復(fù)數(shù)及其應(yīng)用-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

專題10復(fù)數(shù)及其應(yīng)用

（思維構(gòu)建+知識盤點+重點突破+方法技巧）

維構(gòu)建?耀蓿陳紿

復(fù)數(shù)的定義：形如a+bi（a,bGR）橫叫做復(fù)數(shù)

其中實部是a,虛部是b

詡（b=o））題型復(fù)數(shù)的基本概念及應(yīng)用

復(fù)數(shù)的分類01

K。知識點一復(fù)數(shù)的基本募吸b/0）（a=0夠蜃數(shù)））題型02根據(jù)復(fù)數(shù)相等求參數(shù)

題型03復(fù)數(shù)的模長計算

題型04共姬復(fù)數(shù)及其應(yīng)用

（復(fù)數(shù)的有關(guān)概念）＜共姬復(fù)數(shù)）

1■（復(fù)數(shù)的模）

復(fù)

數(shù)復(fù)平面的概念一建立直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面口微復(fù)平面

題型01復(fù)數(shù)與復(fù)平面的點——對應(yīng)

及點二復(fù)數(shù)的幾何意義［中［實M與部＞~Y漸叫做實軸，y軸叫做畫

題型02復(fù)數(shù)與復(fù)平面向量——對應(yīng)

其題型03復(fù)數(shù)的模的幾何意義及應(yīng)用

殷的幾何表示

應(yīng)

用z_4—-,7^復(fù)數(shù)的運算法則一力口、減、乘、除題型01復(fù)數(shù)的四則運算

知識點三復(fù)數(shù)的四則運算、…~------------題型02復(fù)數(shù)的乘方運算

YV__o______:__________________/＞￡M復(fù)數(shù)運算的幾個重力論

題型03復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解方程

輻角的定義

復(fù)數(shù)的輻角

輻角主值

題型01復(fù)數(shù)的代數(shù)式與三角式互化

O知識點四復(fù)數(shù)的三角形式復(fù)數(shù)的三角跖t：Z=r（cose+isin6）題型02復(fù)數(shù)三角形式乘除法運算

題型03復(fù)數(shù)的新定義問題

復(fù)數(shù)的三角形式及運算復(fù)數(shù)的乘法運算

復(fù)數(shù)的除法運算

口識盤點-霍翡訃缺

知識點1復(fù)數(shù)的基本概念

1、復(fù)數(shù)的定義：形如。+歷（。，6GR）的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中實部是。，虛部是瓦

2、復(fù)數(shù)的分類：

實數(shù)6=0,

復(fù)數(shù)z=a+6i

.純虛數(shù)a=0,

a,bWR虛數(shù)厚0

.非純虛數(shù)存0.

3、復(fù)數(shù)的有關(guān)概念

復(fù)數(shù)相等且Z?=d(a,b,c,d￡R)

共軌復(fù)數(shù)〃+歷與c+di共軌=〃=c且b=—d(o,b,c,d￡R)

向量次的模叫做復(fù)數(shù)z=a+bi的模，記作|z|或|〃+bi|,

復(fù)數(shù)的模

即|z|=|〃+bi|=廠=。層+爐(廠K),a,Z?eR)

知識點2復(fù)數(shù)的幾何意義

1、復(fù)平面的概念：建立直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面;

2、實軸、虛軸：在復(fù)平面內(nèi)，x軸叫做實軸，y軸叫做虛軸，實軸上的點都表示實數(shù)；除原點以外，虛軸上

的點都表示純虛數(shù)；

3、復(fù)數(shù)的幾何表示：復(fù)數(shù)z=a+歷《二一對應(yīng)》復(fù)平面內(nèi)的點Z(a,6)?.?對應(yīng)》平面向量方.

知識點3復(fù)數(shù)的四則運算

1、復(fù)數(shù)的運算法則

設(shè)Z]=a+歷，z2=c+di(a,b,c,dGR),貝!]

(1)zi+z2=(cz+歷)+(c+di)=(a+c)+(b+</)i；

(2)zi-Z2=(a+bi)—(c+di)=(a—c)+(b—<7)i；

(3)zi-Z2—(,a+bi)(c+di)—(ac—bd)+(ad+bc)i；

z,a+bi(a+bi)(c-di)ac+bdbe-ad.,八、

(4)—=——-=-————~r=——rr+-TTHC+di片0)

Z]c+di(c+di)(c—di)c~+d~c+d~

2、復(fù)數(shù)運算的幾個重要結(jié)論

2222

(1)|Z1+Z2|+|Z1-Z2|=2(|Z1|+|Z2|).

(2)z-z=|z|2=|z|2.

(3)若Z為虛數(shù),則|z|2先2.

(4)(l±i)2=±2i.

