蹈和攝影課安排在相鄰兩天的方案種數(shù)為（）A.48 B.36 C.24 D.12〖答案〗A〖解析〗舞蹈和攝影課進(jìn)行捆綁，有種情況，將舞蹈和攝影課看為一個(gè)整體，和剩余的3個(gè)活動(dòng)，進(jìn)行全排列，有種情況故共有種方案.故選：A.5.已知橢圓，則“”是“橢圓的離心率為”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗由橢圓C的方程可得，①當(dāng)時(shí)，可得，此時(shí)橢圓的離心率為，由可得，，解得，當(dāng)時(shí)，可得，此時(shí)橢圓的離心率為，由可得，，解得；②當(dāng)時(shí)，則橢圓C的方程為，則此時(shí)，此時(shí)橢圓C的離心率為，綜上得，是橢圓C的離心率為的充分不必要條件.故選：A.6.已知正三棱臺(tái)的體積為，則與平面所成角的正切值為（）A. B.1 C. D.3〖答案〗C〖解析〗將正三棱臺(tái)補(bǔ)成正三棱錐，則與平面ABC所成角即為與平面ABC所成角，因?yàn)?，則，可知，則，設(shè)正三棱錐的高為，則，解得，取底面ABC中心為O，則底面，且在中，，由正弦定理得，所以與平面所成角的正切值.故選：C.7.已知，，則的值為（）A B. C. D.〖答案〗B〖解析〗依題意，又因?yàn)?，則，由得，，又，，兩式相加得，，即，所以.故選：B.8.已知點(diǎn)為直線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，且滿足，則的最小值為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗∵，∴.∴P點(diǎn)軌跡是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，記為圓C，設(shè)在x軸上存在定點(diǎn)，使得圓上任意一點(diǎn)Px,y，滿足，則，化簡(jiǎn)得，又∵，代入得，要使等式恒成立，則，即.∴存在定點(diǎn)，使圓上任意一點(diǎn)P滿足，則，當(dāng)三點(diǎn)共線（位于兩側(cè)）時(shí)，等號(hào)成立.又點(diǎn)為直線上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值即為點(diǎn)到直線的距離，由到直線距離，則.故.如圖，過作直線的垂線段，垂線段與圓的交點(diǎn)即為取最值時(shí)的點(diǎn)，此時(shí)取到最小值.故選：D.二?多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.）9.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，且（為虛數(shù)單位）的實(shí)部為2，則（）A.復(fù)數(shù)的虛部為B.復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限C.復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)為5D.若復(fù)數(shù)滿足，則的最大值為〖答案〗BD〖解析〗因?yàn)閺?fù)數(shù)z在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，所以，所以，所以，所以，對(duì)A，復(fù)數(shù)z的虛部為，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)B，復(fù)數(shù)，其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為在第一象限，故選項(xiàng)B正確；對(duì)C，復(fù)數(shù)z的模為，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)D，設(shè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為，則，，，由復(fù)數(shù)的幾何意義可知，分別在以原點(diǎn)為圓心，以1，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，故，所以的最大值為，故選項(xiàng)D正確.故選：BD.10.已知函數(shù)（其中）的部分圖象如圖所示.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象.則（）A.B.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增C.若，則的最小值為D.直線與的圖象所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為〖答案〗ABD〖解析〗由圖象可知，，解得，，故A正確；又因?yàn)?，所以，則，，又因?yàn)椋?，所以函?shù)的表達(dá)式為，則將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)，對(duì)于B，令，，可得，，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，所以的最大、最小值分別為和，最小正周期為，當(dāng)時(shí)，則、分別為函數(shù)的最大、最小值，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，令，得，或，，解得，或，，又因?yàn)椋曰蚧蚧?，所以直線與的圖象所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為，故D正確.故選：ABD.11.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，且滿足為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（）A.B.在上單調(diào)遞增C.為奇函數(shù)D.方程僅有5個(gè)不同實(shí)數(shù)解〖答案〗ACD〖解析〗因?yàn)閒x-1為奇函數(shù)，所以，根據(jù)圖象變換，則關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，又因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，根據(jù)圖象變換，則關(guān)于直線成軸對(duì)稱，將函數(shù)的對(duì)稱中心和對(duì)稱軸進(jìn)行多次變換可得到如圖所示的圖象，由圖象可知，函數(shù)是周期為8的周期函數(shù)，所以函數(shù)的對(duì)稱軸為直線，對(duì)稱中心為，對(duì)A，，故選項(xiàng)A正確；對(duì)B，當(dāng)，由圖象可知是單調(diào)遞減的函數(shù)，故選B錯(cuò)誤；對(duì)C，由圖象知，的圖象的對(duì)稱中心為點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，其對(duì)稱中心為，又將函數(shù)往右平移5個(gè)單位可得，所以的對(duì)稱中心為，所以為奇函數(shù)，故選項(xiàng)C正確；對(duì)D，如圖所示，因?yàn)椋?