考點(diǎn)01 線段與角（解析版）

考點(diǎn)一線段與角知識(shí)點(diǎn)整合一、直線、射線、線段1．直線的性質(zhì)（1）兩條直線相交，只有一個(gè)交點(diǎn)；（2）經(jīng)過兩點(diǎn)有且只有一條直線，即兩點(diǎn)確定一條直線；（3）直線的基本事實(shí)：經(jīng)過兩點(diǎn)有且只有一條直線．2．線段的性質(zhì)兩點(diǎn)確定一條直線，兩點(diǎn)之間，線段最短，兩點(diǎn)間線段的長度叫兩點(diǎn)間的距離．3．線段的中點(diǎn)性質(zhì)若C是線段AB中點(diǎn)，則AC=BC=AB；AB=2AC=2BC．4．兩條直線的位置關(guān)系在同一平面內(nèi)，兩條直線只有兩種位置關(guān)系：平行和相交．5．垂線的性質(zhì)（1）兩條直線相交所構(gòu)成的四個(gè)角中有一個(gè)角是直角，則這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線；（2）①經(jīng)過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直；②直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中，垂線段最短．6．點(diǎn)到直線的距離從直線外一點(diǎn)向已知直線作垂線，這一點(diǎn)和垂足之間線段的長度叫做點(diǎn)到直線的距離．二、角1．角有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形．2．角平分線（1）定義：在角的內(nèi)部，以角的頂點(diǎn)為端點(diǎn)把這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角的射線（2）性質(zhì)：若OC是∠AOB的平分線，則∠AOC=∠BOC=∠AOB，∠AOB=2∠AOC=2∠BOC．3．度、分、秒的運(yùn)算方法1°=60′，1′=60″，1°=3600″．1周角=2平角=4直角=360°．4．余角和補(bǔ)角（1）余角：∠1＋∠2＝90°?∠1與∠2互為余角；（2）補(bǔ)角：∠1＋∠2＝180°?∠1與∠2互為補(bǔ)角．（3）性質(zhì)：同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的補(bǔ)角相等．5．方向角和方位角在描述方位角時(shí)，一般應(yīng)先說北或南，再說偏西或偏東多少度，而不說成東偏北（南）多少度或西偏北（南）多少度．當(dāng)方向角在45°方向上時(shí)，又常常說成東南、東北、西南、西北方向．考向一直線、射線、線段在解答有關(guān)線段的計(jì)算問題時(shí)，一般要注意以下幾個(gè)方面：①按照已知條件畫出圖形是正確解題的關(guān)鍵；②觀察圖形，找出線段之間的關(guān)系；③簡單的問題可通過列算式求出，復(fù)雜的問題可設(shè)未知數(shù)，利用方程解決．典例引領(lǐng)1．直線的位置關(guān)系如圖所示，則下列語句不正確的是（

）A．點(diǎn)在直線上 B．直線兩兩相交C．點(diǎn)是直線的交點(diǎn) D．直線經(jīng)過點(diǎn)【答案】D【分析】本題主要考查點(diǎn)與直線的位置關(guān)系，根據(jù)直線與點(diǎn)的位置關(guān)系即可求解．【詳解】解：A.點(diǎn)在直線上是正確的，故選項(xiàng)A不符合題意；B.直線兩兩相交是正確的，故選項(xiàng)B不符合題意；C.點(diǎn)是直線，的交點(diǎn)，故選項(xiàng)C不符合題意；D.直線不經(jīng)過點(diǎn)，故選項(xiàng)D符合題意，故答選：D．2．已知點(diǎn)是同一條直線上依次排列的四個(gè)不同的點(diǎn)，那么到點(diǎn)的距離之和最小的點(diǎn)（

