2.2充分條件必要條件充要條件5題型分類（講練）

2.2充分條件、必要條件、充要條件5題型分類知識(shí)點(diǎn)1充分條件與必要條件充要條件的概念符號(hào)與的含義“若，則”為真命題，記作：；“若，則”為假命題，記作：．充分條件、必要條件與充要條件①若，稱是的充分條件，是的必要條件．②如果既有，又有，就記作，這時(shí)是的充分必要條件，稱是的充要條件．注：對(duì)的理解：指當(dāng)成立時(shí)，一定成立，即由通過(guò)推理可以得到．①“若，則”為真命題；②是的充分條件；③是的必要條件以上三種形式均為“”這一邏輯關(guān)系的表達(dá)．知識(shí)點(diǎn)2充分條件、必要條件與充要條件的判斷從邏輯推理關(guān)系看命題“若，則”，其條件p與結(jié)論q之間的邏輯關(guān)系①若，但，則是的充分不必要條件，是的必要不充分條件；②若，但，則是的必要不充分條件，是的充分不必要條件；③若，且，即，則、互為充要條件；④若，且，則是的既不充分也不必要條件．從集合與集合間的關(guān)系看若，，①若AB，則是的充分條件，是的必要條件；②若A是B的真子集，則是的充分不必要條件；③若A=B，則、互為充要條件；④若A不是B的子集且B不是A的子集，則是的既不充分也不必要條件．注：充要條件的判斷通常有四種結(jié)論：充分不必要條件、必要不充分條件、充要條件、既不充分也不必要條件．判斷方法通常按以下步驟進(jìn)行：①確定哪是條件，哪是結(jié)論；②嘗試用條件推結(jié)論，③再嘗試用結(jié)論推條件，④最后判斷條件是結(jié)論的什么條件．知識(shí)點(diǎn)3充要條件的證明要證明命題的條件是結(jié)論的充要條件，既要證明條件的充分性（即證原命題成立），又要證明條件的必要性（即證原命題的逆命題成立）注：對(duì)于命題“若，則”①如果是的充分條件，則原命題“若，則”與其逆否命題“若，則”為真命題；②如果是的必要條件，則其逆命題“若，則”與其否命題“若，則”為真命題；③如果是的充要條件，則四種命題均為真命題．（一）1.判斷充分條件、必要條件的注意點(diǎn)（1）明確條件與結(jié)論．（2）判斷若p，則q是否成立時(shí)注意利用等價(jià)命題．（3）可以用反例說(shuō)明由p推不出q，但不能用特例說(shuō)明由p可以推出q．2.充分條件、必要條件的兩種判斷方法（1）定義法：①確定誰(shuí)是條件，誰(shuí)是結(jié)論；②嘗試從條件推結(jié)論，若條件能推出結(jié)論，則條件為充分條件，否則就不是充分條件；③嘗試從結(jié)論推條件，若結(jié)論能推出條件，則條件為必要條件，否則就不是必要條件．（2）命題判斷法：①如果命題：“若p，則q”為真命題，那么p是q的充分條件，同時(shí)q是p的必要條件；②如果命題：“若p，則q”為假命題，那么p不是q的充分條件，同時(shí)q也不是p的必要條件．3.充分、必要與充要條件的判定(1)如果既有p?q，又有q?p，則p是q的充要條件，記為p?q.(2)如果p?且q?，則p是q的既不充分也不必要條件.(3)如果p?q且q?，則稱p是q的充分不必要條件.(4)如p?且q?p，則稱p是q的必要不充分條件.(5)設(shè)與命題p對(duì)應(yīng)的集合為A={x|p(x)}，與命題q對(duì)應(yīng)的集合為B={x|q(x)}，若AB，則p是q的充分條件，q是p的必要條件；若A=B，則p是q的充要條件.4.充分必要條件與集合的關(guān)系若條件p，q以集合的形式出現(xiàn)，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，則由A?B可得，p是q的充分條件，①若AB，則p是q的充分不必要條件；②若A?B，則p是q的必要條件；③若AB，則p是q的必要不充分條件；④若A＝B，則p是q的充要條件；⑤若A?B且A?B，則p是q的既不充分也不必要條件．注:充分必要條件判斷精髓：小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要條件，大集合是小集合的必要不充分條件；若兩個(gè)集合范圍一樣，就是充要條件的關(guān)系；題型1：充分條件與必要條件的判斷11．（2024高一上·寧夏吳忠·期中）“為整數(shù)”是“為整數(shù)”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)充分條件必要條件的概念即得.【詳解】當(dāng)為整數(shù)時(shí)，必為整數(shù)；當(dāng)為整數(shù)時(shí)，不一定為整數(shù)，例如當(dāng)時(shí)，，所以“為整數(shù)”是“為整數(shù)”的必要不充分條件.故選：B.12．（2024高一上·上海浦東新·期中）若，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義即可得解.【詳解】若，令，滿足，但；若，則一定成立，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B13．（2024高一上·河北張家口·期中）p：四邊形為矩形，q：四邊形對(duì)角線相等，則p是q的（

