專題13三角形（6大考點）

第四部分三角形專題13三角形（6大考點）核心考點核心考點一三角形及邊角關(guān)系核心考點二三角形中的重要線段核心考點三等腰三角形核心考點四等邊三角形核心考點五直角三角形核心考點六等腰直角三角形新題速遞核心考點一三角形及邊角關(guān)系例1（2021·湖北宜昌·統(tǒng)考中考真題）如圖，將一副三角尺按圖中所示位置擺放，點在上，其中，，，，，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)AB與EF交于點M，根據(jù)，得到，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出結(jié)果．【詳解】解：設(shè)AB與EF交于點M，∵，∴，∵，，∴，∴,∵,∴=，故選：A．．【點睛】此題考查平行線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，熟記平行線的性質(zhì)并應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．例2（2021·黑龍江大慶·統(tǒng)考中考真題）三個數(shù)3，在數(shù)軸上從左到右依次排列，且以這三個數(shù)為邊長能構(gòu)成三角形，則的取值范圍為______【答案】【分析】根據(jù)三個數(shù)在數(shù)軸上的位置得到，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得到，求解不等式組即可．【詳解】解：∵3，在數(shù)軸上從左到右依次排列，∴，解得，∵這三個數(shù)為邊長能構(gòu)成三角形，∴，解得，綜上所述，的取值范圍為，故答案為：．【點睛】本題考查不等式組的應(yīng)用、三角形的三邊關(guān)系，根據(jù)題意列出不等式組是解題的關(guān)鍵．例3（2022·北京·統(tǒng)考中考真題）下面是證明三角形內(nèi)角和定理的兩種添加輔助線的方法，選擇其中一種，完成證明．三角形內(nèi)角和定理：三角形三個內(nèi)角和等于180°，已知：如圖，,求證：方法一證明：如圖，過點A作方法二證明：如圖，過點C作【答案】答案見解析【分析】方法一：依據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得到，，從而可求證三角形的內(nèi)角和為．方法二：由平行線的性質(zhì)得：∠A=∠ACD，∠B+∠BCD=180°，從而可求證三角形的內(nèi)角和為．【詳解】證明：方法一：過點作，則，．兩直線平行，內(nèi)錯角相等）∵點，，在同一條直線上，∴．（平角的定義）．即三角形的內(nèi)角和為．方法二：如圖，過點C作∵CD//AB，∴∠A=∠ACD，∠B+∠BCD=180°，∴∠B+∠ACB+∠A=180°．即三角形的內(nèi)角和為．【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理的運用，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．三角形是初中階段幾何圖形學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，也是中考必考內(nèi)容之一；三角形及邊角關(guān)系內(nèi)容比較簡單，中考中一般會出在選擇題、填空題，解答題偶有出現(xiàn)，注意以下最基本的三角形邊角關(guān)系：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；2.三角形的內(nèi)角和為180°；3.三角形外角和為360°；【變式1】（2023·陜西西安·?？级＃┤鐖D，在中，，是的高線，是的角平分線，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用角平分線的定義可求出的度數(shù)，在中，利用三角形內(nèi)角和定理可求出的度數(shù)，再結(jié)合，即可求出的度數(shù)．【詳解】解：∵是的角平分線，∴．∵是的高，∴．在中，，∴，∴，∴的度數(shù)為故選A．【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理以及角平分線的定義，牢記三角形內(nèi)角和是是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2023·河北秦皇島·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，將繞頂點C順時針旋轉(zhuǎn)得到，D是的中點，連接BD，若，，則線段的最大值為（

）A． B． C．3 D．4【答案】D【分析】連接，由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半知，在中，利用三角形三邊關(guān)系可得的最大值．【詳解】解：如圖，連接，在中，，，，則，∴，由旋轉(zhuǎn)可知，，∵D是的中點，∴，在中，利用三角形三邊關(guān)系可得，（當(dāng)，，三點共線時取等號）∴，∴的最大值為4，故選：D．【點睛】本題主要考查了含的直角三角形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識，掌握幾何最值的求解方法是解題的關(guān)鍵．【變式3】（2022·廣東韶關(guān)·?？级＃┤鐖D，△ABC中，，，，線段DE的兩個端點D，E分別在邊AC，BC上滑動，且，若點M，N分別是DE，AB的中點，則MN的最小值為_________．【答案】【分析】根據(jù)三角形斜邊中線的性質(zhì)求得，，由當(dāng)C、M、N在同一直線上時，MN取最小值，即可求得MN的最小值．【詳解】解：如圖，連接CM、CN，中，，，，∴．∵，點M，N分別是DE，AB的中點，∴，．當(dāng)C，M，N三點在同一條直線上時，MN取最小值，∴MN的最小值為故答案為：【點睛】本題考查了三角形三邊關(guān)系，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用等，明確C、M、N在同一直線上時，MN取最小值是解題的關(guān)鍵．【變式4】（2023·廣東佛山·校考一模）如圖，在四邊形中，，E為對角線的中點，連接，，，若，則_____°．【答案】38【分析】證明，可得，，可得，再利用等腰三角形的性質(zhì)可得答案．【詳解】解：∵，∴，∴，，在中，，同理可得到：，∴，在等腰三角形中，；故答案是：38．【點睛】本題考查的是直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練的求解是解本題的關(guān)鍵．【變式5】（2022·江蘇無錫·模擬預(yù)測）如圖，在和中，，，且，且B，D，E在同一直線上，連接．(1)求證：．(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【分析】(1)利用，即可證得，即可證得結(jié)論；(2)利用(1)中的結(jié)論可得，則；在等腰中可得，則，再由，即可求解．【詳解】（1）證明：，，即．在和中，，．．（2）解：由(1)知：，．，，，．，，．．．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理．利用全等三角形的對應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵．核心考點二三角形中的重要線段例1（2022·貴州安順·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，是邊的中點，是邊上一點，若平分的周長，則的長為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】延長至，使得，連接，構(gòu)造等邊三角形，根據(jù)題意可得是的中位線，即可求解．【詳解】解：如圖，延長至，使得，連接，，,又，是等邊三角形，，是邊的中點，是邊上一點，平分的周長，，，，，，即，是的中位線，．故選C．【點睛】本題考查了三角形中位線的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)，三角形中線的定義，構(gòu)造等邊三角形是解題的關(guān)鍵．例2（2021·遼寧阜新·統(tǒng)考中考真題）如圖，直線，一塊含有30°角的直角三角尺頂點E位于直線CD上，EG平分，則的度數(shù)為_________°．【答案】60【分析】根據(jù)角平分線的定義可求出的度數(shù)，即可得到的度數(shù)，再利用平行線的性質(zhì)即可解決問題．