考點09 二次函數應用（解析版）

考點九二次函數應用一、二次函數的綜合1、函數存在性問題解決二次函數存在點問題，一般先假設該點存在，根據該點所在的直線或拋物線的表達式，設出該點的坐標；然后用該點的坐標表示出與該點有關的線段長或其他點的坐標等；最后結合題干中其他條件列出等式，求出該點的坐標，然后判別該點坐標是否符合題意，若符合題意，則該點存在，否則該點不存在．2、函數動點問題（1）函數壓軸題主要分為兩大類：一是動點函數圖象問題；二是與動點、存在點、相似等有關的二次函數綜合題．（2）解答動點函數圖象問題，要把問題拆分，分清動點在不同位置運動或不同時間段運動時對應的函數表達式，進而確定函數圖象；解答二次函數綜合題，要把大題拆分，做到大題小做，逐步分析求解，最后匯總成最終答案．（3）解決二次函數動點問題，首先要明確動點在哪條直線或拋物線上運動，運動速度是多少，結合直線或拋物線的表達式設出動點的坐標或表示出與動點有關的線段長度，最后結合題干中與動點有關的條件進行計算．3、二次函數的實際應用在生活中，我們常會遇到與二次函數及其圖象有關的問題，解決這類問題的一般思路：首先要讀懂題意，弄清題目中牽連的幾個量的關系，并且建立適當的直角坐標系，再根據題目中的已知條件建立數學模型，即列出函數關系式，然后運用數形結合的思想，根據函數性質去解決實際問題．考向一函數應用典例引領1．某體驗館建造了一幢“森林”主題場館，如圖是館內拋物線形模擬洞穴的橫截面，現需要在洞穴內壁架設平行于地面的鋼架，兩端分別在洞穴最高點兩側．在鋼架正下方隔離出一片矩形區(qū)域，且在水平地面上．如圖，以O為坐標原點、水平地面為x軸建立平面直角坐標系，拋物線與x軸相交于O、E，經測量長8米．(1)若在拋物線上，求該拋物線表達式．(2)在（1）的條件下，若隔離區(qū)矩形區(qū)域的高米，則隔離區(qū)的面積為多少？【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查了二次函數的實際應用：（1）根據題意得：點E的坐標為，設拋物線的解析式為，把點，代入，即可求解；（2）令，可求出，從而得到，即可求解．【詳解】（1）解：根據題意得：點E的坐標為，設拋物線的解析式為，把點，代入得：，解得：，∴拋物線的解析式為；（2）解：當時，，解得：，∴，∴，∴隔離區(qū)的面積為．2．如圖，中，，點從點出發(fā)沿邊向點以的速度移動，點從出發(fā)沿邊向點以的速度移動，兩點同時出發(fā)，當一點到達終點時另一點也停止運動，設運動時間為．(1)若兩點的距離為時，求的值？(2)當為何值時，的面積最大？并求出最大面積．【答案】(1)或2(2)當為時，的面積最大，最大面積為【分析】本題主要考查了勾股定理，二次函數的實際應用，一元二次方程的應用：（1）分別用t的代數式表示出線段的長度，利用勾股定理列出方程即可求解；（2）設的面積為，利用（1）中的方法，利用三角形的面積公式列出函數關系式，再利用二次函數的性質，即可求解．【詳解】（1）解：依題意得：，∴，∵，∴，∵兩點的距離為，∴，解得：或2；（2）解：設的面積為，根據題意得：，∴當時，S取得最大值，最大值為9，即當為時，的面積最大，最大面積為．3．學校體育器材室有一扇長2米，寬1米的矩形窗戶，現需設計一個不銹鋼的護欄．數學興趣小組的同學提出的設計方案如下：如圖，底部設計一條拋物線，拋物線的頂點到底部距離為0.5米，為牢固起見，拋物線上方按相等間距加設三根不銹鋼管立柱．請你根據興趣小組同學的設計，求出所需三根不銹鋼管立柱的總長度．【答案】米【分析】本題考查二次函數的實際應用，以中點O為原點建立平面直角坐標系，利用待定系數法求出拋物線解析式，根據解析式求出和，進而求出和，即可求解．