，，又兩函?shù)均過點(diǎn)1,0，再根據(jù)圖象，可知函數(shù)y=fx與函數(shù)有5個(gè)交點(diǎn)，故選項(xiàng)D正確.故選：ACD.第II卷非選擇題（共92分）三?填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知向量，若，則的值為__________.〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，所以，解?13.已知三棱錐，若兩兩垂直，且，則三棱錐外接球表面積為__________.〖答案〗〖解析〗在三棱錐中，因?yàn)镻A，PB，PC兩兩垂直，且，以PA，PB，PC為棱構(gòu)造一個(gè)長(zhǎng)方體，則這個(gè)長(zhǎng)方體的外接球就是三棱錐的外接球，由題意可知，這個(gè)長(zhǎng)方體的體對(duì)角線的中點(diǎn)是三棱錐的外接球的球心，三棱錐的外接球半徑為，所以外接球表面積為.14.編號(hào)為的四個(gè)小球，有放回地取三次，每次取一個(gè)，記表示前兩個(gè)球號(hào)碼的平均數(shù)，記表示三個(gè)球號(hào)碼的平均數(shù)，則與之差的絕對(duì)值不超過0.2的概率是__________.〖答案〗〖解析〗因?yàn)榉呕氐某槿⌒∏?，所以基本事件總?shù)為，設(shè)抽取的前兩個(gè)球的號(hào)碼為，第三個(gè)球的號(hào)碼為，根據(jù)題意有，則，整理得，即，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)為，3種情況；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)為，9種情況；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)為，9種情況；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)為，3種情況；綜上得，滿足條件的共有，所以滿足條件的概率為.四?解答題（本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明?證明過程或演算步驟.）15.在一次體育賽事的志愿者選拔面試工作中，隨機(jī)抽取了200名候選者的面試成績(jī)并分成五組：第一組，第二組，第三組，第四組，第五組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.已知第三?四?五組的頻率之和為0.7，第一組和第五組的頻率相同.（1）利用該頻率分布直方圖，估計(jì)這200名候選者面試成績(jī)的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；（2）從成績(jī)?cè)诘谒?五組的志愿者中，按分層抽樣方法抽取10人，再從這10人中任選3人，在選出的3人來自不同組的情況下，求恰有2人來自第四組的概率.解：（1）因?yàn)榈谌?四?五組的頻率之和為0.7，所以，解得，所以前兩組的頻率之和為，即，解得估計(jì)平均數(shù)為（2）成績(jī)?cè)诘谒?五兩組的頻率之比為，按分層抽樣抽得第四組志愿者人數(shù)為，第五組志愿者人數(shù)為，記事件A為“選出三人來自不同組”，記事件為“恰有2人來自第四組”，故，其中，，.所以已知選出的3人來自不同組的情況下，恰有2人來自第四組的概率為.16.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若對(duì)，都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）的定義域?yàn)?,+∞，①當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，f'x>0，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，f'x<0，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，f'x>0，在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，，f'x≥0恒成立，故在0,+∞綜上所述，當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在0,+∞上單調(diào)遞增.（2）對(duì)，都有成立，即對(duì)恒成立，等價(jià)于對(duì).令，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減.則，可得.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.17.如圖，在以為頂點(diǎn)的五面體中，四邊形與四邊形均為等腰梯形，，.（1）證明：平面平面；（2）若為線段上一點(diǎn)，且，求二面角的余弦值.（1）證明：在平面內(nèi)，過做垂直于交于點(diǎn)，由為等腰梯形，且，則又，所以，連接，由，可知且，所以在三角形中，，從而，又平面，，所以平面，平面，所以平面平面（2）解：由（1）知，平面平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)平面的法向量為n=x,y,z則，即，取，則，設(shè)平面的法向量為m=x則，即，取，則，所以，由圖可以看出二面角為銳角，故二面角的余弦值為.18.已知雙曲線焦點(diǎn)在軸上，離心率為，且過點(diǎn)，直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，的斜率存在且不為0，直線與雙曲線交于兩點(diǎn).（1）若的中點(diǎn)為，直線的斜率分別為為坐標(biāo)原點(diǎn)，求；（2）若直線與直線的交點(diǎn)在直線上，且直線與直線的斜率和為0，證明：.（1）解：設(shè)雙曲線方程為，則，解得，所以，設(shè)因?yàn)閮牲c(diǎn)都在雙曲線上，所以，兩式作差得，整理得則；（2）證明：設(shè)，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，化簡(jiǎn)得，，則，故，，由，所以，從而，即.19.若有窮數(shù)列滿足：，若對(duì)任意的，與至少有一個(gè)是數(shù)列中的項(xiàng)，則稱數(shù)列為數(shù)列.（1）判斷數(shù)列是否為數(shù)列，并說明理由；（2）設(shè)數(shù)列為數(shù)列.①求證：一定為中的項(xiàng)；②求證：；（3）若數(shù)列為數(shù)列，且不是等差數(shù)列，求項(xiàng)數(shù)的所有可能取值.（1）解：（1）數(shù)列不為數(shù)列，因?yàn)楹?均不是數(shù)列中的項(xiàng)，所以數(shù)列不為數(shù)列.（2）證明：①記數(shù)列的各項(xiàng)組成的