【詳解】一塊含有30°角的直角三角尺頂點E位于直線CD上，，平分，，，，．故答案為：．【點睛】本題考查了角平分線定義和平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．例3（2022·山東青島·統(tǒng)考中考真題）【圖形定義】有一條高線相等的兩個三角形稱為等高三角形．例如：如圖①．在和中，分別是和邊上的高線，且，則和是等高三角形．【性質(zhì)探究】如圖①，用，分別表示和的面積．則，∵∴．【性質(zhì)應(yīng)用】(1)如圖②，D是的邊上的一點．若，則__________；(2)如圖③，在中，D，E分別是和邊上的點．若，，，則__________，_________；(3)如圖③，在中，D，E分別是和邊上的點，若，，，則__________．【答案】(1)(2)；(3)【分析】（1）由圖可知和是等高三角形，然后根據(jù)等高三角形的性質(zhì)即可得到答案；（2）根據(jù)，和等高三角形的性質(zhì)可求得，然后根據(jù)和等高三角形的性質(zhì)可求得；（3）根據(jù)，和等高三角形的性質(zhì)可求得，然后根據(jù)，和等高三角形的性質(zhì)可求得．【詳解】（1）解：如圖，過點A作AE⊥BC，則，∵AE=AE，∴．（2）解：∵和是等高三角形，∴，∴；∵和是等高三角形，∴，∴．（3）解：∵和是等高三角形，∴，∴；∵和是等高三角形，∴，∴．【點睛】本題主要考查了等高三角形的定義、性質(zhì)以及應(yīng)用性質(zhì)解題，熟練掌握等高三角形的性質(zhì)并能靈活運用是解題的關(guān)鍵．三角形中的主要線段包括三角形的高線，中線和角平分線。三角形的一個頂點向它的對邊所在的直線畫垂線，從頂點到垂足之間的線段叫做這個三角形的高線，簡稱三角形的高。在三角形中，連接一個頂點和它的對邊中點的線段叫做這個三角形的中線。一個三角形共有三條中線，這三條中線相交于一點，這個點叫三角形的重心。三角形中一個角的角平分線與這個角的對邊相交，得到頂點與交點之間的線段叫做三角形的角平分線?！咀兪?】（2022·吉林長春·校考模擬預(yù)測）如圖，在中，小美同學(xué)按以下步驟作圖：以點為圓心，以的長為半徑畫弧，交于點，連接；分別以點，為圓心，以大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點；作射線交于點，連接若的面積為，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】證明，推出，，可得結(jié)論．【詳解】解：由作圖過程可知，，且平分，點是的中點，，，．故選：B．【點睛】本題考查作圖復(fù)雜作圖，等腰三角形的性質(zhì)，三角形中線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題．【變式2】（2022·重慶大渡口·重慶市第三十七中學(xué)校校考二模）如圖，正方形的對角線與相交于點O，的角平分線分別交、于M、N兩點．若，則線段的長為(

)A． B． C． D．【答案】A【分析】過點M做于G，利用角平分線的性質(zhì)定理，得，然后再利用的面積公式求解正方形的邊長，從而得解．【詳解】解：設(shè)正方形的邊長為，則，過點M做于G，如圖所示，平分，，，，，，，，，；故選：A．【點睛】此題考查了正方形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)定理等知識，熟練掌握正方形的性質(zhì)與角平分線的性質(zhì)定理是解答此題的關(guān)鍵．【變式3】（2022·江西九江·統(tǒng)考一模）如圖，在矩形ABCD中，，，點E在邊上運動，設(shè)線段CE的長度為m，則m的取值范圍是______．【答案】【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)，結(jié)合勾股定理先求出AC、BD的長，當(dāng)點E運動到點A時，CE的長度最長，當(dāng)點E在BD上運動，且CE⊥BD時，CE最小，分別求出此時CE的長，即可求出m的取值范圍．【詳解】解：∵四邊形ABCD為矩形，∴CD=AB=2，BC=AD=4，，，當(dāng)點E運動到點A時，CE的長度最長，此時，即m的最大值為；當(dāng)點E在BD上運動，且CE⊥BD時，CE最小，∵，∴，即m的最小值為，綜上分析可知，m的取值范圍是．故答案為：．【點睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，三角形面積的計算，根據(jù)題意找出CE取最大值和最小值時，點E所處的位置，是解題的關(guān)鍵．【變式4】（2022·內(nèi)蒙古包頭·包鋼第三中學(xué)?？既＃┰谥校堑闹悬c，是的中點，過點作交的延長線于點，若，四邊形的面積為40．則______．【答案】10【分析】由是的中點及，可證明△ADE≌△DCE，則可得AF=CD，再由D是BC的中點，可得四邊形ADBF是平行四邊形，則可得△ABF與△ABD的面積相等，再由三角形中線平分三角形面積，易得△ABC面積等于四邊形ADBF的面積，則由三角形面積公式即可求得AC的長．【詳解】∵是的中點，∴AE=DE，∵，∴∠FAE=∠CDE∵∠AEF=∠DEC，∴△ADE≌△DCE(ASA)，∴AF=CD．∵D是BC的中點，∴AD是斜邊BC上的中線，∴BD=CD=AD，，∴AF=BD，∵AF∥BC，∴四邊形ADBF是平行四邊形，∴AD=BF，∵AB=AB，AF=BD，∴△ABF≌△ABD(SSS)，∴．∴，即，∴，∴AC=10．故答案為：10．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)等知識，判定四邊形ADBF是平行四邊形，進(jìn)而得到它的面積等于△ABC的面積是解題的關(guān)鍵．【變式5】（2022·浙江杭州·翠苑中學(xué)校考二模）在圖1，圖2，圖3中，是的中線，，垂足為P．設(shè)(1)①如圖1，當(dāng)，時，，．②如圖2，當(dāng)，時，，．(2)觀察（1）中的計算結(jié)果，猜想三者之間的關(guān)系，用等式表示出來，并利用圖3證明．【答案】(1)①，；②；(2)，見解析【分析】（1）先判斷是等腰直角三角形，再得到也是等腰直角三角形，最后計算即可；（2）先設(shè)表示出線段最后利用勾股定理即可．【詳解】（1）①如圖1，連接，則是的中位線，是等腰直角三角形，也是等腰直角三角形，，，；故答案為：，；②如圖2，連接，則是的中位線．，，，；故答案為：，．（2），理由如下：如圖3，連接，則是的中位線．∴，∴，∴，設(shè)則，，，．【點睛】此題是三角形綜合題，主要考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，三角形的中位線定理等知識，熟練掌握三角形中位線定理和勾股定理是解本題的關(guān)鍵．核心考點三等腰三角形例1（2022·湖南益陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知△ABC中，∠CAB＝20°，∠ABC＝30°，將△ABC繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)50°得到△AB′C′，以下結(jié)論：①BC＝B′C′，②AC∥C′B′，③C′B′⊥BB′，④∠ABB′＝∠ACC′，正確的有（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【答案】B【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，BC＝B′C′，∠C′AB′＝∠CAB＝20°，∠AB′C′＝∠ABC＝30°，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為50°，通過推理證明對①②③④四個結(jié)論進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：①∵△ABC繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)50°得到△AB′C′，∴BC＝B′C′．故①正確；②∵△ABC繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)50°，∴∠BAB′＝50°．∵∠CAB＝20°，∴∠B′AC＝∠BAB′﹣∠CAB＝30°．∵∠AB′C′＝∠ABC＝30°，∴∠AB′C′＝∠B′AC．∴AC∥C′B′．故②正確；③在△BAB′中，AB＝AB′，∠BAB′＝50°，∴∠AB′B＝∠ABB′＝（180°﹣50°）＝65°．