2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)之平面解析幾何

2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)之平面解析幾何

選擇題（共10小題）

1.已知拋物線氏丁=飄的焦點(diǎn)為尸，過K（-l,0）的直線/與拋物線E在第一象限內(nèi)交于A、B兩點(diǎn),

若|阿|=3|4月，則直線/的斜率為（）

1V32V33

A.-B.—C.-----D.一

2234

2.已知。是坐標(biāo)原點(diǎn)，A（3,0）,動(dòng)點(diǎn)P（y）滿足|尸O|=2|R1|,則::遮嚓的最大值為（）

+y

1V3

A.-B.一C.1D.V3

22

3.已知點(diǎn)M在拋物線/=4y上，若點(diǎn)M到點(diǎn)（0,1）的距離為3,則點(diǎn)M到x軸的距離為（）

A.4B.3C.2D.1

4.已知尸為拋物線f=4尤的焦點(diǎn)，P為拋物線上任意一點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，若|尸川=3,則|OP|=（）

A.2V2B.3C.2V3D.V17

5.拋物線y=2/的準(zhǔn)線方程為（）

.1?1

A.y=一豆B.y=~2C.%=—pD.x=—

6.雙曲線C：=i（a>0）的上焦點(diǎn)R到雙曲線一條漸近線的距離為號(hào)則雙曲線兩條漸近線的斜率

之積為（）

A.-4B.4C.-2D.2

%?丫2

7.橢圓C：—+J=1的長軸長與焦距之差等于（）

A.V5B.2V5C.2V6D.3V6

8.已知橢圓C的焦點(diǎn)為乃（-1,0）,尸2（1,0）,過尸2的直線與C交于A,B兩點(diǎn).若|4尸2|=2時(shí)8|,

\AB\=\BFi\f則。的方程為（）

X22x2y2

A.一+y=1B.—+—=1

2/32

x2y2x2y2

C.—+—=1D.一+一=1

4354

XV

9.已知尸1,尸2是橢圓C—+—=1（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，過廠作直線與C交于

azbz

V3

A,8兩點(diǎn)，若|AP2|=|A8|,且△O4F2的面積為一反9，則橢圓C的禺心率為（）

6

V3V3V3V3

A.—B.—C.—D.—

12632

10.已知過拋物線C：/=20無（p>0）的焦點(diǎn)廠的動(dòng)直線交拋物線C于A,B兩點(diǎn)，。為線段AB的中點(diǎn),

尸為拋物線C上任意一點(diǎn)，若伊日+|尸。］的最小值為6,則0=（)

A.2B.3C.6D.6V2

填空題（共5小題）

11.若圓M的圓心在x軸上，且與直線y=x相切，則圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程可以為.（寫

出滿足條件的一個(gè)答案即可）

12.己知AB=4,點(diǎn)尸是以線段AB為直徑的圓上任意一點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M與點(diǎn)A的距離是它與點(diǎn)2的距離的應(yīng)

倍,則IPM的取值范圍為.

22

13.已知雙曲線C：/■—京=l（a>0,b>0）的焦距為2遙，C的一條漸近線與曲線y=^cos2x在久=等

1

處的切線垂直，M,N為C上不同兩點(diǎn)，且以MN為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O,則^~-+

\OM\Z

1

\0N\2----------------------'

14.已知曲線G：x\x\+y\y\=4,。為坐標(biāo)原點(diǎn).給出下列四個(gè)結(jié)論：

①曲線G關(guān)于直線y=x成軸對(duì)稱圖形；

②經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)。的直線/與曲線G有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)；

③直線/：芯+》=2與曲線3所圍成的圖形的面積為11-2；

④設(shè)直線/：y=kx+2,當(dāng)（-1,0）時(shí)，直線/與曲線G恰有三個(gè)公共點(diǎn).

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

15.如圖，在△ABC中，己知/BAC=120°,其內(nèi)切圓與AC邊相切于點(diǎn)。，且AO=1,延長BA到E,

使BE=BC,連接CE,設(shè)以E,C為焦點(diǎn)且經(jīng)過點(diǎn)A的橢圓的離心率為ei,以E,C為焦點(diǎn)且經(jīng)過點(diǎn)A

的雙曲線的離心率為e2,則eie2的取值范圍是.