）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可．【詳解】解：根據(jù)矩形的性質(zhì)知；等腰梯形對(duì)角線也相等，所以推不出，所以是的充分不必要條件．故選：A．14．（2024高三·河北·專題練習(xí)）一元二次方程，（）有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根的充分而不必要條件是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先由方程根的情況可得，求出的范圍，再根據(jù)充分條件和必要條件的定義即可得解.【詳解】因?yàn)橐辉畏匠?，（）有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根，所以，解得，所以一元二次方程，（）有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根的充分而不必要條件可以是.故選：C.15．（2024高一上·四川攀枝花·階段練習(xí)）設(shè)為兩個(gè)非空集合，“，都有”是“A是B的真子集”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)集合之間的關(guān)系，判斷“，都有”和“A是B的真子集”的邏輯推理關(guān)系，即得答案.【詳解】由題意，都有可得A是B的子集，推不出A是B的真子集；反之，A是B的真子集，則必有，都有，故“，都有”是“A是B的真子集”的必要不充分條件，故選：B16．（2024高一·全國(guó)·課后作業(yè)）若是的必要不充分條件，是的充分不必要條件，則是的（

）A．充分不必要條件 B．充要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】利用題給條件判斷出與的邏輯關(guān)系，進(jìn)而得到正確選項(xiàng).【詳解】若是的必要不充分條件，則，，是的充分不必要條件，則，則有，，則是的充分不必要條件，故選：A．17．（2024高一上·上海浦東新·階段練習(xí)）已知是r的充分不必要條件，q是r的充分條件，s是r的必要條件，q是s的必要條件，現(xiàn)有下列命題：①s是q的充要條件；②是q的充分不必要條件；③r是q的必要不充分條件；④r是s的充分不必要條件.正確的命題序號(hào)是（

）A．①④ B．①② C．②③ D．③④【答案】B【分析】根據(jù)條件及充分條件和必要條件的的確定之間的關(guān)系，然后逐一判斷命題①②③④即可.【詳解】因?yàn)槭堑牡某浞植槐匾獥l件，所以p?r，推不出，因?yàn)槭堑牡某浞謼l件，所以，因?yàn)槭堑谋匾獥l件，所以，因?yàn)槭堑谋匾獥l件，所以s?q，因?yàn)?，，所以q?s，又s?q，，所以是的充要條件，命題①正確，因?yàn)閜?r，，s?q，所以，推不出，故是的充分不必要條件，②正確；因?yàn)?，s?q，所以，是的充分條件，命題③錯(cuò)誤；因?yàn)閟?q，，所以，又，所以是的充要條件，命題④錯(cuò)誤；故選：B.（二）根據(jù)充分條件、必要條件求參數(shù)取值范圍（1）化簡(jiǎn)p、q兩命題，（2）根據(jù)p與q的關(guān)系（充分、必要、充要條件）轉(zhuǎn)化為集合間的關(guān)系，（3）利用集合間的關(guān)系建立不等關(guān)系，（4）求解參數(shù)范圍．題型2：根據(jù)充分條件、必要條件求參數(shù)的取值范圍21．（2024高一上·陜西安康·期末）已知條件，條件，且是的必要條件，求的取值集合．【答案】【分析】根據(jù)一元二次方程的解法解命題p可得A={－3,2}，B={x|mx＋1＝0}，結(jié)合必要條件的定義可得B?A，分類討論B的情況即可求值.【詳解】條件p：{x|x2＋x－6＝0}＝{－3,2}＝A，條件q：{x|mx＋1＝0}＝B，因?yàn)閜是q的必要條件，所以B?A.所以或{－3}或{2}．當(dāng)m＝0時(shí)，滿足題意．當(dāng)m≠0時(shí)，若B＝{－3}，則－3m＋1＝0，解得m＝.若B＝{2}，則2m＋1＝0，解得m＝－.綜上可得，m的取值集合是.22．（2024高一上·上海徐匯·期末）若，，已知是的充分條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【分析】依題意可得推得出，即可求出參數(shù)的取值范圍.【詳解】解：因?yàn)椋沂堑某浞謼l件，即推得出，所以.故答案為：23．（2024高一上·江蘇南通·開(kāi)學(xué)考試）已知.(1)是否存在實(shí)數(shù)，使是的充要條件?若存在，求出的取值范圍;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由;(2)是否存在實(shí)數(shù)，使是的必要條件?若存在，求出的取值范圍;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)不存在(2)【分析】（1）根據(jù)兩集合相等，形成方程組，無(wú)解，可判斷不存在滿足題意的實(shí)數(shù).（2）要使是的必要條件，則，根據(jù)集合關(guān)系可求得實(shí)數(shù)的范圍.【詳解】（1）要使是的充要條件，則即，此方程組無(wú)解.所以不存在實(shí)數(shù)，使是的充要條件.（2）要使是的必要條件，則，當(dāng)時(shí)，，解得當(dāng)時(shí)，，解得要使，則有，解得，所以綜上可得，當(dāng)時(shí)，是的必要條件.題型3：充要條件的應(yīng)用31．（2024高一上·湖南郴州·階段練習(xí)）設(shè)集合，；(1)用列舉法表示集合；(2)若是的充要條件，求實(shí)數(shù)的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）直接解方程即可；（2）根據(jù)條件得，可得是方程的根，進(jìn)而可得實(shí)數(shù)的值.【詳解】（1）集合，即；（2）由已知，，若是的充要條件，則，，.32．（2024高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）若“1<xm<1”成立的充分不必要條件是“<x<”，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先化簡(jiǎn)不等式為m1<x<m+1，再由題意知，且，根據(jù)子集關(guān)系列式解得參數(shù)范圍即可.【詳解】不等式1<xm<1等價(jià)于：m1<x<m+1，由題意得“<x<”是“1<xm<1”成立的充分不必要條件，所以，且，所以，且等號(hào)不能同時(shí)成立，解得.故選：B.33．（2024高三上·甘肅金昌·階段練習(xí)）若p：是q：（）的必要而不充分條件，則實(shí)數(shù)a的值為（

