河南省項(xiàng)城市某中學(xué)2023-2024學(xué)年高一年級(jí)下冊(cè)期末考試數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

河南省項(xiàng)城市第三高級(jí)中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期末考

試數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.演講比賽共有9位評(píng)委分別給出某選手的原始評(píng)分，評(píng)定該選手的成績(jī)時(shí)，從9個(gè)原始

評(píng)分中去掉1個(gè)最高分、1個(gè)最低分，不變的數(shù)字特征是（）

A.中位數(shù)B.平均數(shù)C.方差D.極差

2.設(shè)2="，貝”2=（）

A.-2B.V2C.-V2D.2

3.已知〃是兩條不同的直線，a,夕是兩個(gè)不同的平面，下列說(shuō)法正確的是（）

A.若〃z〃c,“ua,則加〃〃B.若m〃n,mLa,則〃_La

C.若〃7_L〃，m//a,則"〃aD.若夕，mLa,則機(jī)〃力

4.設(shè)△4BC的內(nèi)角/,B,C所對(duì)邊分別為a,b,c,若a=3,b=拒,/=],則3=（）

A兀兀c兀5兀.、?！猵.2兀

A.—B.—C.—或—D.—或—

636633

5.如圖所示，梯形是平面圖形/BCD用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出的圖形，A'D'=2B'C'=2,

A.4B.12C.2D.2A/3

7.拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，設(shè)事件/="第一枚硬幣正面朝上"，事件8="第二枚硬幣反

面朝上”，則下述正確的是（）

A.A與5互為對(duì)立事件B.A與5互斥

C.A與3相等D.A與3相互獨(dú)立

試卷第1頁(yè)，共4頁(yè)

32

8.甲乙兩選手進(jìn)行象棋比賽，已知每局比賽甲獲勝的概率為《，乙獲勝的概率為不，若采

用三局二勝制，則甲最終獲勝的概率為（）

963「81-101

A.B.----C.----D.----

25125125125

二、多選題

9.已知，為虛數(shù)單位，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z=」L,以下說(shuō)法正確的是（）

2+z

4

A.復(fù)數(shù)z的虛部是：,B.|z|=l

24

C.復(fù)數(shù)z的共粗復(fù)數(shù)是D.復(fù)數(shù)z的共甄復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限

10.給出下列說(shuō)法，其中正確的是（）

A.數(shù)據(jù)0,1,2,4的極差與中位數(shù)之積為6

B.已知一組數(shù)據(jù)占,無(wú)2,…,x”的方差是5,則數(shù)據(jù)4占-1,4蘆-1,…,4x“-l的方差是20

C.已知一組數(shù)據(jù)占,尤2,…,x”的方差為0,則此組數(shù)據(jù)的眾數(shù)唯一

D.已知一組不完全相同的數(shù)據(jù)占，尤2,…,x”的平均數(shù)為%,在這組數(shù)據(jù)中加入一個(gè)數(shù)天

后得到一組新數(shù)據(jù)升,再,…，乙，其平均數(shù)為卜貝底=/

11.在棱長(zhǎng)為2的正方體N88-44CA中，己。分別是棱3C,CG的中點(diǎn)，點(diǎn)“滿足

兩=電&€[0,1],下列結(jié)論正確的是（）

A.若則4月〃平面

B.若％=1,則過(guò)點(diǎn)0的截面面積是1

c.若/=1，則點(diǎn)4到平面九牛。的距離是.

26

1萬(wàn)

D.若":，則N8與平面"P0所成角的正切值為‘

22

三、填空題

12.將一鋼球放入底面半徑為3cm的圓柱形玻璃容器中，水面升高4cm,則鋼球的半徑是一

cm.

13.某校從高一新生中隨機(jī)抽取了一個(gè)容量為10的身高樣本，數(shù)據(jù)（單位：cm）從小到大

試卷第2頁(yè)，共4頁(yè)

排序如下：158,165,165,167,168,169,17L172,173,175.則這組樣本數(shù)據(jù)的第

60百分位數(shù)是.

jr__

14.已知在邊長(zhǎng)為2的菱形48CD中，NDAB=g，點(diǎn)、E滿足麗=3衣,貝U

AC-AE=.

四、解答題

15.拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子(標(biāo)號(hào)為I號(hào)和n號(hào))，記下兩枚骰子朝上的點(diǎn)數(shù)，求下列事

件的概率：

(1)力="兩個(gè)點(diǎn)數(shù)之和是5"；

(2)3="兩個(gè)點(diǎn)數(shù)相等”；

(3)C="I號(hào)骰子的點(diǎn)數(shù)大于n號(hào)骰子的點(diǎn)數(shù)”.