）A．只有線段的中點(diǎn) B．只有點(diǎn)或點(diǎn)C．是直線外一點(diǎn) D．有無數(shù)個(gè)【答案】D【分析】本題考查點(diǎn)到直線的距離，具體到本題則為線段的性質(zhì)，即兩點(diǎn)之間線段距離最短即可求解，根據(jù)題意可知，點(diǎn)到四個(gè)點(diǎn)的距離的和最小的點(diǎn)有無數(shù)多個(gè)．【詳解】解：由兩點(diǎn)之間線段最短可知，到的距離之和最小的點(diǎn)有無數(shù)多個(gè)，但此點(diǎn)在直線上．故選：D．3．如圖，點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn)，若，，則（

）A．10 B．7 C．5 D．4【答案】D【分析】本題主要考查了線段的和差．熟練掌握線段的和差計(jì)算，是解決問題的關(guān)鍵．根據(jù)線段是由與組成求解即可．【詳解】∵點(diǎn)C在線段AB上，，，∴．故選：D．變式拓展4．如圖，線段，點(diǎn)P是線段上一點(diǎn)，且，Q是線段上一點(diǎn)，且，則的值是．【答案】【分析】本題考查線段的n等分點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算，線段的和與差．利用數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．由題意求得，．根據(jù)線段的和與差，計(jì)算出的長，作比即可．【詳解】，，，，，如圖所示，，，，，即，∴，．故答案為：．三、解答題5．請(qǐng)根據(jù)要求作圖：(1)在圖中作線段；(2)在圖中作射線；(3)在圖中取一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到四個(gè)點(diǎn)的距離之和最?。敬鸢浮?1)見解析(2)見解析(3)見解析【分析】本題考查了直線，射線，線段的作圖，以及兩點(diǎn)之間線段最短，熟練掌握線段的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)線段的特征作圖即可；（2）根據(jù)射線的特征作圖即可；（2）根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短解答即可．【詳解】（1）如圖，線段為所作；（2）如圖，射線為所作；（3）如圖，點(diǎn)P為所作．6．【問題探究】（1）如圖，點(diǎn)，均在線段上且點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)，若，，，則線段的長為．【方法遷移】（2）已知點(diǎn)，均在線段上，若，，，則線段的長為．（用含的代數(shù)式表示）【學(xué)以致用】（3）已知七年級(jí)某班共有人，在本班參加拓展課報(bào)名統(tǒng)計(jì)時(shí)發(fā)現(xiàn)，選擇圍棋課的人數(shù)有人，其中未參加圍棋課的男生是參加圍棋課男生人數(shù)的一半，參加圍棋課的女生是女生總?cè)藬?shù)的，求與的數(shù)量關(guān)系．小聰同學(xué)在思考這個(gè)問題時(shí)聯(lián)想到了上面的幾何問題，并將這個(gè)實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為幾何模型來解決，請(qǐng)你建立這個(gè)幾何模型并求解．（建立幾何模型就是畫出相應(yīng)的線段示意圖，并分別注明相應(yīng)線段的實(shí)際意義）【答案】（）；（）；（）畫出線段圖見解析，．【分析】此題考查了線段和差，根據(jù)題意畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合求解是解題的關(guān)鍵．（）利用線段和差即可求解；（）利用線段和差即可求解；（）根據(jù)題意畫出線段圖即可求解；【詳解】（1）解：∵，，，∴，故答案為：；（）∵，，，∴，故答案為：；（）如圖，表示七年級(jí)某班人數(shù)，表示七年級(jí)某班男生人數(shù)，表示七年級(jí)某班女生人數(shù)，表示參加圍棋課的男生，表示未參加圍棋課的男生，表示未參加圍棋課的女生，表示參加圍棋課的女生，設(shè)，，則，，∵選擇圍棋課的人數(shù)有人，∴，即，解得：，∵，∴．考向二角1．角平分線必須同時(shí)滿足三個(gè)條件：①是從角的頂點(diǎn)引出的射線；②在角的內(nèi)部；③將已知角平分．2．類似地，也有角的n等分線，如三等分線，如圖，∠1=∠2=∠3=∠AOD或∠AOD=3∠1=3∠2=3∠3．典例引領(lǐng)1．如圖，甲從A點(diǎn)出發(fā)向北偏西方向走到點(diǎn)B，乙從點(diǎn)A出發(fā)向南偏西方向走到點(diǎn)C，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了方位角，根據(jù)方位角的描述進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵甲從A點(diǎn)出發(fā)向北偏西方向走到點(diǎn)B，乙從點(diǎn)A出發(fā)向南偏西方向走到點(diǎn)C，∴，故選：C．2．M，N，P，Q，O五點(diǎn)在平面上的位置如圖所示，則位于點(diǎn)O南偏西方向上的點(diǎn)是（

