黑龍江省齊市地區(qū)普高聯(lián)誼校2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試模擬試題含解析

黑龍江省齊市地區(qū)普高聯(lián)誼校2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．關(guān)于x的方程在內(nèi)有解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍（）A. B.C. D.2．已知數(shù)列是等差數(shù)列，下面的數(shù)列中必為等差數(shù)列的個(gè)數(shù)為（）①②③A.0 B.1C.2 D.33．已知是空間的一個(gè)基底，若，，若，則（）A B.C.3 D.4．中國(guó)景德鎮(zhèn)陶瓷世界聞名，其中青花瓷最受大家的喜愛，如圖1這個(gè)精美的青花瓷花瓶，它的頸部（圖2）外形上下對(duì)稱，基本可看作是離心率為的雙曲線的一部分繞其虛軸所在直線旋轉(zhuǎn)所形成的曲面，若該頸部中最細(xì)處直徑為16厘米，瓶口直徑為20厘米，則頸部高為（）A.10 B.20C.30 D.405．已知，，，，則下列不等關(guān)系正確的是()A. B.C. D.6．若拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的左焦點(diǎn)重合，則m的值為（）A.4 B.-4C.2 D.-27．如圖，用4種不同的顏色對(duì)A，B，C，D四個(gè)區(qū)域涂色，要求相鄰的兩個(gè)區(qū)域不能用同一種顏色，則不同的涂色方法有（）A.24種 B.48種C.72種 D.96種8．如圖甲是第七屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)（簡(jiǎn)稱ICME—7）的會(huì)徽?qǐng)D案，其主體圖案是由圖乙的一連串直角三角形演化而成的.已知，，，，為直角頂點(diǎn)，設(shè)這些直角三角形的周長(zhǎng)從小到大組成的數(shù)列為，令，為數(shù)列的前項(xiàng)和，則（）A.8 B.9C.10 D.119．阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德并稱為亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨匠，他對(duì)圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線》一書，阿波羅尼斯圓就是他的研究成果之一.指的是：已知?jiǎng)狱c(diǎn)與兩定點(diǎn)的距離之比，那么點(diǎn)的軌跡就是阿波羅尼斯圓.已知?jiǎng)狱c(diǎn)的軌跡是阿波羅尼斯圓，其方程為，其中，定點(diǎn)為軸上一點(diǎn)，定點(diǎn)的坐標(biāo)為，若點(diǎn)，則的最小值為（）A. B.C. D.10．已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為，，且，點(diǎn)是的右支上一點(diǎn)，且，，則雙曲線的方程為（）A. B.C. D.11．已知雙曲線滿足，且與橢圓有公共焦點(diǎn)，則雙曲線的方程為（）A. B.C. D.12．已知梯形中，，且，則的值為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知拋物線方程為，則其焦點(diǎn)坐標(biāo)為__________14．古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的乘積．若橢圓的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)，均在軸上，且，的面積為，則的標(biāo)準(zhǔn)方程為______15．已知直線與雙曲線無(wú)公共點(diǎn)，則雙曲線離心率的取值范圍是____16．曲線在處的切線方程為______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知圓C經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O和點(diǎn)（4，0），且圓心在x軸上（1）求圓C的方程；（2）已知直線l：與圓C相交于A、B兩點(diǎn)，求所得弦長(zhǎng)值18．（12分）如圖，在長(zhǎng)方體中，，點(diǎn)E在棱上運(yùn)動(dòng)（1）證明：；（2）當(dāng)E為棱的中點(diǎn)時(shí)，求直線與平面所成角的正弦值；（3）等于何值時(shí)，二面角的大小為？19．（12分）如圖，直三棱柱中，底面是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，D為棱AC中點(diǎn).（1）證明：AB1//平面；（2）若面B1BC1與面BC1D的夾角余弦值為，求.20．（12分）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，且的面積為（為坐標(biāo)原點(diǎn)）（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）點(diǎn)、是拋物線上異于原點(diǎn)的兩點(diǎn)，直線、的斜率分別為、，若，求證：直線恒過定點(diǎn)21．（12分）在數(shù)列中，，是與的等差中項(xiàng)，（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列（2）令，求數(shù)列的前項(xiàng)的和22．（10分）如圖所示，在空間四邊形中，，分別為，的中點(diǎn)，，分別在，上，且．求證：（1）、、、四點(diǎn)共面；（2）與的交點(diǎn)在直線上