(5)i4"=l;i4"+l=i;i4"+2=—1；i4"+3=—i.

知識點4復(fù)數(shù)的三角形式

1、復(fù)數(shù)的輔角

(1)輔角的定義：設(shè)復(fù)數(shù)z=a+6i的對應(yīng)向量為下，以久軸的非負(fù)半軸為始邊，向量成所在的射線(射

線。Z)為終邊的角。，叫做復(fù)數(shù)z的輔角.

(2)輔角的主值：根據(jù)輔角的定義及任意角的概念可知，任何一個不為零的復(fù)數(shù)輔角有無限多個值，且這

些值相差2兀的整數(shù)倍.

規(guī)定：其中在0W6<2兀范圍內(nèi)的輔角。的值為輔角的主值，通常記作argz.

【注意】因為復(fù)數(shù)0對應(yīng)零向量，而零向量的方向是任意的，所以復(fù)數(shù)0的輔角是任意的.

2、復(fù)數(shù)的三角形式及運算

(1)定義：任何一個復(fù)數(shù)都可以表示成z=r(cos8+is譏8)的形式，其中r是復(fù)數(shù)的模，。是復(fù)數(shù)的輔角.

【注意】復(fù)數(shù)的三角形式必須滿足：模非負(fù)，角相同，余正弦，加號連.

(2)復(fù)數(shù)乘法運算的三角表示：已知Z]=rMcosO]+is三0力,z2=r2(cos02+isin02),

則Z]Zi=r1r2[cos(01+02)+isin(01+02)].

這就是說，兩個復(fù)數(shù)相乘，積的模等于各復(fù)數(shù)的模的積，積的輔角等于各復(fù)數(shù)的輔角的和.

(3)復(fù)數(shù)除法運算的三角表示：已知Z]wrKcosOi+is三4),z2=r2(cos02+isind2)

則豆=r13s/+is譏/）=立［cos（0）+is譏（4_4）］.

Lv10v1

z2r2（cos02+istne2）r2“〃」

這就是說，兩個復(fù)數(shù)相除，商的模等于被除數(shù)的模除以除數(shù)的模所得的商,

商的輔角等于被除數(shù)的輔角減去除數(shù)的輔角所得的差.

點突破?看分?中特

重難點01與復(fù)數(shù)有關(guān)的最值問題

求復(fù)數(shù)模的范圍與最值問題的解題策略

（1）把復(fù)數(shù)問題實數(shù)化、直觀化、熟悉化，即將復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實數(shù)問題來處理，轉(zhuǎn)化為實數(shù)范圍內(nèi)，求

模的范圍與最值問題來解決；

（2）發(fā)掘問題的幾何意義，利用幾何圖形的直觀性來解答，把陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題來解答；

（3）利用三角函數(shù)解決.

【典例1】（2024?山東煙臺?三模）若復(fù)數(shù)z滿足|z|=|z-2-2i|,則目的最小值為（）

A.1B.72C.73D.2

【典例2】（2024.云南,二模）已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足|zT|=|z+i|,則|z-i|的最小值為（）

A.—B.\C.-D.0

223

重難點02共朝復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)運算的綜合問題

共朝復(fù)數(shù)問題的求解技巧：

1、若復(fù)數(shù)z的代數(shù)式已知，則根據(jù)共輾復(fù)數(shù)的定義，可以寫出之，再進行復(fù)數(shù)的四則運算.

2、已知關(guān)于z和'的方程，而復(fù)數(shù)z的代數(shù)形式位置，求解z.解決此類問題的常規(guī)思路是：設(shè)

z=a+bi（a,bqR）,則［=。-歷，代入所給等式，利用復(fù)數(shù)相等的充要條件，轉(zhuǎn)化為方程（組）求解.

【典例1】（2024?福建泉州?一模）（多選）已知復(fù)數(shù)z滿足z=l-工，則（）

Z

A-z-z=1B.z2=zC.z+z=—1D.\z—~z\=A/3

【典例2］（23-24高三下?湖南婁底?階段練習(xí)）（多選）己知復(fù)數(shù)z”Z2的共輾復(fù)數(shù)分別為,，耳，下列結(jié)論正

確的是（）

A.若均為純虛數(shù)，則z+2=0

B.若Z；+Z；=0,貝！|ZI=Z2=。

C.若［Z］—z?|=0,則Z］—z?=0

D.若|z-l|=|z+l|,貝I在復(fù)平而內(nèi)對應(yīng)的點的軌跡為直線

法技巧?逆境學(xué)霸

一、復(fù)數(shù)的分類

對于復(fù)數(shù)。+歷，

C1）當(dāng)且僅當(dāng)b=0時，它是實數(shù)；

（2）當(dāng)且僅當(dāng)a=b=O時，它是實數(shù)0；

（3）當(dāng)厚0時，叫做虛數(shù)；

（4）當(dāng)°=0且厚0時，叫做純虛數(shù).