16.已知平面向量值=(2,4),b=(6,x),1=(4,y),且l〃》，ale.

(1)求7和J

⑵若灰=2。-否，n^a+c,求向量三和向量7的夾角的大小.

17.已知在V/8C中，acosB+bcosA=2ccosA.

(1)求A的大?。?/p>

(2)若C=4,A/BC的面積為56，求VN8C的周長(zhǎng)

18.某校從高一年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取60名學(xué)生，將期中考試的數(shù)學(xué)成績(jī)均為整數(shù)分成六組:

[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100)后得到如圖所示頻率分布直方圖.

⑴求。的值；

(2)根據(jù)頻率分布直方圖，求眾數(shù)和中位數(shù)；

(3)用比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法在各分?jǐn)?shù)段的學(xué)生中抽取一個(gè)容量為20的樣本，求在

試卷第3頁(yè)，共4頁(yè)

[70,90)分?jǐn)?shù)段抽取的人數(shù);

19.如圖，在四面體48CD中，48=2。=CD=3,/B_L平面BCD,CDLBD,點(diǎn)、M為AD

上一點(diǎn)，且=連接

(1)求證8M_LCD.

(2)求點(diǎn)D到平面BMC的距離；

(3)求二面角M-BC-D的余弦值.

試卷第4頁(yè)，共4頁(yè)

參考答案:

題號(hào)12345678910

答案ADBACCDCCDACD

題號(hào)11

答案BD

1.A

【分析】根據(jù)中位數(shù)，平均數(shù)，方差，極差的定義進(jìn)行判斷，得到答案.

【詳解】A選項(xiàng)，9個(gè)數(shù)據(jù)從小到大進(jìn)行排列，西,3,…戶8戶9,故中位數(shù)為飛，

去掉X],%后，…％的中位數(shù)為％,A正確;

B選項(xiàng)，原數(shù)據(jù)的平均數(shù)為*+&+：+飛+/

去掉網(wǎng),與后，…％的平均數(shù)為強(qiáng)土產(chǎn)，

則//+…+/+/%2T?+/7再+7/—(2/+…+24)

9763

由于7再+7%-(2%+…+24)的正負(fù)不確定，無(wú)法確定平均數(shù)是否改變，B錯(cuò)誤;

C選項(xiàng)，同平均數(shù)一樣，方差也無(wú)法確定是否改變，C錯(cuò)誤;

D選項(xiàng)，若再=%2，%8=%，則極差不改變,

若再或/</，此時(shí)極差變小，D錯(cuò)誤.

故選：A.

2.D

【分析】先根據(jù)共輾復(fù)數(shù)的定義寫(xiě)出口然后根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法計(jì)算.

【詳解】依題意得，，=』,故zW=—2i?=2.

故選：D

3.B

【分析】根據(jù)空間線面位置關(guān)系依次分析各選項(xiàng)即可得答案.

【詳解】解：對(duì)于A選項(xiàng)，若加〃a,幾u(yù)a,則加〃〃或異面，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤;

對(duì)于B選項(xiàng)，若冽〃*mLa,則〃_La,故B選項(xiàng)正確；

對(duì)于C選項(xiàng)，若冽_L〃，m//a,則〃//a或〃ua或相交，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于D選項(xiàng)，若a_L",mA-a,則加〃〃或冽u",故D選項(xiàng)錯(cuò)誤；

故選：B

答案第1頁(yè)，共12頁(yè)

4.A

AciTiA1

【分析】根據(jù)已知與正弦定理可求得sin2=9^4=利用大邊對(duì)大角可得8為銳角，結(jié)

a2

合特殊三角函數(shù)值即可求解.

【詳解】結(jié)合題意，由正弦定理可得.D加inZ51,

smB=-----=------=-

a32

7T

又a>b,且A為銳角，；.8為銳角，.18=：.

6

故選：A.

5.C

【分析】利用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出平面圖形為直角梯形，再求面積.

【詳解】如圖，

作平面直角坐標(biāo)系》-。-九使N與O重合，在x軸上，

HAD=2,AB在了軸上，5.AB=2,

過(guò)8作8C7//D,且BC=1,則四邊形/BCD為原平面圖形，為直角梯形，

其面積為S=；(1+2)X2=3.

故選：C.

