2025中考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：相似三角形重難點(diǎn)模型（五大模型）（解析版）

相似三角形重難點(diǎn)模型（五大模型）（解析

版）2025中考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)

相似三角形重難點(diǎn)模型（五大模型）

■考點(diǎn)歸納

【題型01：（雙）4字型相似】

【題型02：（雙）8型相似】

【題型03：母子型相似】

【題型04：旋轉(zhuǎn)相似】

【題型05：K字型相似】

償1考點(diǎn)精講

【題型01：（雙）4字型相似】

1.如圖，在4ABC中，12,高AD=6,正方形EFGH一邊在上，點(diǎn)瓦尸分別在AB,AC±.,AD

交即于點(diǎn)N,求4V的長.

2.如圖,光源P在水平橫桿AB的上方,照射橫桿AB得到它在平地上的影子為CD（點(diǎn)P、4、。在一條

直線上，點(diǎn)P、8、。在一條直線上），不難發(fā)現(xiàn)AB〃CD.已知48=1.5m,CD=4.5m,點(diǎn)P到橫桿

AB的距離是1山,則點(diǎn)P到地面的距離等于m.

P

，/'、

A\B

/Z__\

、D

3.如圖，在由A4BC中，乙4cB=90°,ZBAC=60°,AC=6,4。平分NH4C,交邊BC于點(diǎn)O,過點(diǎn)。

作CA的平行線，交邊于點(diǎn)E.

(1)求線段0E的長；

⑵取線段4D的中點(diǎn)加，連接BM，交線段DE于點(diǎn)F,延長線段交邊AC于點(diǎn)G,求粵的值.

4.如圖，4ABD中，=90°,48=6cm,AD=12cm.某一時(shí)刻，動(dòng)點(diǎn)河從點(diǎn)人出發(fā)沿4B方向以

lcm/s的速度向點(diǎn)8勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)D出發(fā)沿DA方向以2cm/s的速度向點(diǎn)入勻速運(yùn)動(dòng),

運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為加.

(1)求t為何值時(shí)，AWN的面積是AABD面積的去

9

(2)當(dāng)以點(diǎn)4,河,N為頂點(diǎn)的三角形與相似時(shí)，求t值.

A

BD

【題型02：(雙)8型相似】

5.已知：如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，在邊48的延長線上截取AB,點(diǎn)F在AE的延長線

上，CE和。尸交于點(diǎn)和。尸交于點(diǎn)N,聯(lián)結(jié)8D

(1)求證：/XBND?4CNM；

(2)如果入療二人小4尸,求證：CM-AB=DM-CN.

6.如圖，在平行四邊形4BCD中，點(diǎn)E是4D上一點(diǎn)，AE=2即，連接班;交AC于點(diǎn)G,延長BE交

CD的延長線于點(diǎn)尸，則綜的值為(

A2Bc—

3-1。3D-T

7.如圖1,在四邊形ABDE中，AABC=ZBDE，點(diǎn)。在邊上，且AC〃0E,AB〃CE,點(diǎn)尸在邊AC

上，且4尸=CE,連接尸，。尸交CE于點(diǎn)G.

圖1圖2圖3

(1)求證：BF=DF；

(2)如圖2,若乙4cE=NCDF,求證：CE-CF=BF-DG；

⑶如圖3,若延長口尸恰好經(jīng)過點(diǎn)E,求第的值.

8.如圖1,在矩形4BCO中，04=8,OC=6,D,E分別是4B,8。上一點(diǎn)，40=2,CE=3,OE與

CD相交于點(diǎn)1

(1)求證：OE±CD；

(2)如圖2,點(diǎn)G是CD的中點(diǎn)，延長OG交于H,求CH的長.

【題型03：母子型相似】

9.【典例3］如圖1,3=90,8C=6,tanB=去,點(diǎn)河從點(diǎn)B出發(fā)以每秒1個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)。運(yùn)

動(dòng)，點(diǎn)N同時(shí)從點(diǎn)C出發(fā)以每秒2個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，當(dāng)一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也停止

運(yùn)動(dòng).

圖1圖2

(1)求的長.

⑵當(dāng)以點(diǎn)河、C、N為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似時(shí)，求力的值.

(3)如圖2,將本題改為點(diǎn)M從點(diǎn)B出發(fā)以每秒3個(gè)單位長度的速度在R4上向點(diǎn)4運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N同時(shí)從

點(diǎn)人出發(fā)向點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)，其速度是每秒2個(gè)單位長度，其它條件不變，求當(dāng)土為何值時(shí)，AMNA為等腰三

角形.

10.如圖，在△ABC中，。是8。上的點(diǎn)，后是4D上一點(diǎn)，且若=雜，/-BAD=ZECA.

ACCA

(1)求證：AC2=BC-CD；

⑵若人。是△ABC的中線，求餐的值.