三.解答題（共5小題）

16.已知雙曲線E：6>0）的離心率6=后雙曲線E與圓O：/+y=，（r>0）的一

個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)是（嚼，霧）.

（1）求雙曲線E和圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過雙曲線E上的一點(diǎn)尸作圓。的兩條切線/1,12,若/2的斜率分別為總，to,證明：總乂2為

定值；

(3)在(2)的條件下，若切線/1,/2分別與雙曲線E相交于另外的兩點(diǎn)M,N,證明：M,O,N三點(diǎn)

共線.

X2V2、X2V2

17.如圖，雙曲線C1：---=1(a>0,6>0)的左、右焦點(diǎn)F\,Fl分別為雙曲線C2：---r=1的

azbz4az4bz

左、右頂點(diǎn)，過點(diǎn)目的直線分別交雙曲線Cl的左、右兩支于A,2兩點(diǎn)，交雙曲線C2的右支于點(diǎn)M

(與點(diǎn)/2不重合)，且△BF1F2與AABF2的周長之差為2.

(1)求雙曲線Ci的方程；

(2)若直線“尸2交雙曲線Ci的右支于。，E兩點(diǎn).

①記直線A8的斜率為八,直線。E的斜率為42,求知b的值；

②試探究：-|AB|是否為定值？并說明理由.

18.已知拋物線E：y2^2px(p>0)的焦點(diǎn)為R過尸斜率為2的直線與E交于A,B兩點(diǎn)，|AB|=10.

(1)求E的方程；

(2)直線/：x=-4,過/上一點(diǎn)尸作E的兩條切線PM,PN,切點(diǎn)分別為M,N.求證：直線過

定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo).

19.已知G是圓T：(x+1)2+廿=12上一動(dòng)點(diǎn)(T為圓心)，點(diǎn)X的坐標(biāo)為(1,0),線段G8的垂直平分

線交TG于點(diǎn)R,動(dòng)點(diǎn)R的軌跡為C.

(1)求曲線C的方程；

—>—>

(2)設(shè)尸是曲線C上任一點(diǎn)，延長OP至點(diǎn)°,使。Q=/。「，點(diǎn)。的軌跡為曲線E.

(z)求曲線E的方程；

—>—>—>

(z-z)M,N為C上兩點(diǎn)，若OQ=OM+ON,則四邊形OMQN的面積是否為定值？若是，求出這個(gè)定

值；若不是，請(qǐng)說明理由.

20.已知拋物線E：/=2x的焦點(diǎn)為RA,B,C為E上不重合的三點(diǎn).

―T—>—>—>—>—>

(1)^FA+FB+FC=0,求|F4|+|FB|+|FC|的值;

(2)過A,B兩點(diǎn)分別作E的切線/i,/2,/1與/2相交于點(diǎn)O,過A,B兩點(diǎn)分別作/1,/2的垂線/3,/4,

/3與/4相交于點(diǎn)

(z)若|AB|=4,求△ABZ)面積的最大值；

(/7)若直線A3過點(diǎn)(1,0),求點(diǎn)M的軌跡方程.

2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)之平面解析幾何

參考答案與試題解析

一.選擇題(共10小題)

1.已知拋物線E：y2=4x的焦點(diǎn)為R過K(-1,0)的直線/與拋物線E在第一象限內(nèi)交于A、B兩點(diǎn),

若［8尸|=3|4月，則直線/的斜率為()

1V32V33

A.-B.—C.---D.-

2234

【考點(diǎn)】拋物線的焦點(diǎn)與準(zhǔn)線；直線與拋物線的綜合.

【專題】計(jì)算題；整體思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】B

【分析】設(shè)直線/的方程，代入拋物線方程，利用韋達(dá)定理、拋物線的定義及空聯(lián)立即可求得

\BF\3

上的值.

【解答】解：設(shè)/方程為無=my-1,A(xi,yi),B(0>2)(ji>0,y2>0),

由02=4x,

lx=my—1'

消去了得y-4my+4=0,

則有yi+”=4m，yi"=4①，

|4F|1用久i+l1

由麗=孑俏==?

即四仁擔(dān)=左二②，

my2-l+ly23

由①②解得yi=，y2=2V3,

?fc_l__4__4xV3_V3

m丫1+丫282

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了拋物線的性質(zhì)，屬于中檔題.