【詳解】解：如圖，以中點O為原點建立平面直角坐標系，由題意知，，，，，，，設拋物線解析式為，將，代入，得，解得，拋物線解析式為，當時，，，，，即所需三根不銹鋼管立柱的總長度為米．4．希希開了一家網店，計劃銷售甲、乙兩種商品．若甲商品每件利潤25元，乙商品每件利潤30元，則每周能賣出甲商品200件，乙商品80件，經調查，甲商品零售單價每降價1元，每周可多銷售10件；乙商品零售單價每降價1元，每周可多銷售5件，為了提高銷售量，小明決定把甲、乙兩種商品的零售單價都降價x（x為整數）元．(1)直接寫出甲、乙兩種商品每周的銷售量y（件）與降價x（元）之間的函數關系式：_______，_______．(2)求出希希每周銷售甲、乙兩種商品獲得的總利潤W（元）與降價x（元）之間的函數關系式；(3)如果每周兩種商品的銷售總量不超過380件，希希每周銷售甲、乙兩種商品獲得的總利潤最大是多少？【答案】(1)(2)(3)7640元．【分析】本題考查二次函數的應用：（1）根據題意得出函數關系式即可；（2）將甲乙獲得的利潤相加，再化簡即可得出答案；（3）先將二次函數整理成頂點式，再求出，且為整數，進而可得出答案．【詳解】（1）解：，；（2）（3），由，，且為整數，則當時，的值最大，最大為7640元．5．乒乓球被譽為中國國球．2023年的世界乒乓球錦標賽中，中國隊包攬了五個項目的冠軍，成績的取得與平時的刻苦訓練和精準的技術分析是分不開的．甲乙兩人訓練打乒乓球，讓乒乓球沿若球臺的中軸線運動，圖為從側面看乒乓球臺的視圖，為球臺，為球網，點為中點，，，甲從正上方的處擊中球完成發(fā)球，球沿直線撞擊球臺上的處再彈起到另一側的處，從處再次彈起到，乙再接球．以所在直線為軸，為原點建立平面直角坐標系，表示球與的水平距離，表示球到球臺的高度，將乒乓球看成點，兩次彈起的路徑均為拋物線且形狀不變，段拋物線的解析式為，段拋物線的解析式為．

(1)當球在球網左側距球網時到達最高點，求：①的解析式；②球過球網時球與的距離；(2)若球第二次的落點在球網右側處，球再次彈起最高為，乙的球拍（看作線段）在的正上方處，，若將球拍向前水平推出可接住球，求出的取值范圍．【答案】(1)①；②球過球網時與距離為．(2)【分析】本題考查了二次函數的性質及應用，熟練掌握二次函數的圖像與性質是解答本題的關鍵．（1）①根據題意，得到球在時到達最高點，由，得到其對稱軸為，由此求出，進而得到答案．②當時，代入求出，再求出球過球網時與距離，由此得到答案．（2）根據題意確定出，最高點為，得到，當時，，得到，當時，求出，，由，確定出．【詳解】（1）解：①根據題意得：，球在時到達最高點，，，解得：，．②當時，，，球過球網時與距離為．（2）由題意得：點在球網右側處，，最高點為，當時，，解得：或（舍），，當時，，得，，又，，，．6．如圖1，某噴泉公司生產的可升降式噴頭，噴出的水柱形狀呈拋物線，如圖2，以圓形水池中心O為原點，水平方向為軸，堅直方向為軸，1米為1個單位長度建立平面直角坐標系，噴頭的坐標為．(1)當水柱滿足到水池中心水平距離為3米時，即時，水柱達到最大高度5米，求第一象限內水柱的函數表達式；(2)若圓形水池的半徑為7米，在（1）的條件下噴出的水柱是否會落在水池外（不考慮水柱落到水面后造成的迸濺），請通過計算說明．【答案】(1)；(2)噴出的水柱不會落在水池外，計算見解析．【分析】本題考查二次函數的實際應用以及二次函數的性質，理解題意，利用數形結合思想解題是關鍵，（1）由題意得拋物線的頂點坐標為，點，設拋物線的解析式為，待定系數法求出解析式即可；（2）令，解方程求出的值與7比較即可．【詳解】（1）解：由題意，設第一象限內水柱的函數表達式為，把點的坐標代入函數表達式，得，解得，，即，（2）解：由題意，令解方程得：，（不合題意，舍去），．