25.2用列舉法求概率講義教師版

第25章概率初步25.2用列舉法求概率學(xué)習(xí)要求1、會(huì)通過(guò)列舉法分析隨機(jī)事件可能出現(xiàn)的結(jié)果，求出“結(jié)果發(fā)生的可能性相等”的隨機(jī)事件的概率．2、能運(yùn)用列表法和樹(shù)狀圖法計(jì)算一些事件發(fā)生的概率．知識(shí)點(diǎn)一：直接列舉法求概率例1．把1枚質(zhì)地均勻的普通硬幣重復(fù)擲兩次，落地后出現(xiàn)一次正面一次反面的概率是（）A．1 B． C． D．【考點(diǎn)】X6：列表法與樹(shù)狀圖法．【專題】11：計(jì)算題．【分析】列表得出所有等可能的情況數(shù)，找出一次正面一次反面的情況數(shù)，即可求出所求的概率．【解答】解：列表如下：正反正（正，正）（反，正）反（正，反）（反，反）所有等可能的情況有4種，其中一次正面一次反面的情況數(shù)為2種，則P==．故選B．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了列表法與樹(shù)狀圖法，用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．變式1．從長(zhǎng)度分別為2、3、4、5的4條線段中任取3條，能構(gòu)成鈍角三角形的概率為（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】X6：列表法與樹(shù)狀圖法；K6：三角形三邊關(guān)系．【分析】先根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理：三角形兩邊之和大于第三邊判斷出有幾個(gè)符合條件的三角形，然后再根據(jù)概率公式求解即可．【解答】解：可能的結(jié)果有4種：2，3，4；2，3，5；2，4，5；3，4，5．其中，可以構(gòu)成鈍角三角形的有2種情形：2，3，4；2，4，5．∴能組成三角形的概率為2÷4=，故選B．【點(diǎn)評(píng)】考查了概率的求法即三角形的三邊關(guān)系，用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比；三角形三邊關(guān)系定理：三角形兩邊之和大于第三邊．變式2．小紅上學(xué)要經(jīng)過(guò)兩個(gè)十字路口，每個(gè)路口遇到紅、綠燈的機(jī)會(huì)都相同，小紅希望上學(xué)時(shí)經(jīng)過(guò)每個(gè)路口都是綠燈，但實(shí)際這樣的機(jī)會(huì)是（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】X6：列表法與樹(shù)狀圖法．【分析】列舉出所有情況，看每個(gè)路口都是綠燈的情況數(shù)占總情況數(shù)的多少即可．【解答】解：共4種情況，有1種情況每個(gè)路口都是綠燈，所以概率為．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】考查概率的求法；用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比；得到每個(gè)路口都是綠燈的情況數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．變式3．學(xué)校組織初三數(shù)學(xué)備課組全體教師去外校聽(tīng)課，安排了兩輛車(chē)，按1～2編號(hào)，程、李兩位教師可任意選坐一輛車(chē)．（1）用畫(huà)樹(shù)狀圖的方法或列表法列出所有可能的結(jié)果；（2）求程、李兩位教師同坐2號(hào)車(chē)的概率．【考點(diǎn)】X6：列表法與樹(shù)狀圖法．【分析】（1）依據(jù)題意列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖法分析所有等可能的出現(xiàn)結(jié)果即可，（2）根據(jù)概率公式程、李兩位教師同坐2號(hào)車(chē)的概率．【解答】解：（1）畫(huà)樹(shù)形圖得：（2）由（1）可知P（程、李兩位教師同坐2號(hào)車(chē)）=．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是用列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖法求概率．列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．變式4．在2017年“KFC”乒乓球賽進(jìn)校園活動(dòng)中，某校甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行決賽，比賽規(guī)則規(guī)定：兩隊(duì)之間進(jìn)行3局比賽，3局比賽必須全部打完，只要贏2局的隊(duì)為獲勝隊(duì)，假如甲、乙兩隊(duì)之間每局比賽輸贏的機(jī)會(huì)相同，且乙隊(duì)已經(jīng)贏得了第1局比賽．（1）列表或畫(huà)樹(shù)狀圖表示乙隊(duì)所有比賽結(jié)果的可能性；（2）求乙隊(duì)獲勝的概率．【考點(diǎn)】X6：列表法與樹(shù)狀圖法．【專題】11：計(jì)算題．【分析】（1）畫(huà)樹(shù)狀圖展示所有4種等可能的結(jié)果數(shù)；（2）找出乙隊(duì)贏滿兩局的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解．【解答】解：（1）畫(huà)樹(shù)狀圖為：共有4種等可能的結(jié)果數(shù)；（2）乙隊(duì)贏滿兩局的結(jié)果數(shù)為3，乙所以隊(duì)獲勝的概率=．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了列表法與樹(shù)狀圖法：利用列表法或樹(shù)狀圖法展示所有等可能的結(jié)果n，再?gòu)闹羞x出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．知識(shí)點(diǎn)二：列表法求概率例2．如圖1，一枚質(zhì)地均勻的正四面體骰子，它有四個(gè)面并分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4．如圖2，正方形ABCD頂點(diǎn)處各有一個(gè)圈．跳圈游戲的規(guī)則為：游戲者每擲一次骰子，骰子著地一面上的數(shù)字是幾，就沿正方形的邊順時(shí)針?lè)较蜻B續(xù)跳幾個(gè)邊長(zhǎng)．如：若從圈A起跳，第一次擲得3，就順時(shí)針連續(xù)跳3個(gè)邊長(zhǎng)，落到圈D；若第二次擲得2，就從D開(kāi)始順時(shí)針連續(xù)跳2個(gè)邊長(zhǎng)，落到圈B；…設(shè)游戲者從圈A起跳．（1）嘉嘉隨機(jī)擲一次骰子，求落回到圈A的概率P1；（2）淇淇隨機(jī)擲兩次骰子，用列表法求最后落回到圈A的概率P2，并指出她與嘉嘉落回到圈A的可能性一樣嗎？【考點(diǎn)】X6：列表法與樹(shù)狀圖法；X4：概率公式．【分析】（1）由共有4種等可能的結(jié)果，落回到圈A的只有1種情況，直接利用概率公式求解即可求得答案；（2）首先根據(jù)題意列出表格，然后由表格求得所有等可能的結(jié)果與最后落回到圈A的情況，再利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：（1）∵共有4種等可能的結(jié)果，落回到圈A的只有1種情況，∴落回到圈A的概率P1=；（2）列表得：12341（1，1）（2，1）（3，1）（4，1）2（1，2）（2，2）（3，2）（4，2）3（1，3）（2，3）（3，3）（4，3）4（1，4）（2，4）（3，4）（4，4）∵共有16種等可能的結(jié)果，最后落回到圈A的有（1，3），（2，2）（3，1），（4，4），∴最后落回到圈A的概率P2==，∴她與嘉嘉落回到圈A的可能性一樣．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了列表法或樹(shù)狀圖法求概率．