）A． B．或 C． D．或【答案】D【分析】根據(jù)題意確定q可以推得P，但p不能推出q，由此可得到關(guān)于a的等式，求得答案.【詳解】p：，即或，q：∵，∴，由題意知p：是q：（）的必要而不充分條件，則，或，解得，或，故選：D.34．（2024高二上·海南三亞·期中）已知命題，命題.（1）若是的充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.（2）是否存在實(shí)數(shù)，使得是的充要條件？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）；（2）不存在，理由見(jiàn)解析.【分析】（1）由已知得，分為或兩種情況來(lái)討論，建立不等式（組），求解可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.（2）由已知可得，根據(jù)集合相等建立不等式組可得結(jié)論.【詳解】（1）集合，集合.因?yàn)槭堑某浞謼l件，所以，∴集合可以分為或兩種情況來(lái)討論：當(dāng)時(shí)，滿足題意，此時(shí)，解得：；當(dāng)時(shí)，要使成立，需滿足，綜上所得，實(shí)數(shù)的取值范圍.（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得是的充要條件，那么，則必有，解得，綜合得無(wú)解.故不存在實(shí)數(shù)，使得，即不存在實(shí)數(shù)，使得是的充要條件.【點(diǎn)睛】本題考查充分必要條件，集合間的關(guān)系，根據(jù)集合間的關(guān)系求參數(shù)的范圍，屬于中檔題.（三）探求充要條件一般有兩種方法(1)先尋找必要條件，即將探求充要條件的對(duì)象視為結(jié)論，尋找使之成立的條件；再證明此條件是該對(duì)象的充分條件，即從充分性和必要性兩方面說(shuō)明．(2)將原命題進(jìn)行等價(jià)變形或轉(zhuǎn)換，直至獲得其成立的充要條件，探求的過(guò)程同時(shí)也是證明的過(guò)程，因?yàn)樘角筮^(guò)程每一步都是等價(jià)的，所以不需要將充分性和必要性分開(kāi)來(lái)證．題型4：探索命題為真的一個(gè)充分、必要、充要條件41．（2024高一上·廣東佛山·階段練習(xí)）關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)解的一個(gè)必要不充分條件的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由可得，根據(jù)充分、必要條件的定義，結(jié)合選項(xiàng)即可求解.【詳解】因?yàn)橐辉畏匠逃袑?shí)根，所以，解得.又是的真子集，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：A42．（2024高一·江蘇·假期作業(yè)）可以作為關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)解的一個(gè)必要條件的是A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)解的充要條件，結(jié)合選項(xiàng)得出其必要條件．【詳解】因?yàn)殛P(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)解，所以，解得，而可以推出，所以可以作為關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)解的一個(gè)必要條件，故選：A．43．（2024高一上·貴州·階段練習(xí)）若，則的一個(gè)充分不必要條件為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】選項(xiàng)是的充分不必要條件，則選項(xiàng)的范圍是的子集，以此判斷選項(xiàng)是否滿足條件.【詳解】依題意可知選項(xiàng)是的充分不必要條件，則選項(xiàng)的范圍是的子集，對(duì)于選項(xiàng)A，不是的子集，故A不滿足；對(duì)于選項(xiàng)B，不是的子集，故B不滿足；對(duì)于選項(xiàng)C，不是的子集，故C不滿足；對(duì)于選項(xiàng)D，不是的子集，故D滿足.故選：D44．（2024高一·全國(guó)·專題練習(xí)）寫出關(guān)于，，的等式成立的一個(gè)充要條件：．【答案】【分析】將化簡(jiǎn)即可得到答案.【詳解】將等式整理得，即，即．故原式的等價(jià)于：．故答案為：（四）充要條件的證明（1）證明充分性；（2）證明必要性．題型5：充要條件的證明51．（2024高一上·上海長(zhǎng)寧·期中）求證：等式對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立的充要條件是.【答案】證明見(jiàn)解析.【分析】利用充分性和必要性的定義證明即可.【詳解】充分性：若，則等式顯然對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，充分性成立；必要性：由于等式對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，分別將，，代入可得，解得，必要性成立，故等式對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立的充要條件是.52．（2024高一·江蘇·假期作業(yè)）求證：方程有兩個(gè)同號(hào)且不相等實(shí)根的充要條件是.【答案】證明見(jiàn)解析【分析】由，可得，且，證明充分性；令，解不等式組求出m的范圍，可證明必要性.【詳解】充分性：∵，∴方程的判別式，且，∴方程有兩個(gè)同號(hào)且不相等的實(shí)根．必要性：若方程有兩個(gè)同號(hào)且不相等的實(shí)根，則有，解得.綜上，方程有兩個(gè)同號(hào)且不相等的實(shí)根的充要條件是.53．（2024高三·全國(guó)·對(duì)口高考）設(shè)a，b，c為的三邊，求方程與有公共根的充要條件．【答案】答案見(jiàn)詳解【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義，先求出方程與有公共根的條件，然后證明充分性即可.【詳解】必要性：設(shè)方程與的公共根為，則，，兩式相加得（舍去），將代入，得，整理得.所以.充分性：當(dāng)時(shí)，，于是等價(jià)于，所以，該方程有兩根，.同樣等價(jià)于，所以，該方程亦有兩根，.顯然，兩方程有公共根.故方程與有公共根的充要條件是.54．（2024高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知，設(shè)二次函數(shù)，其中a，c均為實(shí)數(shù).證明:對(duì)于任意，均有成立的充要條件是.【答案】證明見(jiàn)解析【分析】根據(jù)充要條件定義證明即可.【詳解】因?yàn)椋院瘮?shù)圖像的對(duì)稱軸方程為直線，且，所以.先證充分性:因?yàn)椋?，所?再證必要性:因?yàn)?，所以只需即?即，從而.綜上可知，對(duì)于任意，均有成立的充要條件是.一、單選題1．（2024高一上·湖南常德·階段練習(xí)）命題“”是真命題的充要條件是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)槊}“”是真命題，所以在上恒成立，所以，即，所以命題“”是真命題的充要條件是.故選：C2．（2024高一上·全國(guó)·單元測(cè)試）設(shè)：或；：或，則是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】分別寫出對(duì)應(yīng)的取值范圍，再由范圍大小即可確定選項(xiàng).【詳解】根據(jù)題意可得，，易知是的真子集，所以，因此，是的充分不必要條件.故選：A3．（2024高一上·江蘇連云港·階段練習(xí)）已知下列所給的各組，中，是的充要條件的為（