6.C

【分析】先根據(jù)已知條件求出H，再由悔+目=J(2￡+B)2化簡(jiǎn)計(jì)算即可

【詳解】因?yàn)橄蛄肯?1,⑻=2,它們的夾角為京，

一—一一2

所以〃-5二|。卜|5|cos§兀=一1,

所以悔+*](22+斤=\l4a2+4a-b+b2=〔4+(-4)+4=6=2.

故選：C.

7.D

【分析】列舉出拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣的所有結(jié)果，再逐一分析判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.

答案第2頁(yè)，共12頁(yè)

【詳解】拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣的所有結(jié)果是：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）,

事件/包含的結(jié)果有：（正，正），（正，反），事件8包含的結(jié)果有：（正，反），（反,反），

顯然事件事件8都含有“（正，反）”這一結(jié)果，即事件4事件8能同時(shí)發(fā)生，因此，事

件4事件8既不互斥也不對(duì)立，故A,B均錯(cuò)誤；

事件事件2中有不同的結(jié)果，于是得事件/與事件2不相等，故C錯(cuò)誤；

21211

因?yàn)镻（/）=W=5，P（8）=Z=5，P（/3）=W，則P（/2）=P（N）尸（8）,所以/與8相互獨(dú)立，

故D正確.

故選：D.

8.C

【分析】根據(jù)題意，由互斥事件的概率計(jì)算公式，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.

【詳解】由題意可得，甲最終獲勝有兩種情況：

一是前兩局甲獲勝，則獲勝的概率為0.6x0.6=0.36,

二是前兩局甲勝一局，第三局甲獲勝，則獲勝的概率為2x0.6x0.4x0.6=0.288,

而這兩種事件是互斥的，

Q1

所以甲最終獲勝的概率為0.36+0.288=0.648=—.

125

故選：C

9.CD

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算可得z=：2+（4i,再利用復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的模、共輾復(fù)數(shù)的

概念以及復(fù)數(shù)的幾何意義逐一判斷即可.

2z2;(2-/)2+4/24.

【詳解】z=----------=—+—i,

2+z（2+。（2-，）5---55

4

對(duì)于A,復(fù)數(shù)z的虛部是《，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,=半'故B錯(cuò)誤;

24

對(duì)于C,復(fù)數(shù)z的共輾復(fù)數(shù)是彳=《-1"故C正確;

_24

對(duì)于D,z=—-i,在復(fù)平面內(nèi)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為

5

復(fù)數(shù)z的共軌復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，故D正確.

故選：CD

答案第3頁(yè)，共12頁(yè)

10.ACD

【分析】對(duì)于A,求得極差、中位數(shù)即可判斷；對(duì)于B,根據(jù)方差的性質(zhì)即可判斷；對(duì)于C,

根據(jù)方差的定義可得網(wǎng)=9=???=%=下，從而可判斷；對(duì)于D,根據(jù)平均數(shù)的計(jì)算公式即

可判斷.

【詳解】對(duì)于A,極差為4-0=4,中位數(shù)為*=±,所以極差與中位數(shù)之積為4X==6,

222

A對(duì)；

對(duì)于B,根據(jù)方差的性質(zhì)可知，數(shù)據(jù)4再-1,4/-1,二4乙-1的方差是42><5=80,B錯(cuò);

對(duì)于C,由方差/=：［（再_可2+缶_寸+…（可_寸］句，

可得花=%一??=%=元，即此組數(shù)據(jù)眾數(shù)唯一，C對(duì)；

」十X+HFX

對(duì)于D,V———---------=x0,/.x1+x2+--+xn=nxQf

故選：ACD

11.BD

【分析】延長(zhǎng)5綜。尸相交于點(diǎn)人若44〃平面"P0,根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理可得工與B

重合可判斷A；連接得四邊形/RQP即為過(guò)點(diǎn)的截面，利用四邊形

N20P是等腰梯形，求出面積可判斷B；以。為原點(diǎn)，D4DC,他所在的直線分別為x/,z

軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面”尸。的一個(gè)法向量，利用點(diǎn)到平面的向量求法可判斷C；

利用線面角的向量求法可判斷D.