2.己知。是坐標(biāo)原點(diǎn)，A(3,0),動(dòng)點(diǎn)尸(x,y)滿足|PO|=2|E4|,則7,，的最大值為()

y/xz+yz

1V3l

A.—B.—C.1D.V3

22

【考點(diǎn)】軌跡方程；兩點(diǎn)間的距離公式.

【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】D

【分析】設(shè)P（X,y）,可求點(diǎn)的軌跡方程，利用篤空的幾何意義,結(jié)合向量的數(shù)量積，轉(zhuǎn)化求解即

7%z+yz

可.

【解答】解：設(shè)尸（x,y）,由題意|PO|=2|B4|,可得+y2=2,（%_3尸+y2,整理可得，+/_.+12

=0,即：（x-4）2+、2=4,

且圓心的坐標(biāo)（4,0）,半徑r=2,X：產(chǎn)表不—>—?

OP=（x,y）與。D=（1,V3）的夾角的余弦值的2

倍，

要使得?婆與取得最大值，有小與圓（X-4#+廿=4相切，切點(diǎn)在第一象限，此時(shí)NPOx=I，/DOx=

，久Z+yZO

TT

31

可得差里烏的最大值為2cosZZ）OP=2-cos1=V3.

yjx2+y26

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查點(diǎn)的軌跡的求法，考查向量的數(shù)量積的計(jì)算，是難題.

3.已知點(diǎn)M在拋物線f=4y上，若點(diǎn)M到點(diǎn)（0,1）的距離為3,則點(diǎn)〃到x軸的距離為（）

A.4B.3C.2D.1

【考點(diǎn)】拋物線的焦點(diǎn)與準(zhǔn)線.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】C

【分析】先根據(jù)拋物線的方程求得焦點(diǎn)坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程，再根據(jù)拋物線的定義得y“+l=3,求得yM,

可得點(diǎn)M到x軸的距離.

【解答】解：因?yàn)閽佄锞€得方程為f=4y,所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0,1）,準(zhǔn)線方程為y=-l,

根據(jù)題意及拋物線的定義得：*-1=3,

解得：yu=2,

所以點(diǎn)M到龍軸的距離為2.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查拋物線的定義，屬于基礎(chǔ)題.

4.己知廠為拋物線y2=4x的焦點(diǎn)，P為拋物線上任意一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若|PQ=3,則|OP|=（）

A.2V2B.3C.2V3D.V17

【考點(diǎn)】拋物線的焦點(diǎn)與準(zhǔn)線.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】c

【分析】根據(jù)拋物線定義結(jié)合|尸尸|=3,求得點(diǎn)尸的坐標(biāo)，即可求解.

【解答】解：由題意廠為拋物線y2=4x的焦點(diǎn)，

則F(1,0),且準(zhǔn)線方程為x=-1,

設(shè)P(xp,yp),

由|尸尸|=3可得xp+l=3,

.'.xp—2,代入y2=4尤得y故=8,即P(2,±2V2),

故|OP|=J嶺+%=V12=2V3.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查拋物線的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

5.拋物線y=2/的準(zhǔn)線方程為()

1111

A.y=—gB.y=~2C.x=—gD.x=—2

【考點(diǎn)】求拋物線的準(zhǔn)線方程.

【專題】對(duì)應(yīng)思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】A

【分析】根據(jù)拋物線的性質(zhì)得出準(zhǔn)線方程.

【解答】解：...拋物線方程可化為/=%"=%

拋物線y=27的準(zhǔn)線方程為y==

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線的幾何性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題.

6.雙曲線C：*/=1(a>0)的上焦點(diǎn)尸2到雙曲線一條漸近線的距離為則雙曲線兩條漸近線的斜率

之積為()

A.-4B.4C.-2D.2

【考點(diǎn)】雙曲線的幾何特征.

【專題】方程思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】A

【分析】由點(diǎn)到直線的距離公式，結(jié)合。，。的關(guān)系，求得。，可得漸近線方程，進(jìn)而得到所求之積.