∵，∴，．∴噴出的水柱不會落在水池外．7．某工廠的前年生產總值為10萬元，去年比前年的年增長率為，預計今年比去年的年增長率為，設今年的總產值為萬元．(1)求與的關系式；(2)當時，求今年的總產值為多少萬元？【答案】(1)(2)當時，今年的總產值為萬元．【分析】（1）利用增長率公式即可找出y關于x的函數關系式；（2）代入，求出y值即可得出結論．【詳解】（1）依題意得：；（2）當時，，答：當時，今年的總產值為萬元．【點睛】本題考查一元二次方程的應用—增長率問題，掌握增長率問題的公式是解題的關鍵，若起始值為a，經過n年后值為b，設增長率為x，則有．8．綜合與實踐【問題背景】以函數的角度來看待和解決問題．（1）通過觀察以下一位數的積：，，…，，．其中每個式子中的兩數之和為10，推測在這些式子中，乘積最大的算式是________．（只需填符合的算式，不需要算出結果）（2）通過觀察以下兩位數的積：，，…，，．其中每個式子中的兩數之和為30，推測在這些式子中，乘積最大的算式是________．（只需填符合的算式，不需要算出結果）【初步探討】以問題（2）為例，設第一個數為x，寫出你對問題（2）的猜想（包括條件和結論）．嘗試用二次函數的知識證明你對問題（2）的猜想；【實踐應用】（3）物理電路理論知識中有以下幾個結論：串聯電路的總電阻等于各串聯電阻之和；并聯電路總電阻的倒數等于各并聯電阻的倒數之和；電壓一定的情況下，電流與電阻成反比關系．在如圖1所示的電路中，Ω，Ω，滑動變阻器的最大電阻Ω，其等效電路圖如圖2所示，其中，在滑片從a端滑到b端的過程中，設Ω，請你結合電路知識以及函數知識來說明，當兩支路的電阻相等時，電流表示數最小，并求出電流表示數的最小值．【答案】（1）；（2）；【初步探討】猜想：若兩數和為30，當這兩數相等時，它們的乘積最大．證明見解析；（3）2A【分析】本題考查了二次函數的性質和分式的加法運算．（1）分別計算即可發(fā)現規(guī)律；（2）分別計算即可發(fā)現規(guī)律；由題意，建立數學模型，利用二次函數知識解答即可；（3）設Ω，利用物理知識和分式加減知識，求出總電流為I，與x的函數關系式，再利用二次函數知識求最值即可．【詳解】解：（1）由，，…，，可知，當的值最大，故答案為：；（2）由，，，，，…，，，可知，當的值最大，故答案為：；【初步探討】猜想：若兩數和為30，當這兩數相等時，它們的乘積最大．證明：設第一個數為x，則另一個數為，它們的積為y，則有．∵，則拋物線開口向下，∴當時，y取最大值，為225，此時這兩數分別為15及，兩數相等，∴當這兩數相等時，它們的乘積最大．（3）設Ω，則Ω，，設總電流為I，則．由分式的性質可知，若分子為不變的正數，則分母最大時，分式最?。O．∵，則拋物線W開口向下，且，∴當時，W取最大值為25，此時I取最小值為（A），兩支路電阻分別為（Ω）和（Ω），兩支路電阻相等，∴當兩支路的電阻相等時，電流表示數最小，最小值為2A．變式拓展9．湖南農業(yè)大區(qū)零陵區(qū)土地資源豐富，近年來，該區(qū)利用農業(yè)特色資源優(yōu)勢，大力發(fā)展特色種植，帶動農民門口致富，尤其是各種水果的種植馳名省內外．下面是一家果農所遇到的問題，請你閱讀下面材料幫忙解決果農所遇到的問題.信息及素材素材一在專業(yè)種植技術人員的正確指導下，果農對紐荷爾臍橙的種植技術進行了研究與改進，使產量得到了增長，根據果農們的記錄，2020年紐荷爾臍橙平均每株產量是50千克，2022年達到了72千克，每年的增長率是相同的．素材二一般采用的是長方體包裝盒．(1)任務1：求紐荷爾臍橙產量的年平均增長率；(2)任務2：為了放下適當數量的紐荷爾臍橙，現有邊長為的正方形紙板，將四角各裁掉一個正方形，折成無蓋長方體紙盒．