注意隨機(jī)擲兩次骰子，最后落回到圈A，需要兩次和是4的倍數(shù)．變式1．將A，B兩男選手和C、D兩女選手隨機(jī)分成甲、乙兩組參加乒乓球比賽，每組2人．（1）求男女混合選手在甲組的概率；（2）求兩個(gè)女選手在同一組的概率．【考點(diǎn)】X6：列表法與樹(shù)狀圖法．【分析】（1）首先根據(jù)題意列出表格，然后由樹(shù)狀圖求得所有等可能的結(jié)果與男女混合選手在甲組的情況，再利用概率公式即可求得答案；（2）由（1）可求得兩個(gè)女選手在同一組的情況，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：（1）所有等可能的結(jié)果如下：甲組乙組結(jié)果ABCD（AB，CD）ACBD（AC，BD）ADBC（AD，BC）BCAD（BC，AD）BDAC（BD，AC）CDAB（CD，AB）∵共有6種等可能的結(jié)果，男女混合選手在甲組的有4種情況，∴男女混合選手在甲組的概率為：=；（2）∵兩個(gè)女選手在同一組的有2種情況，∴兩個(gè)女選手在同一組的概率為：=．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了列表法或樹(shù)狀圖法求概率．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．變式2．現(xiàn)有三張反面朝上的撲克牌：紅桃2、紅桃3、黑桃4．把牌洗勻后第一次抽取一張，記好花色和數(shù)字后將牌放回，重新洗勻第二次再抽取一張．（1）求兩次抽得相同花色的概率；（2）求兩次抽得的數(shù)字和是奇數(shù)的概率．（提示：三張撲克牌可以分別簡(jiǎn)記為紅2、紅3、黑4）【考點(diǎn)】X6：列表法與樹(shù)狀圖法．【分析】利用列表法將兩次抽撲克的情況列舉出來(lái)，再找出（1）、（2）兩種情況下出現(xiàn)的次數(shù)，由此即可得出結(jié)論．【解答】解：三張撲克牌可以分別簡(jiǎn)記為紅2、紅3、黑4，共有9種不同結(jié)果，如圖所示．（1）∵兩次抽得相同花色有5種情況，∴兩次抽得相同花色的概率為．（2）∵兩次抽得的數(shù)字和是奇數(shù)有4種情況，∴兩次抽得的數(shù)字和是奇數(shù)的概率為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了列表法與樹(shù)狀圖法，解題的關(guān)鍵是根據(jù)兩次抽撲克的情況列出表格．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，熟練利用列表法求出事件的概率是關(guān)鍵．變式3．班主任老師讓同學(xué)們?yōu)榘鄷?huì)活動(dòng)設(shè)計(jì)一個(gè)抽獎(jiǎng)方案，擬使中獎(jiǎng)概率為60%．（1）小明的設(shè)計(jì)方案：在一個(gè)不透明的盒子中，放入10個(gè)球，這些球除顏色外都相同，攪勻后從中任意摸出1個(gè)球，摸到黃球則表示中獎(jiǎng)，否則不中獎(jiǎng)．如果小明的設(shè)計(jì)符合老師要求，則盒子中黃球應(yīng)有6個(gè)，白球應(yīng)有4個(gè)；（2）小兵的設(shè)計(jì)方案：在一個(gè)不透明的盒子中，放入4個(gè)黃球和1個(gè)白球，這些球除顏色外都相同，攪勻后從中任意摸出2個(gè)球，摸到的2個(gè)球都是黃球則表示中獎(jiǎng)，否則不中獎(jiǎng)．該設(shè)計(jì)方案是否符合老師的要求？試說(shuō)明理由．【考點(diǎn)】X6：列表法與樹(shù)狀圖法；X4：概率公式．【分析】（1）利用在一個(gè)不透明的盒子中，放入10個(gè)球，這些球除顏色外都相同，攪勻后從中任意摸出1個(gè)球，摸到黃球則表示中獎(jiǎng)，即摸到黃球的概率為：60%，求出黃球個(gè)數(shù)即可得出答案．（2）依據(jù)題意先用列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖法分析所有等可能的出現(xiàn)結(jié)果，然后根據(jù)概率公式求出該事件的概率．【解答】解：（1）∵班主任老師讓同學(xué)們?yōu)榘鄷?huì)活動(dòng)設(shè)計(jì)一個(gè)抽獎(jiǎng)方案，擬使中獎(jiǎng)概率為60%，∴在一個(gè)不透明的盒子中，放入10個(gè)球，這些球除顏色外都相同，攪勻后從中任意摸出1個(gè)球，摸到黃球則表示中獎(jiǎng)，即摸到黃球的概率為：60%，設(shè)黃球?yàn)閤個(gè)，則：=60%，解得：x=6，故白球應(yīng)有4個(gè)，∴則盒子中黃球應(yīng)有6個(gè)，白球應(yīng)有4個(gè)；故答案為：6，4；（2）如下表所示：黃1黃2黃3黃4白黃1黃1黃2黃1黃3黃1黃4黃1白黃2黃2黃1黃2黃3黃2黃4黃2白黃3黃1黃3黃2黃3黃3黃4黃3白黃4黃1黃4黃2黃4黃3黃4黃4白白黃1白黃2白黃3白黃4白根據(jù)表格得到所有情況為20種，摸到的2個(gè)球都是黃球的情況一共有12種，故摸到的2個(gè)球都是黃球的概率為：=60%，故該設(shè)計(jì)方案符合老師的要求．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了用列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖法求概率．列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．變式4．一個(gè)不透明的布袋里裝有3個(gè)完全相同的小球，每個(gè)球上面分別標(biāo)有數(shù)字﹣1、0、1，小明先從布袋中隨機(jī)抽取一個(gè)小球，然后放回?cái)噭?，再?gòu)牟即须S機(jī)抽取一個(gè)小球，求第一次得到的數(shù)與第二次得到的數(shù)絕對(duì)值相等的概率（請(qǐng)用“畫(huà)樹(shù)狀圖”或“列表”等方法寫(xiě)出分析過(guò)程）．【考點(diǎn)】X6：列表法與樹(shù)狀圖法．【分析】根據(jù)題意畫(huà)出樹(shù)狀圖，然后根據(jù)概率公式列式進(jìn)行計(jì)算即可得解．【解答】解：樹(shù)狀圖如下：所有可能出現(xiàn)的結(jié)果共有9種，其中滿足條件的結(jié)果有5種∴P（所得的兩數(shù)的絕對(duì)值相等）=．或列表格如下：第一次第二次﹣101﹣1（﹣1，﹣1）（﹣1，0）（﹣1，1）0（0，﹣1）（0，0）（0，1）1（1，﹣1）（1，0）（1，1）所有可能出現(xiàn)的結(jié)果共有9種，其中滿足條件的結(jié)果有5種，∴P（所得的兩數(shù)的絕對(duì)值相等）=，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是用列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖法求概率．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．變式5．有2個(gè)信封A、B，信封A裝有四張卡片上分別寫(xiě)有1、2、3、4，信封B裝有三張卡片分別寫(xiě)有5、6、7，每張卡片除了數(shù)字沒(méi)有任何區(qū)別．從這兩個(gè)信封中隨機(jī)抽取兩張卡片．（1）請(qǐng)你用列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖的方法描述所有可能的結(jié)果；（2）把卡片上的兩個(gè)數(shù)相加，求“得到的和是3的倍數(shù)”的概率．【考點(diǎn)】X6：列表法與樹(shù)狀圖法．【分析】（1）利用列表法展示所有12種等可能性的結(jié)果數(shù)；（2）找出所得的兩個(gè)數(shù)字之和為3的倍數(shù)的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式計(jì)算．【解答】解：（1）列表如下：A盤(pán)B盤(pán)123451，52，53，54，561，62，63，64，671，72，73，74，7由上表可知一次共有12中不同結(jié)果；（2）由（1）得到共有12種等可能性的結(jié)果數(shù)，其中“所得的兩個(gè)數(shù)字之和為3的倍數(shù)”（記為事件A）的結(jié)果有4個(gè)，所以所求的概率P（A）==．