湖北省騰云聯(lián)盟2025屆高三上學(xué)期10月一模聯(lián)考數(shù)學(xué)試題 含解析

湖北省“騰?云”聯(lián)盟2024-2025學(xué)年度上學(xué)期10月聯(lián)考高三數(shù)學(xué)試卷命題學(xué)校：漢陽一中命題教師：吳正陽審題教師：袁芳?朱輝考試時間：2024年10月8日下午試卷滿分150分★?？荚図樌镒⒁馐马棧?.答題前，先將自己的姓名?準(zhǔn)考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.寫在試卷?草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試卷?草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.4.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并上交.一?單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題所給的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.已知，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由指、對數(shù)不等式化簡集合,再由交集運算即可.【詳解】，，所以故選:C2.若復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)平面內(nèi)表示的點在（）A第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算，先求，再求，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義進行判斷.【詳解】由，所以.對應(yīng)的點在第一象限..故選：A3.函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，則實數(shù)取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】時，代入可知滿足題意；時，求出二次函數(shù)的對稱軸結(jié)合函數(shù)在右半部分單調(diào)遞減得出開口方向，列出不等式組，求解即可得出答案．【詳解】當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，滿足題意；當(dāng)時，的對稱軸為直線，由在上單調(diào)遞減，知，解得．綜上，a的取值范圍為．故選：D4.函數(shù)圖像的一條對稱軸為，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接利用對稱性，取特殊值，即可求出.【詳解】由的圖象關(guān)于對稱，可知：，即，則．故選：A．5.四邊形是邊長為4的正方形，點是正方形內(nèi)的一點，且滿足，則的最大值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意建立直角坐標(biāo)系，設(shè)Px,y，寫出坐標(biāo)，可得點的軌跡方程，進而可求出的最大值.【詳解】根據(jù)題意，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，故，，即；故點在以點為圓心，1為半徑的圓周上運動，所以的最大值為.故選：D.6.已知三棱錐的四個頂點都在球的球面上，，，則球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先利用正弦定理求的外接圓半徑，再求點到平面的距離，設(shè)三棱錐外接球半徑為，根據(jù)勾股定理列方程求出，進一步計算球的表面積.【詳解】如圖：在中，，由余弦定理：,所以，所以外接圓半徑為，即.在直角三角形中，，，所以.設(shè)棱錐外接球半徑為，在直角三角形中，，解得：.所以球的表面積為：.故選：A7.已知圓，點在上，過點作圓的兩條切線，切點分別為和，以為直徑作圓，則圓的面積的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題設(shè)可得，利用導(dǎo)數(shù)可得，再根據(jù)等積法可，故可求圓的面積的最小值.【詳解】由題設(shè)有，設(shè)，則，設(shè)，則，因為為上的增函數(shù)，故為上的增函數(shù)，而，故當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，故，故，由等積法可得，故，故，故圓的面積的最小值為，故選：B.8.不等式，其中是非負(fù)整數(shù)，則使不等式成立的三元數(shù)組有多少組（）A.560 B.455 C.91 D.55【答案】B【解析】【分析】在都加上1，把問題轉(zhuǎn)化成方程有正整數(shù)解的問題解決.【詳解】設(shè)，，，則不等式有多少組非負(fù)整數(shù)解的問題，轉(zhuǎn)化為：的正整數(shù)解的組數(shù).因為方程：的解的組數(shù)為：；的解的組數(shù)為：；…的解的組數(shù)為：.所以原不等式解的組數(shù)為：.故選：B【點睛】結(jié)論點睛：方程（且）正整數(shù)解的組數(shù)為.二?多項選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9.已知互不相同的20個樣本數(shù)據(jù)，若去掉其中最大和最小的數(shù)據(jù)，設(shè)剩下的18個樣本數(shù)據(jù)的方差為，平均數(shù)；去掉的兩個數(shù)據(jù)的方差為，平均數(shù)；原樣本數(shù)據(jù)的方差為，平均數(shù)，若，則（）A.B.C.剩下18個數(shù)據(jù)的中位數(shù)大于原樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)D.剩下18個數(shù)據(jù)的分位數(shù)不等于原樣本數(shù)據(jù)的分位數(shù)【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)平均數(shù)的計算方法判斷A；根據(jù)方差的計算方法判斷B；根據(jù)中位數(shù)的概念判斷C，根據(jù)百分位數(shù)的計算方法判斷D.