【詳解】對(duì)于A,若f=l,則嬴=直，即點(diǎn)M與點(diǎn)A重合，

延長(zhǎng)期,0尸相交于點(diǎn)上，連接4，貝I］平面Ng/J平面=

若/百〃平面MP。，4耳<=平面ZL8/1，所以4瓦〃/工，

因?yàn)樗?B//4L,即工與3重合，顯然不可能，故A錯(cuò)誤；

答案第4頁(yè)，共12頁(yè)

對(duì)于B,若％=1,則麗7=麗，即點(diǎn)M與點(diǎn)A重合，

連接4%02,G5,因?yàn)锳DJIC\B,PQ//CiB,所以4口〃尸°,

即四邊形/2。尸即為過(guò)點(diǎn)"，尸，。的截面，且40尸2倉(cāng)P°=6,

22

AP=YIAB+BP=V5,DXQ=JcR+c?=舊,

3

所以四邊形40笈尸是等腰梯形，其高為/?=

F'

9

故B正確;

對(duì)于C,若f=g，即點(diǎn)w是的中點(diǎn)，以。為原點(diǎn)，所在

的直線分別為x”，z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則M(2,1,0),尸(1,2,0),。(0,2,1),4(2,0,2),

MP=(-1,1,0),M2=(-2,1,1),離=(0,-1,2),

設(shè)行=(x,y,z)為平面必＞。的一個(gè)法向量，則

n-MPQ==00,所以［\—-x2x++yy=0+z=0

令J=l,則x=l,z=l,

答案第5頁(yè)，共12頁(yè)

所以河=（1,1,1）,所以點(diǎn)4到平面MP。的距離為

,故c錯(cuò)誤,

對(duì)于D,若？=；，由C,/（2,0,0）,3（2,2,0）,所以次=（0,2,0）,

力=（1,1,1）為平面"P。的一個(gè)法向量,

設(shè)與平面所成角為“OVOV]

26

2XA/1+T+T-3

所以cos9=A/1-COS20=,

3

心

可得tan夕=,故D正確.

7622

T

故選：BD.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：CD選項(xiàng)的解題的關(guān)鍵點(diǎn)是建立空間直角坐標(biāo)系求解.

12.3

4

【解析】設(shè)球的半徑為一cm,由球的體積等于水面升高的體積，即可列方程求鋼球半

徑.

【詳解】由題意知：水面升高的體積等于鋼球的體積，設(shè)鋼球的半徑為一cm,貝！|：

4R

—=4x9〃=36萬(wàn),解得：丫=3,

3

故答案為：3

13.170

【分析】根據(jù)百分位數(shù)的定義計(jì)算即可.

答案第6頁(yè)，共12頁(yè)

【詳解】因?yàn)?0x60%=6,

所以這組樣本數(shù)據(jù)的第6。百分位數(shù)是丁".

故答案為：170.

14-T

【分析】根據(jù)相似比可得—/尸=（7—NC,即可利用數(shù)量積的幾何意義求解.

O

【詳解】如圖，設(shè)/C與AD交于點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)E作出）的平行線交4C于點(diǎn)尸.因?yàn)槎?3反,

—?1—,1—?—?7—?

所以網(wǎng)=Zg=/c'所以六二",

7T

因?yàn)樗倪呅?BCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，NDAB

所以ZC=2后，且成，ZC,所以存在％上的投影向量為春，

所以萬(wàn).萬(wàn)=%./=?就2=包

82

15.(1)§

戰(zhàn)

(3)—

~12

【分析】（1）判斷出符合古典概型，列出樣本空間，找到滿足事件A的樣本點(diǎn)，求比值即可;

（2）列出滿足事件B的樣本點(diǎn)，求比值即可；

（3）列出滿足事件C的樣本點(diǎn)，求比值即可.

【詳解】（1）用機(jī)表示I號(hào)出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為加，用“表示n號(hào)出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為"，

則用（機(jī),"）表示這個(gè)實(shí)驗(yàn)的一個(gè)樣本點(diǎn)，

樣本空間。={（加,”）1見(jiàn){1,2,3,4,5,6}},共有36個(gè)樣本點(diǎn).

由于骰子的質(zhì)地均勻，所有各個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相等，因此這個(gè)試驗(yàn)是古典概型.

答案第7頁(yè)，共12頁(yè)

?.?4=｛（1,4）,（2,3）,（3,2）,（4,1）｝,

/.=4,

，尸⑷=&4」1；

369

（2）V5=｛（1,1）,（2,2）,（3,3）,（4,4）,（5,5）,（6,6）｝,

=6,

二尸⑶4]_

366

（3）

?.?C=｛（2,1）,（3,2）,（3,1）,（4,3）,（4,2）,（4,1）,（5,4）,（5,3）,（5,2）,（5,1）,（6,5）,（6,4）,（6,3）,（6,2）,（6,1）｝

.-.H（C）=15

5

3o12

16.（1）6=（6,12）,c=（4,-2）；

⑵亨?

