遼寧省大連市高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程 2.3 雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程習(xí)題課教案 新人教B版選修2-1

遼寧省大連市高中數(shù)學(xué)第二章圓錐曲線與方程2.3雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程習(xí)題課教案新人教B版選修2-1主備人備課成員教材分析遼寧省大連市高中數(shù)學(xué)第二章圓錐曲線與方程2.3雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程習(xí)題課教案新人教B版選修2-1

本節(jié)課是高中數(shù)學(xué)選修2-1中關(guān)于雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的習(xí)題課。教材通過對雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的講解和練習(xí)，幫助學(xué)生鞏固雙曲線的概念和性質(zhì)，提高他們解決實(shí)際問題的能力。本節(jié)課的內(nèi)容與前后章節(jié)緊密相連，為學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)圓錐曲線和其他數(shù)學(xué)知識(shí)奠定基礎(chǔ)。

本節(jié)課的主要內(nèi)容包括：

1.雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的定義和性質(zhì)

2.雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的求解方法

3.利用雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程解決實(shí)際問題

教學(xué)目標(biāo)：

1.掌握雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的定義和性質(zhì)

2.學(xué)會(huì)求解雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的方法

3.能夠運(yùn)用雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程解決實(shí)際問題

教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)：

重點(diǎn)：雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的定義和性質(zhì)，求解方法

難點(diǎn)：利用雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程解決實(shí)際問題

教學(xué)方法：

1.采用問題驅(qū)動(dòng)的教學(xué)方法，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)探索和解決問題

2.利用多媒體課件和實(shí)物模型，直觀展示雙曲線的性質(zhì)和應(yīng)用

3.組織小組討論和互動(dòng)，提高學(xué)生的合作能力和溝通能力

教學(xué)過程：

1.導(dǎo)入：回顧雙曲線的基本概念和性質(zhì)，激發(fā)學(xué)生對雙曲線的興趣

2.新課導(dǎo)入：講解雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的定義和性質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生理解并掌握相關(guān)概念

3.例題講解：分析雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的求解方法，讓學(xué)生通過具體例題體會(huì)解題思路

4.練習(xí)與討論：學(xué)生自主完成練習(xí)題，小組內(nèi)討論解題過程和方法，互相交流心得

5.拓展與應(yīng)用：利用雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程解決實(shí)際問題，提高學(xué)生的應(yīng)用能力

6.總結(jié)與反思：對本節(jié)課的內(nèi)容進(jìn)行總結(jié)，引導(dǎo)學(xué)生思考雙曲線在實(shí)際生活中的應(yīng)用

教學(xué)評價(jià)：

1.課堂參與度：觀察學(xué)生在課堂上的發(fā)言和互動(dòng)情況，評價(jià)他們的積極性和合作能力

2.練習(xí)題完成情況：檢查學(xué)生完成的練習(xí)題，評價(jià)他們的理解和掌握程度

3.實(shí)際問題解決能力：評估學(xué)生在拓展與應(yīng)用環(huán)節(jié)的表現(xiàn)，評價(jià)他們運(yùn)用雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程解決實(shí)際問題的能力核心素養(yǎng)目標(biāo)本節(jié)課旨在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)。通過學(xué)習(xí)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程，學(xué)生能夠提高數(shù)學(xué)抽象能力，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型；通過例題講解和練習(xí)，學(xué)生能夠培養(yǎng)邏輯推理能力，掌握雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的求解方法；在解決實(shí)際問題的過程中，學(xué)生能夠運(yùn)用數(shù)學(xué)建模思想，將數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)情境；同時(shí)，通過小組討論和互動(dòng)，學(xué)生能夠提高數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，熟練運(yùn)用雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)行計(jì)算和解決問題。總之，本節(jié)課將幫助學(xué)生在掌握雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程知識(shí)的同時(shí)，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。學(xué)習(xí)者分析1.學(xué)生已經(jīng)掌握了哪些相關(guān)知識(shí)：在學(xué)習(xí)本節(jié)課之前，學(xué)生應(yīng)該已經(jīng)掌握了初中數(shù)學(xué)中的平面幾何、代數(shù)基礎(chǔ)以及高中數(shù)學(xué)中的函數(shù)知識(shí)。他們對圓錐曲線的基本概念和性質(zhì)有一定的了解，能夠熟練運(yùn)用相關(guān)知識(shí)解決一些簡單問題。此外，學(xué)生還應(yīng)該具備一定程度的數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理能力，能夠理解和應(yīng)用數(shù)學(xué)公式和方法。