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了列表法與樹(shù)狀圖法：利用列表法或樹(shù)狀圖法展示所有可能的結(jié)果數(shù)，再找出某事件所占有的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式計(jì)算這個(gè)事件的概率．變式6．五?一期間，某商場(chǎng)開(kāi)展購(gòu)物抽獎(jiǎng)活動(dòng)，在不透明的抽獎(jiǎng)箱中有4個(gè)分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4的小球，每個(gè)小球除數(shù)字外其余都相同．顧客隨機(jī)抽取一個(gè)小球，不放回，再隨機(jī)摸取一個(gè)小球，若兩次摸出球的數(shù)字之和為“7”，則抽中一等獎(jiǎng)，請(qǐng)用畫(huà)樹(shù)狀圖（或列表）的方法，求顧客抽中一等獎(jiǎng)的概率．【考點(diǎn)】X6：列表法與樹(shù)狀圖法．【分析】首先根據(jù)題意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的結(jié)果與顧客抽中一等獎(jiǎng)的情況，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：列表得：第一次結(jié)果第二次12341﹣34523﹣56345﹣74567﹣∵共有12種等可能的結(jié)果，顧客抽中一等獎(jiǎng)的有2種情況，∴P（顧客抽中一等獎(jiǎng)）=．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是用列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖法求概率．注意列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．變式7．在不透明的布袋中裝有1個(gè)白球，2個(gè)紅球，它們除顏色外其余完全相同．（1）從袋中任意摸出兩個(gè)球，試用樹(shù)狀圖或表格列出所有等可能的結(jié)果，并求摸出的球恰好是兩個(gè)紅球的概率；（2）若在布袋中再添加x個(gè)白球，充分?jǐn)噭?，從中摸出一個(gè)球，使摸到白球的概率為，求添加的白球個(gè)數(shù)x．【考點(diǎn)】X6：列表法與樹(shù)狀圖法；X4：概率公式．【專題】11：計(jì)算題．【分析】（1）列表得出所有等可能的情況數(shù)，找出恰好是兩個(gè)紅球的情況數(shù)，即可求出所求的概率；（2）根據(jù)概率公式列出關(guān)于x的方程，求出方程的解即可得到結(jié)果．【解答】解：（1）列表如下：白紅紅白﹣﹣﹣（紅，白）（紅，白）紅（白，紅）﹣﹣﹣（紅，紅）紅（白，紅）（紅，紅）﹣﹣﹣所有等可能的情況有6種，其中恰好為兩個(gè)紅球的情況有2種，則P（兩個(gè)紅球）=；（2）根據(jù)題意得：=，解得：x=2，經(jīng)檢驗(yàn)是分式方程的解，則添加白球的個(gè)數(shù)x=2．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了列表法與樹(shù)狀圖法，用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．知識(shí)點(diǎn)三：畫(huà)樹(shù)狀圖求概率例3．不透明的袋子里裝有2個(gè)紅球和1個(gè)白球，這些球除了顏色外都相同．從中任意摸一個(gè)，放回?fù)u勻，再?gòu)闹忻粋€(gè)，則兩次摸到球的顏色相同的概率是（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】X6：列表法與樹(shù)狀圖法．【分析】列舉出所有情況，看兩次摸到球的情況占總情況的多少即可．【解答】解：易得共有3×3=9種可能，兩次摸到球的顏色相同的有5種，所以概率是．故選B．【點(diǎn)評(píng)】如果一個(gè)事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結(jié)果，那么事件A的概率P（A）=．變式1．如圖，現(xiàn)分別旋轉(zhuǎn)兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的轉(zhuǎn)盤(pán)，則轉(zhuǎn)盤(pán)所轉(zhuǎn)到的兩個(gè)數(shù)字之積為奇數(shù)的概率是（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】X6：列表法與樹(shù)狀圖法．【分析】列表將所有等可能的結(jié)果列舉出來(lái)利用概率公式求解即可．【解答】解：列表得：根據(jù)題意分析可得：共6種情況；為奇數(shù)的2種．故P（奇數(shù)）==．【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是列表法與樹(shù)狀圖法．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．變式2．一個(gè)不透明的口袋中有3個(gè)小球，上面分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，每個(gè)小球除數(shù)字外其他都相同，甲先從口袋中隨機(jī)摸出一個(gè)小球，記下數(shù)字后放回；乙再?gòu)目诖须S機(jī)摸出一個(gè)小球記下數(shù)字，用畫(huà)樹(shù)狀圖（或列表）的方法，求摸出的兩個(gè)小球上的數(shù)字之和為偶數(shù)的概率．【考點(diǎn)】X6：列表法與樹(shù)狀圖法．【分析】首先根據(jù)題意畫(huà)出樹(shù)狀圖，然后由樹(shù)狀圖求得所有等可能的結(jié)果與摸出的兩個(gè)小球上的數(shù)字之和為偶數(shù)的情況，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：畫(huà)樹(shù)狀圖得：∵共有9種等可能的結(jié)果，摸出的兩個(gè)小球上的數(shù)字之和為偶數(shù)的有5種情況，∴摸出的兩個(gè)小球上的數(shù)字之和為偶數(shù)的概率為：．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了列表法或樹(shù)狀圖法求概率．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．變式3．我校開(kāi)展“文明小衛(wèi)士”活動(dòng)，從學(xué)生會(huì)“督查部”的3名學(xué)生（2男1女）中隨機(jī)選兩名進(jìn)行督查．（1）請(qǐng)補(bǔ)全如下的樹(shù)狀圖；（2）求恰好選中兩名男學(xué)生的概率．【考點(diǎn)】X6：列表法與樹(shù)狀圖法．【分析】（1）首先根據(jù)題意補(bǔ)全樹(shù)狀圖；（2）由（1）中的樹(shù)狀圖可求得所有等可能的結(jié)果與恰好選中兩名男學(xué)生的情況，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：（1）補(bǔ)全如下的樹(shù)狀圖：（2）∵共有6種等可能的結(jié)果，恰好選中兩名男學(xué)生的有2種情況，∴P（恰好選中兩名男學(xué)生）==．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了列表法或樹(shù)狀圖法求概率．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．變式4．甲、乙兩個(gè)不透明的口袋，甲口袋中裝有3個(gè)分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3的小球，乙口袋中裝有2個(gè)分別標(biāo)有數(shù)字4，5的小球，它們的形狀、大小完全相同，現(xiàn)隨機(jī)從甲口袋中摸出一個(gè)小球記下數(shù)字，再?gòu)囊铱诖忻鲆粋€(gè)小球記下數(shù)字．