【解答】解：雙曲線C；^-x2=l(a>0)的上焦點(diǎn)F2(0,c)(c>0)到雙曲線一條漸近線y^ax的

又l+/=c2,可得。=2,

即有漸近線方程為y=±2r,

則雙曲線兩條漸近線的斜率之積為-4.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

x2y2

7.橢圓C一+■=1的長軸長與焦距之差等于()

8035

A.V5B.2V5C.2V6D.3^/6

【考點(diǎn)】橢圓的幾何特征.

【專題】計(jì)算題；整體思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】B

【分析】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求出mb,c,再求長軸長2〃與焦距2c之差.

x2y2

【解答】解：因?yàn)闄E圓C：—+—=1,

8035

所以〃2=80,廿=35,所以a=4前，c=Va2—b2=3A/5,

所以長軸長2a=8A/5,焦距2c=6v

所以長軸長與焦距之差等于2a-2c=2V5.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了橢圓的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

8.已知橢圓。的焦點(diǎn)為乃(-1,0),F2(1,0),過正2的直線與。交于A,3兩點(diǎn).若|A尸2|=2下2引，

\AB\=\BFi\,則。的方程為()

X22x2y2

A.一+y=1B.—+—=1

2/32

x2y2x2y2

C.—+—=1D.一+一=1

4354

【考點(diǎn)】橢圓的弦及弦長.

【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】B

【分析】法一：設(shè)尸2引="，則|A/2|=2小\BFi\=\AB\=3nf由橢圓的定義有2。="乃|+由/切=4%在4

A為五2和尸2中，由余弦定理結(jié)合cosZAF2F1+COSZBF2F1=0,兩式消去cosNA尸2/1,cos/BFzFi,

然后轉(zhuǎn)化求解即可.

法二：設(shè)尸26=”則|4/2|=2%\BFi\=\AB\=3n,由橢圓的定義，在△AF1B中,由余弦定理轉(zhuǎn)化求解

橢圓方程即可.

【解答】解：法一：由已知可設(shè)下2B尸〃,則|4尸2|=2〃,\BFi\=\AB\=3n,由橢圓的定義有2a=|B"+|B政|

=4〃，

：.\AFi\=2a-\AFi\=2n.

入，llhf,入上人處^曰（22

在△AM"和45尸汨2中，由余弦定Tm理/得4n2+44—02?2n°?2?cos仁Z廠-A廠F^=c42n，

22

In+4-2?n-2?cos^BF2Fr=9n

又NAfYFi,/BF2F1互補(bǔ)，cosZAF2F1+cosZBF2F1=0,兩式消去cosNA尸2尸1,COSZBF2F1,

得3n2+6=lln2,解得幾=亨.

/.2a=4n=2V???a=遮,???Z）2=a2—c2=3—1=2,

%2y2

?..所求橢圓方程為77+—=1,

32

故選：B.

法二：如圖,由已知可設(shè)下2初=%則閨切=2%\BFi\=\AB\=3n,

由橢圓的定義有2a=\BFi\+\BF2\^4n,：.\AFi\^2a-|4放|=2〃.

在△AF18中，由余弦定理推論得cos4i2B=磐二二=1

，1H

在△AA7?2中，由余弦定理得44+4n2—2?2n?2n?可=4,解得幾=2.

.*.2a=4n=2聒,???a=遮,???fo2=a2—c2=3—1=2,

x2y2

???所求橢圓方程為7T+-=1,

32

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，是中檔題.

XV

9.已知八R是橢圓C：-+-=1(^>0)的左、右焦點(diǎn)，。是坐標(biāo)原點(diǎn)，過/作直線與C交于

A,8兩點(diǎn)，若|AF2|=|AB|,且△。4八的面積為:則橢圓C的離心率為()

6

V3V3V3V3

A.—B.—C.—D.—

12632

【考點(diǎn)】橢圓的弦及弦長.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，設(shè)/尸兇尸2=仇再利用余弦定理結(jié)合橢圓的性質(zhì)可解.