【典例1】（2024?廣東東莞.模擬預(yù)測）若復(fù)數(shù)z滿足（5+i）（l+i）=4,則復(fù)數(shù)z的虛部是（）

A.2B.-2C.3D.-3i

【典例2］（23-24高三上?甘肅慶陽?階段練習(xí)）（多選）下列各式的運算結(jié)果是實數(shù)的是（）

A.z=i（l-i）2B.z=（l+i）2

C-Z=（l+i）（l+2i）（l+3i）D.z=|^

二、求復(fù)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)代數(shù)式形式的兩種方法

1、直接法：將復(fù)數(shù)用已知復(fù)數(shù)式表示出來，利用復(fù)數(shù)的四則運算化簡為復(fù)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)代數(shù)式；

2、待定系數(shù)法：將復(fù)數(shù)設(shè)為標(biāo)準(zhǔn)式，代入已知的等式中，利用復(fù)數(shù)相等的條件列出關(guān)于復(fù)數(shù)實部和虛部的

方程（組），通過解方程（組）求出復(fù)數(shù)的實部與虛部.

【典例1】（2024.新疆三模）復(fù)數(shù)z滿足|z+2i|=|z|,則z的虛部為（）

A.-iB.iC.-1D.1

【典例2】（2024福建泉州?模擬預(yù)測）己知復(fù)數(shù)z滿足忖=2,上一2|=2,貝（）

A.20B.2C.-2D.-273

三、復(fù)數(shù)的幾何意義

（1）任一個復(fù)數(shù)z=a+Ai（Q,Z?￡R）與復(fù)平面內(nèi)的點Z（〃，。）是---對應(yīng)的.

（2）一個復(fù)數(shù)2=〃+歷（〃，b￡R）與復(fù)平面內(nèi)的向量U2=（a,6）是一一對應(yīng)的.

【典例1】（2024?四川自貢?三模）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)4，Z2對應(yīng)的向量分別是麗=（-2,3）,礪=（3,-2）,

則復(fù)數(shù)年-對應(yīng)的點位于（）

Zl+Z2

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【典例2】（2024.安徽馬鞍山.三模）已知復(fù)數(shù)z滿足z-7=2（z+彳）=4,若z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點不在第一象

限，則2=.

四、虛數(shù)單位i的乘方

計算復(fù)數(shù)的乘積要用到虛數(shù)的單位i的乘方，i"有如下性質(zhì)：

i1=i,i2=-1,i3=i-i2=—i,i4=i3-i=-ii=1,

從而對于任何“GN+,都有i4,!+1=i4"-i=(i4)fl-i=i,

同理可證i4/2=—1,i4?+3=-i,i4n+4=l.

這就是說，如果"CN+,那么有i4"+l=i,i4"+2=—1,i4"+3=—i,i4.+4=i.

由此可進一步得(l+i>=2i,(1—i)2=—2i,^7|4=—1,^^=i,1=-i.

【典例1】（2024.湖北.二模）已知復(fù)數(shù)z=4（l+i）,貝叱°24=)

A.1B.-1C.—iD.i

【典例2】（2024?河北?三模）已知復(fù)數(shù)［滿足Z（i2023+i2024）=i2025,則三的共輾復(fù)數(shù)的虛部是（）

五、復(fù)數(shù)方程的解

在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，實系數(shù)一元二次方程a/+力％+。=o（aW0）的求解方法：

（1）求根公式法：

①當(dāng)ANO時，X=T士心ic②當(dāng)△＜（）時，X=-b士正（小4喳

2a2a

（2）利用復(fù)數(shù)相等的定義求解，設(shè)方程的根為x=mneR）,

將此代入方程a/+bx+c=0（a力0）,化簡后利用復(fù)數(shù)相等的定義求解.

【典例1X23-24高三下?西藏拉薩?階段練習(xí)）已知z=l-i是方程22+2改-6=0（°,此11）的根,則4+。=（）

A.-3B.-1C.2D.3

【典例2】（2024?江蘇鹽城.模擬預(yù)測）（多選）已知％,z?為方程/+2彳+3=0的兩根，則（）

A.|z!-z2l=2A/2B.—+—=I

H4z,3

C.閔+閆=2百D.Z]—z2=Z]+z2

六、復(fù)數(shù)的三角表示

將復(fù)數(shù)z-a+6i(a,beR)化為三角形式z=r(cos9+is譏8)時,要注意以下兩點：

(1)r=Va2+b2,

(2)cosd-sin0=p其中。終邊所在象限與點(a,6)所在象限相同，

當(dāng)a=0,b>0時，argz=1

【注意】每一個不等于零的復(fù)數(shù)有唯一的模與輔角的主值，并且由它的模與輔角的主值唯一確定。因此，

兩個非零復(fù)數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的模與輔角的主值分別相等.