（1）請(qǐng)用列表或樹(shù)狀圖的方法（只選其中一種），表示出兩次所得數(shù)字可能出現(xiàn)的所有結(jié)果；（2）求出兩個(gè)數(shù)字之和能被3整除的概率．【考點(diǎn)】X6：列表法與樹(shù)狀圖法；X4：概率公式．【分析】先根據(jù)題意畫(huà)樹(shù)狀圖，再根據(jù)所得結(jié)果計(jì)算兩個(gè)數(shù)字之和能被3整除的概率．【解答】解：（1）樹(shù)狀圖如下：（2）∵共6種情況，兩個(gè)數(shù)字之和能被3整除的情況數(shù)有2種，∴兩個(gè)數(shù)字之和能被3整除的概率為，即P（兩個(gè)數(shù)字之和能被3整除）=．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了列表法與樹(shù)狀圖法，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是掌握概率的計(jì)算公式．隨機(jī)事件A的概率P（A）等于事件A可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)除以所有可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)．變式5．如圖，轉(zhuǎn)盤(pán)A的三個(gè)扇形面積相等，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，轉(zhuǎn)盤(pán)B的四個(gè)扇形面積相等，分別有數(shù)字1，2，3，4．轉(zhuǎn)動(dòng)A、B轉(zhuǎn)盤(pán)各一次，當(dāng)轉(zhuǎn)盤(pán)停止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，將指針?biāo)渖刃沃械膬蓚€(gè)數(shù)字相乘（當(dāng)指針落在四個(gè)扇形的交線上時(shí)，重新轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)）．（1）用樹(shù)狀圖或列表法列出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果；（2）求兩個(gè)數(shù)字的積為奇數(shù)的概率．【考點(diǎn)】X6：列表法與樹(shù)狀圖法．【分析】（1）首先根據(jù)題意畫(huà)出樹(shù)狀圖，然后由樹(shù)狀圖求得所有等可能的結(jié)果；（2）由兩個(gè)數(shù)字的積為奇數(shù)的情況，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：（1）畫(huà)樹(shù)狀圖得：則共有12種等可能的結(jié)果；（2）∵兩個(gè)數(shù)字的積為奇數(shù)的4種情況，∴兩個(gè)數(shù)字的積為奇數(shù)的概率為：=．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了列表法或樹(shù)狀圖法求概率．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．變式6．在四張背面完全相同的紙牌A、B、C、D，其中正面分別畫(huà)有四個(gè)不同的幾何圖形（如圖），小華將這4張紙牌背面朝上洗勻后摸出一張，放回洗勻后再摸一張．（1）用樹(shù)狀圖（或列表法）表示兩次摸牌所有可能出現(xiàn)的結(jié)果（紙牌可用A、B、C、D表示）；（2）求摸出兩張紙牌牌面上所畫(huà)幾何圖形，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的概率．【考點(diǎn)】X6：列表法與樹(shù)狀圖法．【分析】（1）首先根據(jù)題意畫(huà)出樹(shù)狀圖，然后由樹(shù)狀圖求得所有等可能的結(jié)果；（2）由既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的有4種情況，直接利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解（1）畫(huà)樹(shù)狀圖得：則共有16種等可能的結(jié)果；（2）∵既是中心對(duì)稱又是軸對(duì)稱圖形的只有B、C，∴既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的有4種情況，∴既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的概率為：=．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了列表法或樹(shù)狀圖法求概率以及軸對(duì)稱圖形與中心對(duì)稱圖形的性質(zhì)．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．變式7．某超市為了答謝顧客，凡在本超市購(gòu)物的顧客，均可憑購(gòu)物小票參與抽獎(jiǎng)活動(dòng)，獎(jiǎng)品是三種瓶裝飲料，它們分別是：綠茶（500ml）、紅茶（500ml）和可樂(lè)（600ml），抽獎(jiǎng)規(guī)則如下：①如圖，是一個(gè)材質(zhì)均勻可自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤(pán)，轉(zhuǎn)盤(pán)被等分成五個(gè)扇形區(qū)域，每個(gè)區(qū)域上分別寫(xiě)有“可”、“綠”、“樂(lè)”、“茶”、“紅”字樣；②參與一次抽獎(jiǎng)活動(dòng)的顧客可進(jìn)行兩次“有效隨機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)”（當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)，轉(zhuǎn)盤(pán)停止后，可獲得指針?biāo)竻^(qū)域的字樣，我們稱這次轉(zhuǎn)動(dòng)為一次“有效隨機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)”）；③假設(shè)顧客轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)，轉(zhuǎn)盤(pán)停止后，指針指向兩區(qū)域的邊界，顧客可以再轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)，直到轉(zhuǎn)動(dòng)為一次“有效隨機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)”；④當(dāng)顧客完成一次抽獎(jiǎng)活動(dòng)后，記下兩次指針?biāo)竻^(qū)域的兩個(gè)字，只要這兩個(gè)字和獎(jiǎng)品名稱的兩個(gè)字相同（與字的順序無(wú)關(guān)），便可獲得相應(yīng)獎(jiǎng)品一瓶；不相同時(shí)，不能獲得任何獎(jiǎng)品．根據(jù)以上規(guī)則，回答下列問(wèn)題：（1）求一次“有效隨機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)”可獲得“樂(lè)”字的概率；（2）有一名顧客憑本超市的購(gòu)物小票，參與了一次抽獎(jiǎng)活動(dòng)，請(qǐng)你用列表或樹(shù)狀圖等方法，求該顧客經(jīng)過(guò)兩次“有效隨機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)”后，獲得一瓶可樂(lè)的概率．【考點(diǎn)】X6：列表法與樹(shù)狀圖法；X4：概率公式．