【解答】解：,??橢圓C—+^7=1左、右焦點(diǎn)分別為乃，F(xiàn)2,過尸2的直線與。交于A,

，一V39

5兩點(diǎn)，且以尸i|=|A3|,△04為的面積為丁啟，

6

???SM&B=2X秀2=事A

在尸1尸2中，設(shè)/乃AF2=e,0G(0,it),

由余弦定理可得回尸2『=|AFIF+|AP2|2-2|AF1||AF2|COS0,

即4c2=(|AFI|+|AF2)|2-2|AFI||AF2|-2|AFi||AF2|cos9=4a2+(-2-2cos9)|AFI||AF2|,

可得(2+2cos0)|AFi||AF2|=4^-4a2=4Z72,

：.&FIAF2的面積S=1|AFi||AF|sin0=加/=梟2,

L2J.十COSt/D

V3sin0-cos0=1,

即sin(0—=義，V0—(―^,—),

oLoo6

,n_n

,?0-3)

又列=|AB|,

：.^AFiB是等邊三角形，即|AH|=|BR|=|A3|,

由橢圓的定義可得|4列+|Mi|+|AB|=4a,

故|A"=竽，|AR|=竽，所|=竽，

：.AB1FIF2,

則四1|2=四2|2+尸1時(shí)，即(?)2=(y)2+(2c)2,整理得/=302,

故離心率e=E=亨.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的性質(zhì)，考查計(jì)算能力，屬于中檔題.

10.已知過拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)廠的動(dòng)直線交拋物線C于A,8兩點(diǎn)，。為線段的中點(diǎn),

尸為拋物線C上任意一點(diǎn)，若|尸尸|+|尸。|的最小值為6,貝Up=()

D.6V2

【考點(diǎn)】拋物線的焦點(diǎn)與準(zhǔn)線.

【專題】對(duì)應(yīng)思想；分析法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】C

【分析】根據(jù)拋物線的定義得到|尸網(wǎng)+|尸。|的最小值為|。。|,再去求|。。|的最小值p即可.

【解答】解：拋物線C：J=2px(p>0)的焦點(diǎn)為尸虎，0),準(zhǔn)線為x=—與

根據(jù)題意，過點(diǎn)。作準(zhǔn)線刀=-§的垂線，垂足為交拋物線C于點(diǎn)P,連接尸R

于是|PN+|PQ|=I尸。I+IPQI=|。。|,即|P尸I+IPQ的最小值為|。。|，

在拋物線C上任取點(diǎn)P,過P作準(zhǔn)線x的垂線，垂足為。'，連接PRP'Q,D'Q.

則有|尸用+|PQ=|尸'。'|+『'。|冽。QI2|紗|全,

當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P'與點(diǎn)P重合且為O時(shí)取等號(hào)，

所以『尸|+|「。|的最小值為p=6.

故選：C.

X

2

【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線的性質(zhì)，屬于中檔題.

二.填空題(共5小題)

11.若圓M的圓心在無軸上，且與直線>=無相切，則圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程可以為5-2)2+丫2=2(答案

不唯一).(寫出滿足條件的一個(gè)答案即可)

【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系；圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

【專題】計(jì)算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；直線與圓；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】根據(jù)題意，舉出符合題意的圓，驗(yàn)證可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，對(duì)于圓(尤-2)2+y2=2,其圓心為(2,0),在無軸上，

半徑為我，而圓心到直線>=尤的距離則直線y=尤與圓相切，符合題意.

故答案為：(X-2)2+y2=2(答案不唯一).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，涉及直線與圓相切的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

12.已知48=4,點(diǎn)尸是以線段為直徑的圓上任意一點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M與點(diǎn)A的距離是它與點(diǎn)3的距離的應(yīng)

倍，則FM的取值范圍為ro>8+4V21.

【考點(diǎn)】兩點(diǎn)間的距離公式.

【專題】數(shù)形結(jié)合；定義法；直線與圓；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】[0,8+4V2].

【分析】以的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，求出點(diǎn)M的軌跡方

程，利用數(shù)形結(jié)合法求出FM的取值范圍.

【解答】解：以的中點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示：

設(shè)A(-2,0),B(2,0),M(x,y),

則：J(x+2>+*=727(%-2)2+y2,

化簡得：/+/-12尤+4=0,

即(%-6)2+y2=32,

所以點(diǎn)M的軌跡是以Q(6,0)為圓心，4V2為半徑的一個(gè)圓，

OO與O。的位置關(guān)系是相交，所以|PM的取值范圍是[0,8+4V2].

故答案為：[0,8+4V2].

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了求點(diǎn)的軌跡方程以及兩圓的位置關(guān)系應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題.