∴∠BB′C′＝∠AB′B+∠AB′C′＝65°+30°＝95°．∴CB′與BB′不垂直．故③不正確；④在△ACC′中，AC＝AC′，∠CAC′＝50°，∴∠ACC′＝（180°﹣50°）＝65°．∴∠ABB′＝∠ACC′．故④正確．∴①②④這三個結(jié)論正確．故選：B．【點睛】此題考查了旋轉(zhuǎn)性質(zhì)的應(yīng)用，圖形的旋轉(zhuǎn)只改變圖形的位置，不改變圖形的形狀與大小，還考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)、平行線的判定等知識．熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．例2（2022·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）如圖，在中，，，D為邊上一點，且，連接，以點D為圓心，的長為半徑作弧，交于點E（異于點C），連接，則的長為___________．【答案】##【分析】過點D作DF⊥BC于點F，根據(jù)題意得出，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得出，根據(jù)，，得出，設(shè)，則，證明，得出，列出關(guān)于x的方程，解方程得出x的值，即可得出．【詳解】解：過點D作DF⊥BC于點F，如圖所示：根據(jù)作圖可知，，∵DF⊥BC，∴，∵，，∴，∵，∴，設(shè)，則，∵，∴，∵，∴，∴，即，解得：，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，平行線分線段成比例定理，平行線的判定，作出輔助線，根據(jù)題意求出CF的長，是解題的關(guān)鍵．例3（2022·山東日照·統(tǒng)考中考真題）如圖1，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=4，∠C=90°，M，N分別是邊AC，BC上的點，以CM，CN為鄰邊作矩形PMCN，交AB于E，F(xiàn)．設(shè)CM=a，CN=b，若ab=8．(1)判斷由線段AE，EF，BF組成的三角形的形狀，并說明理由；(2)①當(dāng)a=b時，求∠ECF的度數(shù)；②當(dāng)a≠b時，①中的結(jié)論是否成立？并說明理由．【答案】(1)直角三角形，理由見解析(2)①45°；②成立，理由見解析【分析】（1）分別表示出AE，BF及EF，計算出AE2+BF2及EF2，從而得出結(jié)論；（2）①連接PC，可推出PC⊥AB，可推出AE=PE=PF=BF，從而得出ME=EG=GF=NF，進(jìn)而得出CE平分∠PCF，CF平分∠BCP，從而得出結(jié)果；②將△BCF逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ACD，連接DE，可推出DE=EF，進(jìn)而推出△DCF≌△FCE，進(jìn)一步得出結(jié)果．（1）解：線段AE，EF，BF組成的是直角三角形，理由如下：∵AM=ACCM=4a，BN=4b，∴AE=AM=(4?a)，BE=(4?b)，∴AE2+BF2=2（4a）2+2（4b）2=2（a2+b28a8b+32），AC=4，∴EF=ABAEBF=[4（4a）（4b）]，∵ab=8，EF2=2（a+b4）2=2（a2+b28a8b+16+2ab）=2（a2+b28a8b+32），∴AE2+BF2=EF2，∴線段AE，EF，BF組成的是直角三角形；（2）解：①如圖1，連接PC交EF于G，∵a=b，∴ME=AM=BN=NF，∵四邊形CNPM是矩形，∴矩形CNPM是正方形，∴PC平分∠ACB，∴CG⊥AB，∴∠PEG=90°，∵CM=CN=PM=PN，∴PE=PF，∵△AEM，△BNF，△PEF是等腰直角三角形，EF2=AE2+BF2，EF2=PE2+PF2，∴PE=AE=PF=BF，∴ME=EG=FG=FN，∴∠MCE=∠GCE，∠NCF=∠GCF，∵∠ACB=90°，∴∠ECG+∠FCG=∠ACB=45°；②如圖2，仍然成立，理由如下：將△BCF逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ACD，連接DE，∴∠DAC=∠B=45°，AD=BF，∴∠DAE=∠DAC+∠CAB=90°，∴DE2=AD2+AE2=BF2+AE2，∵EF2=BF2+AE2，∴DE=EF，∵CD=CF，CE=CE，∴△DCF≌△FCE（SSS），∴∠ECF=∠DCF=∠DCF=×90°=45°．【點睛】本題考查了等腰直角三角形性質(zhì)，正方形判定和性質(zhì)，勾股定理的逆定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形．知識點：等腰三角形的性質(zhì)1、等腰三角形（1）定義：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形，相等的兩邊叫做腰，另一邊叫做底邊，兩腰的夾角叫做頂角，腰和底邊的夾角叫做底角。（2）性質(zhì)①兩腰相等②兩底角相等（簡稱等邊對等角）③等腰三角形頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高線互相重合（簡稱為“三線合一”）④等腰三角形是軸對稱圖形，其頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高線所在的直線式對稱軸。證明題目中的寫法：①已知高線：∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD，∠BAD=∠CAD②已知中線：∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD③已知角平分線：∵AB=AC，∠BAD=∠CAD，∴AD⊥BC，BD=CD（3）等腰三角形的構(gòu)造“角平分線+平行線”構(gòu)造等腰三角形①如下左圖所示，OP評分∠AOB，CD∥OA，則△OCD是等腰三角形②如下右圖所示，OP評分∠AOB，CD∥OB，則△OCD是等腰三角形“角平分線+垂線”構(gòu)造等腰三角形如下左圖所示，已知AD是∠BAC的平分線，AD⊥BC，得出等腰三角形“角平分線+中線”構(gòu)造等腰三角形如下中圖所示，已知AD是∠BAC的平分線，D是BC中點，則△ABC是等腰三角形“中點+垂直”構(gòu)造等腰三角形（垂直平分線）如下右圖所示(5)“平行+等腰”構(gòu)造等腰三角形已知等腰△ABC，過腰或底上作腰或底的平行線知識點：等腰三角形的判定等腰三角形的判定①有兩條邊相等的三角形是等腰三角形。②有兩個角相等的三角形是等腰三角形。（簡稱“等角對等邊”）總結(jié)：【變式1】（2022·江蘇南京·南京大學(xué)附屬中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，銳角三角形中，直線l為的中垂線，直線m為的角平分線，l與m相交于P點．若，，則的度數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)角平分線定義求出，根據(jù)線段的垂直平分線性質(zhì)得出，求出，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出方程，求出方程的解即可．【詳解】解：平分，，直線l是線段的垂直平分線，，，，，，解得：，故C正確．故選：C．【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，線段垂直平分線性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的定義，能求出是解此題的關(guān)鍵，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．【變式2】（2022·四川樂山·統(tǒng)考二模）如圖，在中，，，斜邊的兩個端點分別在相互垂直的射線和上滑動，給定下列命題，其中正確命題的序號是（）．①若、兩點關(guān)于對稱，則；②、兩點距離的最大值為；③若平分，則；④斜邊的中點運動路徑的長為．A．①③④ B．②③④ C．①④ D．①②【答案】D【分析】①先根據(jù)直角三角形30°的性質(zhì)和勾股定理分別求和，由對稱的性質(zhì)可知：是的垂直平分線，所以；②由，當(dāng)經(jīng)過的中點E時，最大，則C、O兩點距離的最大值為4；③如圖2，當(dāng)時，易證四邊形是矩形，此時與互相平分，但所夾銳角為60°，明顯不垂直，④如圖3，半徑為2，圓心角為90°的扇形的圓弧是點D的運動路徑，根據(jù)弧長公式進(jìn)行計算即可．