【分析】（1）由轉(zhuǎn)盤(pán)被等分成五個(gè)扇形區(qū)域，每個(gè)區(qū)域上分別寫(xiě)有“可”、“綠”、“樂(lè)”、“茶”、“紅”字樣；直接利用概率公式求解即可求得答案；（2）首先根據(jù)題意畫(huà)出樹(shù)狀圖，然后由樹(shù)狀圖求得所有等可能的結(jié)果與該顧客經(jīng)過(guò)兩次“有效隨機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)”后，獲得一瓶可樂(lè)的情況，再利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：（1）∵轉(zhuǎn)盤(pán)被等分成五個(gè)扇形區(qū)域，每個(gè)區(qū)域上分別寫(xiě)有“可”、“綠”、“樂(lè)”、“茶”、“紅”字樣；∴一次“有效隨機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)”可獲得“樂(lè)”字的概率為：；（2）畫(huà)樹(shù)狀圖得：∵共有25種等可能的結(jié)果，該顧客經(jīng)過(guò)兩次“有效隨機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)”后，獲得一瓶可樂(lè)的有2種情況，∴該顧客經(jīng)過(guò)兩次“有效隨機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)”后，獲得一瓶可樂(lè)的概率為：．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了列表法或樹(shù)狀圖法求概率．注意此題是放回實(shí)驗(yàn)；用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．變式8．已知不等式組（1）求不等式組的解集，并寫(xiě)出它的所有整數(shù)解；（2）在不等式組的所有整數(shù)解中任取兩個(gè)不同的整數(shù)相乘，請(qǐng)用畫(huà)樹(shù)狀圖或列表的方法求積為正數(shù)的概率．【考點(diǎn)】X6：列表法與樹(shù)狀圖法；CB：解一元一次不等式組；CC：一元一次不等式組的整數(shù)解．【分析】（1）首先分別解不等式①②，然后求得不等式組的解集，繼而求得它的所有整數(shù)解；（2）首先根據(jù)題意畫(huà)出樹(shù)狀圖，然后由樹(shù)狀圖求得所有等可能的結(jié)果與積為正數(shù)的情況，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：（1）由①得：x＞﹣2，由②得：x≤2，∴不等式組的解集為：﹣2＜x≤2，∴它的所有整數(shù)解為：﹣1，0，1，2；（2）畫(huà)樹(shù)狀圖得：∵共有12種等可能的結(jié)果，積為正數(shù)的有2種情況，∴積為正數(shù)的概率為：=．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了列表法或樹(shù)狀圖法求概率以及不等式組的整數(shù)解．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．變式9．某單位A，B，C，D四人隨機(jī)分成兩組赴北京，上海學(xué)習(xí)，每組兩人．（1）求A去北京的概率；（2）用列表法（或樹(shù)狀圖法）求A，B都去北京的概率；（3）求A，B分在同一組的概率．【考點(diǎn)】X6：列表法與樹(shù)狀圖法．【分析】（1）由某單位A，B，C，D四人隨機(jī)分成兩組赴北京，上海學(xué)習(xí)，直接利用概率公式求解即可求得答案；（2）首先根據(jù)題意畫(huà)出樹(shù)狀圖，然后由樹(shù)狀圖求得所有等可能的結(jié)果與A，B都去北京的情況，再利用概率公式即可求得答案；（3）由（2）可求得A，B分在同一組的情況，然后直接利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：（1）∵某單位A，B，C，D四人隨機(jī)分成兩組赴北京，上海學(xué)習(xí)，∴A去北京的概率為：；（2）畫(huà)樹(shù)狀圖得：∵共有12種等可能的結(jié)果，A，B都去北京的有2種情況，∴A，B都去北京的概率為：=；（3）由（2）得：A，B分在同一組的有4種情況，∴A，B分在同一組的概率為：=．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了列表法或樹(shù)狀圖法求概率．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．變式10．小明參加某個(gè)智力競(jìng)答節(jié)目，答對(duì)最后兩道單選題就順利通關(guān)．第一道單選題有3個(gè)選項(xiàng)，第二道單選題有4個(gè)選項(xiàng)，這兩道題小明都不會(huì)，不過(guò)小明還有一個(gè)“求助”沒(méi)有用（使用“求助”可以讓主持人去掉其中一題的一個(gè)錯(cuò)誤選項(xiàng)）．（1）如果小明第一題不使用“求助”，那么小明答對(duì)第一道題的概率是．（2）如果小明將“求助”留在第二題使用，請(qǐng)用樹(shù)狀圖或者列表來(lái)分析小明順利通關(guān)的概率．【考點(diǎn)】X6：列表法與樹(shù)狀圖法．【分析】（1）由第一道單選題有3個(gè)選項(xiàng)，直接利用概率公式求解即可求得答案；（2）首先分別用A，B，C表示第一道單選題的3個(gè)選項(xiàng)，a，b，c表示剩下的第二道單選題的3個(gè)選項(xiàng)，然后根據(jù)題意畫(huà)出樹(shù)狀圖，再由樹(shù)狀圖求得所有等可能的結(jié)果與小明順利通關(guān)的情況，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：（1）∵第一道單選題有3個(gè)選項(xiàng)，∴小明第一題不使用“求助”，那么小明答對(duì)第一道題的概率是：；故答案為：；（2）分別用A，B，C表示第一道單選題的3個(gè)選項(xiàng)，a，b，c表示剩下的第二道單選題的3個(gè)選項(xiàng)，畫(huà)樹(shù)狀圖得：∵共有9種等可能的結(jié)果，小明順利通關(guān)的只有1種情況，∴小明順利通關(guān)的概率為：．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了列表法或樹(shù)狀圖法求概率．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．變式11．交通信號(hào)燈（俗稱紅綠燈），至今已有一百多年的歷史了．“紅燈停，綠燈行”是我們?nèi)粘Ｉ钪斜仨氉袷氐慕煌ㄒ?guī)則，這樣才能保障交通的順暢和行人的安全，下面這個(gè)問(wèn)題你能解決嗎？小剛每天騎自行車(chē)上學(xué)都要經(jīng)過(guò)三個(gè)安裝有紅燈和綠燈的路口，假如每個(gè)路口紅燈和綠燈亮的時(shí)間相同，那么，小剛從家隨時(shí)出發(fā)去學(xué)校，他至少遇到一次紅燈的概率是多少？不遇紅燈的概率是多少？（請(qǐng)用樹(shù)形圖分析）【考點(diǎn)】X6：列表法與樹(shù)狀圖法．【分析】用列舉法列舉出符合題意的各種情況的個(gè)數(shù)，再根據(jù)概率公式解答即可．【解答】解：A表示紅燈，B表示綠燈，根據(jù)題意畫(huà)出樹(shù)狀圖，如圖所示：一共有8種可能，則他至少遇到一次紅燈的概率是；不遇紅燈的概率是．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了樹(shù)狀圖法求概率，如果一個(gè)事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結(jié)果，那么事件A的概率P（A）=．變式12．一個(gè)不透明的袋子中，裝有紅黑兩種顏色的小球（除顏色不同外其他都相同），其中一個(gè)紅球，兩個(gè)分別標(biāo)有A、B黑球．（1）小李第一次從口袋中摸出一個(gè)球，并且不放回，第二次又從口袋中摸出一個(gè)球，則小李兩次都摸出黑球的概率是多少？試用樹(shù)狀圖或列表法加以說(shuō)明；（2）小張第一次從口袋中摸出一個(gè)球，摸到紅球不放回，摸到黑球放回．