2.學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、能力和學(xué)習(xí)風(fēng)格：對于高中學(xué)生來說，數(shù)學(xué)學(xué)科具有一定的挑戰(zhàn)性，他們對數(shù)學(xué)問題的解決方法和邏輯推理過程感興趣。在學(xué)習(xí)能力方面，學(xué)生通過之前的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，已經(jīng)具備了一定的邏輯思維和分析問題的能力。在學(xué)習(xí)風(fēng)格上，有的學(xué)生喜歡通過自主學(xué)習(xí)來掌握知識(shí)，而有的學(xué)生則更傾向于通過與他人合作和討論來提高理解。

3.學(xué)生可能遇到的困難和挑戰(zhàn)：在學(xué)習(xí)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的過程中，學(xué)生可能會(huì)遇到以下困難和挑戰(zhàn)：

（1）對雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的概念和性質(zhì)理解不深，難以運(yùn)用到實(shí)際問題中；

（2）對于雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的求解方法感到困惑，不清楚如何運(yùn)用相關(guān)公式和技巧；

（3）在解決實(shí)際問題時(shí)，難以將數(shù)學(xué)知識(shí)與現(xiàn)實(shí)情境相結(jié)合，缺乏數(shù)學(xué)建模的思想和方法；

（4）在小組討論和互動(dòng)中，可能存在溝通不暢、合作不積極的情況，影響學(xué)習(xí)效果。學(xué)具準(zhǔn)備多媒體課型新授課教法學(xué)法講授法課時(shí)第一課時(shí)師生互動(dòng)設(shè)計(jì)二次備課教學(xué)方法與手段教學(xué)方法：

1.引導(dǎo)探究法：教師通過提出問題，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)探究雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的定義和性質(zhì)，激發(fā)學(xué)生的思考和探索興趣。

2.案例分析法：教師通過分析具體的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程案例，讓學(xué)生理解和掌握求解方法，培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問題的能力。

3.小組合作法：教師組織學(xué)生進(jìn)行小組討論和合作，促進(jìn)學(xué)生之間的交流和合作，提高學(xué)生的溝通能力和團(tuán)隊(duì)協(xié)作能力。

教學(xué)手段：

1.多媒體教學(xué)：教師利用多媒體課件和實(shí)物模型，直觀展示雙曲線的性質(zhì)和應(yīng)用，增強(qiáng)學(xué)生的直觀感受和理解。

2.在線教學(xué)平臺(tái)：教師利用在線教學(xué)平臺(tái)，發(fā)布學(xué)習(xí)資源和解題指導(dǎo)，方便學(xué)生隨時(shí)隨地學(xué)習(xí)，提高學(xué)習(xí)效果和效率。

3.互動(dòng)教學(xué)軟件：教師使用互動(dòng)教學(xué)軟件，進(jìn)行課堂提問和解答，及時(shí)了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，引導(dǎo)學(xué)生積極參與課堂討論。

4.數(shù)學(xué)軟件工具：教師引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)學(xué)軟件工具，進(jìn)行雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的求解和繪圖，提高學(xué)生的實(shí)踐操作能力和創(chuàng)新能力。

5.學(xué)習(xí)評價(jià)系統(tǒng)：教師利用學(xué)習(xí)評價(jià)系統(tǒng)，對學(xué)生的學(xué)習(xí)情況進(jìn)行全面評估，及時(shí)給予反饋和指導(dǎo)，幫助學(xué)生提高學(xué)習(xí)效果。教學(xué)流程本節(jié)課的教學(xué)流程分為三個(gè)部分：課前準(zhǔn)備、課中學(xué)習(xí)和課后作業(yè)，總用時(shí)不超過45分鐘。