11.如果兩個(gè)相似三角形的對應(yīng)邊存在2倍關(guān)系，則稱這兩個(gè)相似三角形互為母子三角形.

A.2B.C.2或十

（2）已知:如圖1,△4口。中，AD是/歷1C的角平分線，AB^2AD,NADE=NB.

求證：△AB。與△4DE互為母子三角形.

⑶如圖2,△ABC中，人。是中線,過射線CA上點(diǎn)E作EG〃BC,交射線DA于點(diǎn)G,連結(jié)BE,射線

8E與射線DA交于點(diǎn)F,若AAGE與△AOC互為母子三角形.求票的值.

Grr

12.如圖1,48=AC=2CD,DC//AB,將/\ACD繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△FCE,使點(diǎn)。落在AC的點(diǎn)

E處，AB與CF相交于點(diǎn)O,與即相交于點(diǎn)G,連接8戶.

圖1圖2

（1）求證：4ABEn/\CAD；

（2）求證：AC//FB；

（3）若點(diǎn)。，E,R在同一條直線上，如圖2,求善的值.（溫馨提示:請用簡潔的方式表示角）

【題型04：旋轉(zhuǎn)相似】

13.【典例4】某校數(shù)學(xué)活動(dòng)小組探究了如下數(shù)學(xué)問題:

（1）問題發(fā)現(xiàn):如圖1,/XABC中，ABAC=90°,AB=AC.點(diǎn)P是底邊上一點(diǎn),連接4P,以AP

為腰作等腰Rt/\APQ,且ZPAQ=90°,連接CQ、則BP和CQ的數(shù)量關(guān)系是；

（2）變式探究:如圖2,ZVIB。中，NE4C=90°,AB=AC.點(diǎn)P是腰上一點(diǎn)，連接CP,以CP為

底邊作等腰印△CPQ,連接AQ,判斷BP和AQ的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

（3）問題解決:如圖3，在正方形ABCD中，點(diǎn)P是邊上一點(diǎn)，以DP為邊作正方形DPEF，點(diǎn)Q是

正方形。尸E尸兩條對角線的交點(diǎn)，連接CQ.若正方形OPE尸的邊長為2"1"CQ=22，請直接寫

出正方形ABCD的邊長.

14.如圖1,已知點(diǎn)G在正方形4BCD的對角線47上，GELBC,垂足為點(diǎn)E,GF,CD,垂足為點(diǎn)尸.

(1)證明：四邊形CEG尸是正方形；

(2)探究與證明:將正方形CEGF繞點(diǎn)。順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)a角(0°<a<45°)，如圖2所示,試探究線段

/G與BE之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由；

(3)拓展與運(yùn)用：正方形CEGF繞點(diǎn)、C順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)a角(0°<a<45°)，如圖3所示，當(dāng)三

點(diǎn)在一條直線上時(shí),延長CG交AD于點(diǎn)H,若/G=9,GH=,求的長.

【題型05：K字型相似】

15.綜合探究

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為原點(diǎn)，口4口6?的頂點(diǎn)8、。在多軸上，A在夕軸上，OA=OC=

208=4,直線夕=c+t(—2WtW4)分別與①軸、0軸、線段40、直線AB交于點(diǎn)E、F、P、Q.

⑴當(dāng)力=1時(shí)，求證：AP=DP.

(2)探究線段AP、PQ之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

⑶在①軸上是否存在點(diǎn)河，使得APMQ=90°,且以點(diǎn)M、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△408相似，若

存在，請求出此時(shí)t的值以及點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

16.如圖，邊長為10的等邊△ABC中，點(diǎn)。在邊AC上，且40=3,將含30°角的直角三角板(/斤=30°)

繞直角頂點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)，。夙。尸分別交邊4口、8。于P、Q,連接PQ.當(dāng)EF〃PQ時(shí)，。Q長為

()

A

F

A.6B.V39C.10D.6V3

17.(1)問題

如圖1,在四邊形4BCD中，點(diǎn)P為48上一點(diǎn)，當(dāng)/。2。=//=/口=90°時(shí),求證：AD-BC=AP

■BP.

⑵探究

若將90°角改為銳角(如圖2)，其他條件不變,上述結(jié)論還成立嗎？說明理由.

(3)應(yīng)用

如圖3,在/XABC中，=45°,以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)作等腰MADE.點(diǎn)D在BC上,點(diǎn)

E在AC上，點(diǎn)尸在上，且NEED=45°,若CE=",求CD的長.

?M

18.如圖，在形△ABC中，乙4cB=90°,等=坐，CD，AB于點(diǎn)。，點(diǎn)E是直線AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接

ACn

DE,過點(diǎn)。作尸。，ED,交直線BC于點(diǎn)F.