第二次又從口袋中摸出一個(gè)球，則小張第二次摸到黑球的概率是多少？試用樹(shù)狀圖或列表法加以說(shuō)明．【考點(diǎn)】X6：列表法與樹(shù)狀圖法．【專題】31：數(shù)形結(jié)合．【分析】（1）列舉出所有情況，看兩次都摸出黑球的情況數(shù)占總情況數(shù)的多少即可；（2）列舉出所有情況，看小張第二次摸到黑球的情況數(shù)占總情況數(shù)的多少即可．【解答】解：（1）共6種情況，兩次都摸出黑球的情況數(shù)有2種，所以概率為；（2）共8種情況，第2次摸出黑球的情況數(shù)有6種，所以概率為．【點(diǎn)評(píng)】考查概率的求法；用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比；得到所求的情況數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．拓展點(diǎn)一：游戲中的公平性問(wèn)題例4．足球比賽前，裁判通常要擲一枚硬幣來(lái)決定比賽雙方的場(chǎng)地與首先發(fā)球者，其主要原因是（）A．讓比賽更富有情趣 B．讓比賽更具有神秘色彩C．體現(xiàn)比賽的公平性 D．讓比賽更有挑戰(zhàn)性【考點(diǎn)】X7：游戲公平性．【分析】由正面朝上或朝下的概率均為，可得兩個(gè)隊(duì)選擇場(chǎng)地與首先發(fā)球者的可能性相等，即體現(xiàn)比賽的公平性．【解答】解：∵一枚硬幣只有正反兩面，∴正面朝上或朝下的概率均為，即兩個(gè)隊(duì)選擇場(chǎng)地與首先發(fā)球者的可能性相等，∴這種方法公平．故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是游戲公平性的判斷．判斷游戲公平性就要計(jì)算每個(gè)事件的概率，概率相等就公平，否則就不公平．變式1．甲乙兩人玩一個(gè)游戲，判定這個(gè)游戲公平不公平的標(biāo)準(zhǔn)是（）A．游戲的規(guī)則由甲方確定B．游戲的規(guī)則由乙方確定C．游戲的規(guī)則由甲乙雙方商定D．游戲雙方要各有50%贏的機(jī)會(huì)【考點(diǎn)】X7：游戲公平性．【分析】根據(jù)游戲是否公平的取決于游戲雙方要各有50%贏的機(jī)會(huì)，游戲是否公平不在于誰(shuí)定游戲規(guī)則，分別判定即可．【解答】解：根據(jù)游戲是否公平不在于誰(shuí)定游戲規(guī)則，游戲是否公平的取決于游戲雙方要各有50%贏的機(jī)會(huì)，∴A．游戲的規(guī)則由甲方確定，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B．游戲的規(guī)則由乙方確定，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；C．游戲的規(guī)則由甲乙雙方商定，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；D．游戲雙方要各有50%贏的機(jī)會(huì)，故此選項(xiàng)正確．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是游戲公平性的判斷．判斷游戲公平性就要計(jì)算每個(gè)參與者取勝的概率，概率相等就公平，否則就不公平．變式2．小明和小亮玩一種游戲：三張大小、質(zhì)地都相同的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，現(xiàn)將標(biāo)有數(shù)字的一面朝下，小明從中任意抽取一張，記下數(shù)字后放回洗勻，然后小亮從中任意抽取一張，計(jì)算小明和小亮抽得的兩個(gè)數(shù)字之和，如果和為奇數(shù)，則小明勝；若和為偶數(shù)則小亮勝．獲勝概率大的是（）A．小明 B．小亮 C．一樣 D．無(wú)法確定【考點(diǎn)】X7：游戲公平性；X6：列表法與樹(shù)狀圖法．【分析】列舉出所有情況，看兩張卡片上的數(shù)字之和為偶數(shù)的情況占所有情況的多少即可求得小亮贏的概率，進(jìn)而求得小明贏的概率，比較即可．【解答】解：列樹(shù)狀圖得：共有9種情況，和為偶數(shù)的有5種，所以小亮贏的概率是，那么小明贏的概率是，所以獲勝概率大的是小亮．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了游戲公平性，如果一個(gè)事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結(jié)果，那么事件A的概率P（A）=，注意本題是放回實(shí)驗(yàn)．解決本題的關(guān)鍵是得到相應(yīng)的概率，概率相等就公平，否則就不公平．變式3．小玲與小麗兩人各擲一個(gè)正方體骰子，規(guī)定兩人擲的點(diǎn)數(shù)和為偶數(shù)，則小玲勝；點(diǎn)數(shù)和為奇數(shù)，則小麗勝，下列說(shuō)法正確的是（）A．此規(guī)則有利于小玲 B．此規(guī)則有利于小麗C．此規(guī)則對(duì)兩人是公平的 D．無(wú)法判斷【考點(diǎn)】X7：游戲公平性．【分析】拋擲兩枚均勻的正方體骰子總共有36種情況，一個(gè)奇數(shù)與一個(gè)偶數(shù)的和是奇數(shù)，故其中和為奇數(shù)的情況有3×3+3×3=18，計(jì)算出奇數(shù)的概率．和不是偶數(shù)就是奇數(shù)，再計(jì)算偶數(shù)的概率．【解答】解：拋擲兩枚均勻的正方體骰子，擲得點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)的概率是，點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)的概率是，所以規(guī)則對(duì)兩人是公平的，故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是游戲公平性的判斷．判斷游戲公平性就要計(jì)算每個(gè)事件的概率，概率相等就公平，否則就不公平．變式4．把一個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的均勻轉(zhuǎn)盤(pán)3等分，并在各個(gè)扇形內(nèi)分別標(biāo)上數(shù)字（如圖），小明和小亮用圖中的轉(zhuǎn)盤(pán)做游戲；分別轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)兩次，若兩次數(shù)字之積是偶數(shù)，小明獲勝，否則小亮獲勝．你認(rèn)為游戲是否公平？請(qǐng)說(shuō)明理由．【考點(diǎn)】X7：游戲公平性．【分析】利用列表法表示出所有可能，進(jìn)而分別求出小明和小亮獲勝概率，即可得出答案．【解答】解：此游戲不公平．理由：列表如下：1231（1，1）（1，2）（1，3）2（2，1）（2，2）（2，3）3（3，1）（3，2）（3，3）∵兩數(shù)之積為偶數(shù)的一共有4種，∴小明獲勝的概率為：，同理可得出小亮獲勝的概率為：，故此游戲不公平．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了列表法求概率，根據(jù)已知得出數(shù)據(jù)所有情況是解題關(guān)鍵．變式5．把大小和形狀完全相同的6張卡片分成兩組，每組3張，分別標(biāo)上1、2、3，將這兩組卡片分別放入兩個(gè)盒（記為A盒、B盒）中攪勻，再?gòu)膬蓚€(gè)盒子中各隨機(jī)抽取一張．（1）從A盒中抽取一張卡片，數(shù)字為奇數(shù)的概率是多少？（2）若取出的兩張卡片數(shù)字之和為奇數(shù)，則小明勝；若取出的兩張卡片數(shù)字之和為偶數(shù)，則小亮勝；試分析這個(gè)游戲是否公平？請(qǐng)說(shuō)明理由．【考點(diǎn)】X7：游戲公平性；X4：概率公式；X6：列表法與樹(shù)狀圖法．【分析】（1）找出1、2、3中的奇數(shù)個(gè)數(shù)，根據(jù)概率公式即可得出結(jié)論；（2）分別找出小明獲勝與小亮獲勝的情況，二者比較后即可得出結(jié)論．