部編數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練：弧、弦、圓心角（鞏固篇）

專(zhuān)題24.9弧'弦'圓心角（鞏固篇）（專(zhuān)項(xiàng)練習(xí)）

一、單選題

類(lèi)型一、圓心角概念

1.已知下列命題：

①長(zhǎng)度相等的兩條弧所對(duì)的圓心角相等.

②直徑是圓的最長(zhǎng)的弦，也是圓的對(duì)稱(chēng)軸.

③平分弦的直徑垂直于這條弦.

④在同圓或等圓中，相等的弦所對(duì)的圓周角相等.

其中錯(cuò)誤命題的個(gè)數(shù)為（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

2.已知A/BC內(nèi)接于OO,若乙4。3=120。，則NC的度數(shù)是（）

A.60°B.120°C.60°或120°D.30°或150°

3.如圖，N2為O。的直徑，弦CDL42于點(diǎn)E,連接NC,OC,OD,若乙4=20。，則

乙COD的度數(shù)為（）

A.40°B.60°C.80°D.100°

類(lèi)型二、圓心角與它所對(duì)弧的度數(shù)

4.如圖，已知△NBC是圓。的內(nèi)接二角形，AB=AC,乙4c5=65。，點(diǎn)C是弧8。的中

D.20°

5.如圖，扇形/O2中，4405=90。，半徑Q4=6,C是油的中點(diǎn)，CDHOA,交AB

于點(diǎn)D,則CD的長(zhǎng)為（）

A.2V2-2B.V2C.2D.672-6

6.如圖，已知eO的半徑為5,弦AB,CD所對(duì)的圓心角分別是NAOB,ZCOD,若ZAOB

與/COD互補(bǔ)，弦4B=8,則弦CD的長(zhǎng)為（）

A.6B.8C.572D.5

類(lèi)型三'用弧、弦、圓心角關(guān)系求解

7.如圖，在以為直徑的OO中，點(diǎn)C為圓上的一點(diǎn)，2C=2%C，弦于

點(diǎn)、E,弦AF交CE于點(diǎn)H,交于點(diǎn)G,若點(diǎn)”是NG的中點(diǎn)，則/CAF的度數(shù)為（）

A.18°B.21°C.22.5°D.30°

8.如圖，在O。中，是的直徑，/8=10,%C=&?=Fg，點(diǎn)E是點(diǎn)。關(guān)于

N8的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，M是上的一動(dòng)點(diǎn)，下列結(jié)論：①4BOE=3Q°；②乙DOB=2乙CED；

③DMLCE；④cmzw的最小值是10,上述結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是（）

A.IB.2C.3D.4

9.如圖，O。的半徑為9cm,48是弦，0C1/5于點(diǎn)C,將劣弧沿弦45折疊交于

0c的中點(diǎn)。，則的長(zhǎng)為（）

類(lèi)型四'用弧'弦、圓心角關(guān)系證明

10.有一直徑為22的圓，且圓上有C、D、E、尸四點(diǎn)，其位置如圖所示.若

AC=6,AD=8,AE-5,AF=9,AB=10,則下列弧長(zhǎng)關(guān)系何者正確？()

A.1。+乳=，8，就+1/=岫B.1。+和=知，岫+即〃8

c.1C+】Z）H，B，，E+1F=，BD.+1E+%F

11.在銳角V48c中,ZACB=60°,aIC、ZABC的角平分線(xiàn)N。、BE交于點(diǎn)、M,則

下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）

A.ZAMB=120°B.ME=MD

C.AE+BD=ABD.點(diǎn)〃關(guān)于/C的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)一定在V4BC的外接圓上

12.如圖，AB、CD分別是。。的直徑，連接BC、BD,如果弦DE〃/3,且NCD￡=

62°,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（)

A.CBLBDB.Z_CR4=31°C.RC=^ED.BD=DE

二、填空題

類(lèi)型一、圓心角概念

13.在OO中，A5是直徑，AB=2,C是23上一點(diǎn)，D、E分別是為C、的中點(diǎn),

M是弦的中點(diǎn)，則CM的取值范圍是.

14.把一個(gè)圓分成4個(gè)扇形，它們分別占整個(gè)圓的10%,20%,30%,40%,那么這四

個(gè)扇形的圓心角分別是.