【詳解】對A：因為，且，所以，故A正確；對B：設(shè)20個數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為：，則，，因為，所以.故B正確；對C：剩下18個數(shù)據(jù)的中位數(shù)和原樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)均為，是相等的，故C錯誤；對D:因為，則剩下18個數(shù)據(jù)的分位數(shù)為；又，所以原樣本數(shù)據(jù)的分位數(shù)也是，故D錯誤.故選：AB10.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.的最小正周期為B.的值域為C.關(guān)于對稱D.在上單調(diào)遞減【答案】ABD【解析】【分析】分析函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，求出函數(shù)的值域，可判斷BD，求出函數(shù)的周期，可判斷A，利用特殊點的函數(shù)值，可判斷C.【詳解】對，因為，所以函數(shù)為偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對稱.又，所以函數(shù)為周期函數(shù)，且最小正周期為.故A正確；當(dāng)時，，易得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，，，所以；當(dāng)時，根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且.根據(jù)函數(shù)的周期性，所以函數(shù)的值域為1,2，故B正確.因為，，所以，所以的圖象并不關(guān)于對稱，故C錯誤；因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，且周期為，所以函數(shù)在上也是單調(diào)遞減，故D正確.故選：ABD11.已知定義域為函數(shù)和，且是奇函數(shù)，對任意滿足且，下列說法正確的（）A.B.或1C.在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減D.時，【答案】AD【解析】【分析】對于A，利用導(dǎo)數(shù)的運算規(guī)則及導(dǎo)數(shù)關(guān)系可判斷其正確，對于B，利用賦值法可求，故可判斷其正誤，利用反證法可判斷C的正誤，對于D，令，利用導(dǎo)數(shù)可證明恒成立，故可判斷其正誤.【詳解】對于A，因為，故，所以，故A正確；對于B，因為是奇函數(shù)，故，因為，故，故，故B錯誤；對于C，由A的分析可得，故即，若在上單調(diào)遞增，則當(dāng)時，有，故，矛盾，故C錯誤；對于D，因為，故即，故為上的增函數(shù)，設(shè)，則，設(shè)，則，設(shè)，則，若恒成立，則，故，此時，矛盾，故且不恒為零，故在上為增函數(shù)，故，故為上為增函數(shù)，故，故為上為增函數(shù)，故即，故D成立，故選：AD【點睛】關(guān)鍵點點睛：不同抽象函數(shù)的性質(zhì)討論，注意抽象函數(shù)之間性質(zhì)的轉(zhuǎn)化，而與抽象函數(shù)有關(guān)的不等式恒成立問題，可利用導(dǎo)數(shù)討論導(dǎo)數(shù)的符號后得到相應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性，必要時需多次求導(dǎo).三?填空題（本題共3個小題，每小題5分，共15分）12.已知曲線在點處的切線的傾斜角為，則的值為__________.【答案】【解析】【分析】先對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)曲線切線的幾何意義列式即可求.【詳解】由得，因為曲線在點處的切線的傾斜角為，所以，所以，故.故答案為：13.設(shè)為雙曲線的兩個焦點，點是雙曲線上的一點，且，則的面積為__________.【答案】3【解析】【分析】設(shè)，利用雙曲線定義，可得又由勾股定理得，聯(lián)立求得，即得三角形的面積.【詳解】

如圖，由可知，設(shè)，由定義，的面積為.故答案為：314.有一直角轉(zhuǎn)彎的走廊（墻面與頂部都封閉），已知走廊的寬度與高度都是3米，現(xiàn)有不能彎折的硬管需要通過走廊，若不計硬管粗細(xì)，則可通過的最大極限長度為______米.【答案】【解析】【分析】先求出硬管不傾斜，水平方向通過的最大長度，再利用勾股定理求出硬管傾斜后能通過的最大長度，即可得到答案.【詳解】如圖示，先求出硬管不傾斜，水平方向通過的最大長度.設(shè),則.過作垂直內(nèi)側(cè)墻壁于，作垂直內(nèi)側(cè)墻壁于，則.在直角三角形中，，所以.同理可得.所以.因為（當(dāng)且僅當(dāng)且時等號成立）.所以.因為走廊的寬度與高度都是米，所以把硬管傾斜后能通過的最大長度為.故答案為：四?解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明?證明過程或演算步驟）15.如圖，在平行四邊形中，，四邊形為矩形，平面平面，點在線段上運動．（1）當(dāng)時，試確定點的位置并證明；（2）在（1）的條件下，求平面與平面的夾角的余弦值．【答案】（1）為線段的中點，證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用余弦定理、面面垂直的性質(zhì)證得直線兩兩垂直，再建立空間直角坐標(biāo)系，利用垂直關(guān)系的向量表示求解即得.（2）求出平面的法向量，再用面面角的向量求列式計算即得.【小問1詳解】在中，，由余弦定理得，則，有，又平面平面，平面平面，平面，則平面，直線兩兩垂直，以點原點，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則，由，得，解得，即，所以當(dāng)時，點為線段的中點．