(1)探究發(fā)現(xiàn)：

如圖1,若小=九,點(diǎn)E在線段47上，則等=；

L)r

(2)數(shù)學(xué)思考：

①如圖2,若點(diǎn)E在線段AC上，則萼=(用含小，"的代數(shù)式表示)；

Ur

②當(dāng)點(diǎn)E在直線AC上運(yùn)動(dòng)時(shí),①中的結(jié)論是否仍然成立？請僅就圖3的情形給出證明；

(3)拓展應(yīng)用:若AC=4^,BC=2店，DF=46,請直接寫出CE的長.

E

圖1圖2圖3備用圖

相似三角形重難點(diǎn)模型（五大模型）

.考點(diǎn)歸納

【題型01:（雙）A字型相似］

【題型02:（雙）8型相似】

【題型03:母子型相似】

【題型04：旋轉(zhuǎn)相似】

【題型05：K字型相似】

度庫點(diǎn)精講

【題型01：（雙）A字型相似】

1.如圖，在4ABC中，BC=12,高AD=6,正方形EFGH一邊在上，點(diǎn)瓦尸分別在AB,AC±.,AD

交即于點(diǎn)N,求4V的長.

【答案】2

【分析】設(shè)正方形EFGH的逆長EF=EH=*易證四邊形EHDN是矩形,則ON=2,根據(jù)正方形的性質(zhì)得

出EF〃B。，推出?△ABC,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計(jì)算即可得解.

【詳解】解:設(shè)正方形EFGH的邊長EF=EH=/,

1.?四邊形EFGH是正方形,

4HEF=AEHG=90°,EF//BC,

：.△AEF?AABC,

,.。AD是△ABO的高，

NHDN=90°,

：.四邊形EHDN是矩形,

:.DN=EH=x,

■：AAEF?AABC,

.?.弱=票（相似三角形對應(yīng)邊上的高的比等于相似比），

ADBC

???BC=12,AD=6,

AN—6—x,

.6—x_x

一6―B

解得：力=4,

??.AN=6—c=6—4=2.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì).解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定

和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)的運(yùn)用，注意：矩形的對邊相等且平行，相似三角形的對應(yīng)高的比等于相似比.

2.如圖，光源P在水平橫桿AB的上方，照射橫桿AB得到它在平地上的影子為CD（點(diǎn)P、4、。在一條

直線上,點(diǎn)尸、B、D在一條直線上）,不難發(fā)現(xiàn)ABHCD.已知AB=1.5m,CD=4.5m,點(diǎn)P到橫桿

AB的距離是1巾,則點(diǎn)P到地面的距離等于m.

P

/\

【答案】3

【分析】作PFJ_C。于點(diǎn)F，利用4B〃CD,推導(dǎo)?再利用相似三角形對應(yīng)高之比是相似

比求解即可.

【詳解】解:如圖，過點(diǎn)P作PF_LCD于點(diǎn)F,交AB于點(diǎn)E,

P

vAB//CD,入

:?4PAB?APCD,PE_LAB,./；\n

AZ___:__B

SPAB?4PCD,?/E\'''

=多得■,（相似三角形對應(yīng)鬲之比是相似比），/I\、

.1.51/1\

即爭F，----------------:------

解得PF=3.F

故答案為：3.

【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握相似三角形對應(yīng)高之比是相似比是解題的關(guān)鍵.

3.如圖，在RtAABC中，NACB=90°,ABAC=60°,AC=6,AO平分NBA。,交邊于點(diǎn)。，過點(diǎn)。

作CA的平行線,交邊AB于點(diǎn)E.

⑴求線段。E的長；

⑵取線段4。的中點(diǎn)M,連接BM，交線段DE于點(diǎn)R,延長線段BM交邊AC于點(diǎn)G,求第■的值.

Ur

【答案】⑴4

⑵母

O

【分析】⑴根據(jù)平行線分線段成比例定理，列出比例式求解即可；

(2)根據(jù)平行線分線段成比例定理，列出比例式求解即可.

【詳解】⑴解：??,4D平分/A4。，60°,

??.ZDAC=30°,

在Rt/\ACD中，AACD=90°,

ZZMC=30°,AC=6,

.?.CD=2V3,

在JttZVlCB中，/ACB=90°,ZR4C=60°,AC=6,

BC=6A/3,

.-.Bn=BC-CD=4V3,

?：DE//CA,

.DE_=BD=2

''~CA_BC-y,

:?DE=4;

(2)解：如圖.

??,點(diǎn)M是線段AD的中點(diǎn)，

：.DM=AM,

?：DE//CA,

.DF=DM

**AG-AM'

：.DF=AG.

?：DE//CA,

.EF=BFBF=BD

^^G~'BG9^G~~BC'

.EF=BD

**AG-BC,

vBO=4V3,BC=6V3,DF=AG,

.EF_2

**DF

【點(diǎn)睛】考查了平行線分線段成比例定理，注意線段之間的對應(yīng)關(guān)系.