）A．點(diǎn)M B．點(diǎn)N C．點(diǎn)P D．點(diǎn)Q【答案】C【分析】本題主要考查了方位角．根據(jù)方向角的定義解答即可．【詳解】解：A、點(diǎn)M在點(diǎn)O北偏東方向上，故本選項(xiàng)不符合題意；B、點(diǎn)N在點(diǎn)O北偏西方向上，故本選項(xiàng)不符合題意；C、點(diǎn)P在點(diǎn)O南偏西方向上，故本選項(xiàng)符合題意；D、點(diǎn)Q在點(diǎn)O南偏東方向上，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：C3．某人下午6點(diǎn)多外出時(shí)，看手表兩指針的夾角為，下午7點(diǎn)前回家發(fā)現(xiàn)兩指針的夾角仍為，則他外出的時(shí)間為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查鐘面角，一元一次方程的實(shí)際應(yīng)用．根據(jù)分針每分鐘走6度，時(shí)針每分鐘走0.5度；設(shè)他外出的時(shí)間為x分鐘，則這段時(shí)間分針走的角度是6x，時(shí)針走的角度是；由于外出時(shí)，根據(jù)題意，得到分針走的角度=110度+110度+時(shí)針走的角度．列出方程進(jìn)行求解即可．【詳解】解：設(shè)他外出的時(shí)間為x分鐘，由題意，得：，解得：．答；他外出的時(shí)間是40分鐘．故選：C．4．將一副三角尺按如圖所示擺放，使有刻度的兩條邊互相平行，則圖中的大小為（

）

A．100° B．105° C．110° D．120°【答案】B【分析】本題考查了三角板中角度計(jì)算問題，由題意得，根據(jù)即可求解．【詳解】解：如圖所示：

