全國(guó)自考公共課線性代數(shù)(經(jīng)管類)模擬試卷16(題后含答案及解析)

全國(guó)自考公共課線性代數(shù)（經(jīng)管類）模擬試卷16(題后含答案及解析)題型有：1.單項(xiàng)選擇題2.填空題3.計(jì)算題4.證明題單項(xiàng)選擇題在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)將其代碼填寫(xiě)在題后的括號(hào)內(nèi)。錯(cuò)選、多選或未選均無(wú)分。1．設(shè)A，B為n階方陣，則下列各式一定成立的是()A．(A+B)2=A2+2AB+B2B．(A+B)2=A2+AB+BA+B2C．(A+B)(A-B)=A-B2D．(A-B)(A+B)=A2一B2正確答案：B解析：矩陣乘法不滿足交換律．2．設(shè)A為n階方陣，E為n階單位矩陣，若A2=E，則一定有()A．r(A-E)=0B．r(A+E)=0C．r(A)=nD．r(A)＜n正確答案：C解析：由(A—E)(A+E)=O得A2=E，由于A2=E，故|A2|=|A|2=1，|A|≠0，A可逆，所以r(A)=n．3．下列矩陣中不是初等方陣的是()A．B．C．D．正確答案：C解析：初等方陣即由單位矩陣E經(jīng)過(guò)一次初等變換得到的矩陣．4．非齊次線性方程組Ax=β中，A和增廣矩陣A的秩都等于4，A是4×6矩陣，則()A．無(wú)法確定方程組是否有解B．方程組無(wú)解C．方程組有無(wú)窮多組解D．方程組有惟一組解正確答案：C解析：由于方程組的系數(shù)矩陣和增廣矩陣的秩相同，方程組必有解。又因?yàn)榉匠探M的未知數(shù)個(gè)數(shù)等于6，而系數(shù)陣的秩等于4，因此方程組有無(wú)窮多組解．5．下列命題正確的是()A．Ax=b有無(wú)窮多解，則Ax=0僅有零解B．Ax=b有無(wú)窮多解，則Ax=0有非零解C．Ax=0有非零解，則Ax=b有無(wú)窮多解D．Ax=0僅有零解，則Ax=b有唯一解正確答案：B解析：齊次方程Ax=0一定有解，而非齊次方程Ax=b不一定有解，因此C和D都不一定成立．Ax=b有無(wú)窮多解，Ax=0有非零解，故選B.填空題請(qǐng)?jiān)诿啃☆}的空格中填上正確答案。錯(cuò)填、不填均無(wú)分。6．設(shè)3階方陣A=(α1，α2，α3)，其中αi(i=1，2，3)為A的列向量，若|B|=|α1+2α2，α2+3α3，α3|=8，則|A|=________．正確答案：8解析：|B|=|α1+2α2，α2+3α3，α3|=|α1+2α2，α2，α3|=|α1，α2，α3|=|A|=8．7．已知四階行列式D的第一行元素依次為1，3，0，一2，第三行元素對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式依次為8，k，一7，10，則k=_________．正確答案：4解析：根據(jù)代數(shù)余子性質(zhì)8+3k一20=0得k=4．8．3階方陣A的行列式|A|=一3，則|一2A|=_________．正確答案：24解析：|一2A|=(一2)3.|A|=一8×(-3)=24．9．設(shè)A為三階可逆陣，，則A*=_________．正確答案：解析：10．設(shè)2階實(shí)對(duì)稱矩陣A的兩個(gè)特征值分別為一2，一3，則矩陣為_(kāi)_________定矩陣，|A|=______，多項(xiàng)式f(x)=x2一1，則|f(A)|=________．正確答案：負(fù)，6，24解析：由于A的兩特征值一2，一3均小于0，則A為負(fù)定矩陣．|A|=一2×(一3)=6．f(A)的特征值f(一2)=3,f(一3)=8，則|f(A)|=3×8=24．11．設(shè)A為3階方陣，|A|=3，則其行列式|3A|=_________．正確答案：34解析：|3A|=33.|A|=34．12．齊次線性方程組正確答案：k(3，一2，1)T，其中k為任意常數(shù)解析：原方程．以z為自由變量，基礎(chǔ)解系為(3，一2，1)T，則=k(3，一2，1)T，k為常數(shù)．13．設(shè)A，B都為n階對(duì)稱矩陣，則AB也為對(duì)稱矩陣的充要條件為_(kāi)_______．正確答案：AB=BA解析：A，B為n階對(duì)稱矩陣，則AT=A，BT=B，因?yàn)锳B也是對(duì)稱矩陣．(AB)T=BTAT=BA=AB，故A，B都為n階對(duì)稱矩陣，則AB也為對(duì)稱矩陣的充要條件為AB=BA.14．設(shè)，γ=一2α-β，則α+β一3γ=________．正確答案：解析：15．若矩陣．則二次型xTAx=_________．正確答案：x12+2x22+5x32+2x1x2—4x2x3解析：因?yàn)椋杂啥涡偷亩x可知f(x)=x12+2x22+5x32+2x1x2—4x2x3．計(jì)算題16．計(jì)算行列式正確答案：17．已知先用初等行變換化為行最簡(jiǎn)形，再用初等列變換將其化為等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形．正確答案：A的行最簡(jiǎn)形和其等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形都是18．求矩陣的秩和列向量組的極大無(wú)關(guān)組，并用其表示向量組中其余向量．正確答案：設(shè)A=(α1，α2，α3，α4)，(α1，α2，α3，α4)=所以r(A)=3，α1，α2，α3為向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，且α4=α1一α2+α3．19．已知向量組α1=(1，一1，2，4)T，α2=(0，3，1，2)T，α3=(3，0，7，14)T，α4=(1，一2，2，0)T，α5=(2，1，5，10)T．求此向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，并把其余向量用該極大無(wú)關(guān)組線性表出．正確答案：(α1，α2，α3，α4，α5)=所以α1,α2，α4是一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組，且α5=2α1+α2+0α4，α3=3α1+α2+0α4．20．已知矩陣相似，求x，y．正確答案：由于A，A相似，所以它們的行列式和跡相同，即21．設(shè)求一個(gè)正交矩陣P，使得p-1AP為對(duì)角矩陣．正確答案：矩陣的特征多項(xiàng)式為得A的特征值為λ1=1，λ2=2，λ3=5．對(duì)于特征值λ1=1，求解方程組(E—A)x=0，得到一個(gè)特征向量對(duì)于特征值λ2=2，求解方程組(2E—A)x=0，得到一個(gè)特征向量對(duì)于特征值λ3=5，求解方程組(5E—A)x=0，得到一個(gè)特征向量因?yàn)樘卣髦挡幌嗟?，則ξ1，ξ2，ξ3正交，將ξ1，ξ2，ξ3單位化得令P=(p1,p2，p3)=則有P-1AP=