【解答】解；（1）∵在1、2、3中為奇數(shù)的有1、3，∴從A盒中抽取一張卡片，數(shù)字為奇數(shù)的概率為2÷3=．（2）取出的兩張卡片數(shù)字之和為奇數(shù)的情況有1+2、3+2、2+1、2+3四種；取出的兩張卡片數(shù)字之和為偶數(shù)的情況有1+1、1+3、2+2、3+1、3+3五種．∵4＜5，∴小亮獲勝的概率高，此游戲不公平．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了游戲公平性以及概率公式，熟練掌握概率公式是解題的關(guān)鍵．變式6．四張質(zhì)地相同的卡片如圖所示．將卡片洗勻后，背面朝上放置在桌面上．（1）隨機(jī)抽取一張卡片，求恰好抽到數(shù)字2的概率；（2）小貝和小晶想用以上四張卡片做游戲，游戲規(guī)則如圖所示．你認(rèn)為這個(gè)游戲公平嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．【考點(diǎn)】X7：游戲公平性；X6：列表法與樹(shù)狀圖法．【分析】（1）根據(jù)概率公式即可求解；（2）利用列表法，求得小貝勝與小晶勝的概率，比較即可游戲是否公平．【解答】解：（1）P（抽到數(shù)字2）==．（2分）（2）公平．列表：22362（2，2）（2，2）（2，3）（2，6）2（2，2）（2，2）（2，3）（2，6）3（3，2）（3，2）（3，3）（3，6）6（6，2）（6，2）（6，3）（6，6）由上表可以看出，可能出現(xiàn)的結(jié)果共有16種，它們出現(xiàn)的可能性相同，所有的結(jié)果中，滿足兩位數(shù)不超過(guò)30的結(jié)果有8種．（5分）所以P（小貝勝）=，P（小晶勝）=．所以游戲公平．（7分）【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是游戲公平性的判斷．判斷游戲公平性就要計(jì)算每個(gè)事件的概率，概率相等就公平，否則就不公平．變式7．小明和小亮用如圖所示的兩個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)（每個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)被分成三個(gè)面積相同的扇形）做游戲．同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)，如果所得顏色能配成紫色，那么小明獲勝；如果所得顏色相同，那么小亮獲勝，這個(gè)游戲?qū)﹄p方是否公平？請(qǐng)說(shuō)明理由．【考點(diǎn)】X7：游戲公平性．【分析】首先根據(jù)題意畫(huà)出樹(shù)狀圖，然后由樹(shù)狀圖求得小明獲勝與小亮獲勝的概率，比較概率大小，即可知是否公平．【解答】解：公平．畫(huà)樹(shù)狀圖得：∵共有9種等可能的結(jié)果，所得顏色能配成紫色的有2種情況，所得顏色相同的有2種情況，∴P（小明獲勝）=P（小亮獲勝）=，∴這個(gè)游戲?qū)﹄p方是公平的．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是游戲公平性的判斷．判斷游戲公平性就要計(jì)算每個(gè)事件的概率，概率相等就公平，否則就不公平．變式8．在一個(gè)口袋中有3個(gè)完全相同的小球，把它們分別標(biāo)號(hào)1、2、3．小李先隨機(jī)地摸出一個(gè)小球，小張?jiān)匐S機(jī)地摸出一個(gè)小球．記小李摸出球的標(biāo)號(hào)為x，小張摸出的球標(biāo)號(hào)為y．小李和小張?jiān)诖嘶A(chǔ)上共同協(xié)商一個(gè)游戲規(guī)則：當(dāng)x＞y時(shí)小李獲勝，否則小張獲勝．①若小李摸出的球不放回，求小李獲勝的概率；②若小李摸出的球放回后小張?jiān)匐S機(jī)摸球，問(wèn)他們制定的游戲規(guī)則公平嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．【考點(diǎn)】X7：游戲公平性；X6：列表法與樹(shù)狀圖法．【分析】①根據(jù)題意用樹(shù)狀圖列出所有問(wèn)題的可能的結(jié)果，進(jìn)而利用概率公式求出即可；②根據(jù)題意用樹(shù)狀圖列出所有問(wèn)題的可能的結(jié)果，進(jìn)而利用概率公式求出即可．【解答】解①如圖1，用樹(shù)狀圖列出所有問(wèn)題的可能的結(jié)果：由樹(shù)狀圖可看出共有6種可能，其中小李摸出球的標(biāo)號(hào)大于小張摸出球的標(biāo)號(hào)的可能有3種，因此，若小李摸出的球不放回，小李獲勝的概率為=．②不公平．理由：如圖2，用樹(shù)狀圖列出所有問(wèn)題的可能的結(jié)果：由樹(shù)狀圖可看出共有9種可能，其中小李摸出球的標(biāo)號(hào)大于小張摸出球的標(biāo)號(hào)的可能有3種，因此，若小明摸出的球放回，小明獲勝的概率為=，所以不公平．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了游戲公平性，利用已知列舉出所有可能是解題關(guān)鍵．變式9．如圖在圓盤(pán)的圓周上均勻的分布著0﹣9的10個(gè)數(shù)，箭頭固定并指向0，圓盤(pán)可以任意旋轉(zhuǎn)，記Pk（k=1，2…9）表示箭頭落在0﹣k之間的概率．如P3=．（1）求當(dāng)k=8時(shí)的概率P8．（2）若規(guī)定，k取到奇數(shù)時(shí)，甲同學(xué)獲勝，k取到偶數(shù)時(shí)，乙同學(xué)獲勝，這樣的規(guī)定是否公平？請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)規(guī)定，能公平的選出兩位同學(xué)去參加某項(xiàng)活動(dòng)．并說(shuō)明你的規(guī)定是符合要求的．【考點(diǎn)】X7：游戲公平性．【分析】（1）根據(jù)P3=，即可得出P8的值；（2）利用（1）中所求規(guī)律得出P1=，P3=，P5=，P7=，P9=，進(jìn)而得出k取到奇數(shù)時(shí)，甲同學(xué)獲勝概率，即可得出乙獲勝概率進(jìn)而得出答案；（3）利用游戲公平性結(jié)合概率公式得出即可．【解答】解：（1）∵Pk（k=1，2…9），當(dāng)k=8時(shí)符合題意的有8個(gè)數(shù)，∴；（2）k取到奇數(shù)時(shí)，∵P1=，P3=，P5=，P7=，P9=，∴，k取到偶數(shù)時(shí)，∵P2=，P4=，P6=，P8=，∴，不公平；（3）規(guī)則：當(dāng)指針指向奇數(shù)則甲獲勝，當(dāng)指針指向偶數(shù)則乙獲勝．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了游戲公平性以及概率公式應(yīng)用，根據(jù)題意得出Pk的意義是解題關(guān)鍵．變式10．小紅和小慧玩紙牌游戲．如圖是同一副撲克中的4張牌的正面，將它們正面朝下洗勻后放在桌上，小紅先從中抽出一張，小慧從剩余的3張牌中也抽出一張．小慧說(shuō)：抽出的兩張牌的數(shù)字若都是偶數(shù)，你獲勝；若一奇一偶，我獲勝．（1）請(qǐng)用樹(shù)狀圖表示出兩人抽牌可能出現(xiàn)的所有結(jié)果；（2）若按小慧說(shuō)的規(guī)則進(jìn)行游戲，這個(gè)游戲公平嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．【考點(diǎn)】X7：游戲公平性；X6：列表法與樹(shù)狀圖法．【專題】32：分類(lèi)討論．【分析】（1）依據(jù)題意先用列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖法分析所有等可能的出現(xiàn)結(jié)果；（2）根據(jù)概率公式求出該事件的概率．游戲是否公平，求出游戲雙方獲勝的概率，比較是否相等即可．【解答】解：（1）根據(jù)題意列樹(shù)狀圖，如圖所示：（2）不公平，因?yàn)閮蓮埮频臄?shù)字都是偶數(shù)的情況有2種，一奇一偶的情況有8種，所以小慧獲勝的概率為=，小紅獲勝的可能性為=，小慧獲勝的可能性大．