【詳解】在中，，，∴，．①若C、O兩點關(guān)于對稱，如圖1，∴是的垂直平分線，則；所以①正確；②如圖1，取的中點為E，連接、，∵，∴．∵，∴當(dāng)經(jīng)過點E時，最大，且C、O兩點距離的最大值為4；所以②正確；③如圖2，當(dāng)時，，∴四邊形是矩形，∴與互相平分，但AB與的夾銳角為60°，不垂直；所以③不正確；④如圖3，斜邊的中點D運動路徑是：以O(shè)為圓心，以2為半徑的圓周的，則其弧長為：．所以④不正確；綜上所述，本題正確的有：①②；故選：D．【點睛】本題是三角形的綜合題，考查了含30°角直角三角形的性質(zhì)、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、動點運動路徑問題、弧長公式，熟練掌握直角三角形斜邊中線等于斜邊一半是本題的關(guān)鍵，確定點D的運動路徑是本題的難點．【變式3】（2023·山東濟(jì)南·山東大學(xué)附屬中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，點E是正方形邊的中點，，連接，將沿翻折，得到，延長，交的延長線于點M，交于點N．則的長度為______．【答案】【分析】連接，過點M作于點H，求出，得出，證明，求出，再證明，求出結(jié)果即可．【詳解】解：連接，過點M作于點H，如圖所示：∵四邊形為正方形，∴，，，∵是的中點，∴，根據(jù)折疊可知，，，，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，即，解得：，∴，，∵，，∴，∴，即，解得：．故答案為：．【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，證明，求出．【變式4】（2022·重慶銅梁·銅梁中學(xué)校?？寄M預(yù)測）如圖，?中，，點是上一點，連接、，且，若，則______．【答案】##15度【分析】首先證明四邊形是菱形，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，利用三角形內(nèi)角和定理即可解決問題．【詳解】解：在?中，，四邊形是菱形，，，，，，，，，，，．故答案為：．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握菱形的判定與性質(zhì)．【變式5】（2023·陜西西安·統(tǒng)考一模）如圖，在中，的平分線分別與線段交于點F，E，與交于點G．(1)求證：．(2)若，求的長度．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）先根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，再由角平分線的定義證明，得到，即可證明；再根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義證明，得到，同理可得，則；（2）過點C作交于K，交于點I，證明四邊形是平行四邊形，，得到，再證明，得到，則，同理證明，得到，求出，則．【詳解】（1）證明：在平行四邊形中，，∴．∵分別是的平分線，∴．∴．∴．∴．∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，又∵，∴，∴，同理可得，∴；（2）解：過點C作交于K，交于點I，∵，∴四邊形是平行四邊形，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵D，∴．【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義等等，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．核心考點四等邊三角形例1（2022·四川巴中·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸交于點，與軸交于點，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)到如圖的位置，的對應(yīng)點恰好落在直線上，連接，則的長度為（

）A． B． C．2 D．【答案】B【分析】先求出點A、B的坐標(biāo)，可求得OA、OB，進(jìn)而可求得∠OAB=60°，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等邊三角形的判定與性質(zhì)證明和為等邊三角形得到即可求解.【詳解】解：對于，當(dāng)時，，當(dāng)時，由得：，則A（1，0），B（0，），∴，，∴，則∠OAB=60°，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得：，，，∴是等邊三角形，∴，又∴是等邊三角形，∴，故選：B．【點睛】本題考查一次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點問題、旋轉(zhuǎn)性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形，熟練掌握相關(guān)知識的聯(lián)系與運用，證得是等邊三角形是解答的關(guān)鍵．例2（2022·山東日照·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A的坐標(biāo)為（0，4），P是x軸上一動點，把線段PA繞點P順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段PF，連接OF，則線段OF長的最小值是__________．【答案】2【分析】點F運動所形成的圖象是一條直線，當(dāng)OF⊥F1F2時，垂線段OF最短，當(dāng)點F1在x軸上時，由勾股定理得：，進(jìn)而得，求得點F1的坐標(biāo)為，當(dāng)點F2在y軸上時，求得點F2的坐標(biāo)為（0，4），最后根據(jù)待定系數(shù)法，求得直線F1F2的解析式為y=x4，再由線段中垂線性質(zhì)得出，在Rt△OF1F2中，設(shè)點O到F1F2的距離為h，則根據(jù)面積法得，即，解得h=2，根據(jù)垂線段最短，即可得到線段OF的最小值為2．【詳解】解：∵將線段PA繞點P順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段PF，∴∠APF=60°，PF=PA，∴△APF是等邊三角形，∴AP=AF，如圖，當(dāng)點F1在x軸上時，△P1AF1為等邊三角形，則P1A=P1F1=AF1，∠AP1F1=60°，∵AO⊥P1F1，∴P1O=F1O，∠AOP1=90°，∴∠P1AO=30°，且AO=4，由勾股定理得：，∴，∴點F1的坐標(biāo)為，如圖，當(dāng)點F2在y軸上時，∵△P2AF2為等邊三角形，AO⊥P2O，∴AO=F2O=4，∴點F2的坐標(biāo)為（0，4），∵，∴∠OF1F2=60°，∴點F運動所形成的圖象是一條直線，∴當(dāng)OF⊥F1F2時，線段OF最短，設(shè)直線F1F2的解析式為y=kx+b，則，解得，∴直線F1F2的解析式為y=x4，∵AO=F2O=4，AO⊥P1F1，∴，在Rt△OF1F2中，OF⊥F1F2，設(shè)點O到F1F2的距離為h，則，∴，解得h=2，即線段OF的最小值為2，故答案為2．【點睛】本題屬于三角形的綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，等邊三角形的性質(zhì)以及待定系數(shù)法的運用等，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造等邊三角形以及面積法求最短距離，解題時注意勾股定理、等邊三角形三線合一以及方程思想的靈活運用．例3（2022·青?！そy(tǒng)考中考真題）兩個頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角的頂點，并把它們的底角頂點連接起來，則形成一組全等的三角形，把具有這個規(guī)律的圖形稱為“手拉手”圖形.(1)問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，若和是頂角相等的等腰三角形，BC，DE分別是底邊.求證：；

圖1(2)解決問題：如圖2，若和均為等腰直角三角形，，點A，D，E在同一條直線上，CM為中DE邊上的高，連接BE，請判斷∠AEB的度數(shù)及線段CM，AE，BE之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由.