）A．，B．：兩個(gè)三角形全等，：兩個(gè)三角形的兩邊及其夾角分別對(duì)應(yīng)相等C．，D．：兩直角三角形的斜邊相等，：兩直角三角形全等【答案】B【分析】直接利用充分條件和必要條件判斷A、B、C、D的結(jié)論．【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，，解得：或，所以，但，故為的充分不必要條件，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：根據(jù)全等三角形的性質(zhì)及判定可知，，故是的充要條件，故B正確；C選項(xiàng)，由可得或，，則為的充分不必要條件，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，兩直角三角形全等，則兩直角三角形的斜邊相等，但兩直角三角形的斜邊相等，但兩直角三角形不一定全等，例如：中，，斜邊，中，，則斜邊，故為的必要不充分條件．故選：B．4．（2024高二下·福建·學(xué)業(yè)考試）“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】由充分條件和必要條件的定義求解即可.【詳解】由可得，由可得，所以“”是“”的充要條件.故選：C.5．（2024高三上·江蘇連云港·期中）設(shè)x，，則“”的充要條件是（

）A．不都為1 B．都不為1 C．都不為0 D．中至多有一個(gè)是1【答案】B【分析】將化簡(jiǎn)，可得到其等價(jià)命題，即可得答案.【詳解】因?yàn)榧?，即，即等價(jià)于且，故“”的充要條件是都不為1，故選：B.6．（2024高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知集合M，P，則“或”是“”的（

）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】或即，再利用與之間的關(guān)系即可判斷出結(jié)論.【詳解】由或得，又，∴或不能推出，能推出或.則“或”是“”的必要不充分條件.故選：A.7．（2024高一上·吉林遼源·期末）“”是“”的（

）條件A．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要【答案】B【分析】取滿足，不滿足，不充分；當(dāng)時(shí)，一定成立，必要，得到答案.【詳解】取滿足，不滿足，不充分；當(dāng)時(shí)，一定成立，必要.故“”是“”的必要不充分條件.故選：B8．（2024高一上·云南·期末）已知、，且，則“”是“”成立的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．既不充分也不必要條件 D．充要條件【答案】C【分析】利用特殊值法結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷可得出結(jié)論.【詳解】取，，則，但，即“”“”；取，，則，但，即“”“”.所以，“”是“”成立的既不充分也不必要條件，C對(duì).故選：C.9．（2024·北京·一模）如果對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，例如[π]＝3，[0.6]＝0，[－1.6]＝－2，那么“[x]＝[y]”是“|x－y|＜1”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分又不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)高斯函數(shù)的定義以及充分必要條件的定義推導(dǎo)即可.【詳解】如果，則有，，所以是的充分條件；反之，如果，比如，則有，根據(jù)定義，，即不是必要條件，故是的充分不必要條件；故選：A.10．（2024高一下·湖北黃岡·期中）若集合，，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】由，可得，解得，即可判斷出結(jié)論．【詳解】由，可得，解得，因?yàn)?，所以是“”的充分不必要條件.故選：A．11．（2024高一上·北京西城·期中）設(shè)x＞0，y∈R，則“x＞|y|”是“x＞y”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】分、先判斷是否滿足充分性，再判斷是否滿足必要性，即可得答案.【詳解】解：當(dāng)時(shí)，由x＞|y|可得；當(dāng)時(shí)，由x＞|y|可得；故充分性滿足；當(dāng)時(shí)，由可得；當(dāng)時(shí)，由，x＞0，不可得，如，但，故必要性不滿足；所以“x＞|y|”是“x＞y”的充分不必要條件.故選：A.12．（2024·山西·一模）王昌齡是盛唐著名的邊塞詩(shī)人，被譽(yù)為“七絕圣手”，其詩(shī)作《從軍行》中的詩(shī)句“青海長(zhǎng)云暗雪山，孤城遙望玉門關(guān)．黃沙百戰(zhàn)穿金甲，不破樓蘭終不還”傳誦至今．由此推斷，其中最后一句“返回家鄉(xiāng)”是“攻破樓蘭”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】由題意，“不破樓蘭”可以推出“不還”，但是反過(guò)來(lái)“不還”的原因有多種，按照充分條件、必要條件的定義即可判斷【詳解】由題意，“不破樓蘭終不還”即“不破樓蘭”是“不還”的充分條件，即“不破樓蘭”可以推出“不還”，但是反過(guò)來(lái)“不還”的原因有多種，比如戰(zhàn)死沙場(chǎng)；即如果已知“還”，一定是已經(jīng)“破樓蘭”，所以“還”是“破樓蘭”的充分條件故選：A13．（2024高一上·浙江·期中）設(shè)x為任一實(shí)數(shù)，[x]表示不大于x的最大整數(shù)，例如，，，那么“”是“”的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分又不必要條件【答案】C【分析】根據(jù)充分條件和必要條件定義判斷即可.【詳解】充分性：當(dāng)，時(shí)，但，，充分性不成立.必要性：設(shè)，令，則，，由此可得，即，必要性成立.故”是“的必要不充分條件.故選:C14．（2024高一上·河北張家口·期中）命題“”為真命題的一個(gè)充分不必要條件是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意得到命題的一個(gè)充要條件，然后將充分不必要條件轉(zhuǎn)化為真子集，再結(jié)合選項(xiàng)即可得到結(jié)果.【詳解】命題“”為真命題，可化為“”恒成立，即只需，所以命題“”為真命題的一個(gè)充要條件是，而要找的一個(gè)充分不必要條件即為集合的真子集，由選項(xiàng)可知A符合題意.故選:A.15．（2024高一上·遼寧·期中）使得不等式“”成立的一個(gè)必要不充分條件是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出成立的充要條件為：，再由必要不充分條件的定義逐一判斷即可.【詳解】解：由，可得，所以，解得，即成立的充要條件為：，對(duì)于A，由，得，是“”成立的充分不必要條件；對(duì)于B，由，得，是“”成立的充要條件；對(duì)于C，是“”成立的必要不充分條件；對(duì)于D，，得或，是“”成立的既不充分也不必要條件.故選：C.16．（2024高一下·安徽·期中）命題“，”為真命題的一個(gè)充分不必要條件是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求命題“”為真命題的等價(jià)條件，再結(jié)合充分不必要的定義逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】因?yàn)闉檎婷}，所以或，對(duì)A，是命題“”為真命題的充分不必要條件，A對(duì)，對(duì)B，是命題“”為真命題的充要條件，B錯(cuò)，對(duì)C，是命題“”為真命題的必要不充分條件，C錯(cuò)，對(duì)D，是命題“”為真命題的必要不充分條件，D錯(cuò)，故選：A17．（2024高一上·四川綿陽(yáng)·階段練習(xí)）下列“若,則”形式的命題中，是的必要條件的有（