1.課前準(zhǔn)備（5分鐘）

在課前，學(xué)生需要預(yù)習(xí)教材中關(guān)于雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的相關(guān)內(nèi)容，了解雙曲線的定義、性質(zhì)以及標(biāo)準(zhǔn)方程的求解方法。教師可以通過在線教學(xué)平臺(tái)或?qū)W習(xí)評價(jià)系統(tǒng)檢查學(xué)生的預(yù)習(xí)情況，及時(shí)給予反饋和指導(dǎo)。

2.課中學(xué)習(xí)（35分鐘）

（1）導(dǎo)入新課（5分鐘）

教師以問題驅(qū)動(dòng)的方式引導(dǎo)學(xué)生回顧雙曲線的基本概念和性質(zhì)，激發(fā)學(xué)生對雙曲線的興趣。例如：“同學(xué)們，你們知道什么是雙曲線嗎？它有哪些性質(zhì)呢？”

（2）新課導(dǎo)入（10分鐘）

教師講解雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的定義和性質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生理解并掌握相關(guān)概念。例如，通過多媒體課件展示雙曲線的圖形，引導(dǎo)學(xué)生觀察其特點(diǎn)，然后介紹雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的定義和公式。

（3）例題講解（10分鐘）

教師分析雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的求解方法，讓學(xué)生通過具體例題體會(huì)解題思路。例如，給出一個(gè)具體的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)求解，并解釋解題過程。

（4）練習(xí)與討論（5分鐘）

學(xué)生自主完成練習(xí)題，小組內(nèi)討論解題過程和方法，互相交流心得。教師巡回指導(dǎo)，解答學(xué)生疑問。例如，給出幾道關(guān)于雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的練習(xí)題，讓學(xué)生在小組內(nèi)討論解答。

（5）拓展與應(yīng)用（5分鐘）

教師引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)建模思想，將雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程解決實(shí)際問題。例如，給出一個(gè)實(shí)際問題，讓學(xué)生運(yùn)用雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)行分析和解答。

3.課后作業(yè)（5分鐘）

教師布置與本節(jié)課內(nèi)容相關(guān)的作業(yè)，讓學(xué)生鞏固所學(xué)知識(shí)。例如，要求學(xué)生完成幾道關(guān)于雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的練習(xí)題，并在下一節(jié)課前提交。拓展與延伸1.提供了與本節(jié)課內(nèi)容相關(guān)的拓展閱讀材料，包括一些經(jīng)典的數(shù)學(xué)論文、書籍和案例研究，以加深學(xué)生對雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的理解和應(yīng)用。例如，可以推薦學(xué)生閱讀《數(shù)學(xué)分析》一書中的相關(guān)章節(jié)，或者提供一些關(guān)于雙曲線在實(shí)際應(yīng)用中的案例研究，如天文學(xué)、物理學(xué)等領(lǐng)域中的應(yīng)用。

2.鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行課后自主學(xué)習(xí)和探究。學(xué)生可以利用網(wǎng)絡(luò)資源、圖書館書籍或者參加數(shù)學(xué)社團(tuán)等活動(dòng)，進(jìn)一步深入研究雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的相關(guān)知識(shí)。例如，可以引導(dǎo)學(xué)生探究雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程在其他領(lǐng)域的應(yīng)用，如經(jīng)濟(jì)學(xué)中的市場需求模型、生物學(xué)中的遺傳規(guī)律等。

3.開展數(shù)學(xué)建模活動(dòng)。學(xué)生可以組成小組，選擇一個(gè)實(shí)際問題進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，運(yùn)用雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程解決問題。例如，可以選擇一個(gè)關(guān)于人口增長的問題，通過建立數(shù)學(xué)模型來預(yù)測人口變化趨勢。

4.舉辦數(shù)學(xué)競賽或講座。學(xué)?？梢越M織數(shù)學(xué)競賽或者邀請數(shù)學(xué)專家進(jìn)行講座，讓學(xué)生有機(jī)會(huì)深入了解雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的深層次知識(shí)。例如，可以舉辦一場關(guān)于雙曲線的數(shù)學(xué)競賽，鼓勵(lì)學(xué)生通過解題展示自己的數(shù)學(xué)能力。