圖2【答案】(1)見解析(2)；【分析】（1）先判斷出∠BAD=∠CAE，進(jìn)而利用SAS判斷出△BAD≌△CAE，即可得出結(jié)論；（2）同（1）的方法判斷出△BAD≌△CAE，得出AD=BE，∠ADC=∠BEC，最后用角的差，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵和是頂角相等的等腰三角形，∴，，，∴，∴．在和中，，∴，∴．（2）解：，，理由如下：由（1）的方法得，，∴，，∵是等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴．∵，，∴．∵，∴，∴．∴．【點睛】此題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形，等邊三角形，等腰直角三角形的性質(zhì)，判斷出△ACD≌△BCE是解本題的關(guān)鍵．知識點：等邊三角形的性質(zhì)與判定等邊三角形定義：有三條邊相等的三角形叫做等邊三角形。性質(zhì)：三條邊都相等，三個角都相等，每一個角都等于60°判定：①三條邊都相等的三角形是做等邊三角形②三個角都相等的三角形是等邊三角形③有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形。推論：在直角三角形中，銳角為30°所對的直角邊等于斜邊的一半?？偨Y(jié)：圖形等腰三角形等邊三角形性

質(zhì)兩條邊都相等三條邊都相等兩個角都相等三個角都相等，且都是60o底邊上的中線、高和頂角的平分線互相重合

每一邊上的中線、高和這一邊所對的角的平分線互相重合對稱軸（1條）對稱軸（3條）等腰三角形和等邊三角形對比②等腰三角形和等邊三角形的判定圖形等腰三角形等邊三角形判定從邊看：兩條邊相等的三角形是等腰三角形三條邊都相等的三角形是等邊三角形從角看：兩個角相等的三角形是等腰三角形三個角都相等的三角形是等邊三角形等邊三角形的判定方法：有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形【變式1】（2022·廣東東莞·東莞市橫瀝中學(xué)統(tǒng)考一模）如圖，在矩形中，為上運動，，，，則的最小值為（

）A． B． C．3 D．【答案】C【分析】過點E作于點P，作點P關(guān)于的對稱點G，連接，過點G作于點H，則，，先證明四邊形是矩形，可得，從而得到，進(jìn)而得到當(dāng)點B，E，G三點共線時，最小，此時最小，最小值為的長，再由銳角三角函數(shù)可得，可證得為等邊三角形，從而得到，，，進(jìn)而得到，繼而得到，，再由直角三角形的性質(zhì)，即可求解．【詳解】解：如圖，過點E作于點P，作點P關(guān)于的對稱點G，連接，過點G作于點H，則，，在矩形中，，∵，∴，∴四邊形是矩形，∴，∴，∴當(dāng)點B，E，G三點共線時，最小，此時最小，最小值為的長，∵，，，∴，∴，∴，∵，∴為等邊三角形，∴，，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，，∴，∴，即最小值為3．故選：C【點睛】本題主要考查了解直角三角形，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理矩形的判定而后行政，等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識，根據(jù)題意得到當(dāng)點B，E，G三點共線時，最小，此時最小，最小值為的長，為等邊三角形是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2022·重慶渝中·重慶市求精中學(xué)校?？家荒＃┰诘冗呏校珼是邊上一點，連接，將繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到，連接ED，若，，有下列結(jié)論：①；②；③是等邊三角形；④的周長是9.5，其中，正確結(jié)論的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得，，再利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，則，于是根據(jù)平行線的判定可對①進(jìn)行判斷；由繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，得到，，則根據(jù)邊三角形的判定方法得到為等邊三角形，于是可對③進(jìn)行判斷；根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得，，然后說明，則，于是可對②進(jìn)行判斷；最后利用，，和三角形周長定義可對④進(jìn)行判斷．【詳解】解：∵為等邊三角形，∴，，∵繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，∴，，∴，∴，所以①正確；∵繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，∴，，∴為等邊三角形，所以③正確，∴，，在中，∵，∴，即，∴，所以②錯誤；∵，，∴的周長，所以④正確．故選：C．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)．【變式3】（2022·貴州遵義·統(tǒng)考一模）如圖，為等邊三角形內(nèi)一點，，，，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，則圖中陰影部分的面積為___________．【答案】【分析】連接，過點D作于點F，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，，從而可證，是等邊三角形，然后根據(jù)求解即可．【詳解】解∶連接，過點D作于點F，，由題意，知，，，，∴是等邊三角形，∴，又，∴，∴，∵，，，∴，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的逆定理等知識，添加合適的輔助線進(jìn)行解答是解題的關(guān)鍵．【變式4】（2023·山東泰安·新泰市實驗中學(xué)校考一模）已知菱形的邊長為1，，為上的動點，在上，且，設(shè)的面積為，，當(dāng)點運動時，則與的函數(shù)關(guān)系式是__________．【答案】【分析】證明是等邊三角形，求出的面積與的函數(shù)關(guān)系式，即可得出答案．【詳解】連接，如圖所示：∵菱形的邊長為1，，∴和都是等邊三角形，∴，，∵，，∴，在和中，，∴，∴，，∵，∴，∴，∴是等邊三角形，∴，∴的面積，作于，則，∵，∴，∴，∴，∴與的函數(shù)關(guān)系式為：．故答案為：【點睛】此題考查了菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、動點問題的函數(shù)、三角形的面積問題，證明兩個三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．【變式5】（2023·遼寧沈陽·沈陽市第一二六中學(xué)校考一模）如圖1，在等腰三角形中，，連接．點M、N、P分別為的中點．(1)當(dāng)時，①觀察猜想：圖1中，點D、E分別在邊上，線段的數(shù)量關(guān)系是，的大小為．②探究證明：把繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置，連接，求證：．③在②的條件下，如圖2，求證：是等邊三角形(2)拓展延伸：當(dāng)時，，時，把繞點A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，如圖3，請直接寫出面積的最大值．【答案】(1)①；②見解析；③見解析(2)32【分析】（1）①易證是的中位線，是的中位線，得出，，，，則，推出，即可得出結(jié)果；②先證，得出，；③證是的中位線，是的中位線，得出，，則，推出，即可得出是等邊三角形；（2）易證，同（1）得，，則，是等腰直角三角形，當(dāng)時，面積有最大值，即可得出結(jié)果．【詳解】（1）①解：∵，∴，∵點M、N、P分別為的中點，∴是的中位線，是的中位線，，∴，，，，∴，∴，∵，∴，故答案為：，；②證明：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，∵，∴，∴，③證明：∵點M、N、P分別為的中點，∴是的中位線，是的中位線，，∴，，，，∴，∴，∵，∴，∴是等邊三角形；（2）由題意得：，即，同（1）得：，∴是等腰直角三角形，∴，∴當(dāng)時，最大，此時，如圖4所示：，∴面積的最大值為32．【點睛】本題是幾何變換綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理、平行線的性質(zhì)、等邊三角形的判定、三角形面積的計算得知識；熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和三角形中位線定理是解題的關(guān)鍵．核心考點五直角三角形例1（2022·甘肅蘭州·統(tǒng)考中考真題）如圖，菱形ABCD的對角線AC與BD相交于點O，E為AD的中點，連接OE，，，則（