【典例1](23-24高三下?江蘇蘇州?階段練習(xí))(多選)任何一個復(fù)數(shù)2=a+歷(。，beR,i為虛數(shù)單位)

都可以表示成z=r(cos6+isin。)(r>0,OeR)的形式，通常稱之為復(fù)數(shù)z的三角形式.法國數(shù)學(xué)家棣莫

弗發(fā)現(xiàn)：[r(cos0+isin6))]"=r"(cosnd+isin(”eN*),我們稱這個結(jié)論為棣莫弗定理，則下列說法正

確的有()

A.復(fù)數(shù)Z=1-也i的三角形式為2=2(8$2-15.2)

IT

B.當(dāng)〃=1,8==時，z+z2+z3+..-+z2024=0

2

TT

C.當(dāng)r=2,§時，z3=—8

IT

D.當(dāng)r=3,時，為偶數(shù)”是“z"為純虛數(shù)”的充分不必要條件

4

【典例2】(2024.黑龍江哈爾濱.三模)復(fù)數(shù)z=a+歷(a,6eR,i是虛數(shù)單位)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點為Z,設(shè)

r=|OZ|,。是以x軸的非負(fù)半軸為始邊，以O(shè)Z所在的射線為終邊的角，則z=a+歷=r(cos6+isine),把

r(cosO+isin。)叫做復(fù)數(shù)。+歷的三角形式，利用復(fù)數(shù)的三角形式可以進行復(fù)數(shù)的指數(shù)運算,

(iA\3

[r(cose+isine)r=r"(cosnO+isin?0)[neN*),例如:—?—i=COS2K+isin27i=1,

22

7

(1+i)4=fV2fcos-^+isin^l=4(cos7i+isin兀)=一4,復(fù)數(shù)z滿足：z=l+i，則z可能取值為()

參考答案與試題解析

專題10復(fù)數(shù)及其應(yīng)用

（思維構(gòu)建+知識盤點+重點突破+方法技巧）

維構(gòu)建?耀蓿曉紿

/復(fù)數(shù)的定義：形如a+bi（a,b￡R）橫叫做復(fù)數(shù)

其中實部是a,虛部是b

(詡80))

題型復(fù)數(shù)的基本概念及應(yīng)用

復(fù)數(shù)的分類01

O知識點一郵的基本概念竣(bW0)(a=0電蜃電題型02根據(jù)復(fù)數(shù)相等求參數(shù)

題型03復(fù)數(shù)的模長計算

題型04共姬復(fù)數(shù)及其應(yīng)用

1■（復(fù)數(shù)的模）

復(fù)

數(shù)「復(fù)平面的整一建立直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面

題型01復(fù)數(shù)與復(fù)平面的點——對應(yīng)

及知識點二復(fù)數(shù)的幾何意義）,與能＞■＜漸叫艇軸，軸叫）

y題型02復(fù)數(shù)與復(fù)平面向量——對應(yīng)

其L復(fù)數(shù)的幾何表示題型03復(fù)數(shù)的模的幾何意義及應(yīng)用

應(yīng)

用z_4_-,7^復(fù)數(shù)的運算法則一力口、減、乘、除題型01復(fù)數(shù)的四則運算

-（o知識點三復(fù)數(shù)的四則運算）一…w----題型02復(fù)數(shù)的乘方運算

v______2：_____________）-復(fù)數(shù)運算的幾個重一論1題型03復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解方程

輻角的定義

復(fù)數(shù)的輻角

輻角主值

題型01復(fù)數(shù)的代數(shù)式與三角式互化

O知識點四復(fù)數(shù)的三角形式復(fù)數(shù)的三角跖t：z=r（cose+isin6）題型02復(fù)數(shù)三角形式乘除法運算

題型03復(fù)數(shù)的新定義問題

復(fù)數(shù)的三角形式及運算復(fù)數(shù)的乘法運算

復(fù)數(shù)的除法運算

口原盤點?查；層訃與

知識點1復(fù)數(shù)的基本概念

1、復(fù)數(shù)的定義：形如。+歷（a,6GR）的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中實部是。，虛部是從

2、復(fù)數(shù)的分類:

實數(shù)8=0,

復(fù)數(shù)z=〃+bi

純虛數(shù)。=0,

a,Z?￡R虛數(shù)厚0

.非純虛數(shù)存0.