4.如圖，△AB。中，N4=90°,4B=6cm,AD=12cm.某一時(shí)刻，動(dòng)點(diǎn)河從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向以

1cm為的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)。出發(fā)沿。A方向以2cm為的速度向點(diǎn)入勻速運(yùn)動(dòng),

運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為加.

(1)求t為何值時(shí)，AWN的面積是△ABD面積的4；

9

(2)當(dāng)以點(diǎn)A,M,N為頂點(diǎn)的三角形與相似時(shí)，求t值.

【答案】⑴X,但2;⑵-3或管

【分析】⑴由題意得_DN=2力(cm),AN—(12—2/;)cm,AM—力cm,根據(jù)三角形的面積公式列出方程可求

出答案；

⑵分兩種情況，由相似三角形的判定列出方程可求出力的值.

【詳解】解：⑴由題意得DN=2力（cm）,AN=（12—2力）cm,AM—tcm,

/\AMN的面積--^-AN?AM—x（12—2t）xt—6t—t2,

ZA=90°,AB=6cm,AD=12cm

△ABD的面積為^-AB-AD=、■X6X12=36,

9

/\AMN的面積是/\ABD面積的,

6t-i?—~~x36,

i?—6力+8=0,

解得=4,9=2,

答:經(jīng)過4秒或2秒，△4MN的面積是△4BO面積的看；

（2）由題意得。N=2力（cm）,AN=（12—2力）cm,AM=tcm,

若AAMN?LABD,

貝有=幺竺即上=12-2,

為ABAD，612，

解得t=3,

若/XAMN?4ADB,

貝1I有―河—即_L=.12-2,

ADAB'126'

解得t=塔，

5

答：當(dāng)t=3或孕時(shí)，以4河、N為頂點(diǎn)的三角形與AABD相似.

5

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定，直角三角形的性質(zhì)和一元二次方程的應(yīng)用，正確進(jìn)行分類討論是解

題的關(guān)鍵.

【題型02：（雙）8型相似】

5.已知：如圖，四邊形4BCD是平行四邊形，在邊的延長線上截取跳;=點(diǎn)9在AE的延長線

上，CE和。F交于點(diǎn)和。F交于點(diǎn)N,聯(lián)結(jié)8D

（1）求證：/\BND?ACNM；

（2）如果人。2=入口.人廠,求證：CM-AB=DM?CN.

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【分析】（1）利用平行四邊形的性質(zhì)得CD,ABHCD,再證明四邊形BECD為平行四邊形得到BD//

CE,根據(jù)相似三角形的判定方法，由CM7/DB可判斷△BND?ACNM;

⑵先利用在。2=AB?AF可證明△ADB~A4FD,貝|zi=/R,再根據(jù)平行線的性質(zhì)得/F=Z4,Z2=

/3,所以/3=/4,加上/7WC=/CMD,于是可判斷ZWNC?△AfCD,所以MC:MD=CN:CD,然后

利用CD=4B和比例的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【詳解】證明:(1)V四邊形ABCD是平行四邊形，

??.AB=CD,AB〃CD,

而BE—AB,

:?BE=CD,

而BE//CD,

???四邊形跳;CD為平行四邊形，

：.BD//CE,

?：CM//DBf

：./XBND-/\CNM\

⑵???AD2=AB-AF,

：.AD:AB=AF:AD,

而/。AB=/E4。，

???AADB?AAFD,

：.Z1=ZF,

?：CD//AF9BD//CE9

：.ZF=Z4,Z2=Z3,

Z3=Z4,

而/NMC=/CMD,

???4MNC?4MCD,

：.MC:MD=CN:CD,

:?MC?CD=MD?CN,

而CD=AB,

:?CM?AB=DM?CN.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形相似的判定與性質(zhì)：在判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共

角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構(gòu)造相

似三角形.在運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)時(shí)主要利用相似比計(jì)算線段的長.也考查了平行四邊形的判定與性

質(zhì).

6.如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E是AD上一點(diǎn)，AE=2ED,連接8E交若。于點(diǎn)G,延長BE交

的值為()

A，23B-1D-7

【答案】A

【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是利用平行四邊形的性

質(zhì)對邊平行而構(gòu)建相似三角形.

先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AB//CD,則可判斷△ABG?△CFG,4ABE?/XDFE,于是根據(jù)相似三角

形的性質(zhì)和AE=2即可得結(jié)果.

【詳解】解：〈四邊形ABCD為平行四邊形，

??.AB//CD,

???4ABG?4CFG,

.BG_=AB

''~GF~~CF

???/\ABE?/\DFE,

.AE_=AB

"'DE~'DFf

AE=2ED,

AB=2DF,

.AB=2

CF3

BG2

~GF3

故選：A.