22

13.已知雙曲線C：[一4=l(a>0,b>0)的焦距為2限C的一條漸近線與曲線y=￡cos2x在x=咨

azL°

111

處的切線垂直,為C上不同兩點(diǎn)，且以MN為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)。，則77F+音萬==_.

\OM\Z\ON\ZA

【考點(diǎn)】直線與雙曲線的綜合.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】7-

4

2

【分析】根據(jù)題意易得。=V2,6=2,再設(shè)0M直線方程為y^kx,從而可得"=y2=

2—k2—k

22

從而可得|0河|2=4"+J,QN2=4(/C+1),再計(jì)算即可得解.

2-r2k-1

i

【解答】解：?.?>=]cos2x,.力'=-sin2x,

???y/|37r=—￥，???雙曲線的一條漸近線斜率為VL

=V2,又c=V6,心=心+序,

a

解得a=VLb=2,

x2y2

???雙曲線C的方程為二—―=1,

24

設(shè)直線方程為y=fcc,

聯(lián)立可得(2--/=4,

A12

24_?24k

.'.Xv~~729

2—k'2-k

A4724（卜2+1）

11244k

.\\0M\=x^y=2+.2

2Q—k72Q—k2—必

又以MN為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)。，

；.0N直線方程為產(chǎn)-玄

K.

4(-L+l)2

以“一±“代替|OM|2中的“左“，可得|0川2=4=4也+1),

k2-力2k-1

222

?---1---|----1-----2---k--_|--2--k----l------k--+--l-----1

"\0M\2\0N\2~4(fc2+l)4(fc2+l)-4(fc2+l)-4'

1

故答案為：

4

【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，直線與雙曲線的位置關(guān)系，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題.

14.己知曲線G：x\x\+y\y\^4-,。為坐標(biāo)原點(diǎn).給出下列四個(gè)結(jié)論：

①曲線G關(guān)于直線y=x成軸對(duì)稱圖形；

②經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線/與曲線G有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)；

③直線/：x+y=2與曲線G所圍成的圖形的面積為11-2；

④設(shè)直線/：y^kx+2,當(dāng)在(-1,0)時(shí)，直線/與曲線G恰有三個(gè)公共點(diǎn).

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是①③④.

【考點(diǎn)】曲線與方程.

【專題】整體思想；綜合法；直線與圓；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】①③④.

【分析】分尤，y的正負(fù)四種情況去掉絕對(duì)值符號(hào)得到曲線方程后，由圖可得①正確；當(dāng)斜率為-1時(shí)

結(jié)合漸近線可得②錯(cuò)誤；由四分之一圓面積減去三角形面積可得③正確；由圖形可得④正確.

rx2+y2—4,x>0,y>0

【解答】解:：曲+的=4可化為卜：7一，x>0,y<0；

yz—xz=4/x<0,y>0

、一％2—y2=4,%VO,y<0

因?yàn)楫?dāng)xVO,yVO時(shí)，-W-y2=4無意義，無此曲線，故舍去，

%2+y2=4,%>0/y>0

x2—y2=4,x>0,y<0,

(y2—x2=4/x<0,y>0

對(duì)于①，由圖象可得曲線G關(guān)于直線y=x成軸對(duì)稱圖形，故①正確；

對(duì)于②，由于左上和右下部分雙曲線的。=從所以漸近線方程為y=-x,所以當(dāng)直線的斜率為-1時(shí)，

過原點(diǎn)的直線與曲線無交點(diǎn)，故②錯(cuò)誤；

對(duì)于③，設(shè)直線/與x,y交點(diǎn)分別為A,B,因?yàn)閳A方程中半徑為2,且點(diǎn)A(2,0),B(0,2),所以

11

直線與曲線圍成的圖形的面積為X7rx22--x2x2=7r-2,故③正確；

對(duì)于④，由于直線丫=日+2恒過(0,2),當(dāng)左=0時(shí)，直線與無平行，有一個(gè)交點(diǎn)；

當(dāng)左=-1時(shí)，與漸近線平行，此時(shí)有兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)-結(jié)合斜率的范圍可得有三個(gè)交點(diǎn)，如圖，

④正確.

故答案為：①③④.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了曲線方程的應(yīng)用，還考查了直線與曲線位置關(guān)系的應(yīng)用，屬于中檔題.