折成的長方體盒子側面積（四個側面的面積之和）有沒有最大值？如果沒有，說明理由；如果有，求出此時剪掉的正方形邊長．【答案】(1)紐荷爾臍橙產量的年平均增長率為(2)有，被裁掉的正方形邊長為20厘米時，無蓋長方體紙盒的側面積最大【分析】本題考查了一元二次方程的應用，二次函數的應用；掌握二次函數的性質是解題關鍵．（1）設紐荷爾臍橙產量的年平均增長率為x，則年的產量為50千克，2022年的產量為千克，由2022年的產量72千克列方程即可；（2）由可得裁掉正方形的邊長即為正方體盒子的高，設裁掉正方形的邊長為，根據正方體紙盒的側面積列出解析式配方即可．【詳解】（1）解：設紐荷爾臍橙產量的年平均增長率為，由題意得：解得：，（不符合題意舍去）紐荷爾臍橙產量的年平均增長率為（2）設裁掉正方形的邊長為，由題意得：∴當時，有最大值∴被裁掉的正方形邊長為厘米時，無蓋長方體紙盒的側面積最大．10．如圖，在矩形中，，，從點開始沿向終點以的速度移動，與此同時，點從點開始沿邊向點以的速度移動，如果、分別從、同時出發(fā)，當點運動到點時，兩點停止運動，設運動時間是．(1)t為何值時，？(2)t為何值時，的長度為？(3)設五邊形的面積為，當t為何值時，五邊形的面積最?。孔钚∶娣e為多少？【答案】(1)當時，．(2)當或時，的長度為．(3)當秒時，五邊形的面積最小，最小面積為．【分析】本題考查了矩形的性質，勾股定理，動點問題，三角形的面積二次函數的性質等，解題的關鍵是根據題意列函數關系式．（1）根據題意得，，則，當時，點在的中垂線上，進而列方程求解即可；（2）根據矩形的性質可得，根據勾股定理得出，，求解即可得出答案；（3）根據題意可得當五邊形的面積為時，，再利用函數的性質即可得出答案．【詳解】（1）解：∵從點開始沿向終點以的速度移動，點從點開始沿邊向點以的速度移動，∴，，則，當時，故，解得：，故當時，．（2）∵四邊形是矩形，∴，在中，，且，，，即，解得：，．∴當或時，的長度為．（3）∵五邊形的面積四邊形的面積，故當五邊形的面積為時；∴，∵，有最小值，∴當，最小值為：，∴當秒時，五邊形的面積最小，最小面積為．11．如圖1是汝南北城古橋，斑駁的橋面上書寫著歷史的痕跡．古橋拱截面可視為拋物線的一部分，在某一時刻，橋拱內的水面寬，橋拱頂點到水面的距離是．

(1)按如圖2所示建立平面直角坐標系，求橋拱部分拋物線的函數表達式（無需寫出取值范圍）；(2)一只寬為的打撈船徑直向橋駛來，當船駛到橋拱下方且距點時，橋下水位剛好在處，有一名身高的工人站立在打撈船正中間清理垃圾，他的頭頂是否會觸碰到橋拱，請說明理由（假設船底與水面齊平）．【答案】(1)；(2)工人不會碰到頭，理由見解析【分析】本題考查二次函數的應用，求出函數解析式是解決問題的關鍵．（1）根據題意結合圖象可以求出函數的頂點，先設拋物線的頂點式，再根據圖象過原點，求出的值即可；（2）先求出工人距原點的距離，再把距離代入函數解析式求出的值，然后和1.68比較即可．【詳解】（1）解：如圖②，由題意得：水面寬是，橋拱頂點到水面的距離是，結合函數圖象可知，頂點，點，設二次函數的表達式為，將點代入函數表達式，解得：，二次函數的表達式為，即；（2）解：工人不會碰到頭，理由如下：小船距點，小船寬，工人直立在小船中間，由題意得：工人距點距離為，將代入，解得：，此時工人不會碰到頭．12．某公司共有個生產車間，分別生產與兩種不同的產品，其中個生產車間生產產品（其中為正整數，且），剩余的生產車間生產產品．今年每個生產產品的生產車間的平均收入（單位：萬元）與車間數量（個）之間的關系如圖所示．