）A．4 B． C．2 D．【答案】C【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)得出，，再由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊一半得出．利用菱形性質(zhì)、直角三角形邊長公式求出，進(jìn)而求出．【詳解】是菱形，E為AD的中點，，．是直角三角形，．，，，．，即，，．故選：C．【點睛】本題主要考查菱形、直角三角形的性質(zhì)的理解與應(yīng)用能力．解題關(guān)鍵是得出并求得．求解本題時應(yīng)恰當(dāng)理解并運用菱形對角線互相垂直且平分、對角相等，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊一半的性質(zhì)．例2（2022·遼寧鞍山·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，，點，分別在，上，將沿直線翻折，點的對應(yīng)點恰好落在上，連接，若，則的長為_________．【答案】7.5【分析】在中，利用勾股定理求出的長，然后根據(jù)得出，再根據(jù)折疊的性質(zhì)可得．根據(jù)求得的長．【詳解】解：在中，，，，．，，，．．．．將沿直線翻折，點的對應(yīng)點恰好落在上，．．故答案為：7.5．【點睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)、勾股定理，解題的關(guān)鍵是在直角三角形中根據(jù)通過推理論證得到是斜邊上的中線．例3（2022·北京·統(tǒng)考中考真題）在中，，D為內(nèi)一點，連接，，延長到點，使得(1)如圖1，延長到點，使得，連接，，若，求證：；(2)連接，交的延長線于點，連接，依題意補(bǔ)全圖2，若，用等式表示線段與的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】(1)見解析(2)；證明見解析【分析】（1）先利用已知條件證明，得出，推出，再由即可證明；（2）延長BC到點M，使CM＝CB，連接EM，AM，先證，推出，通過等量代換得到，利用平行線的性質(zhì)得出，利用直角三角形斜邊中線等于斜邊一半即可得到．【詳解】（1）證明：在和中，，∴，∴，∴，∵，∴．（2）解：補(bǔ)全后的圖形如圖所示，，證明如下：延長BC到點M，使CM＝CB，連接EM，AM，∵，CM＝CB，∴垂直平分BM，∴，在和中，，∴，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，即，∵，∴，∴．【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，勾股定理的逆用，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)等，第二問有一定難度，正確作輔助線，證明是解題的關(guān)鍵．概念：直角三角形，指的是有一個角是直角的三角形；性質(zhì)：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。2、在直角三角形中，兩個銳角互余。3、直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半（即直角三角形的外心位于斜邊的中點，外接圓半徑R=C/2）。該性質(zhì)稱為直角三角形斜邊中線定理。4、直角三角形的兩直角邊的乘積等于斜邊與斜邊上高的乘積。5、如圖2，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜邊BC上的高，則有射影定理如下：（1）（AD)2=BD·DC。（2）（AB)2=BD·BC。（3）（AC)2=CD·BC。射影定理，又稱“歐幾里德定理”：在直角三角形中，斜邊上的高是兩條直角邊在斜邊的射影的比例中項，每一條直角邊又是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項。是數(shù)學(xué)圖形計算的重要定理。6、在直角三角形中，如果有一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半。在直角三角形中，如果有一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的銳角等于30°。【變式1】（2023·陜西西安·?？级＃┤鐖D是的高，，，，則的長為（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】由含30度角的直角三角形的性質(zhì)可求出，結(jié)合勾股定理可求出．再根據(jù)正切的定義得出，即可求出，最后計算即可．【詳解】∵是的高，，∴，∴，∴．∵，即，∴，解得：，∴．故選C．【點睛】本題考查含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形．利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵．【變式2】（2023·安徽滁州·?？家荒＃┤鐖D，兩點，分別在矩形的和邊上，，，，且，點為的中點，則的長為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】證明，得出，勾股定理得出，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可求解．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，又，∴,又，∴，∴∵，∴，∴在中，，∵點為的中點，，∴故選：B．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，得出是解題的關(guān)鍵．【變式3】（2023·四川成都·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，點D為邊上一點，連接．現(xiàn)將沿翻折使得點A落在邊的中點E處．若，則__________．【答案】【分析】由折疊的性質(zhì)可得，，再由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到，即可證明是等邊三角形，得到，則，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)求出，則由勾股定理可得．【詳解】解：由折疊的性質(zhì)可知，，∵，E為邊的中點，∴，∴，∴是等邊三角形，∴，∴，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，證明是等邊三角形是解題的關(guān)鍵．【變式4】（2023·遼寧大連·統(tǒng)考一模）如圖，已知．若，則的長為__________．【答案】【分析】過點E作交的延長線于點F，于點H，可得四邊形是矩形，從而得到，再由直角三角形的性質(zhì)可得求出，進(jìn)而得到的長，從而得到，進(jìn)而得到的長，再由勾股定理，即可求解．【詳解】解：如圖，過點E作交的延長線于點F，于點H，∵，∴，∴四邊形是矩形，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴．故答案為：【點睛】本題主要考查了矩形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理二次根式的性質(zhì)，做適當(dāng)輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．【變式5】（2022·安徽合肥·?？级＃┤鐖D，在中，，點E是邊上的點，過點E作于點F．連接，點O是的中點，交于點D．(1)若，求的度數(shù)；(2)若，①求證：；②求的值．【答案】(1)(2)①見解析；②【分析】（1）由直角三角形的性質(zhì)得出，證出，則可得出答案；（2）①由全等三角形的性質(zhì)得出，由等腰三角形的性質(zhì)可證出結(jié)論；②由三角形中位線定理得出，設(shè)，則，由全等三角形的性質(zhì)得出，由勾股定理求出，求出，則可得出答案．【詳解】（1）解：∵，∴，又∵O為的中點，∴，∴，同理，∴，∵，∴，∴，∴，∴，即；（2）①證明：∵，∴，∵，∴，∴，又∵，∴；②解：∵，，∴為的中位線，∴，設(shè)，則，∵，∴，∴，∴，∴，∴．【點睛】本題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形中位線定理，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)．核心考點六等腰直角三角形例1（2022·遼寧阜新·統(tǒng)考中考真題）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，在直線和軸之間由小到大依次畫出若干個等腰直角三角形（圖中所示的陰影部分），其中一條直角邊在軸上，另一條直角邊與軸垂直，則第個等腰直角三角形的面積是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，可得第個等腰直角三角形的直角邊長，求出第個等腰直角三角形的面積，用同樣的方法求出第個等腰直角三角形的面積，第個等腰直角三角形的面積，找出其中的規(guī)律即可求出第個等腰直角三角形的面積．【詳解】解：當(dāng)時，，根據(jù)題意，第個等腰直角三角形的直角邊長為，第個等腰直角三角形的面積為，當(dāng)時，，第個等腰直角三角形的直角邊長為，第個等腰直角三角形的面積為，當(dāng)時，，第個等腰直角三角形的直角邊長為，第個等腰直角三角形的面積為，依此規(guī)律，第個等腰直角三角形的面積為，故選：C．【點睛】本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征與規(guī)律的綜合，涉及等腰直角三角形的性質(zhì)，找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．例2（2022·四川廣元·統(tǒng)考中考真題）如圖，直尺AB垂直豎立在水平面上，將一個含45°角的直角三角板CDE的斜邊DE靠在直尺的一邊AB上，使點E與點A重合，DE＝12cm．當(dāng)點D沿DA方向滑動時，點E同時從點A出發(fā)沿射線AF方向滑動．當(dāng)點D滑動到點A時，點C運動的路徑長為_____cm．【答案】【分析】由題意易得cm，則當(dāng)點D沿DA方向下滑時，得到，過點作于點N，作于點M，然后可得，進(jìn)而可知點D沿DA方向下滑時，點C′在射線AC上運動，最后問題可求解．