）個(gè)①若是偶數(shù),則是偶數(shù)②若，則方程有實(shí)根③若四邊形的對(duì)角線互相垂直,則這個(gè)四邊形是菱形④若，則A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】根據(jù)必要條件的概念找出符合要求的選項(xiàng)即可.【詳解】對(duì)于①，是偶數(shù)，不能保證，均是偶數(shù)，也有可能都是奇數(shù)，故①不符合題意；對(duì)于②，若方程，則需滿足，即，可推出，故②符合題意；對(duì)于③，若四邊形是菱形，則四邊形對(duì)角線互相垂直，故③符合題意；對(duì)于④，若，則，故④符合題意.故選：D.二、多選題18．（2024高一上·河北滄州·階段練習(xí)）若M、N是全集I的真子集，下面四個(gè)命題m，n，s，t是命題充要條件的是（

），，，A．m B．n C．s D．t【答案】AC【分析】把條件具體化，結(jié)合充要條件即可作出判斷.【詳解】解：由得圖，對(duì)于A，，易知等價(jià)于，m是p的充要條件；對(duì)于B，，易知等價(jià)于，n不是p的充要條件；對(duì)于C，，易知等價(jià)于，s是p的充要條件；對(duì)于D，M、N是全集I的真子集，不成立，t不是p的充要條件.故是p的充要條件的有m，s，故選：AC.19．（2024高一上·海南?？凇るA段練習(xí)）若是的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)a的值可以是（

）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】根據(jù)是的充分不必要條件可得，求得a的范圍，可得答案.【詳解】由題意可知是的充分不必要條件，則，故，故a的值可取，故選：BCD.20．（2024高一上·安徽六安·期中）命題“一元二次方程的一個(gè)實(shí)根大于1，另一個(gè)實(shí)根小于1”為真命題的一個(gè)充分不必要條件可以是（

）．A． B． C． D．【答案】AC【分析】先由方程的一個(gè)實(shí)根大于1，另一個(gè)實(shí)根小于1，求出的取值范圍，然后再利用充分不必要條件的定義分析判斷即可.【詳解】令，因?yàn)橐辉畏匠痰囊粋€(gè)實(shí)根大于1，另一個(gè)實(shí)根小于1，所以，所以，解得，所以命題“一元二次方程的一個(gè)實(shí)根大于1，另一個(gè)實(shí)根小于1”為真命題的一個(gè)充分不必要條件為的一個(gè)真子集即可，所以AC符合條件，故選：AC.21．（2024高一上·安徽蕪湖·期中）使不等式成立的一個(gè)充分不必要條件是（

）A． B． C． D．【答案】CD【分析】解出不等式，進(jìn)而可判斷出其一個(gè)充分不必要條件．【詳解】由題意，不等式，，解得，故不等式的解集為：，則其一個(gè)充分不必要條件可以是，或.故選：CD.22．（2024高一上·河北滄州·階段練習(xí)）已知集合或，則的必要不充分條件可能是（

）A． B． C． D．【答案】AB【分析】分別在、的情況下，根據(jù)求得的范圍，即為的充要條件，再根據(jù)選項(xiàng)即可得解．【詳解】解：因?yàn)榧匣?，?dāng)時(shí)，，解得，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，解得，若，則，解得，又，則，則的充要條件為，所以的必要不充分條件可能是，，故選：AB．23．（2024高一上·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）下列命題中，真命題的是（