7.如圖1,在四邊形ABDE中，AABC=ABDE，點(diǎn)。在邊RD上，且AC〃DE,AB〃CE,點(diǎn)F在邊AC

上，且AF=CE,連接BF,。尸，。尸交CE于點(diǎn)G.

（1）求證：_BF=。尸；

（2）如圖2,若/ACE=/CD斤,求證：CE-CF=BF-DG；

⑶如圖3,若延長口尸恰好經(jīng)過點(diǎn)E,求票的值.

【答案】（1）見解析

（2）見解析

1+弱

【分析】（1）證明△4BF空△CAE,得出_BF=AE,證明四邊形AFDE為平行四邊形，得出AE=DF,則可

得出結(jié)論；（2）證明4FCG~AFDC,得出~=怨,證明△FCG?2EG,得普=累，則得出結(jié)

DFCFDGDE

論；（3）證明aABF?△CEF,得出需=縹，設(shè)==解方程求出,，則可得出答案.

【詳解】(1)???AC//DE.AB//CE

：./BDE=乙4c8,NAB。=/DCE,/BAC=/ACE

???ZABC=ABDE

???AABC=/BDE=AACB=ADCE

：.AB=AC,CE=DE

在△ABF和中，

(AF=CE

又???{/Ja4C=/ACE

[AB=AC

：.AABF咨Z\CA磯SAS)

:?BF=AE

?：CE=DE,AF=CE

??.AF=DE

???AF=DE,ACHDE

：.四邊形4FDE為平行四邊形

：.AE=DF

：.BF=DF

⑵???(/4CE=/CDF

.-.△FCG-AFDC

.CF=GF

**DF-CF

又???ACIIDE

/\FCG-/^DEG

GFCF日口GFDG

DGDE'CFDE

CF=DG

~DF~~DE'

火,；DE=CE,DF=BF

二寨=%，即函CF=BF?OG

(ZABC=ZDCE

[ZACB=ZEDC

：,4ABC?^ECD

.BC=AB

，9~CD~~CE

???AB//CE,

???/\ABF-/\CEF

.AB=AF

，9~CE~~CF

：.AB-CF=AF-CE.

設(shè)AB=x,AF=CE=Tn,則有x(x—m)=m2

解得x=1^^力(負(fù)值舍去)

.BC_=AB_=1+VK

9，~CD~~CE~2

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)，利用相似三

角形的判定和性質(zhì)是本題解題的關(guān)鍵.

8.如圖1,在矩形48co中，04=8,OC=6,D,E分別是4B,BC上一點(diǎn)，4D=2,CE=3,OE與

CD相交于點(diǎn)F

（1）求證：OE1CD；

（2）如圖2,點(diǎn)G是CD的中點(diǎn)，延長OG交8。于求S的長.

【答案】（1）見解析；（2）CH的長為6.

【分析】（1）根據(jù)四邊形ABCO是矩形，可得0A=BO=8,OC==6,根據(jù)勾股定理可得OE和CP的

長，進(jìn)而得EF和CF的長，再根據(jù)勾股定理的逆定理即可得OE，CD;

⑵在放△CBD中，C?=8,BD=AB—AD=6—2=4,根據(jù)勾股定理可得CD=4,根據(jù)點(diǎn)G是CD

的中點(diǎn)，可得CG=OG=2/5,所以得點(diǎn)G是CP的三等分點(diǎn)，根據(jù)0A//對應(yīng)邊成比例即可求出CH

的長.

【詳解】（1）：四邊形ABCO是矩形，

/.OA—BC—8,OC—AB=6,

在R3QCE中，CE=3,

：.OE=y/OC2+CE2=V62+32=3V5,

?/ABHOC,即A。〃OC,且A。=2,

.AD_PA

"~oc~Td'

.2PA

"~6~PA+8'

：.PA=4,

：.PO=PA+OA=12,

在①△OPC中，00=6,

ACP=VOC2+FO2=V62+122=6A/5,

?：OA//BC,^OP//CE,

.CE_EF_CF

"~OP~~OF~TF,

.EF_CF=3=1

"OF-PF-12-J）

55

CF=~CP=^~,

55

???（哈+（哈=”+普=9,

'5，'5，55

:.EF?+CF?=CE?,

：.△CEF是直角三角形，

；.NCFE=90°,

：.OE±CD;

（2）在RtZXCBD中，CB=8,BD=AB—AD=6—2=4,

根據(jù)勾股定理，得CD=VCBVBZ7=V82+42=4V5,

???點(diǎn)G是CD的中點(diǎn)，

：.CG=DG=2V5,

由⑴知：CP=6A/5,

：.DP=CP-CD=2V5,

.?.點(diǎn)G是CP的三等分點(diǎn)，

?：OA//BC,^OP//CH,

.CH_CG

"OP~GP'

.CH_1

"12—2，

：.CH=6.

答：CH的長為6.