15.已知點(diǎn)A、B、C、。在圓。上，且尸。切圓。于點(diǎn)。，OE_LCD于點(diǎn)￡,對(duì)于下

列說(shuō)法：①圓上瓢8是優(yōu)??；②圓上抽。是優(yōu)?。虎劬€(xiàn)段NC是弦；④NC/。和N4O尸

都是圓周角；⑤/CQ4是圓心角，其中正確的說(shuō)法是.

b

類(lèi)型二'圓心角與它所對(duì)弧的度數(shù)

16.如圖，在以AB為直徑的半圓中，夕。=即，CD1AB,EF1AB,CD=CF=1,則以

AC和BC的長(zhǎng)為兩根的一元二次方程是

17.已知半徑為2的。0中，弦AC=2,弦AD=20,則NAOD=,zCOD=

18.如圖，43是eO的直徑，弦連接CO并延長(zhǎng)交eO于點(diǎn)￡,連接2。交CE

于點(diǎn)F,若NDBE=32°,則N。相的度數(shù)是.

類(lèi)型三'用弧、弦、圓心角關(guān)系求解

19.如圖，點(diǎn)4B、C、。均在eO上，若//?！?65。，AO//DC,則乙8的度數(shù)為

20.如圖，點(diǎn)/、B、C、D、E都是圓。上的點(diǎn)，4c=2E，乙8=116。，則乙D的度數(shù)

為

21.如圖，。。的直徑48過(guò)功的中點(diǎn)4,若NC=30。，AB、CD交于點(diǎn)E,連接ZC、

BD,

類(lèi)型四、用弧、弦、圓心角關(guān)系證明

22.如圖，AB、CE是圓。的直徑，且/8=4,弧弧。=弧/(7,點(diǎn)/是上

一動(dòng)點(diǎn)，下列結(jié)論：正確的數(shù)是—(寫(xiě)出所有正確結(jié)論的序號(hào))

①乙CED=g乙BOD；

②DMLCE；

@CM+DM的最小值為4；

④設(shè)O河為x,則

23.在同一個(gè)圓中，當(dāng)圓心角不超過(guò)180。時(shí)，圓心角越大，所對(duì)的弧;所對(duì)的弦

,所對(duì)弦的弦心距.

24.如圖，48是。。的直徑，CO是弦，若乙42c=63。，貝吐。的度數(shù)是

25.如圖是半徑為2的圓，

(1)在其中畫(huà)兩個(gè)不重疊的扇形AOB和扇形BOC,使扇形AOB的圓心角為120度,

扇形BOC的圓心角為90度，

(2)求第三個(gè)扇形AOC的面積.

26.如圖，AB是。0的一條弦，OD1AB,垂足為C,交OO于點(diǎn)D,點(diǎn)E在。0

上.

(1)若NAOD=52。，求NDEB的度數(shù)；

(2)若AB=24,CD=8,求的半徑長(zhǎng).

27.閱讀與應(yīng)用

請(qǐng)閱讀下列材料，完成相應(yīng)的任務(wù):

托勒密是'地心說(shuō)”的集大成者，著名的天文學(xué)家、地理學(xué)家、占星學(xué)家和光學(xué)家.后人

從托勒密的書(shū)中發(fā)現(xiàn)一個(gè)命題：圓內(nèi)接四邊形對(duì)邊乘積的和等于對(duì)角線(xiàn)的乘積.下面是對(duì)這

個(gè)命題的證明過(guò)程.

如圖1,四邊形N5CD內(nèi)接于e。.

圖1

求證：AB-DC+AD-BC=AC-BD.

證明：如圖2,作NBAE=NCAD交BD于點(diǎn)、E.

D

A

圖2

.:況D=^D，?.?/4BE=ZACD.（依據(jù)）

ABBE

???△ABEs^CD..??一=——.AB?DC=AC?BE.

ACCD

???/\ABCS/\4ED.

ACBC

——=—.AD?BC=AC?ED.

ADED

AB?DC=AC?BE,

AB?DC+AD,BC=AC?BE+AC,ED=AC（BE+ED）=AC?BD.

??.ABDC+ADBC=ACBD.