3、復(fù)數(shù)的有關(guān)概念

復(fù)數(shù)相等且Z?=d(a,b,c,d￡R)

共軌復(fù)數(shù)〃+歷與c+di共軌=〃=c且b=—d(o,b,c,d￡R)

向量次的模叫做復(fù)數(shù)z=a+bi的模，記作|z|或|〃+bi|,

復(fù)數(shù)的模

即|z|=|〃+bi|=廠=。層+爐(廠K),a,Z?eR)

知識點2復(fù)數(shù)的幾何意義

1、復(fù)平面的概念：建立直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面;

2、實軸、虛軸：在復(fù)平面內(nèi)，x軸叫做實軸，y軸叫做虛軸，實軸上的點都表示實數(shù)；除原點以外，虛軸上

的點都表示純虛數(shù)；

3、復(fù)數(shù)的幾何表示：復(fù)數(shù)z=a+歷《二一對應(yīng)》復(fù)平面內(nèi)的點Z(a,6)?.?對應(yīng)》平面向量方.

知識點3復(fù)數(shù)的四則運算

1、復(fù)數(shù)的運算法則

設(shè)Z]=a+歷，z2=c+di(a,b,c,dGR),貝!]

(1)zi+z2=(cz+歷)+(c+di)=(a+c)+(b+</)i；

(2)zi-Z2=(a+bi)—(c+di)=(a—c)+(b—<7)i；

(3)zi-Z2—(,a+bi)(c+di)—(ac—bd)+(ad+bc)i；

z,a+bi(a+bi)(c-di)ac+bdbe-ad.,八、

(4)—=——-=-————~r=——rr+-TTHC+di片0)

Z]c+di(c+di)(c—di)c~+d~c+d~

2、復(fù)數(shù)運算的幾個重要結(jié)論

2222

(1)|Z1+Z2|+|Z1-Z2|=2(|Z1|+|Z2|).

(2)z-z=|z|2=|z|2.

(3)若Z為虛數(shù),則|z|2先2.

(4)(l±i)2=±2i.

(5)i4"=l;i4"+l=i;i4"+2=—1；i4"+3=—i.

知識點4復(fù)數(shù)的三角形式

1、復(fù)數(shù)的輔角

(1)輔角的定義：設(shè)復(fù)數(shù)z=a+6i的對應(yīng)向量為下，以久軸的非負(fù)半軸為始邊，向量成所在的射線(射

線。Z)為終邊的角。，叫做復(fù)數(shù)z的輔角.

(2)輔角的主值：根據(jù)輔角的定義及任意角的概念可知，任何一個不為零的復(fù)數(shù)輔角有無限多個值，且這

些值相差2兀的整數(shù)倍.

規(guī)定：其中在0W6<2兀范圍內(nèi)的輔角。的值為輔角的主值，通常記作argz.

【注意】因為復(fù)數(shù)0對應(yīng)零向量，而零向量的方向是任意的，所以復(fù)數(shù)0的輔角是任意的.

2、復(fù)數(shù)的三角形式及運算

(1)定義：任何一個復(fù)數(shù)都可以表示成z=r(cos8+is譏8)的形式，其中r是復(fù)數(shù)的模，。是復(fù)數(shù)的輔角.

【注意】復(fù)數(shù)的三角形式必須滿足：模非負(fù)，角相同，余正弦，加號連.

(2)復(fù)數(shù)乘法運算的三角表示：已知Z]=rMcosO]+is三0力,z2=r2(cos02+isin02),

則Z]Zi=r1r2[cos(01+02)+isin(01+02)].

這就是說，兩個復(fù)數(shù)相乘，積的模等于各復(fù)數(shù)的模的積，積的輔角等于各復(fù)數(shù)的輔角的和.

(3)復(fù)數(shù)除法運算的三角表示：已知Z]wrKcosOi+is三4),z2=r2(cos02+isind2)

q(cosg+is譏%)

則廣。)譏

=—r[cos(%—2+is—02)]-

r2(cos02+isinO2)2

這就是說，兩個復(fù)數(shù)相除，商的模等于被除數(shù)的模除以除數(shù)的模所得的商,

商的輔角等于被除數(shù)的輔角減去除數(shù)的輔角所得的差.

點突破?看分?必將

重難點01與復(fù)數(shù)有關(guān)的最值問題

求復(fù)數(shù)模的范圍與最值問題的解題策略

（1）把復(fù)數(shù)問題實數(shù)化、直觀化、熟悉化，即將復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實數(shù)問題來處理，轉(zhuǎn)化為實數(shù)范圍內(nèi)，求

模的范圍與最值問題來解決；

（2）發(fā)掘問題的幾何意義，利用幾何圖形的直觀性來解答，把陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題來解答；

（3）利用三角函數(shù)解決.