）A．若且則至少有一個(gè)大于 B．C．的充要條件是 D．至少有一個(gè)實(shí)數(shù)，使得【答案】ABD【分析】假設(shè)，中沒(méi)有一個(gè)大于得，與矛盾可判斷A；可判斷B；取時(shí)可判斷C；取可判斷D.【詳解】對(duì)于A，假設(shè)，中沒(méi)有一個(gè)大于2，即，，則，與矛盾，故A正確；對(duì)于B，由即，則，故在上恒成立，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，推不出，必要性不成立，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)，此時(shí)，所以至少有一個(gè)實(shí)數(shù)，使得，故D正確.故選：ABD.三、填空題24．（2024高一上·云南大理·期末）若“不等式成立”的充要條件為“”，則實(shí)數(shù)的值為.【答案】【分析】解不等式，根據(jù)充要條件的定義可得出關(guān)于的等式，解之即可.【詳解】解不等式得，因?yàn)椤安坏仁匠闪ⅰ钡某湟獥l件為“”，所以，解得，所以，.故答案為：.25．（2024高一上·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）若“”是“”的充要條件，則實(shí)數(shù)m的取值是．【答案】3【分析】先化簡(jiǎn)得，由充要條件可知兩不等式兩端相等，從而可求得m的取值.【詳解】由得，故，因?yàn)椤啊笔恰啊钡某湟獥l件，所以，解得，所以實(shí)數(shù)m的取值是3.故答案為：3.26．（2024高一上·江蘇·課后作業(yè)）如果條件對(duì)應(yīng)的集合為，條件對(duì)應(yīng)的集合為，則（1）若是的充分不必要條件，則；（2）若是的必要不充分條件，則；（3）若是的充分必要條件，則；（4）若是的既不充分又不必要條件，則.【答案】不是B的子集，且也不是A的子集【分析】根據(jù)充分條件、必要條件，充分必要條件和既不充分也不條件與集合間的關(guān)系，即可求解.【詳解】（1）根據(jù)充分不必要條件與集合間的包含關(guān)系，可得；（2）根據(jù)必要不充分條件與集合間的包含關(guān)系，可得；（3）根據(jù)充分必要條件與集合間的包含關(guān)系，可得；（4）根據(jù)既不充分也不必要條件與集合間的關(guān)系，可得不是B的子集，且也不是A的子集.27．（2024高一上·重慶渝中·期末）若成立的一個(gè)充分不必要條件是，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.【答案】[0，3]【分析】用集合的思想來(lái)分析充分不必要條件即可求解.【詳解】由得，∵的充分不必要條件是∴，解得，經(jīng)檢驗(yàn)或3均滿足條件，故答案為：.28．（廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)20232024學(xué)年高一下學(xué)期限時(shí)訓(xùn)練數(shù)學(xué)試題）設(shè)，，若p是q的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【答案】【分析】首先化簡(jiǎn)命題、，分別記所對(duì)應(yīng)的不等式的解集為、，依題意可得，即可得到不等式，解得即可.【詳解】由，解得，即，記；由，解得，即，記，因?yàn)槭堑某浞植槐匾獥l件，所以，即，解得，所以a的取值范圍是.故答案為：.29．（2024高一下·上海青浦·開(kāi)學(xué)考試）已知集合，集合，若命題“”是命題“”的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)充分不必要條件轉(zhuǎn)化為集合的真包含關(guān)系，即可得解.【詳解】因?yàn)槊}“”是命題“”的充分不必要條件，所以集合真包含于集合，又集合，集合，所以.故答案為：30．（上海市徐匯區(qū)20232024學(xué)年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）設(shè)：，：，是的充分條件，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是．【答案】【分析】設(shè)，根據(jù)充分條件的定義結(jié)合包含關(guān)系得出實(shí)數(shù)m的取值范圍.【詳解】設(shè)，因?yàn)槭堑某浞謼l件，所以集合是集合的子集，所以.故答案為：31．（2024高一上·河北石家莊·階段練習(xí)）已知命題關(guān)于x的方程有實(shí)根，若為真命題的充分不必要條件為，則的取值范圍是.【答案】【分析】先由p為假命題得出a的范圍，再根據(jù)是p為假命題的充分不必要條件列出關(guān)于的不等式解之即可.【詳解】由方程有實(shí)數(shù)根可得，即，為真命題，即p為假命題，所以，根據(jù)是p為假命題的充分不必要條件，所以，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：32．（2024高一上·上海長(zhǎng)寧·階段練習(xí)）若或是的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【答案】【分析】根據(jù)“或”是“”的必要不充分條件，得到不等式組，解出即可．