任務(wù):

(1)證明過(guò)程中的“依據(jù)”是一

(2)補(bǔ)全證明過(guò)程;

⑶如圖3,eO的內(nèi)接五邊形的邊長(zhǎng)都為2,求對(duì)角線(xiàn)5。的長(zhǎng).

A

28.如圖，在。。中，弦45,CZ)互相垂直，垂足為尸是2。上的一點(diǎn)，且

BF=Be，/尸分別與a>,8。相交于點(diǎn)E,N,連接ED,MN.

(1)求證：DE=DF；

(2)若O。的半徑為8,乙BAF=22.5°,求線(xiàn)段AW的長(zhǎng).

參考答案

1.D

【分析】

根據(jù)圓心角定理、直徑的性質(zhì)、垂徑定理、圓周角定理逐個(gè)判斷即可.

解：等弧所對(duì)的圓心角相等，但長(zhǎng)度相等的兩條弧不一定是等弧，則命題①錯(cuò)誤

直徑是圓的最長(zhǎng)的弦，但不是圓的對(duì)稱(chēng)軸，圓的對(duì)稱(chēng)軸是直徑所在直線(xiàn)，則命題②

錯(cuò)誤

平分弦（非直徑）的直徑垂直于這條弦，則命題③錯(cuò)誤

在同圓或等圓中，相等的弦所對(duì)的圓周角相等或互補(bǔ)，則命題④錯(cuò)誤

綜上，錯(cuò)誤命題的個(gè)數(shù)為4個(gè)

故選：D.

【點(diǎn)撥】本題考查了圓心角定理、直徑的性質(zhì)、垂徑定理、圓周角定理，熟記各定理是

解題關(guān)鍵.

2.C

【分析】

根據(jù)圓周角定理可以得出同弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半，此時(shí)分兩種情況進(jìn)一步

分析討論即可.

解：①當(dāng)點(diǎn)C與線(xiàn)段AB位于圓心的兩側(cè)時(shí)，

ZC=1ZAOB=60°；

②當(dāng)點(diǎn)C與線(xiàn)段AB位于同側(cè)時(shí)，與上一種情況所得的度數(shù)互補(bǔ)；

即此時(shí)的NC=120。.

故選：C.

【點(diǎn)撥】本題主要考查了圓周角定理的應(yīng)用，熟練掌握相關(guān)概念是解題關(guān)鍵.

3.C

【分析】

利用圓周角與圓心角的關(guān)系得出NCOB=40。，再根據(jù)垂徑定理進(jìn)一步可得出

ZDOB=ZCOB,最后即可得出答案.

解：?.4=20°,

??.ZCOB=2ZA=40°,

???CD1AB,OC=OD,

.-.ZDOB=ZCOB=40°,

.-.ZCOD=ZDOB+ZCOB=80°.

故選：C.

【點(diǎn)撥】本題主要考查了圓周角、圓心角與垂徑定理的綜合運(yùn)用，熟練掌握相關(guān)概念是

解題關(guān)鍵.

4.B

【分析】

如圖，連接AO,BO,CO,DO,由等腰三角形的性質(zhì)可求ZABC=NACB=65。，ZBAC

=50。，由圓周角定理可求NAOC=2NABC=130。，NBOC=2NBAC=100。，可求NAOD=

30°,即可求解.

解：如圖，連接AO,BO,CO,DO,

?；AB=AC,ZACB=65°,

??.ZABC=NACB=65°,

.-.ZBAC=5O°,

???ZAOC=2ZABC=130°,zBOC=2zBAC=100°,

???點(diǎn)C是弧BD的中點(diǎn)，

?,?2C=紅），

.?ZBOC=NCOD=100°,

.??ZAOD=30°,

???ZAOD=2ZACD,

.-?ZACD=15°,

故選：B.

【點(diǎn)撥】本題主要考查了圓周角定理，熟練掌握?qǐng)A周角、圓心角、弧的關(guān)系是解題的關(guān)

鍵.

5.D

【分析】

連接OC,延長(zhǎng)CD交OB于點(diǎn)E,如圖，易得ziAOB、△COE、ZkBDE都是等腰直角三

角形，然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出CE與DE的長(zhǎng)，從而可得答案.