由題意得：∴故選：B5．一副三角板按如圖所示的方式擺放，則的補(bǔ)角的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查利用三角板求度數(shù)、補(bǔ)角的定義等知識(shí)點(diǎn)，熟記各個(gè)三角板的角的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)直角三角板的度數(shù)求得，然后再求補(bǔ)角即可．【詳解】解：由圖形可得：，∴的補(bǔ)角的度數(shù)為：．故選：D．變式拓展6．比較大?。海ㄌ睢啊薄啊被颉啊保敬鸢浮俊痉治觥勘绢}主要考查角度的大小比較，熟練掌握度分秒的換算是解題的關(guān)鍵．將換算成度分秒的形式，即可比較大?。驹斀狻拷猓海蚀鸢笧椋海?．已知一個(gè)角的補(bǔ)角為，則這個(gè)角的余角為．【答案】【分析】本題考查余角和補(bǔ)角的概念以及角的運(yùn)算，互余的兩個(gè)角和為90度，互補(bǔ)的兩個(gè)角和為180度，由此可解．【詳解】解：一個(gè)角的補(bǔ)角為，這個(gè)角為：，這個(gè)角的余角為：，故答案為：．8．如圖，是一個(gè)平角，平分，則．【答案】【分析】本題考查平角的定義，角平分線的定義，角的和差關(guān)系，先根據(jù)平角為180度計(jì)算出，再根據(jù)角平分線的定義求出，最后根據(jù)計(jì)算即可得出答案．【詳解】解：是一個(gè)平角，，，平分，，，故答案為：．三、解答題9．如圖1，點(diǎn)為直線上一點(diǎn)，過點(diǎn)作射線，，，始終在的右側(cè)，，．(1)如圖1，當(dāng)，平分時(shí)，求的度數(shù)；(2)如圖2，當(dāng)與邊重合，在的下方時(shí)，，將繞點(diǎn)按每秒的速度沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使射線與的角平分線形成夾角為，求此時(shí)旋轉(zhuǎn)一共用了多少秒；(3)當(dāng)在直線上方時(shí)，若，點(diǎn)在射線上，射線繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)度，恰好使得，平分，，請(qǐng)直接寫出此時(shí)的值．【答案】(1)(2)或(3)或【分析】本題主要考查角度的和差計(jì)算，涉及角平分線的性質(zhì)，分類討論思想等，根據(jù)射線的位置不確定，進(jìn)行分類討論是解題關(guān)鍵．（1）由角平分線的性質(zhì)可得的度數(shù)，再根據(jù)可得結(jié)論；（2）需要分兩種情況進(jìn)行討論，①當(dāng)點(diǎn)在的右側(cè)時(shí)；②當(dāng)點(diǎn)在的左側(cè)時(shí)，畫出圖形，根據(jù)角度之間的和差關(guān)系計(jì)算即可；（3）根據(jù)題意分兩種情況，當(dāng)和時(shí)，畫出圖形，根據(jù)角度的和差運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】（1）解：，平分，，，；（2）解：由（1）知，，設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為，①當(dāng)點(diǎn)在的右側(cè)時(shí)，，，；；②當(dāng)點(diǎn)在的左側(cè)時(shí)，，，；綜上，旋轉(zhuǎn)一共用了或；（3）解：為或．當(dāng)時(shí)，如圖，，，，，，，，，，平分，，，解得；當(dāng)時(shí)，如圖，，，，，，，，，，平分，，，解得；綜上，為或．10．已知在的內(nèi)部，，．(1)如圖1，求的度數(shù)；(2)如圖2，平分，平分，求的大小；(3)如圖3，若，射線繞點(diǎn)O以每秒的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，與射線重合后停止；同時(shí)射線以每秒的速度繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)并與射線同時(shí)停止．設(shè)射線，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒，當(dāng)時(shí)，求出t的值．【答案】(1)(2)(3)當(dāng)或時(shí)，．【分析】此題考查了角的動(dòng)態(tài)定義，角平分線的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)概念，能用含t的代數(shù)式表示旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)．（1）由可化為，計(jì)算即可；（2）根據(jù)角平分線的定義得到，，進(jìn)而得到，計(jì)算可得；（3）先求解，再根據(jù)射線的運(yùn)動(dòng)可知，需要分兩種情況；分別畫出圖形列方程解答．【詳解】（1）解：∵，，∴；（2）∵平分，平分，∴，，∴，，∴；（3）∵，，∴，∴；①如圖：∴，，而，∴，解得：；②如圖：∴，，而，∴，解得：；綜上：當(dāng)或時(shí)，．11．已知，射線在的內(nèi)部，射線是靠近的三等分線，射線是靠近的三等分線．(1)若平分，求的度數(shù)；(2)小明說：當(dāng)射線繞點(diǎn)O在的內(nèi)部旋轉(zhuǎn)時(shí)，的度數(shù)始終保持不變，你認(rèn)為小明的說法是否正確？說明理由；(3)若、、、中有兩條直線互相垂直，請(qǐng)直接寫出所有可能的值．【答案】(1)(2)正確，理由見解析(3)或【分析】本題考查角平分線和角三等分線，角的和與差．（1）根據(jù)角平分線得到，再根據(jù)三等分線可得和的度數(shù)，最后利用可得答案；（2）正確，按照（1）的思路計(jì)算即可；（3）分和兩種情況，再利用角的和差計(jì)算即可．【詳解】（1）∵，平分，∴，∵射線是靠近的三等分線，射線是靠近的三等分線，∴，，∴；（2）小明是說法正確，∵射線是靠近的三等分線，射線是靠近的三等分線，∴，，∴；（3）①當(dāng)時(shí)，∵，，∴，∵射線是的三等分線，∴，∴；②當(dāng)時(shí)，∵，，∴，∵射線