【分析】(I)由列方程可求出X,再由@/日列方程可求出y,從而可求出?和1；

(2)先求出向量前和向量■的坐標(biāo)，再利用向量的夾角公式求解即可.

【詳解】(1)因?yàn)?〃B，所以2x-24=0,解得x=12,

因?yàn)樗?+4/=0,解得＞=一2,

故3=（6,12）,c-（4,-2）；

(2)沅=21—3=(—2,—4),元=3+己=(6,2),

設(shè)向量溫和向量％的夾角為e,

m-n-20

則cosQ=

WW\2而x2卡

3

因?yàn)楹巍?兀］'所以。丁’

答案第8頁(yè)，共12頁(yè)

即向量AM和向量〃的夾角的大小為^.

4

71

17.⑴

（2）9+^21.

【分析】（1）由正弦定理、兩角和的正弦展開(kāi)式化簡(jiǎn)可得答案;

（2）利用三角形的面積公式求出6,余弦定理求出。可得答案.

【詳解】（1）由正弦定理三=以C

S1IL4S11WsinC

得sinZcosB+sin5cos/=2sinCcos4.

所以sin(/+3)=2sinCcos/.

因?yàn)?+3+C=TI,所以sinC=2sinCcos力，

因?yàn)??！?0,7i),sinCw0,所以2cos4=1,即cos/=g,

又因?yàn)?￡(0,兀)，所以/=］；

(2)因?yàn)镾“BC=5百，即:csiM=5,

2

即工x6x4x迫5抬"，所以6=5,

22

又因?yàn)?=b2+c2-2bccosA,即/=25+16-2x5x4x?,

2

所以a=J?l，所以V48c的周長(zhǎng)為9+庖.

18.⑴a=0.030

(2)眾數(shù)為75,中位數(shù)2個(gè)20

⑶11

【分析】（1）根據(jù)小矩形面積之和為1建立等式求解即可；

（2）找到最高的小矩形的底所在的兩個(gè)端點(diǎn)值求解即可；首先確定中位數(shù)在那一組內(nèi)，再

利用從左到右面積等于0.5建立等式求解；

（3）確定抽相比，然后乘以［70,90）分?jǐn)?shù)段的人數(shù)即可求解.

【詳解】（1）由題意可得（0.01+0.015x2+0+0.025+0.005）x10=1,

解得a=0.030；

答案第9頁(yè)，共12頁(yè)

(2)根據(jù)頻率分布直方圖可知，［70,80)分?jǐn)?shù)段的頻率最高，因此眾數(shù)為75,

設(shè)中位數(shù)為x,貝!|(0.01+0.015x2)xl0+(x-70)x0.03=0.5,

解得x=專；

(3)因?yàn)榭傮w共60名學(xué)生，樣本容量為20,因此抽樣比為20,=：1.

又在［70,90)分?jǐn)?shù)段共有60x(0.3+0.25)=33(人)，

因此在［70,90)分?jǐn)?shù)段抽取的人數(shù)是33x；=11(人).

19.(1)證明見(jiàn)解析

【分析】(1)由48_L平面BCD,得1CD,而則由線面垂直的判定定理可證

得CD,平面,再利用線面垂直的性質(zhì)可證得結(jié)論；

(2)由/"=可得點(diǎn)M到平面的距離為=l,在ABOM中利用余弦定理

求出即/,再在ABCM中利用余弦定理求出cos/BMC,從而可求出sin/BMC,則可求出

S：，然后利用等體積法可求得結(jié)果；

(3)取8C的中點(diǎn)N,連接DN,過(guò)"作于H,過(guò)H作HE，8c于￡,連接ME,

則可得為二面角的平面角，然后根據(jù)已知的數(shù)據(jù)在中求解即

可.

【詳解】(1)因?yàn)?8_L平面BCD,CDu平面BCD,

所以4BLCD,

因?yàn)镃Q1.3。，ABC\BD=B,平面ARD,

所以CD_L平面N3。，

因?yàn)轷舊u平面/BO,

所以收_LC。；

(2)因?yàn)?8_L平面BCD,ADu平面BCD,所以/B_LAD,

因?yàn)閆8=8D=3,所以4D=3&，ZADB=45°,

答案第10頁(yè)，共12頁(yè)

因?yàn)辄c(diǎn)M為/。上一點(diǎn)，且

所以=2A/2,DM=VL點(diǎn)〃■至!]平面BCD的距離為力==1,

19

因?yàn)镃D_L