解：連接OC,延長(zhǎng)CD交OB于點(diǎn)E,如圖，

???NAOB=90。,。是45的中點(diǎn)，

.-.ZCOE=45°,

-CD//OA,ZAOB=90°,

.-.CE1OB,

.-.ZOCE=ZCOE=45°,

BF)

：,CE=OE=—OC=—x6=3后，

22

?*?BE=OB-OE=6—3A/2，

vOA=OB,ZAOB=90°f

.-.ZABO=45°,

/.ZBDE=ZABO=45°,

???EB=ED=6-35/2f

??.CD=CE-DE=3>/2-(6-3A/2)=672-6.

故選：D.

【點(diǎn)撥】本題考查了圓心角和弧的關(guān)系、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，屬于常

考題型，熟練掌握等腰直角三角形的判定和性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵.

6.A

【分析】

延長(zhǎng)AO交。0于點(diǎn)E,連接BE,由4AOB+4BOE=4AOB+4cOD知4BOE=NCOD,

據(jù)此可得BE=CD,在RtAABE中利用勾股定理求解可得.

解：如圖，延長(zhǎng)A0交于點(diǎn)E,連接BE,

則NAOB+NBOE=180。，

又???NAOB+NCOD=180°,

?-?zBOE=zCOD,

.-.BE=CD,

???AE為OO的直徑，則AE=10,

.-?ZABE=90°,

■-C^>=y/AE2-AB2=V102-82=6；

故選擇：A.

【點(diǎn)撥】本題主要考查圓心角定理，解題的關(guān)鍵是掌握?qǐng)A心角定理和圓周角定理.

7.D

【分析】

由圓周角定理可求41CB=9O。，由弧的關(guān)系得出角的關(guān)系，進(jìn)而可求々8C=30。，

乙CAB=60°,由直角三角形的性質(zhì)可求乙4CE=30。，即可求解.

解：???/8是直徑，

.■.zJC5=90°,

.■■^ABC+ACAB=90°,

BC=，

；/CAB=2UBC,

.48C=30°,ZC45=6O°,

-■■CDLAB,

“EC=90。，

.-.AACE=30°,

???點(diǎn)〃是4G的中點(diǎn)，乙4cB=90。，

■■.AH=CH=HG,

；/CAH=UCE=3Q°,

:4CAF=4CBF,

."88=30。，

故選：D.

【點(diǎn)撥】本題考查了圓周角定理，圓心角、弧、弦的關(guān)系，直角三角形的性質(zhì)，求出

乙CAB的度數(shù)是本題的關(guān)鍵.

8.B

【分析】

根據(jù)=班=加和點(diǎn)E是點(diǎn)D關(guān)于AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，求出〃)08=4。0。=必。￡=60。,

求出NCED,即可判斷①②；根據(jù)圓周角定理求出當(dāng)M和/重合時(shí)5?￡=60。即可判斷③;

求出M點(diǎn)的位置，根據(jù)圓周角定理得出此時(shí)。尸是直徑，即可求出。尸長(zhǎng)，即可判斷④.

解：,??為？=5。=刃B，點(diǎn)E是點(diǎn)。關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，

?D=?E，

：./-DOB=/-BOE=LCOD=Ix180°=60°,①錯(cuò)誤；

/.CED=^/.COD=^X60°=30°=|ZDOB,即N￡>O3=2NC￡Z)；.,?②正確；

???西￡的度數(shù)是60°,

.?.，E的度數(shù)是120°,

只有當(dāng)“和力重合時(shí)，zA?￡=60。，

"CED=3Q°,

二只有〃和/重合時(shí)，DH1CE,.?.③錯(cuò)誤；

作C關(guān)于AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)F,連接CF,交AB于N,連接DF交4B于M,此時(shí)CM+DM

的值最短，等于。尸長(zhǎng),

連接CD,

=，并且弧的度數(shù)都是60。，

11

.-.z￡>=-xl20°=60°,Z.C^7)=-x60°=30°,

22

；/FCD=l80o-60°-30o=90°,

??.D尸是O。的直徑，

即DF=AB=IO,

.,.CAaOM■的最小值是10,.?.④正確；

綜上所述，正確的個(gè)數(shù)是2個(gè).

故選：B.

【點(diǎn)撥】本題考查了圓周角定理，軸對(duì)稱(chēng)-最短問(wèn)題等知識(shí)點(diǎn)，能靈活運(yùn)用圓周角定理

求出各個(gè)角的度數(shù)和求出M的位置是解此題的關(guān)鍵.