【詳解】解：由題意得：∠DEC=45°，DE＝12cm，∴cm，如圖，當(dāng)點D沿DA方向下滑時，得到，過點作于點N，作于點M，∵∠DAM=90°，∴四邊形NAMC′是矩形，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，∴平分∠NAM，即點D沿DA方向下滑時，點C′在射線AC上運動，∴當(dāng)時，此時四邊形是正方形，CC′的值最大，最大值為，∴當(dāng)點D滑動到點A時，點C運動的路徑長為；故答案為．【點睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)與判定、等腰直角三角形的性質(zhì)及角平分線的判定定理，熟練掌握正方形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)與判定、等腰直角三角形的性質(zhì)及角平分線的判定定理是解題的關(guān)鍵．例3（2022·湖南湘潭·統(tǒng)考中考真題）在中，，，直線經(jīng)過點，過點、分別作的垂線，垂足分別為點、．(1)特例體驗：如圖①，若直線，，分別求出線段、和的長；(2)規(guī)律探究：①如圖②，若直線從圖①狀態(tài)開始繞點旋轉(zhuǎn)，請?zhí)骄烤€段、和的數(shù)量關(guān)系并說明理由；②如圖③，若直線從圖①狀態(tài)開始繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，與線段相交于點，請再探線段、和的數(shù)量關(guān)系并說明理由；(3)嘗試應(yīng)用：在圖③中，延長線段交線段于點，若，，求．【答案】(1)BD=1；CE=1；DE=2(2)DE=CE+BD；理由見解析；②BD=CE+DE；理由見解析(3)【分析】（1）先根據(jù)得出，根據(jù)，得出，，再根據(jù)，求出，，即可得出，最后根據(jù)三角函數(shù)得出，，即可求出；（2）①DE=CE+BD；根據(jù)題意，利用“AAS”證明，得出AD=CE，BD=AE，即可得出結(jié)論；②BD=CE+DE；根據(jù)題意，利用“AAS”證明，得出AD=CE，BD=AE，即可得出結(jié)論；（3）在Rt△AEC中，根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)，得出，代入數(shù)據(jù)求出AF，根據(jù)AC=5，算出CF，即可求出三角形的面積．（1）解：∵，，∴，∵，∴，，∵BD⊥AE，CE⊥DE，∴，∴，，∴，∴，，∴．（2）DE=CE+BD；理由如下：∵BD⊥AE，CE⊥DE，∴，∴，∵，∴，∴，∵AB=AC，∴，∴AD=CE，BD=AE，∴DE=AD+AE=CE+BD，即DE=CE+BD；②BD=CE+DE，理由如下：∵BD⊥AE，CE⊥DE，∴，∴，∵，∴，∴，∵AB=AC，∴，∴AD=CE，BD=AE，∴BD=AE=AD+DE=CE+DE，即BD=CE+DE．（3）根據(jù)解析（2）可知，AD=CE=3，∴，在Rt△AEC中，根據(jù)勾股定理可得：，∵BD⊥AE，CE⊥AE，∴，∴，即，解得：，∴，∵AB=AC=5，∴．【點睛】本題主要考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，平行線的性質(zhì)，解直角三角形，根據(jù)題意證明，是解題的關(guān)鍵．等腰直角三角形是特殊的直角三角形，它具有直角三角形所有的性質(zhì)，同時它也有它的特殊性：（1）兩底角等于45°。（2）兩腰相等。（3）等腰直角三角形三邊比例為1:1：【變式1】（2022·貴州遵義·統(tǒng)考一模）如圖所示的是的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的頂點稱為格點．線段，的端點均在格點上，線段，交于點，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】取格點E，連接，，可證，根據(jù)勾股定理和逆定理可判斷為等腰直角三角形，即可解答．【詳解】解：取格點E，連接，，則，，∴，由勾股定理，得，，，∴，，∴是等腰直角三角形，∴．故選：B．【點睛】本題考查了勾股定理與網(wǎng)格，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，添加合適的輔助線是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2022·四川南充·模擬預(yù)測）如圖，在中，，，直角的頂點是的中點，將繞頂點旋轉(zhuǎn)，兩邊，分別交，于點，．下列四個結(jié)論：①；②是等腰直角三角形；③；④．在旋轉(zhuǎn)過程中，上述四個結(jié)論始終正確的有（）A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④【答案】D【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得：，平分．可證，，即證得與全等，根據(jù)全等三角形性質(zhì)判斷結(jié)論是否正確．【詳解】解：∵，直角的頂點P是的中點，∴，∵，∴，在與中，，∴，∴，故①正確；∴是等腰直角三角形，故②正確；∵是等腰直角三角形，P是的中點，∴，∵不一定是的中位線，∴不一定成立，故③錯誤；∵，∴，又∵，∴，即，故④正確．故選：D．【點睛】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形的面積，掌握等腰直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式3】（2022·遼寧沈陽·沈陽市外國語學(xué)校?？寄M預(yù)測）如圖，在等腰中，，D為底邊中點，過D點作，交于E，交于F．若，長為______．【答案】13【分析】連結(jié)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可以得出，再證明，可以求出BF、BE的值，在中，由勾股定理就可以求出結(jié)論．【詳解】解：證明：連結(jié)，∵等腰中，，∴，．∵D為底邊中點，∴，即．∵，∴．即，∴．∴，∴，，在中，由勾股定理，得．故答案為：13．【點睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)的運用，全等三角形的判定與性質(zhì)的運用，勾股定理的運用，解答時證明三角形全等是關(guān)鍵．【變式4】（2022·內(nèi)蒙古赤峰·模擬預(yù)測）如圖一次函數(shù)的圖象與x軸、y軸分別交于點A、B，把直線繞點B順時針旋轉(zhuǎn)交x軸于點C．則線段的長為______．【答案】##【分析】根據(jù)一次函數(shù)表達(dá)式求出點A和點B坐標(biāo)，得到為等腰直角三角形和的長，過點C作，垂足為D，證明為等腰直角三角形，設(shè)，結(jié)合旋轉(zhuǎn)的度數(shù)，用兩種方法表示出，得到關(guān)于x的方程，解之即可．【詳解】解：一次函數(shù)的圖象與x軸、y軸分別交于點A，B，令，則；令，則，則，，則為等腰直角三角形，，，過點C作，垂足為D，，為等腰直角三角形，設(shè)，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，，，，解得：，．故答案為：．【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點問題，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，二次根式的混合運算，知識點較多，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)造特殊三角形．【變式5】（2022·湖北省直轄縣級單位·?？家荒＃?jù)圖回答下列各題．【問題：】如圖1，在中，，點是邊上一點（不與，重合），將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，則線段，之間滿足的數(shù)量關(guān)系式為．【探索：】如圖2，在與中，，，將繞點旋轉(zhuǎn)，使點落在邊上，請?zhí)剿骶€段，，之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【應(yīng)用：】如圖3，在四邊形中，，若，，求的長．【答案】【問題】結(jié)論：，證明見解析部分【探索】結(jié)論：，證明見解析部分【應(yīng)用】6【分析】（1）證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答；（2）連接，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，，得到，根據(jù)勾股定理計算即可；（3）過點作，使，連接，，證明，得到，根據(jù)勾股定理計算即可．【詳解】解：（1）結(jié)論：，理由如下：，，即，在和中，，，，故答案為：；（2）結(jié)論：，理由如下：連接，如圖所示：在中，，，則，由（1）得，，，，，，在中，，又，；（3）過點作，使，連接，，如圖所示：即在中，，，則，，∴，在與中，，，，，，，，，．【點睛】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、以及旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．【新題速遞】1．（2023·海南省直轄縣級單位·統(tǒng)考一模）如圖，已知，若，則的度數(shù)為（

）A．80° B．90° C．100° D．110°【答案】C【分析】在中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出的度數(shù)，再根據(jù)“全等三角形對應(yīng)角相等”可得的度數(shù).【詳解】中（全等三角形對應(yīng)角相等）故選:C【點睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理和全等三角形的性質(zhì)，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.2．（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考一模）如圖，在中，．將繞頂點C旋轉(zhuǎn)得到，若點O是中點，點P是中點，在旋轉(zhuǎn)過程中，線段的最大值等于（