15.如圖，在△ABC中，已知/BAC=120°,其內(nèi)切圓與AC邊相切于點(diǎn)。，且4。=1,延長54到E,

使連接CE,設(shè)以E,C為焦點(diǎn)且經(jīng)過點(diǎn)A的橢圓的離心率為ei,以E,C為焦點(diǎn)且經(jīng)過點(diǎn)A

的雙曲線的離心率為e2,則eie2的取值范圍是(1,+8).

B

A

C匕------------

【考點(diǎn)】雙曲線的幾何特征；橢圓的幾何特征.

【專題】方程思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】(1,+8).

【分析】設(shè)M，G分別是BC,BE與圓的切點(diǎn)，設(shè)CD=CM=GE=m,利用橢圓，雙曲線的定義分切

求出ei,e2的表達(dá)式，進(jìn)而可得eie2的表達(dá)式，然后求出機(jī)的取值范圍即可得解.

【解答】解：如圖以CE的中點(diǎn)為原點(diǎn)直角坐標(biāo)系，

設(shè)M,G分別是8C,與圓的切點(diǎn)，由圓的切線性質(zhì)得AG=AO=1,

設(shè)CD=CM=GE=m所以AC=1+機(jī)，AE^GE-AG^m-1,

在△ACE中，CE2=CA2+EA2-2CA'EAcos60°=(m+l)2+(w-1)2-(m+1)(m-1)=川+3,

以E,C為焦點(diǎn)經(jīng)過點(diǎn)A的雙曲線的離心率為e2=嶺9，

以E,。為焦點(diǎn)經(jīng)過點(diǎn)A的橢圓的離心率為馬=/一，

則6送2=2亦=4+碗'

在△ABC中，設(shè)所以BC=MI+〃，AB=n+\,AC=m+l,

由余弦定理可得BC2=BA2+CA2-2A4?ACcosl20°,

即(m+n)2=("+1)"+(m+1)~-2(n+1)(m+1)X(—/),

所以加=3*3〃+3,所以幾=震＞3得心3,

由對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)y=*+尚在(3,+8)上單調(diào)遞增，

所以e^2=E+磊冶+羨=1.

故答案為：(1,+°°).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓和雙曲線的性質(zhì)，以及圓的切線性質(zhì)，根據(jù)圓錐曲線的定義結(jié)合條件表示出ei,

e2,然后根據(jù)余弦定理結(jié)合條件求出參數(shù)的取值范圍是解出此題的關(guān)鍵，屬于中檔題.

三.解答題(共5小題)

16.已知雙曲線E：弓■-4=1((2>0,6>0)的離心率6=逐，雙曲線E與圓。：x2+y2—t2(r>0)的一

ab

個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)是(￥P，蜜).

(1)求雙曲線E和圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過雙曲線E上的一點(diǎn)尸作圓。的兩條切線/1,12,若/1,/2的斜率分別為匕，ki,證明：krki為

定值；

(3)在(2)的條件下，若切線/1,/2分別與雙曲線E相交于另外的兩點(diǎn)M,N,證明：M,O,N三點(diǎn)

共線.

【考點(diǎn)】直線與雙曲線的綜合；雙曲線的幾何特征.

【專題】綜合題；對(duì)應(yīng)思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】⑴/—寧=1,x2+y2=-

(2)證明過程見解析；

(3)證明過程見解析.

【分析】(1)由題意，根據(jù)題目所給信息列出等式求出。和b的值，進(jìn)而可得雙曲線和圓的方程；

(2)設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)和直線/1的方程，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式推出匕,后是關(guān)于左的方程(3峙-4)/^2—

6x°yok+3據(jù)-4=0的兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，得到a?6=二，進(jìn)而即可得證；

DXQ4

(3)將直線/I的方程與雙曲線方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理以及(2)中所得信息進(jìn)行求證即可.