【小問2詳解】由（1）可得，設(shè)平面的法向量為，則，取，得，平面的法向量為，設(shè)平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面的夾角的余弦值為．16.已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)底數(shù).（1）討論的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時，不等式在區(qū)間上恒成立時，求的取值范圍.【答案】（1）當(dāng)時，的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；當(dāng)時，的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.（2）實數(shù)的取值范圍是.【解析】【分析】（1）由題得，分，，討論單調(diào)性求解即可；（2）參數(shù)分離得在上恒成立，令，討論的單調(diào)性，求得的最大值即可求得的取值范圍.【小問1詳解】易知函數(shù)的定義域為.所以，當(dāng)時，由，得，由，得.所以的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；當(dāng)時，由，得，由，得.所以的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；綜上所述：當(dāng)時，的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；當(dāng)時，的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.【小問2詳解】將代入，得，因為不等式在上恒成立，所以，即在上恒成立，令，易知函數(shù)的定義域為.所以.當(dāng)時，，故；當(dāng)時，，故；所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以時，在上取得最大值.所以，所以實數(shù)的取值范圍是.17.在中，角所對的邊分別為，且.（1）求角的值；（2）若為銳角三角形，中點為且，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先根據(jù)向量平行得到：，利用正弦定理，角化邊可得，再用余弦定理求，進而可得角.（2）先用正弦定理表示出邊，，明確角的關(guān)系及角的取值范圍，借助平面向量表示出，利用三角恒等變換化簡，借助三角函數(shù)的性質(zhì)求取值范圍.【小問1詳解】因為，所以，由正弦定理可得：，即.由余弦定理得：，所以.【小問2詳解】由正弦定理得：，所以，，其中，.又CD=12CA所以因為：，所以，所以.所以.所以中線的取值范圍為：.18.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的長軸是短軸的倍，且橢圓上一點到焦點的最遠(yuǎn)距離為是橢圓左右頂點，過做橢圓的切線，取橢圓上軸上方任意兩點（在的左側(cè)），并過兩點分別作橢圓的切線交于點，直線交點的切線于，直線交點的切線于，過作的垂線交于.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）若，直線與的斜率分別為與，求的值.（3）求證：【答案】（1）（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)條件，列出關(guān)于的方程，求出，可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）設(shè)過點的切線方程的點斜式，與橢圓方程聯(lián)立，消去，得到關(guān)于的一元二次方程，由，得到關(guān)于的一元二次方程，利用韋達定理，可得的值.（3）設(shè)（），再設(shè)過點的切線方程，與橢圓方程聯(lián)立，消去，得到關(guān)于的一元二次方程，由，得到關(guān)于的一元二次方程，利用韋達定理，可得，的表達式.再把和用，表示，化簡整理即可.【小問1詳解】由題意：.所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.【小問2詳解】設(shè)過點的切線方程為：，即，由，消去，整理得：，由，整理得：，所以.【小問3詳解】設(shè)（），的延長線交軸于點，如圖：、兩點處切線斜率分別為，則.設(shè)點的橢圓的切線方程為：，即，由消去，化簡整理得：，由得：化簡整理得：，由韋達定理，得：，，所以，，所以要證明，只需證明：，即，因為，所以上式成立，即成立.【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點坐標(biāo)為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，注意的判斷；（3）列出韋達定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達定理求解.19.如圖：一張的棋盤，橫行編號：豎排編號.一顆棋子目前位于棋盤的處，它的移動規(guī)則是：每次移動到與自身所在格不相鄰的異色格中.例如該棋子第一次移動可以從移動到或.棋子每次移動到不同目的地間的概率均為.（1）①列舉兩次移動后，該棋子所有可能的位置.②假設(shè)棋子兩次移動后，最終停留到第1，2，3行時，分別能獲得分，設(shè)得分為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.（2）現(xiàn)在于棋盤左下角處加入一顆棋子，他們運動規(guī)則相同，并且每次移動同時行動.移動次后，兩棋子位于同一格的概率為，求的通項公式.【答案】（1）①，，；②分布列見解析；.（2）【解析】【分析】（1）列出所有兩次移動的路徑，求出其概率，根據(jù)得分規(guī)則，可得的分布列，并求期望.（2）先探討棋子的運動軌跡，記兩棋子之間的距離為，明確的值，求出對應(yīng)的概率，設(shè)“回合后，的概率”，“回合后，的概率”，“回合后，的概率”，列出，，之間的關(guān)系，可求.【小問1詳解】①兩次移動的所有路徑可能