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】當(dāng)時(shí)，顯然不成立，當(dāng)時(shí)，分離變量，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，可得顯然不成立；當(dāng)時(shí)，由于方程可轉(zhuǎn)化為，令，可得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取唯一的極大值，也是最大值，所以，所以，即，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍.故選：A.2、C【解析】根據(jù)等差數(shù)列的定義判斷【詳解】設(shè)的公差為，則，是等差數(shù)列，，是常數(shù)列，也是等差數(shù)列，若，則不是等差數(shù)列，故選：C3、C【解析】由，可得存在實(shí)數(shù)，使，然后將代入化簡(jiǎn)可求得結(jié)果【詳解】，，因?yàn)?，所以存在?shí)數(shù)，使，所以，所以，所以，得，，所以，故選：C4、B【解析】設(shè)雙曲線方程為，根據(jù)已知條件可得的值，由可得雙曲線的方程，再將代入方程可得的值，即可求解.【詳解】因?yàn)殡p曲線焦點(diǎn)在軸上，設(shè)雙曲線方程為由雙曲線的性質(zhì)可知：該頸部中最細(xì)處直徑為實(shí)軸長(zhǎng)，所以，可得，因?yàn)殡x心率為，即，可得，所以，所以雙曲線的方程為：，因瓶口直徑為20厘米，根據(jù)對(duì)稱性可知頸部最右點(diǎn)橫坐標(biāo)為，將代入雙曲線可得，解得：，所以頸部高為，故選：B5、C【解析】不等式性質(zhì)相關(guān)的題型，可以通過舉反例的方式判斷正誤.【詳解】若、均為負(fù)數(shù)，因?yàn)?，則，故A錯(cuò).若、，則，故B錯(cuò).由不等式的性質(zhì)可知，因?yàn)椋?，故C對(duì).若，因?yàn)?，所以，故D錯(cuò).故選：C.6、B【解析】根據(jù)拋物線和橢圓焦點(diǎn)與其各自標(biāo)準(zhǔn)方程的關(guān)系即可求解.【詳解】由題可知拋物線焦點(diǎn)為，橢圓左焦點(diǎn)為，∴.故選：B.7、B【解析】按涂色順序進(jìn)行分四步，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可得解.【詳解】按涂色順序進(jìn)行分四步：涂A部分時(shí)，有4種涂法；涂B部分時(shí)，有3種涂法；涂C部分時(shí)，有2種涂法；涂D部分時(shí)，有2種涂法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理，得不同的涂色方法共有種.故選：B.8、B【解析】由題意可得的邊長(zhǎng)，進(jìn)而可得周長(zhǎng)及，進(jìn)而可得，可得解.【詳解】由，可得，，，，所以，，所以前項(xiàng)和，所以，故選：B.9、D【解析】設(shè)，，根據(jù)和求出a的值，由，兩點(diǎn)之間直線最短，可得的最小值為，根據(jù)坐標(biāo)求出即可.【詳解】設(shè)，，所以，由，所以，因?yàn)榍?，所以，整理可得，又?dòng)點(diǎn)M的軌跡是，所以，解得，所以，又，所以，因?yàn)?，所以的最小值，?dāng)M在位置或時(shí)等號(hào)成立.故選：D10、B【解析】畫出圖形，利用已知條件轉(zhuǎn)化求解，關(guān)系，利用，解得，即可得到雙曲線的方程【詳解】由題意雙曲線的圖形如圖，連接與軸交于點(diǎn)，設(shè)，，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，則，因?yàn)辄c(diǎn)是的右支上一點(diǎn)，所以，所以，則，因?yàn)椋?，，由勾股定理可得：，即，解得，則，所以雙曲線的方程為：故選：B11、A【解析】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求出，利用雙曲線，結(jié)合建立方程求出，，即可求出雙曲線的漸近線方程【詳解】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，橢圓中的，雙曲線的焦點(diǎn)與橢圓的焦點(diǎn)相同，雙曲線中，雙曲線滿足，即又在雙曲線中，即，解得：，所以雙曲線的方程為，故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查雙曲線方程的求解，根據(jù)橢圓和雙曲線的關(guān)系建立方程求出，，是解決本題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題12、D【解析】根據(jù)共線定理、平面向量的加法和減法法則，即可求得，進(jìn)而求出的值，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以又，所?