9.D

【分析】

圓周角定理；翻折變換(折疊問(wèn)題)；勾股定理；垂徑定理；圓心角、弧、弦的關(guān)系；

連接04,求出OC,根據(jù)勾股定理求出ZC,可得結(jié)論.

解：連接。4,

???將劣弧沿弦AB折疊交于。。的中點(diǎn)。，

2

.■.OC=-r=6(cm),OC1AB,

3

-'-AC=CB=QJ42—OC2=-\/92-62=3y/5(cm),

■■.AB=2AC=6y[5(cm),

故選：D.

【點(diǎn)撥】本題主要考查了圓的基本性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔

助線(xiàn)，構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題.

10.B

【分析】

連接AD,BF,先求解/C=AD=6,可得】。=肋，1。+加)=48，再求解

BF=屈,可得，￡*］尸，*E+，F(xiàn)w，B，從而可得答案.

-.■AC=6,

AC=BD,

，c=，

??，C+=，B,

CM3直徑，48=10,AF=9,

:.ZAFB=90°,BF=419,

?1?AE=5,

…，E*)

%E+，F(xiàn)/，B，

所以B符合題意，

故選：B.

【點(diǎn)撥】本題主要考查了圓中弧、弦的關(guān)系和直徑所對(duì)的圓周角是直角，熟練掌握相關(guān)

定理是解答本題的關(guān)鍵.

11.D

【分析】

利用三角形內(nèi)角和定理以及角平分線(xiàn)的定義求出AMAB+AMBA=6Q°,推出A4Affi=120°,

可判斷A,證明C,E,M,。四點(diǎn)共圓，利用圓周角定理可判斷B；在48上取一點(diǎn)T,使

得4r=4E,利用全等三角形的性質(zhì)證明可判斷C；無(wú)法判斷B河嶼乙48c互補(bǔ),

可判斷D.

解：如圖,

■■AACB=60°,.-.Z.CAB+^CBA=nO0,

"AD,3E分別是NC/B,NCA4的角平分線(xiàn)，

：.Z.MAB+/-MBA=^-(乙CAB+乙CBA)=60°,

：.Z-AMB=\^°-(”AB+"BA)=120°,故A符合題意,

■■■AEMD=AAMB=nO°,

.■■/.EMD+/J：CD=l80°,

■■C,E,M,。四點(diǎn)共圓，

■：Z.MCE=Z.MCD,

胸=的,

■■.EM=DM,故B符合題意，

???四邊形CEMZ)是e。的內(nèi)接四邊形，

\SAME=GACB=60°=QBMD,

在上取一點(diǎn)7,彳吏得4T=4E,

!.AE=AT

在"ME^\LAMT中，=￡)MAT,

\AM=AM

:2MEm"MT(SAS),

：.Z.AME=Z-AMT=60°,EM=MT,

：.ABMD=^BMT=6Q°,MT=MD,

].MD=MT

在LBMD和&BMT中，\^BMD=GBMT,

\BM=BM

??.LBMD=LBMT,

：.BD=BT,

；.AB=AT+TB=AE+BD,故C符合題意，

■：M,AT關(guān)于NC對(duì)稱(chēng)，:.DMJ/-AMC,

-.SAMC=180°-^(QCAB+EUCB)

=180°-1(180°-0^5C)

=90°+1ZJSC,

:.BMC與UBC不一定互補(bǔ)，

???點(diǎn)AT不一定在△NBC的外接圓上，故D不符合題意，

故選D.

【點(diǎn)撥】本題考查三角形的外接圓，四點(diǎn)共圓，圓周角定理，全等三角形的判定和性質(zhì)

等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線(xiàn)，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題.

12.D

【分析】

根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角，即可判斷A,根據(jù)圓周角定理可判斷B選項(xiàng)，根據(jù)圓

周角與弧的關(guān)系可判斷C,根據(jù)/CDEw/CD2判斷D選項(xiàng).