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是游戲公平性的判斷．判斷游戲公平性就要計(jì)算每個(gè)事件的概率，概率相等就公平，否則就不公平．變式11．為從小明和小剛中選出一人去觀看元旦文藝匯演，現(xiàn)設(shè)計(jì)了如下游戲，規(guī)則是：把四個(gè)完全相同的乒乓球標(biāo)上數(shù)字1，2，3，4，然后放到一個(gè)不透明的袋中，一個(gè)人先從袋中隨機(jī)摸出一個(gè)球，另一人再?gòu)氖Ｏ碌娜齻€(gè)球中隨機(jī)摸出一個(gè)球．若摸出的兩個(gè)球上的數(shù)字和為奇數(shù)，則小明去；否則小剛?cè)ィ?qǐng)用樹(shù)狀圖或列表法說(shuō)明這個(gè)游戲是否公平．【考點(diǎn)】X7：游戲公平性；X6：列表法與樹(shù)狀圖法．【專題】11：計(jì)算題．【分析】先利用樹(shù)狀圖法展示所有12種等可能的結(jié)果數(shù)，再找出兩個(gè)球上的數(shù)字和為奇數(shù)和偶數(shù)所占的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式分別計(jì)算出小明去和小剛?cè)サ母怕?，再通過(guò)比較概率的大小判斷游戲的公平性．【解答】解：畫(huà)樹(shù)狀圖為：，共有12種等可能的結(jié)果數(shù)，其中兩個(gè)球上的數(shù)字和為奇數(shù)占8種，兩個(gè)球上的數(shù)字和為偶數(shù)占4種，所以小明去的概率==，小剛?cè)サ母怕?=，所以這個(gè)游戲不公平．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了游戲的公平性：判斷游戲公平性需要先計(jì)算每個(gè)事件的概率，然后比較概率的大小，概率相等就公平，否則就不公平．也考查了列表法與樹(shù)狀圖法．變式12．如圖，小英和小麗用兩個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)做“配紫色”游戲，配成紫色小英得1分，否則小麗得1分，這個(gè)游戲?qū)﹄p方公平嗎？（紅色+藍(lán)色=紫色）用樹(shù)狀圖或表格求右面兩個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)配成紫色的概率．【考點(diǎn)】X7：游戲公平性；X6：列表法與樹(shù)狀圖法．【分析】游戲是否公平，關(guān)鍵要看是否游戲雙方贏的機(jī)會(huì)是否相等，即判斷雙方取勝的概率是否相等，或轉(zhuǎn)化為在總情況明確的情況下，判斷雙方取勝所包含的情況數(shù)目是否相等．【解答】解：此游戲不公平，列表得出：紅1紅2黃1黃2藍(lán)1藍(lán)2紅1（紅1，紅1）（紅1，紅2）（紅1，黃1）（紅1，黃2）（紅1，藍(lán)1）（紅1，藍(lán)2）紅2（紅2，紅1）（紅2，紅2）（紅2，黃1）（紅2，黃2）（紅2，藍(lán)1）（紅2，藍(lán)2）黃1（黃1，紅1）（黃1，紅2）（黃1，黃1）（黃1，黃2）（黃1，藍(lán)1）（黃1，藍(lán)2）黃2（黃2，紅1）（黃2，紅2）（黃2，黃1）（黃2，黃2）（黃2，藍(lán)1）（黃2，藍(lán)2）藍(lán)1（藍(lán)1，紅1）（藍(lán)1，紅2）（藍(lán)1，黃1）（藍(lán)1，黃2）（藍(lán)1，藍(lán)1）（藍(lán)1，藍(lán)2）所有情況有30種，能配成紫色的有6種，∴兩個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)配成紫色的概率為：=，則小英獲勝的概率為：，則小麗獲勝的概率為：，故此游戲不公平．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是游戲公平性的判斷．判斷游戲公平性就要計(jì)算每個(gè)事件的概率，概率相等就公平，否則就不公平．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．變式13.假期，六盤(pán)水市教育局組織部分教師分別到A、B、C、D四個(gè)地方進(jìn)行新課程培訓(xùn)，教育局按定額購(gòu)買(mǎi)了前往四地的車(chē)票．如圖1是未制作完成的車(chē)票種類(lèi)和數(shù)量的條形統(tǒng)計(jì)圖，請(qǐng)根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖回答下列問(wèn)題：（1）若去C地的車(chē)票占全部車(chē)票的30%，則去C地的車(chē)票數(shù)量是30張，補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖．（2）若教育局采用隨機(jī)抽取的方式分發(fā)車(chē)票，每人一張（所有車(chē)票的形狀、大小、質(zhì)地完全相同且充分洗勻），那么余老師抽到去B地的概率是多少？（3）若有一張去A地的車(chē)票，張老師和李老師都想要，決定采取旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤(pán)的方式來(lái)確定．其中甲轉(zhuǎn)盤(pán)被分成四等份且標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4，乙轉(zhuǎn)盤(pán)分成三等份且標(biāo)有數(shù)字7、8、9，如圖2所示．具體規(guī)定是：同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)，當(dāng)指針指向的兩個(gè)數(shù)字之和是偶數(shù)時(shí)，票給李老師，否則票給張老師（指針指在線上重轉(zhuǎn)）．試用“列表法”或“樹(shù)狀圖”的方法分析這個(gè)規(guī)定對(duì)雙方是否公平．【考點(diǎn)】X7：游戲公平性；VB：扇形統(tǒng)計(jì)圖；VC：條形統(tǒng)計(jì)圖；X4：概率公式；X6：列表法與樹(shù)狀圖法．【分析】（1）根據(jù)去A、B、D的車(chē)票總數(shù)除以所占的百分比求出總數(shù)，再減去去A、B、D的車(chē)票總數(shù)即可；（2）用去B地的車(chē)票數(shù)除以總的車(chē)票數(shù)即可；（3）根據(jù)題意用列表法分別求出當(dāng)指針指向的兩個(gè)數(shù)字之和是偶數(shù)時(shí)的概率，即可求出這個(gè)規(guī)定對(duì)雙方是否公平．【解答】解：（1）根據(jù)題意得：總的車(chē)票數(shù)是：（20+40+10）÷（1﹣30%）=100，則去C地的車(chē)票數(shù)量是100﹣70=30；故答案為：30．（2）余老師抽到去B地的概率是=；（3）根據(jù)題意列表如下：因?yàn)閮蓚€(gè)數(shù)字之和是偶數(shù)時(shí)的概率是=，所以票給李老師的概率是，所以這個(gè)規(guī)定對(duì)雙方公平．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是游戲公平性的判斷．判斷游戲公平性就要計(jì)算每個(gè)事件的概率，概率相等就公平，否則就不公平．易錯(cuò)點(diǎn)：分析事件的可能結(jié)果時(shí)易重復(fù)或者遺漏例5．一個(gè)盒子裝有除顏色外其它均相同的2個(gè)紅球和3個(gè)白球，現(xiàn)從中任取2個(gè)球，則取到的是一個(gè)紅球、一個(gè)白球的概率為（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】X6：列表法與樹(shù)狀圖法．【分析】首先根據(jù)題意畫(huà)出樹(shù)狀圖，然后由樹(shù)狀圖求得所有等可能的結(jié)果與取到的是一個(gè)紅球、一個(gè)白球的情況，再利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：畫(huà)樹(shù)狀圖得：∵共有20種等可能的結(jié)果，取到的是一個(gè)紅球、一個(gè)白球的有12種情況，∴取到的是