【典例1】（2024?山東煙臺?三模）若復(fù)數(shù)z滿足|z|=|z-2-2i|,則目的最小值為（）

A.1B.72C.73D.2

【答案】B

【解析】若復(fù)數(shù)Z滿足|z|=|z—2-2i|,

則由復(fù)數(shù)的幾何意義可知復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點集是線段。4的垂直平分線，其中0（0,0）,A（2,2）,

所以忖的最小值為=g也2+22=后.故選:B.

【典例2】（2024.云南.二模）已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足|z-l|=|z+i|,則|z-i|的最小值為（）

A.走B.1C.-D.0

223

【答案】A

【解析】設(shè)z=x+yi,（x,yeR）,而|z-l|=|z+i］,所以（x-l）?+V=Y+（〉+i）2,gpy=-x,

所以|z-i|=Qx2+（y—I,=+（-x—］）2=J2x'+2x+l=/［尤+J,

等號成立當(dāng)且僅當(dāng)y=-x=；,

綜上所述，|z-i|的最小值為正.故選：A.

重難點02共朝復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)運算的綜合問題

共輾復(fù)數(shù)問題的求解技巧：

1、若復(fù)數(shù)Z的代數(shù)式已知，則根據(jù)共輾復(fù)數(shù)的定義，可以寫出再進行復(fù)數(shù)的四則運算.

2、已知關(guān)于z和2的方程，而復(fù)數(shù)z的代數(shù)形式位置，求解z.解決此類問題的常規(guī)思路是：設(shè)

z=a+bi（a,bqR）,則z=。-Oi,代入所給等式，利用復(fù)數(shù)相等的充要條件，轉(zhuǎn)化為方程（組）求解.

【典例1】（2024?福建泉州?一模）（多選）已知復(fù)數(shù)z滿足z=l-L,則（）

Z

A.z-z=1B.z2=~zC.z+z=—1D.\z—'z\=>/3

【答案】AD

【解析】設(shè)復(fù)數(shù)z=a+歷,（“8eR）,^z2=a2-b2+2abi

因為復(fù)數(shù)z滿足z=l-L可得z2=z—l，貝02一加+2.歷+歷一1,

Z

可得a?-b2=a—lS.2ab=b,

由2ab=Z?時，可得Q=,或Z?=0,

2

當(dāng)a時，可得匕=±也，此時z=」±走i；當(dāng)/=0時，方程片一。+1=0,無解;

2222

對于A中，當(dāng)2=^+且i,可得I=可得z，=i；

2222

當(dāng)2=!一占i,可得[=』+也i,可得zi=l，所以A正確;

2222-

對于B中，當(dāng)z」+且i,可得z'」+走i,且則z2/，所以B不正確;

222222

對于C中，當(dāng)z=g+￥i,可得心「生，可得z+4=1，所以C不正確;

對于中，當(dāng)2=工+立

Di,可得可得Z-Z=V§i,則|z-z|=6;

22

當(dāng)z」一且i,可得且i,可得z二=一杳，則以刁=百，所以D正確.故選：AD.

222211

【典例2]（23-24高三下.湖南婁底?階段練習(xí)）（多選）己知復(fù)數(shù)z”z?的共軌復(fù)數(shù)分別為,，三，下列結(jié)論正

確的是（）

A.若Z為純虛數(shù)，則4+￡=0

B.若z；+z；=O,貝l]Z[=Z2=。

C.若[Z]_z?|=0,則Z]—z2=0

D.若|z-l|=|z+l|,貝!|z在復(fù)平而內(nèi)對應(yīng)的點的軌跡為直線

【答案】ACD

【解析】對于A,設(shè)4=萬，Z1=-bi,故4+4=0成立，故A正確，

對于B,設(shè)4=i,z2=1,則滿足z；+z：=0,但Z1WZ2WO,故B錯誤，

對于C,設(shè)4=〃+歷，z2=c+di,則Z]=Q-歷，z2=c-dif

22

故Zi-Z2=(〃-c)+(Z?-d)i,I—z21=yl(a—c)+(b—d)=0,

解得a=c,b=d,貝UZ]—Z2=(a—c)+(d—6)i=0,故C正確，

對于D,設(shè)z=x+M，因為|z_l|=|z+l|,|z-l|=J(%-l)2+y2,

|z+l|=J(%+l)2+y2,所以J(.+l)2+y2=,

化簡得冗=0,故z在復(fù)平而內(nèi)對應(yīng)的點的軌跡為直線，故D正確.故選：ACD.

法技巧?逆賽學(xué)霸

一、復(fù)數(shù)的分類

對于復(fù)數(shù)。+歷，

（1）當(dāng)且僅當(dāng)6=0時，它是實數(shù)；

（2）當(dāng)且僅當(dāng)a=6=0時，它是實數(shù)0；

（3）當(dāng)厚0時，叫做虛數(shù)；

（4）當(dāng)。=0且以0時，叫做純虛數(shù).