【解答】解：(1)因?yàn)殡p曲線E的離心率0=逐且雙曲線E與圓。的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(警，察)，

僅=髀有

所以《（嚼）2（袈）2

^=1

1。2+b2=C2

解得。2=1,廬=4,

4=

則雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為/一1,圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程為/+y2=i

（2）證明：不妨設(shè)尸（xo,yo）,直線/i的方程為y-yo=h（x-xo）,

因?yàn)橹本€/1與圓O相切,

|yo-^i^ol2^3

所以一I=

村+13

2

即3(七%0-y0)=4(好+1),

整理得(3詔-4)kj-6x0y0k1+3韜-4=0,

同理得(3就-4)理-6x0y0k2+3yo-4=0,

22

所以ki,左是關(guān)于k的方程（3培-4）k-6x0y0k+3詔-4=0的兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,

可得自/2=舞怖，

因?yàn)辄c(diǎn)尸在雙曲線E上,

所以12就—3詔=12

固卜k_3羽一4_12以一16

則心.的.再一飛喬-4,

故總?依為定值，定值為4；

(y-yo=fci(x-xo)

(3)證明：聯(lián)立,2，

-yT=1

22

消去y并整理得(4-kl)x-2(y0-七與)七%-(y0-fciX0)-4=0(fcx彳±2),

2

此時(shí)/=[2(%—fciXo)^]+4(4-fcf)[(y0-k&T+4]>0,

不妨設(shè)M(xi,yi),

2

由韋達(dá)定理得%0?%=_啊+4,

4—k1

由(2)得3(后右一yo)2=4(般+1),

氯后+4）

所以,X]—

4-向

不妨設(shè)N（X2,丁2）,

同理得％o?%2=-式）2+，,

4一々2

知+4）

所以包=_4-好=（4一抬）（密+4）=4賬-4狀一般狀+16

+4

X2|（/C2）（4-般）（公+4）4必-4好-好必+16’

4-廄

由（2）得左次2=4,

所以迎=-1,

久2

即XI+X2—0,

因?yàn)?，M,N在雙曲線上，

所以yi+y2=0或yi="（舍去）.

綜上，M,O,N三點(diǎn)共線.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的方程以及直線與圓錐曲線的綜合問題，考查了邏輯推理和運(yùn)算能力，屬于中

檔題.

x2y2,x2y2

17.如圖，雙曲線Ci：---=1（。>0,b>0）的左、右焦點(diǎn)Fi,歹2分別為雙曲線C2：----T=1的

azbz4az4bz

左、右頂點(diǎn)，過點(diǎn)H的直線分別交雙曲線Ci的左、右兩支于A,3兩點(diǎn)，交雙曲線C2的右支于點(diǎn)M

（與點(diǎn)廠2不重合），且△8H尸2與AAB政的周長之差為2.

（1）求雙曲線Ci的方程；

（2）若直線MF2交雙曲線Ci的右支于DE兩點(diǎn).

①記直線的斜率為％,直線。E的斜率為42,求知b的值；

②試探究：|OE|TAB|是否為定值？并說明理由.

【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合；雙曲線的幾何特征.

【專題】綜合題；對(duì)應(yīng)思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】⑴=

(2)①3；

②|DE|-|A3|為定值，定值為4.

【分析】(1)由題意，根據(jù)題目所給信息以及。，b,c之間的關(guān)系列出等式求出。和6的值，進(jìn)而可得

雙曲線的方程；

(2)①設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)M在雙曲線C2上以及斜率公式再進(jìn)行求解即可；

②結(jié)合(1)中信息得到直線A8的方程，將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理和弦長公式再

進(jìn)行求解即可.

【解答】解:(1)不妨設(shè)下1尸2|=2C,

因?yàn)锳Bg尸2與△48/2的周長之差為2,

所以|8利+/由2|--|A珂=2,

即2c-2a=2,

又因?yàn)镕l,尸2分別為雙曲線C2的左、右頂點(diǎn)，

所以c—2a,

解得。=1，c=2,

則房=3,

故雙曲線C1的方程為/—1=1；

X2V2

(2)①由(1)知，雙曲線Q的方程為丁一言=1,%(—2,0),92(2,0),

不妨設(shè)M(xo,yo),

因?yàn)辄c(diǎn)M在雙曲線Q上，

4?、皿=3；

則七?k

2%o+2XQ—2XQ—4

②由(1)知直線A3的方程為y=h(x+2),

y—女式％+2）

2y2_,消去y并整理得（3-爛）％2一4后%-4蜉-3=0,

x虧-1

不妨設(shè)A（xi,yi）,B（X2,丁2）,

4H——2

由韋達(dá)定理得+泡=——匕，%