5.引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思考和探討。教師可以提出一些與雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程相關(guān)的研究問題，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深入思考和探討。例如，可以提出關(guān)于雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的猜想，并鼓勵(lì)學(xué)生通過研究和證明來驗(yàn)證猜想。重點(diǎn)題型整理1.題型一：求解雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程

例題1：已知雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，且經(jīng)過點(diǎn)(2,3)，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。

解答：設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，由于焦點(diǎn)在x軸上，所以有$c=a$。將點(diǎn)(2,3)代入方程，得到$\frac{4}{a^2}-\frac{9}{b^2}=1$。由于$c=a$，所以$b^2=c^2-a^2=a^2$。將$b^2=a^2$代入原方程，得到$\frac{4}{a^2}-\frac{9}{a^2}=1$，解得$a^2=13$，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{x^2}{13}-\frac{y^2}{13}=1$。

2.題型二：雙曲線的性質(zhì)

例題2：已知雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{3}=1$，求證雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上。

解答：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，其中$a^2=4$，$b^2=3$。由于$a^2>b^2$，所以雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上。

3.題型三：雙曲線與直線的交點(diǎn)

例題3：已知雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{3}=1$，直線$y=mx+b$與雙曲線相交于A、B兩點(diǎn)，求證AB的中點(diǎn)在雙曲線的對稱軸上。

解答：將直線方程代入雙曲線方程，得到$\frac{x^2}{4}-\frac{(mx+b)^2}{3}=1$。整理得到$(3-4m^2)x^2-8mbx-4b^2-12=0$。設(shè)A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為$x_1$和$x_2$，則中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為$\frac{x_1+x_2}{2}$。由于A、B是方程的根，所以$x_1+x_2=\frac{8mb}{3-4m^2}$。將$x_1+x_2$代入中點(diǎn)的橫坐標(biāo)，得到中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為$\frac{4mb}{3-4m^2}$。由于雙曲線的對稱軸為y軸，所以中點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為對稱軸上的坐標(biāo)，證畢。

4.題型四：雙曲線的漸近線

例題4：已知雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，求雙曲線的漸近線方程。

解答：雙曲線的漸近線方程為$y=\pm\frac{a}x$。由于漸近線是雙曲線的漸進(jìn)線，所以當(dāng)$x$趨向于無窮大時(shí)，雙曲線與漸近線趨于重合。

5.題型五：雙曲線與圓的交點(diǎn)

例題5：已知雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{3}=1$，圓的方程為$(x-1)^2+(y-2)^2=5$，求雙曲線與圓的交點(diǎn)。

解答：將圓的方程展開，得到$x^2-2x+1+y^2-4y+4=5$，整理得到$x^2+y^2-2x-4y+2=0$。將雙曲線的方程代入，得到$\frac{4}{4}-\frac{9}{3}=1$，即$1-3=1$，顯然不成立。所以雙曲線與圓沒有交點(diǎn)。內(nèi)容邏輯關(guān)系①雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的定義與性質(zhì)：

-知識(shí)點(diǎn)：雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的形式及參數(shù)含義

-關(guān)鍵詞：焦點(diǎn)、實(shí)軸、虛軸、頂點(diǎn)、漸近線

-板書設(shè)計(jì)：

```

雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$

焦點(diǎn)：(-$a$,0)和($a$,0)

實(shí)軸：x軸

虛軸：y軸

頂點(diǎn)：(0,0)

漸近線：$y=\pm\frac{a}x$

```

②雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的求解方法：

-知識(shí)點(diǎn)：通過給定的點(diǎn)或參數(shù)求解雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程

-關(guān)鍵詞：點(diǎn)斜式、參數(shù)方程、平方差公式

-板書設(shè)計(jì)：

```

求解雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的方法：

1.點(diǎn)斜式：已知雙曲線上的點(diǎn)$(x_1,y_1)$，求解雙曲線方程。

2.參數(shù)方程：設(shè)$x=x_0+at$，$y=