解：???48、CZ)分別是。。的直徑,

ZCBD=90°,

■■CB1BD,

故A選項(xiàng)正確，

如圖，連接3E,

???DE//AB,且NC￡>￡=62。,

ZBOD=ZCDE=62°,

:"BCD=L/BOD=31。,

2

QOC=OB,

:.ZCBO=ZBCO=3\0,

ZAOC=62°,

???NCBE=NCDE=62°,

:.ZABC=ZABE=31°,

%C=，

故B,C選項(xiàng)正確，

???ZBCD=31。,ZCBD=90°,

NBDC=59°,

ZCDE=62°,

ZCDE*NCDB,

:.BD#DE,故D選項(xiàng)不正確,

故選D.

【點(diǎn)撥】本題考查了圓周角定理，直徑所對(duì)的圓周角是直角，掌握?qǐng)A周角定理是解題的

關(guān)鍵.

13.1-^2L<CM<—

22

【分析】

如圖，連接OC、OE,先計(jì)算出NDOC+4cOE=90。，則可判斷△<?￡>￡為等腰直角

三角形，所以DE=6OD=6,則。"=二?！?注；由C點(diǎn)在弧DE上，貝IJOWNC(W<

45°,根據(jù)三角形的性質(zhì)，NCOM越大，CM越長(zhǎng)，當(dāng)。、M、C共線(xiàn)時(shí)CM最小，C在點(diǎn)/

或點(diǎn)B時(shí)CW最長(zhǎng)，即OC-OMWCMVME；

解：如圖，連接。。、OC,

-■AB為直徑，

.,.乙4OC+MOC=180°,

?：D、E分別是為C、DC的中點(diǎn)，

；.乙4OD=<OD,乙COE=LBOE,

:.乙DOC+乙COE=；"OC+Z5OC)=90°,

.■.AODE為等腰直角三角形，

：.DE=V2OD=V2,

是弦。E的中點(diǎn)，

：.OM=-DE=~,

22

?；C點(diǎn)在弧OE上，??.OWNCOAf<45。，

△OMC中，OM,OC的長(zhǎng)度確定，.zaw越大，CM越長(zhǎng)，

;。、C、〃?共線(xiàn)時(shí)CM最小，C在點(diǎn)/或點(diǎn)8時(shí)CM最長(zhǎng)；

歷

■■CM>1--,

2

當(dāng)C點(diǎn)在/點(diǎn)或2點(diǎn)時(shí)，CM=旺,

2

??.CM的取值范圍是1-絲3CM〈叵.

22

【點(diǎn)撥】本題考查了圓心角的概念，三角形的三邊關(guān)系；根據(jù)三角形的性質(zhì)判斷CW的

長(zhǎng)度是解題關(guān)鍵.

14.36°,72°,108°,144°

【分析】

根據(jù)扇形所占的百分比乘以360。進(jìn)行解答即可.

解：四個(gè)扇形的圓心角分別是360°xl0%=36°；

360°x20%=72°；

360°x30%=108°；

360°x40%=144°.

故答案為36。，72°,108°,144°.

【點(diǎn)撥】考查了扇形圓心角的度數(shù)問(wèn)題，注意周角的度數(shù)是360。.

15.①②③⑤

【分析】

根據(jù)優(yōu)弧的定義，弦的定義，圓周角的定義，圓心角的定義逐項(xiàng)分析判斷即可

解：現(xiàn)B，瓢D都是大于半圓的弧，故①②正確，

在圓上，則線(xiàn)段NC是弦；故③正確；

:C,4。都在圓上，

NC4D是圓周角

而尸點(diǎn)不在圓上，則/不是圓周角

故④不正確；

:。是圓心，C,4在圓上

/.COA是圓心角

故⑤正確

故正確的有：①②③⑤

故答案為：①②③⑤

【點(diǎn)撥】本題考查了優(yōu)弧的定義，弦的定義，圓周角的定義，圓心角的定義，理解定義

是解題的關(guān)鍵.優(yōu)弧是大于半圓的弧，任意圓上兩點(diǎn)的連線(xiàn)是弦，頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都

和圓相交的角叫做圓周角，頂點(diǎn)在圓心，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓心角.