【詳解】若“或”是“”的必要不充分條件，則是或的真子集，或，解得：或，故答案為：．33．（2024高一·全國(guó)·單元測(cè)試）設(shè)A，B是有限集，定義，其中表示有限集A中的元素個(gè)數(shù)．則“”是“”的條件．【答案】充分必要【分析】根據(jù)題設(shè)定義，再結(jié)合充分條件和必要條件的判斷方法即可得到結(jié)果.【詳解】若，則，則，故成立，若，則，所以，所以“”是“”的充要條件，故答案為：充分必要34．（2024高一上·天津和平·期中）已知p：x>1或x<3，q：x>a(a為實(shí)數(shù))．若?q的一個(gè)充分不必要條件是?p，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．【答案】【分析】由充分不必要條件的概念轉(zhuǎn)化為集合真子集的關(guān)系求解參數(shù)的取值范圍即可.【詳解】由已知得?p：3≤x≤1，?q：x≤a．設(shè)，若?p是?q的充分不必要條件，則?p??q，?q??p，所以集合是集合的真子集.所以．故答案為：.35．（2024高一下·上海黃浦·期末）已知是的充分非必要條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．【答案】【分析】分別解得和的解集A，B，再根據(jù)“”是“”的充分非必要條件，由真包含于求解.【詳解】由，解得，記，由，解得，記，∵“”是“”的充分非必要條件，∴真包含于，即，解得.故答案為：四、解答題36．（2024高一上·浙江溫州·階段練習(xí)）設(shè).(1)求證：成立的充要條件是.(2)直接寫出成立的充要條件（不要求證明）.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）證明：先證充分性：，討論：i當(dāng)，繼續(xù)討論：①時(shí)，，，所以；②時(shí)，，，所以；③時(shí)，所以；當(dāng)時(shí)，有成立ii當(dāng)，即或①當(dāng)時(shí)，②當(dāng)時(shí)，，，再證必要性：，兩邊平方有：，，綜上：成立的充要條件是.（2）因?yàn)?，所以成立的充要條件.37．（2024高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知，是實(shí)數(shù)，求證：成立的充要條件是.【答案】證明見(jiàn)解析【分析】根據(jù)充要條件的定義分別證明充分性和必要性即可得到結(jié)論．【詳解】解：先證明充分性：若，則成立．所以“”是“”成立的充分條件；再證明必要性：若，則，即，，，，，即成立．所以“”是“”成立的必要條件.綜上：成立的充要條件是．38．（2024高一上·云南紅河·期末）集合，.(1)當(dāng)時(shí)，求；(2)從下面條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍條件①：是的充分條件；條件②：；條件③：.注：答題時(shí)應(yīng)首先說(shuō)明本人所選條件，若選擇多個(gè)條件分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)并集的定義求解；（2）根據(jù)相關(guān)的定義求解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則；（2）若選①，則有，即；若選②，則有；若選③，則有.39．（2024高一·江蘇·假期作業(yè)）已知，關(guān)于的方程有整數(shù)解是真命題，且關(guān)于的一元二次方程有整數(shù)解也是真命題，求的值．【答案】m＝1.【分析】當(dāng)時(shí)，不符合題意，當(dāng)時(shí)，結(jié)合二次函數(shù)的判別式，即可求解．【詳解】當(dāng)時(shí)，方程的解為，方程的解為，不合題意，故，當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程有解，則，解得，關(guān)于的一元二次方程有解，則，解得，綜上所述，且，因?yàn)?，則或1，當(dāng)時(shí)，方程的解不是整數(shù)，不符合題意，舍去，當(dāng)時(shí)，方程和的解均為整數(shù)，滿足題意，故．40．（2024高一上·湖北·階段練習(xí)）在①充分而不必要，②必要而不充分，③充要，這三個(gè)條件中任選一個(gè)條件補(bǔ)充到下面問(wèn)題中，若問(wèn)題中的實(shí)數(shù)存在，求出實(shí)數(shù)的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.問(wèn)題：已知集合A=x1≤x≤5，非空集合.是否存在實(shí)數(shù)，使得是的__________條件？【答案】答案見(jiàn)解析【分析】選擇條件①，根據(jù)是的真子集列不等式求解；選擇條件②：根據(jù)是的真子集列不等式求解；選擇條件③：根據(jù)列方程組求解.【詳解】因?yàn)榧戏强眨?，選擇條件①：因?yàn)槭堑某浞侄槐匾獥l件，所以是的真子集，所以（兩個(gè)等號(hào)不同時(shí)取到），解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.選擇條件②：因?yàn)槭堑谋匾怀浞謼l件，所以是的真子集，