）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】B【分析】連接，進(jìn)而得到，當(dāng)三點共線時，線段的值最大，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵，∴，∵將繞頂點C旋轉(zhuǎn)得到，點O是中點，∴，，連接，∵點P是中點，∴，∵，∴當(dāng)三點共線時，線段的值最大．故選：B．【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線，含30度的直角三角形．熟練掌握相關(guān)知識點并靈活運算，是解題的關(guān)鍵．3．（2023·遼寧阜新·校考一模）如圖，點A，B，E在同一條直線上，正方形，的邊長分別為3，4，H為線段的中點，則圖中陰影部分的面積是（）A．12 B．6 C．7 D．【答案】B【分析】連接，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得，根據(jù)勾股定理求出，即可求出的面積，最后根據(jù)三角形中線的性質(zhì)，即可求解．【詳解】解：如圖，連接，∵四邊形和四邊形都是正方形，∴，，，，∴，，∴的面積，∵H為線段的中點，∴圖中陰影部分的面積，故選：B．【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理以及三角形中線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握三角形的中線將三角形的面積分成相等的兩部分．4．（2023·吉林長春·校考一模）如圖，在中，將折疊，使點B恰好落在邊上，與點重合，為折痕，則的長為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)未知數(shù)利用勾股定理列方程求解即可．【詳解】∵在中，∴∵將折疊，使點B恰好落在邊上，與點重合，∴，∴設(shè)，則∴在中，即，解得∴故選：C．【點睛】此題考查勾股定理，解題關(guān)鍵是設(shè)未知數(shù)列出方程．5．（2023·廣西河池·校考一模）在矩形中，過的中點作，交于E，交于F，連接、．若，，則的長為（）A．2 B．3 C． D．【答案】A【分析】求出，然后利用“角角邊”證明和全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得，再根據(jù)對角線互相垂直平分的四邊形是菱形得到四邊形是菱形，再求出，然后判斷出是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的三條邊都相等可得，根據(jù)矩形的對邊相等可得，然后求出，從而得解．【詳解】解：四邊形是矩形，，是的中點，，在和中，，，，又，四邊形是菱形，，，是等邊三角形，，，，，，．故選：A．【點睛】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，難點在于判斷出是等邊三角形．6．（2022·河南焦作·統(tǒng)考一模）如圖，中，，點B的坐標(biāo)為，將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到，當(dāng)點O的對應(yīng)點C落在上時，點D的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】如圖，過點D作軸于點E．證明是等邊三角形，解直角三角形求出，，可得結(jié)論．【詳解】解：如圖，過點D作軸于點E．∵，∴，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，∴是等邊三角形，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，故選：D【點睛】本題主要了旋轉(zhuǎn)變換，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形等知識，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形．7．（2022·貴州遵義·三模）已知：如圖中，為的角平分線，且，為延長線上的一點，，過作，為垂足．下列結(jié)論：其中正確的是（）①；②；③；④．A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④【答案】D【分析】易證，可得，可得①②正確，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可求得，即③正確，根據(jù)③可求得④正確．【詳解】解：①為的角平分線，，在和中，，故①正確；②為的角平分線，，，，，，，故②正確；③，，，，，為等腰三角形，，，，，故③正確；④過作，交延長線于點，是的角平分線上的點，且，（角平分線上的點到角的兩邊的距離相等），在和中，，，，在和中，，，，，故④正確．綜上分析可知，正確的有①②③④，故D正確．故選：D．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)定理，本題中熟練求證三角形全等和熟練運用全等三角形對應(yīng)角、對應(yīng)邊相等性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．（2022·四川綿陽·東辰國際學(xué)校校考模擬預(yù)測）如圖，在中，，，，D為BC邊上一個動點，過點D作于點E，于點F，連接，則的最小值為（）A． B．2 C． D．【答案】D【分析】連接，取的中點O，連接，可得，從而得，，再求出的最小值，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：連接，取的中點O，連接，∵中，，，∴，∵，∴分別是斜邊上的中線，∴，∴，∵，∴，∴，即當(dāng)最小時，的值最小，∵當(dāng)時，最小，此時，是等腰直角三角形，，∴最小值，故選D．【點睛】本題主要考查等腰直角三角形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，添加合適的輔助線，構(gòu)造頂角為的等腰三角形，是解題的關(guān)鍵．9．（2023·廣西河池·?？家荒＃┤鐖D，，交直線l于A、B兩點，過點A作交直線b于點C，若，則_____度．【答案】【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，再由三角形內(nèi)角和定理求解即可．【詳解】解：∵直線，∴，∵，∴，∴，故答案為：．【點睛】題目主要考查平行線的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握這些基礎(chǔ)知識點是解題關(guān)鍵．10．（2023·湖南岳陽·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，，按以下步驟作圖：①分別以，為圓心，以大于的長為半徑做弧，兩弧相交于點和．②作直線交于點，交于點，連接．若，則__．【答案】【分析】根據(jù)是的垂直平分線，得出，進(jìn)而根據(jù)含度角的直角三角形的性質(zhì)，即可求解．【詳解】由題意可得出：是的垂直平分線，∴，∴，∵在中，，，∴，∴，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，掌握基本作圖是解題的關(guān)鍵．11．（2022·浙江杭州·翠苑中學(xué)校考二模）如圖，在中，，是邊上的中線，在上取一點E，連結(jié)，使得，若，則_____．【答案】##55度【分析】設(shè)，則，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理列方程即可得到結(jié)論．【詳解】解：設(shè)，則，∵，∴，∵，是邊上的中線，∴，∵，∴，解得：，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考一模）如圖，M，N是的邊上的兩個點（），，，．若邊上有且只有1個點P，滿足是等腰三角形，則a的取值范圍是___________．【答案】【分析】過點作于點，根據(jù)題意得出，根據(jù)勾股定理求得，即可求解．【詳解】解：如圖所示，過點作于點，∵，∵，則是等腰直角三角形，∴依題意邊上有且只有1個點P，滿足是等腰三角形，則，∴,∴解得：，故答案為：．【點睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13．（2023·陜西西安·西安市慶華中學(xué)校考一模）如圖，在等邊中，，點P是內(nèi)一點，且，則的面積為_____．【答案】【分析】將繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，得到，只要證明，利用勾股定理即可解決問題．【詳解】將繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，得到，∴是等邊三角形，，∴，∴，∴，即，∵，∴，即，∴，∴，∴；故答案為：．【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)、等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理,運用旋轉(zhuǎn)的方法將繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°是解題的關(guān)鍵．14．（2022·江蘇無錫·模擬預(yù)測）如圖，在中，，，，點D是邊上一動點．連接，將沿折疊，點A