【典例1】（2024.廣東東莞.模擬預(yù)測）若復(fù)數(shù)z滿足R+i）（l+i）=4,則復(fù)數(shù)z的虛部是（）

A.2B.-2C.3D.-3i

【答案】C

【解析】設(shè)z=a+6i,根據(jù)題意，可得（a—>i+i）（l+i）=4,

化簡為(a+6—l)+(a—b+l)i=4,

a+b-l=4<7=2

根據(jù)復(fù)數(shù)相等，得,解得

。一6+1=0b=3

所以z=2+3i,即復(fù)數(shù)z的虛部是3.故選：C

【典例2］（23-24高三上.甘肅慶陽?階段練習(xí)）（多選）下列各式的運算結(jié)果是實數(shù)的是（）

A.z=i(l-i)2B.2=(1+歲

C.Z=(l+i)(l+2i)(l+3i)D.—

【答案】AC

【解析】A項中，z=i(l—i)2=i(—2i)=—2i2=2,故A正確；

B項中，z=(l+iy=2i,故B錯誤；

C項中，z=(1+i)(1+2i)(1+3i)=(-1+3i)(1+3i)=-10,故C正確；

CT否rh8-6i(8-6i)(3-4i)-50i痂6研胡、*

D項中，z=-------=-------------------=------=-21,故D錯灰.故選：AC.

3+4i2525

二、求復(fù)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)代數(shù)式形式的兩種方法

1、直接法：將復(fù)數(shù)用已知復(fù)數(shù)式表示出來，利用復(fù)數(shù)的四則運算化簡為復(fù)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)代數(shù)式；

2、待定系數(shù)法：將復(fù)數(shù)設(shè)為標(biāo)準(zhǔn)式，代入已知的等式中，利用復(fù)數(shù)相等的條件列出關(guān)于復(fù)數(shù)實部和虛部的

方程(組)，通過解方程(組)求出復(fù)數(shù)的實部與虛部.

【典例1】(2024?新疆三模)復(fù)數(shù)z滿足|z+2i|=|z|,則z的虛部為()

A.-iB.iC.-1D.1

【答案】C

【解析】設(shè)2=々+歷且,則z+2i=a+>i+2i=a+(6+2)i,

因為|z+2i?z|,所以1+0+2)2=4+62,解得：b=-l,則z的虛部為-1.故選：C

【典例2】(2024.福建泉州.模擬預(yù)測)已知復(fù)數(shù)z滿足忖=2,|z-2|=2,則z+$=()

A.2A/3B.2C.-2D.-2A/3

【答案】B

【解析】設(shè)復(fù)數(shù)z=o+Z?i,a,beR,

由|z—2|=回=2,得［(a-2)~+6。=yja2+b2=2,解得。=1,b=土下>，

:.z=1土6i,J.z+z=2.故選：B.

三、復(fù)數(shù)的幾何意義

(1)任一個復(fù)數(shù)z=a+6i(a,萬dR)與復(fù)平面內(nèi)的點Z(a,b)是---對應(yīng)的.

(2)一個復(fù)數(shù)z=a+歷(a,bGR)與復(fù)平面內(nèi)的向量被=(a,6)是---對應(yīng)的.

【典例1】(2024?四川自貢?三模)在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)4，z?對應(yīng)的向量分別是次=(-2,3),OB=(3,-2),

則復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于()

ZI+z2

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】D

【解析】因為復(fù)數(shù)4，z?對應(yīng)的向量分別是礪=(-2,3),05=(3,-2),

所以Z1=-2+3i,Z]=3-2i,

所以z。-3*_(3-2i)(l-i)_l5

B/T----------------------------------------------------------------------------------------J

Z1+Z2-2+3i+3-2i(l+i)(l-i)22

所以復(fù)數(shù)二上對應(yīng)的點為位于第四象限.故選：D

z+z

i2I)

【典例2】(2024?安徽馬鞍山.三模)已知復(fù)數(shù)z滿足zN=2(z+方=4,若z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點不在第一象

限，則Z=.

【答案】1-亞

【解析】設(shè)2=。+阮。,b￡R,則5=Q_"i,

因為z?彳=2(z+z)=4,

=(〃+歷)(〃一。[)=〃2+匕2=4[a=l[?=1

則12(z+2)=2M+bi)+(a-bi)]=4a=4'解得,或-6，

又因為z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點不在第一象限，可知6<0,

a=l

可知V,=所以Z=1-gi.

b=—v3

故答案為：1-后.