故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】先將拋物線的方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，即可判斷拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，從而解得答案.【詳解】解：因?yàn)閽佄锞€方程為，即，所以，，所以拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故答案為：.14、【解析】利用待定系數(shù)法列出關(guān)于的方程解出即可得結(jié)果.【詳解】設(shè)的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則解得所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為故答案為：.15、【解析】聯(lián)立直線得，由無(wú)公共點(diǎn)得，進(jìn)而得，即可求出離心率的取值范圍.【詳解】聯(lián)立直線與雙曲線可得，整理得，顯然，由方程無(wú)解可得，即，則，，又離心率大于1，故離心率的取值范圍是.故答案為：.16、【解析】先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可.【詳解】解：由，得，則，即當(dāng)時(shí)，，所以切線方程為：，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了曲線在某點(diǎn)處的切線方程的求法，屬基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）求出圓心和半徑，寫出圓的方程；（2）求出圓心到直線距離，進(jìn)而利用垂徑定理求出弦長(zhǎng).【小問1詳解】由題意可得，圓心為(2，0)，半徑為2．則圓的方程為；【小問2詳解】由（1）可知：圓C半徑為，設(shè)圓心（2，0）到l的距離為d，則，由垂徑定理得：18、（1）證明見解析；（2）；（3）.【解析】（1）連接、，長(zhǎng)方體、線面垂直的性質(zhì)有、，再根據(jù)線面垂直的判定、性質(zhì)即可證結(jié)論.（2）連接，由已知條件及勾股定理可得、，即可求、，等體積法求到面的距離，又直線與面所成角即為與面所成角，即可求線面角的正弦值.（3）由題設(shè)易知二面角為，過作于，連接，可得二面角平面角為，令，由長(zhǎng)方體的性質(zhì)及勾股定理構(gòu)造方程求即可.【小問1詳解】由題設(shè)，連接、，又長(zhǎng)方體中，∴為正方形，即，又面，面，即，∵，面，∴面，而面，即.【小問2詳解】連接，由E為棱的中點(diǎn)，則，∴，又，故，∴，又，，故，則，由，若到面的距離為，又，，∴，可得，又，∴直線與面所成角即為與面所成角為，故.【小問3詳解】二面角大小為，即二面角為，由長(zhǎng)方體性質(zhì)知：面，面，則，過作于，連接，又，∴面，則二面角平面角為，∴，令，則，故，而，，∴，∴，整理得，解得.∴時(shí)，二面角的大小為.19、（1）證明見解析（2）【解析】（1）連接，使，連接，即可得到，從而得證；（2）設(shè)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，平面的法向量，利用空間向量的數(shù)量積求解面與面的夾角余弦值為，從而得到方程，解得即可【小問1詳解】證明：如圖，連，使，連，由直三棱柱，所以四邊形為矩形，所以為中點(diǎn)，在中，、分別為和中點(diǎn)，，又因平面平面，面，面，平面【小問2詳解】解：設(shè)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)如圖建系，則，，所以、，設(shè)平面的法向量則，故可取設(shè)平面的法向量，則，故可取，因?yàn)槊媾c面的夾角余弦值為，所以，即，解得，20、（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）由點(diǎn)在拋物線上可得出，再利用三角形的面積公式可得出關(guān)于的等式，解出正數(shù)的值，即可得出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)點(diǎn)、，利用斜率公式結(jié)合已知條件可得出的值，分析可知直線不與軸垂直，可設(shè)直線的方程為，將該直線方程與拋物線的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求出的值，即可得出結(jié)論.【小問1詳解】解：拋物線的焦點(diǎn)為，由已知可得，則，，，解得，因此，拋物線的方程為.【小問2詳解】證明：設(shè)點(diǎn)、，則，可得.若直線軸，則該直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，不合乎題意.設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，可得，由韋達(dá)定理可得，可得，此時(shí)，合乎題意.所以，直線的方程為，故直線恒過定點(diǎn).21、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）求得，利用等差數(shù)列的定義可證得結(jié)論成立；（2）求出，可計(jì)算得出，利用并項(xiàng)求和法可求得數(shù)列的前項(xiàng)的和.小