所以有且（兩個(gè)等號(hào)不同時(shí)取到），解得.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.選擇條件③：因?yàn)槭堑某湟獥l件，所以有且，即，此方程組無(wú)解，則不存在實(shí)數(shù)，使得是的充要條件.41．（2024高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知或，為非空集合)，記，，若是的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】【分析】根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為是的非空真子集，列出不等式組，即可求解.【詳解】由題意知，或，為非空集合)，因?yàn)槭堑谋匾怀浞謼l件，所以是的非空真子集，可得或，解得或，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.42．（2024高一·全國(guó)·課后作業(yè)）已知，，若p是q的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】．【分析】由題意可得是的真子集，從而有或，求解即可.【詳解】因?yàn)閜是q的必要不充分條件，所以是的真子集，故有或解得.又，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為．43．（2024高一上·北京西城·階段練習(xí)）已知，p：，q：，若p是q成立的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】【分析】把p是q成立的充分不必要條件，轉(zhuǎn)化為集合A是B的真子集即可．【詳解】設(shè)，，∵p是q成立的充分不必要條件，∴A是B的真子集，則或，解得．∴m的取值范圍是．44．（2024高一上·上海青浦·階段練習(xí)）已知集合．(1)判斷8、9、10是否屬于集合A；(2)已知，證明：“”的充分非必要條件是“”．【答案】(1)，，；(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)集合的定義即可判斷；（2）由即可證明.【詳解】（1）∵，，∴，，假設(shè)，m，，則，且，∵，或，顯然均無(wú)整數(shù)解，∴，∴，，.（2）∵集合，則恒有，∴，∴即一切奇數(shù)都屬于A，又∵，，∴“”的充分不必要條件是“”.45．（2024高一上·安徽淮南·階段練習(xí)）已知集合，．(1)若“，”為假命題，求的取值范圍；(2)求證：至少有2個(gè)子集的充要條件是，或．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）由已知，先求解出集合，然后根據(jù)，將集合分為和兩種情況討論，分別列式求解即可；（2）由已知，先有或，證明至少有2個(gè)子集，即證明充分性，然后再根據(jù)至少有2個(gè)子集，求解參數(shù)的范圍與或比較即可證明其必要性.【詳解】（1）由已知，集合，所以集合．因?yàn)椤?，”為假命題，所以．當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，要使，則，，且，，即，解得或或或．綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍為．（2）證明：充分性：若，或，則至少有2個(gè)子集．當(dāng)，或時(shí)，，方程有解，集合至少有1個(gè)元素，至少有2個(gè)子集，充分性得證；必要性：若至少有2個(gè)子集，則或．若至少有2個(gè)子集，則至少有1個(gè)元素，方程有解，，解得或，必要性得證．綜上，至少有2個(gè)子集的充要條件是或．46．（2024高一·全國(guó)·課后作業(yè)）已知，，求的充要條件.【答案】【分析】依題意方程至少有一個(gè)非負(fù)根，則Δ≥0，即可求出參數(shù)的取值范圍，再求出方程有兩個(gè)負(fù)根時(shí)參數(shù)的取值范圍，從而求出方程至少有一個(gè)非負(fù)根的的取值范圍，即可得解；【詳解】解：的充要條件是方程組至少有一組實(shí)數(shù)解，即方程至少有一個(gè)非負(fù)根，方程有根則，解得.上述方程有兩個(gè)負(fù)根的充要條件是且，即，∴.于是這個(gè)方程至少有一個(gè)非負(fù)根的的取值范圍是.故的充要條件為.47．（2024高一上·江西贛州·周測(cè)）在①是真命題；②是的充分不必要條件；③是真命題；這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到本題第（2）問(wèn)的橫線處，求解下列問(wèn)題.問(wèn)題：已知集合(1)當(dāng)時(shí)，求；(2)若_______，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)答案見(jiàn)解析【分析】（1）直接由交集的運(yùn)算即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，若選擇①，則；若選擇②，則；若選擇③，則，分別列出不等式即可得到結(jié)果.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，集合，則；（2）若選擇①是真命題，則可得，由題可知，則，解得；若選擇②是的充分不必要條件，則可得，由題可知，則或，解得；若選擇③是真命題，則可得，當(dāng)時(shí)，可得或，解得或，所以當(dāng)時(shí)，則.48．（2024高一上·甘肅臨夏·階段練習(xí)）已知條件集合，條件非空集合．(1)若是的必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍．(2)若是的必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍．(3)否存在實(shí)數(shù)，使是的充要條件．【答案】(1)；(2)；(3)不存在.【分析】（1）根據(jù)必要條件的定義可得，進(jìn)而可得，即得；（2）根據(jù)補(bǔ)集的定義及必要條件的定義可得，進(jìn)而即得；（3）根據(jù)充要條件的概念可得，進(jìn)而即得.【詳解】（1）因?yàn)槭堑谋匾獥l件，所以，又，，所以，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是；（2）若是的必要條件，則?，所以，又或，或，所以，解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若是的充要條件，則，所以，方程組無(wú)解，故不存在實(shí)數(shù)，使是的充要條件．49．（2024高一上·安徽淮北·階段練習(xí)）已知集合A=x1<x<3，集合(1)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)命題，命題，若p是q成立的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）討論，兩種情況，結(jié)合交集運(yùn)算的結(jié)果得出實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）由p是q成立的充分不必要條件，得出是的真子集，再由包含關(guān)系得出實(shí)數(shù)的取值范圍．【詳解】（1）由，得①若，即時(shí)，，符合題意；②若，即時(shí)，需或，解得．綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為．（2）由已知是的真子集，知兩個(gè)端不同時(shí)取等號(hào)，解得．由實(shí)數(shù)的取值范圍為．50．（2024高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）（1）已知命題：方程有解，是真命題，求a，b滿足的條件.（2）已知命題：若，則是假命題，求a滿足的條件.【答案】（1）時(shí)，或當(dāng)時(shí)，；（2）【分析】（1）分別討論和時(shí)一元方程有解的a，b滿足的條件；（2）由題意得當(dāng)時(shí)，，即0，根據(jù)不等式的性質(zhì)即可求得a滿足的條件.【詳解】（1）有解當(dāng)時(shí)，有解，只有時(shí)方程的解為.當(dāng)時(shí)，方程有解的條件是，即;綜上，時(shí)，或當(dāng)時(shí)，方程有解；（2）當(dāng)時(shí)，是假命題，當(dāng)時(shí)，，即0,，,..51．（2024高一下·安徽馬鞍山·階段練習(xí)）設(shè)，已知集合，．(1)當(dāng)時(shí)，求實(shí)數(shù)的范圍；(2)設(shè)；，若是的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)的范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意知，4是集合B的元素，代入可得答案；（2）由題可得是的真子集，分類討論為空集和不為空集合兩種情況，即可求得m的取值范圍.【詳解】（1）由題可得，則；（2）由題可得是的真子集，當(dāng)，則；當(dāng)，，則（等號(hào)不同時(shí)成立），解得綜上：.52．（2024高一上·四川涼山·期末）已知集合，(1)當(dāng)時(shí)，求；(2)若______，求實(shí)數(shù)的取值范圍．請(qǐng)從①且；②“”是“”的必要條件；這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)填入（2）中橫線處，并完成第（2）問(wèn)的解答．（如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分）【答案】(1)(2)答案見(jiàn)解析【分析】（1）先求兩個(gè)集合，再求交集；（2）若選擇①，則，再