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、勾股定理及其逆定理的應(yīng)用、相似三角形的判定與性質(zhì)以及平行線分線段

成比例定理，解決本題的關(guān)鍵是掌握矩形的性質(zhì).

【題型03：母子型相似】

9.【典例3】如圖1,NC=90,8C=6,tan8=1點(diǎn)河從點(diǎn)8出發(fā)以每秒1個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)。運(yùn)

動(dòng)，點(diǎn)N同時(shí)從點(diǎn)。出發(fā)以每秒2個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)4運(yùn)動(dòng)，當(dāng)一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也停止

運(yùn)動(dòng).

圖1圖2

（1）求的長.

（2）當(dāng)以點(diǎn)河、C、N為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似時(shí)，求t的值.

（3）如圖2,將本題改為點(diǎn)M從點(diǎn)B出發(fā)以每秒3個(gè)單位長度的速度在上向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N同時(shí)從

點(diǎn)人出發(fā)向點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)，其速度是每秒2個(gè)單位長度，其它條件不變,求當(dāng)t為何值時(shí)，△MVA為等腰三

角形.

【答案】⑴10

（2）i=孕或￡=￥■時(shí)，以點(diǎn)河、C、N為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似

511

（3萬=2或±=當(dāng)或￡=察時(shí)，為等腰三角形

J.（O.L

【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)解得即可；

（2）分①當(dāng)/\MCN?ABCA時(shí)和②當(dāng)AMCN?AACB時(shí)，兩種情況利用相似三角形的性質(zhì)解答即可；

⑶分①當(dāng)時(shí)，②當(dāng)4M'=MV時(shí)，③當(dāng)AW=A/V時(shí)，三種情況，利用等腰三角形的性質(zhì)得出比

例解答即可.

【詳解】⑴解：???/C=90°,BC=6,tanB=a

：.AC=8

：.AB=VBC2+AC2=V62+82=10

（2）解:解:①當(dāng)ZWC7V?ABCA時(shí)，

.MC=CN

**BC-GAJ

即6T二生

68，

解得：力=孕，

5

②當(dāng)4MCN?/\ACB晌,

..MC=CN

?~AC~^C"

即6T=生

86，

解得：力=*，

綜上所述，力=￥■或1=”時(shí)，以點(diǎn)河、C、N為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，

511

（3）解:①如圖3,當(dāng)時(shí)，10—3力=2力，

解得:t=2,

②如圖4,當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)凹作MD_LAC于。，

則ZADM=90°,AM=MN=10-3tfAD=yAN=t,

???乙4cB=90°,

：.MD〃BC,

：.4AMD~4ABC,

.AM=AD

即1°-3力_

108，

解得：力=工，圖4

③如圖5,當(dāng)AflV=4V時(shí)，過點(diǎn)N作ND_LAB于。，

則4ADN=/ACB=90°,AD=DM=AM=-1-(10-3t),

=ZA,

???/\ADN?/\ACB,

.AD=AN

''1AC~~AB9

f（10-3t）2t

即一8-—而

解得：力=等，

O1

綜上所述，t=2或t=鐺■或力=黑時(shí)，^MNA為等腰三角形圖5

【點(diǎn)睛】本題考查考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，已知正切求邊長，解題的關(guān)鍵是掌

握輔助線的作法，數(shù)形結(jié)合，分類討論思想的應(yīng)用.

10.如圖，在△4BC中，。是上的點(diǎn)，E是/。上一點(diǎn)，且袈=架，ABAD=AECA.

ACCH

⑵若人。是△ABC的中線，求霓的值.

【答案】（1）證明見解析；（2）亨

【分析】（1）首先利用相似三角形的判定得出ABA。?ZVICE△，得進(jìn)而求出△48。?

△DAC,再利用相似三角形的性質(zhì)得出答案即可；

（2）由ABAD?A4CE可證/CDE=/CED,進(jìn)而得出CD=CE,再由⑴可證由此即可得

出線段之間關(guān)系.

【詳解】（1）證明：???俱=雜，2BAD=2ECA,

ACUrfj

：.ABAD八ACE,

??./B=/EAC,

???AACB=ZDCA9

???△ABC?AnAC,

.AC=BC

,?~CD~^Cf

：.AC2=BCCD.

（2）解：:ABAD?/XACE,

???/BDA=/AEC,

：.ACDE=AGED,

:?CD=CE,

???4D是△ABC的中線，

:?BC=2BD=2CD,

：.AC2=BCCD=2CD2,即：AC=V2CD,

.CE_=CD=V2

"AC~V2CD—2

【點(diǎn)睛】此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及重心的性質(zhì)等知識，根據(jù)已知得出ABAD?/\ACE

是解題關(guān)鍵.

11.如果兩個(gè)相似三角形的對應(yīng)邊存在2倍關(guān)系，則稱這兩個(gè)相似三角形互為母子三角形.