四、虛數(shù)單位i的乘方

計算復(fù)數(shù)的乘積要用到虛數(shù)的單位i的乘方，i"有如下性質(zhì)：

i1=i,i2=—Li3=i-i2=—i,i4=i3-i=—i-i=L

從而對于任何wGN+,都有i4,!+1=i4"-i=(i4),!-i=i>

同理可證i4"+2=—1,i4"+3=—i,i4?+4=l.

這就是說,如果"GN+,那么有i4"+l=i,i4"+2=—1,i4”+3=—i,i4”+4=l.

由止匕可進一步得(l+i>=2i,(1—i)2=—2i,—1,1=—i.

【典例1】(2024.湖北.二模)已知復(fù)數(shù)z="(l+i),則z202^()

A.1B.-1C.-iD.i

【答案】A

【解析】因為Z=#（l+i）,所以z2=g（l+2i+i2）=i,

所以22。24=卜2）皿2=（以?！?1.故選：人

【典例2】（2024?河北?三模）已知復(fù)數(shù)三滿足Z（i2023+i2024）=i2025,則1的共輾復(fù)數(shù)的虛部是（）

1.

A.—1B.C.—1D.

2~222

【答案】D

［解析］iz(i2023+i2°24)=i2025,可得Z(i3+4x5°5+i0+4x506)=il+4x506,

i(l+i)-1+i

所以z(l—i)=i所以z=三-lli

d-i)(l+i)22+2

iij

所以z=所以I的共軌復(fù)數(shù)的虛部是-g故選：D.

五、復(fù)數(shù)方程的解

在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，實系數(shù)一元二次方程a/+°久+c=0（a70）的求解方法：

（1）求根公式法：

①當(dāng)90時，“=生里王②當(dāng)△<o時，％=但iiOi

2a2a

（2）利用復(fù)數(shù)相等的定義求解，設(shè)方程的根為x=m+ni（m,n€R）,

將此代入方程a/+bx+c=0（a^0）,化簡后利用復(fù)數(shù)相等的定義求解.

【典例1］（23-24高三下?西藏拉薩?階段練習(xí)）已知z=l-i是方程z2+2az-b=0（dbeR）的根，則。+分=（

A.—3B.—1C.2D.3

【答案】A

［解析］由題意，得（1—i）2+2a（l—i）—b=O,即2o_b+（_2_2a）i=0,

所以2a—Z?=0,且一2—2a=0,解得。=-1涉二—2,

所以。+方=一3.故選：A.

【典例2】（2024?江蘇鹽城?模擬預(yù)測）（多選）已知馬，Z2為方程無2+2無+3=0的兩根，則（）

A.|zj-z2|=272B.—+—=

Z1Z23

c.閔+閡=2,D.Z]—z2=Z]+z2

【答案】BC

【解析】方程/+2工+3=0的兩根分另Ij為一1+"和一1-",且Z1+Z]=-2,z/Z]=3,

所以不妨設(shè)Z]=—1+J5i,z2=—1—^/2i,

^=-l+V2i,所以卜-司=/1+6)-卜1+4)|=0,故A錯誤；

114+Zo2

—+—=-^^=-T,故B正確；

Z]Z[Z]Z?3

22

|Z1|+|z2|=2^(-l)+[V2)=2A/3,故c正確；

Z]_z?=_2^/2i9Z]+z2=-1--1+A/^.——2,

所以z「Z2W4+Z2,故D錯誤.故選：BC.

六、復(fù)數(shù)的三角表示

將復(fù)數(shù)z=a+hi(a,bER)化為三角形式z=r(cosO+is譏。)時，要注意以下兩點：

(1)r=Va2+b2,

(2)cosd=sind=\其中。終邊所在象限與點(a,6)所在象限相同，

當(dāng)a=0,b>0時，argz=1

【注意】每一個不等于零的復(fù)數(shù)有唯一的模與輔角的主值，并且由它的模與輔角的主值唯一確定。因此，

兩個非零復(fù)數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的模與輔角的主值分別相等.

【典例1](23-24高三下?江蘇蘇州?階段練習(xí))(多選)任何一個復(fù)數(shù)2=。+歷(a,匕eR,i為虛數(shù)單位)

都可以表示成z=r(cosO+isin。)(r>0,OeR)的形式，通常稱之為復(fù)數(shù)z的三角形式.法國數(shù)學(xué)家棣莫

弗發(fā)現(xiàn)：[r(cose+isine)y=r"(cos"+isin“e)(”eN*),我們稱這個結(jié)論為棣莫弗定理，則下列說法正

確的有()

A.復(fù)數(shù)Z=1-A/^的三角形式為z=2(cos"|?-isin^j

B.當(dāng)〃=1,6==時，z+z2+z3+-..+z2024=0

2

TT

C.當(dāng)尸=2