(1)求當時，關于的函數解析式；(2)若已知今年公司產品的年總收入（單位：萬元）與車間數量（個）的關系為：（x為正整數且），設公司年總收入為（單位：萬元），求關于的函數解析式．（注：公司年總收入=產品的年總收入產品的年總收入）(3)請問公司今年的總收入能超過萬元嗎？說明理由．【答案】(1)(2)(3)公司一年的總收入不能超過萬元【分析】本題考查了一次函數的應用，二次函數的應用，分類討論是解答本題的關鍵．（1）分當時和當時兩種情況求解即可；（2）設為A產品的年收入，先表示出，再根據求解即可；（3）根據一次函數和二次函數的性質，結合（2）的結論求解即可．【詳解】（1）由圖可知，當時，函數；

當時，令一次函數，過點，，解得，故當時，函數解析式為，函數；（2）設為A產品的年收入，，∵，；（3）不能．理由：當時，，，∴當時，，當時，，，且圖象開口向下，當時，．綜上所述：公司一年的總收入不能超過萬元．13．某數學興趣小組在一次課外活動中設計了一個彈珠投箱子的游戲（無蓋正方體箱子放在水平地面上）．現將彈珠抽象為一個動點，并建立了如圖所示的平面直角坐標系（軸經過箱子底面中心，并與其一組對邊平行，正方形為箱子正面示意圖）．某同學將彈珠從處拋出，彈珠的飛行軌跡為拋物線（單位長度為）的一部分，已知拋物線經過點，，．

(1)求拋物線的解析式和頂點坐標；(2)若彈珠投入箱內后立即向左上方彈起，沿與拋物線形狀相同的拋物線運動，且無阻擋時彈珠最大高度可達，請判斷彈珠能否彈出箱子，并說明理由．【答案】(1)拋物線的解析式為，頂點坐標為(2)彈珠能彈出箱子，理由見解析【分析】本題主要考查了二次函數的實際應用：（1）把點和，代入，再把拋物線解析式化為頂點式，可得頂點坐標，即可求解；（2）先求出拋物線L與x軸的兩個交點，再根據題意可設拋物線M的解析式為，然后把代入，求出拋物線M的解析式，再求出當時，y的值即可求解．【詳解】（1）解：把點和代入得：，解得，拋物線的解析式為，，頂點坐標為；（2）解：彈珠能彈出箱子，理由如下：，，；當時，解得：，，根據題意可設拋物線的解析式為，把點代入，得：，解得：或，拋物線的對稱軸在直線的左側，，拋物線的解析式為，當時，，彈珠能彈出箱子．14．某公園要建造一個圓形的噴水池，在水池中央垂直于水面豎一根柱子，在柱子的頂端A處安裝一個噴頭向外噴水．柱子在水面以上部分的高度為3m．水流在各個方向上沿形狀相同的拋物線路徑落下，噴出的拋物線形水柱在與池中心的水平距離為1m處達到最大高度為4m，如圖所示．(1)建立如圖所示的平面直角坐標系，求在第一象限部分的拋物線解析式（不必寫出自變量取值范圍）；(2)張師傅在噴水池維修設備期間，噴水池意外噴水，如果他站在與池中心水平距離為處，通過計算說明身高的張師傅是否被淋濕？(3)如果不計其他因素，為使水不濺落在水池外，那么水池的直徑至少為多少時，才能使噴出的水流都落在水池內？【答案】(1)；(2)；(3)6米．【分析】本題考查了二次函數實際問題的應用，熟練掌握二次函數的圖像與性質是本的解題關鍵．（1）由題意可知，拋物線的頂點坐標為，設拋物線的解析式為：，再利用待定系數法求解解析式即可；（2）把代入函數解析式求解的值，再與比較即可得到答案；（3）把令，得，，再解方程，結合題意可得答案．【詳解】（1）解：由題意可知，拋物線的頂點坐標為，∴設拋物線的解析式為：，將代入得，，解得，∴拋物線的解析式為：；（2）當時，所以，張師傅站在與池中心水平距離為處，能被淋濕．（3）令，得，，解得，（舍）

，∴，答：水池的直徑至少要6米，才能使噴出的水流都落在水池內．15．2022年第一季度我省總值約為10000億元，第三季度的總值約為11025億元．(1)假定第二季度、第三季度我省總值的增長率相同，求這個增長率；(2)若保持這樣的增長率不變，估計到2023年第一季度，我省的總值