(1)如果△LEF與△ABC互為母子三角形，則

A.2C.2或］

(2)已知:如圖中，AD是NR4c的角平分線，AB=2AD,AADE=ZB.

求證：/XABD與4ADE互為母子三角形.

⑶如圖2,/XABC中，AD是中線,過射線CA上點(diǎn)E作EGH交射線DA于點(diǎn)G,連結(jié)BE,射線

BE與射線交于點(diǎn)F,若△AGE與△AOC互為母子三角形.求圣的值.

Grr

【答案】⑴C;⑵見解析；⑶第=；或3.

(分析】(1)根據(jù)互為母子三角形的定義即可得出結(jié)論；

(2)根據(jù)兩角對應(yīng)相等兩三角形相似得出△ABD?△ADE,再根據(jù)AB=2AD從而得出結(jié)論；

(3)根據(jù)題意畫出圖形，分當(dāng)G,E分別在線段上時(shí)和當(dāng)G,E分別在射線D4CA上時(shí)兩種情況加

以討論；

【詳解】(1)???△￡￡1?與△ABC互為母子三角形,

.陛=上或2

"AB2雙

故選：C

(2)：AD是乙民4。的角平分線，

4BAD=ZCAD,

?：NADE=NB,

：.4ABD?AADE.

又?.?AB=24D,

AABD與△ADE互為母子三角形.

⑶如圖，當(dāng)G,E分別在線段4D,AC上時(shí)，

AAGE與A4。?；槟缸尤切?，

,CD=AD=9

''~GE~~AG~'

??.AG=DGf

??,AD是中線，

：.BD=CD,

又,：GE"BC,

：.4GEF~/\DBF.

.DF=DB=CD=F

「GFGEGE，/\

；,DG=3GF,/\

??喘=3./\G

如圖，當(dāng)G,石分別在射線DA,CA上時(shí)，E\

??,△AG石與△ADC互為母子三角形，/

.CD^AD^//V\

-GEAG速///\\

???40是中線，!/\

:.BD=CD,BDC

又???GE〃石C,

???/XGEF-^DBF.

,DF=DB=CD

"~GF~~GE~'GE~'

??.DG=GF,

.AG_1

"~GF~~3'

綜上所述，第=4或3

【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、分類討論的數(shù)學(xué)思想以及接受與理解新生事物的能力.

準(zhǔn)確理解題設(shè)條件中互為母子三角形的定義是正確解題的先決條件，在分析與解決問題的過程中，要考慮

全面，進(jìn)行分類討論，避免漏解.

12.如圖1,AB=AC=2CD,DC//AB,將/XACD繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到AFCE,使點(diǎn)D落在AC的點(diǎn)

E處，與CF相交于點(diǎn)O,AB與班相交于點(diǎn)G,連接BF.

L),------------4DR-------------4

F

圖2

(1)求證：4ABE經(jīng)△CAD；

(2)求證：AC//FB；

13

⑶若點(diǎn)D,E,斤在同一條直線上，如圖2,求袈的值.（溫馨提示:請用簡潔的方式表示角）

±>c

【答案】（1）見解析

（2）見解析

⑶榨

【分析】⑴根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)得到旋轉(zhuǎn)前后兩個(gè)三角形全等，從而得到CE=CD,根據(jù)AC=2CD,就能

得到CD,然后利用平行可以得到內(nèi)錯(cuò)角相等，最后加上AB=47,就可以通過邊角邊證明兩個(gè)三角

形全等.

⑵根據(jù)旋轉(zhuǎn)和第一小題的結(jié)論，可以得到跳；=F￡,然后用等角對等邊即可得到/EFB=/EBF,又可以

從前面的兩個(gè)全等中得至U/EFC=AEBA,ZOAC=AOCA從而得至UAOFB=ZOBF,那么“AGO和

△BOF就是頂角互為對頂角的一組等腰三角形，所以就能得到底角相等，即/CAO=/FOB,那么內(nèi)錯(cuò)角

相等，兩直線平行即可證結(jié)論.

⑶根據(jù)O,E,尸在同一條直線上，可以證明△4EG和△CED全等，即可得到AG=/AB,那么EG就是

中位線，則石G〃CB,加上第二小題結(jié)論就能得到四邊形BCEF是平行四邊形，那么BC=AD,然后通過

三角形外角的性質(zhì)，可以證得/ADS=/ACD,就能證△ACD和△4DS是一組子母型相似，然后根據(jù)相似

比可得最終答案.

【詳解】⑴解：=將△ACD繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△FCE,

???叢FCE型叢ACD,

：.CE=CD,

???AC=2CD,

：.AC=2CE,

:?AE=AC-CE=2CE-CE=CE=CD,

???DCIIAB

：./DCA=/EAB,

在△ABE和△CAD中，

（AE=CD

?：bEAB=ADCA,

（AB=CA

：.△ABE空△CAD（S4S）.

（2）解：由（1）得跳；=AD,/ABE=/CAD,

???△CEF豈△CDA,

:?FE=AD,AEFC=ADAC,

??.BE=FE,/EFC=/EBA,

：.4EFB=/EBF,

???4OFB=/EFB—4EFC,/OBF=AEBF-AEBA,

：.ZOFB=AOBFf

?：4ECF=4DCA,

：.ZOAC=AOCAf

?：AOCA+ZOAC+乙40。=180°,ZOBF+ZOFB+ABOF=180°,

又乙40。="OF,

???AOCA+AOAC=/OBF+AOFBf

即24CAO=24FOB,

ANCAO=/FOB,

：.AC//FB

⑶解:在4AEG和△CED中,

(ZGAE=ZDCE

?：\AE^CE,

[2AEG=2CED

：.4AEG邕/\CED{ASA)

AG=CD=^-AB,

,:AE=CE,

：.EG//CB,

?：AC//FB,

：.四邊形BCEF是平行四邊形，

:.BC=FE=AD,

?：/AEG=Z.ACD+ACAD=/DAE+AADE,

NADE=/ACD,

???ZCAD=ZDAE,

：./\ACD-/\ADE,

.EA_DA

"15A~~CA,

即D^^EA-CA^2EA,

：.DA^V2EA,

?：AB^AC^2EA,

.ABAB_2EA_2反

"BCDAV2EAV2

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的證明，平行線的判定以及利用相似三角形求線段長之比，解題時(shí)需要學(xué)會

將多個(gè)小題的結(jié)論聯(lián)系起來，把前面小題的結(jié)論用到后面小題的思路中，熟練尋找證明三角形全等或相似

所需要的條件是解題的關(guān)鍵.

【題型04：旋轉(zhuǎn)相似】

13.【典例4】某校數(shù)學(xué)活動(dòng)小組探究了如下數(shù)學(xué)問題:

(1)問題發(fā)現(xiàn):如圖1,/XABC中，ABAC=90°,AB=AC.P是底邊上一點(diǎn),連接4P,以AP

為腰作等腰Rt/\APQ,且APAQ=90°，連接CQ、則BP和CQ的數(shù)量關(guān)系是；

(2)變式探究:如圖2,ZVIBC中,ABAC=90°,4B=A。.點(diǎn)P是腰AB上一點(diǎn),連接CP,以CP為

底邊作等腰母△CPQ,連接AQ,判斷BP和AQ的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

（3）問題解決:如圖3,在正方形ABCD中，點(diǎn)P是邊上一點(diǎn)，以DP為邊作正方形DPEF，點(diǎn)Q是

正方形。尸E尸兩條對角線的交點(diǎn)，連接CQ.若正方形DPE尸的邊長為CQ=20，請直接寫

出正方形ABC?的邊長.

【答案】（1）BP=CQ

（2）BP=V2AQ

（3）6

【分析】（1）根據(jù)已知條件利用邊角邊證明AABP空ZVICQ,再利用全等三角形的性質(zhì)即可得到BP和CQ

的數(shù)量關(guān)系；

（2）根據(jù)任意等腰直角三角形的直角邊與斜邊的比是相等的，利用兩邊長比例且夾角相等的判定定理證明

△CBP?△CAQ,之后再由相似三角形對應(yīng)邊成比例即可得到和4Q的數(shù)量關(guān)系；

（3）連接,先由正方形的性質(zhì)判斷出ABCD和APQD都是等腰直角三角形，再利用與第二問同樣的方

法證出/\BDP?4CDQ,由對應(yīng)邊成比例，依據(jù)相似比求出線段BP的長，接著設(shè)正方形的邊長為

2,運(yùn)用勾股定理列出方程即可求得答案.

【詳解】（1）解：???△APQ是等腰直角三角形，/B4Q=90°,

在△ABC中，ABAC=90°,AB=AC,

：.AP=AQ,/LBAP+APAC=ACAQ+APAC,

：.ABAP=Z.CAQ.

（AB=AC

在AABP和AACQ中，（NBAP=ACAQ,

[AP=AQ

：.AABP空△ACQ（SAS）,

:.BP=CQ-,

⑵解：結(jié)論：BP=2力（2,

理由如下：???△CPQ是等腰直角三角形，△ABC中，/R4C=90°,=

???器=第二亨,ZACB=ZQCP=45°.

?/NBCP+ZACP=ZACQ+ZACP=45°,

NBCP=/ACQ,

：.&CBP?4CAQ,

.QC_AC_AQ_^2

"1PC~^C~^BP~^T,

：.BP^V2AQ;

（3）解:連接BD,如圖所示，

四邊形ABCD與四邊形DPEF是正方形，DE