16.x1-V5x+1=0

【分析】

連接OD,OE,因?yàn)榧矗鶕?jù)等弧所對(duì)的圓心角相等可得NDOC=NEOF,因?yàn)?/p>

CD1AB,EF1AB,所以NDCO=NEFO=90。，又因?yàn)镈O==EO,所以RsDOORt/kEOF,所

以CO=OF=1,在RtADOC中，OD==手，所以A0=D0=^,AC=^^~,

BC=AB-AC=V5-I二L=4it1,所以以AC和BC的長(zhǎng)為兩根的一元二次方程是

22

■-苴二1)①叵*)=0,整理，得工2一7^+1=0.

22

VM=*B，

.*.zDOC=zEOF,

vCDlAB,EFlAB,

.-.ZDCO=ZEFO=90°,

又?.?DO=EO,

.,.RtADOC=RtAEOF,

.，CO=OF=1,

?.?在RtADOC中，OD=

???AO=DO=^,AC=AO-CO=^-^,AB=2A0=5BC=AB-AC=V5-

V5+1

2

??.以AC和BC的長(zhǎng)為兩根的一元二次方程是（先吏二1）（人吏上1）=0,整理，得

22

x~—\/~5x+1=0.

故答案為：x2-V5x+l=0.

【點(diǎn)撥】本題考查圓心角定理及其推論，全等三角形的判定與性質(zhì)以及根與系數(shù)的關(guān)

系.此題屬于開(kāi)放題，注意數(shù)形結(jié)合與方程思想的應(yīng)用.

17.90°150°或30°

【分析】

如圖，在中，根據(jù)勾股定理的逆定理即可求出乙40。的度數(shù)；連接OC,易得

△/OC是等邊三角形，從而可得//OC=60。，進(jìn)一步利用角的和差即可求出NC。。的度

數(shù).

解：如圖，在△NOD中，VOA2+OD2=22+22=8,AD2=（272V=8,

■■OA2+OD2=AD2,

，ZJOD=90°；

連接OC,,：OA=OC=AC=2,

：.AAOC是等邊三角形，

ZAOC=60°.

：./。0￡>=//0。+//0。=60°+90°=150°或/。0￡)=//?！?gt;-/NOC=90°—

60°=30°.

故答案為：90。；150?；?0。.

【點(diǎn)撥】本題考查了圓心角、勾股定理的逆定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及分類(lèi)的

數(shù)學(xué)思想，依照題意畫(huà)出圖形、熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

18.93°

【分析】

根據(jù)圓周角定理的推論，得NDCE=32。，由CD148結(jié)合三角形外角的性質(zhì)，得NBOC

的度數(shù)，從而得NBDC的度數(shù)，進(jìn)而即可求解.

解：?.ZDCE和NDBE是同弧所對(duì)的圓周角，

.-.ZDCE=ZDBE=32°,

■：CDLAB,

.-.ZBOC=90°+ZDCE=90°+32°=122°,

?-?ZBDC=yZBOC=1xl22°=61°,

ADFE=zDCE+zBDC=320+61°=930.

故答案是：93°.

【點(diǎn)撥】本題主要考查圓周角定理及其推論，三角形外角的性質(zhì)，掌握“同弧或等弧所

對(duì)的圓周角相等“，“同弧或等弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半”，是解題的關(guān)鍵.

19.57.5°

【分析】

根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)得出"DC=UOD=65。,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理

求出N0D4=NCM￡)=g(180。--3)=57.5°,求出ZADC的度數(shù)，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性

質(zhì)得出乙8+乙4。。=180。，再求出答案即可.

山00=68°,AOWDC,

：.Z.ODC=Z-AOD=65°,

■■■^AOD=65°,OA=OD,

：.A.ODA=^OAD=^(180°-A4OZ?=57.5°,

???乙4。。=4。。/+4。。。=57.5。+65。=122.5。，

???四邊形/BCD是。。的內(nèi)接四邊形，

."+乙4。。=180°,

."=57.5。，

故答案為:57.5°.

【點(diǎn)撥】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圓周角定理，圓心角、弧、弦之間的關(guān)系,

等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，能求出〃。C的度數(shù)是解此題的關(guān)鍵.

20.128

【分析】

連接ND首先證明乙4DC=ZADE,再利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出乙4DC即可解決問(wèn)

題.

解：連接/D

B,

D

,:無(wú)C=幺E，

：?UDC=UDE,

?"+乙400180。，

山。。=180。-116。=64。，

.?.zCZ)￡=2x64°=128°,

故選：128.

【點(diǎn)撥】本題考查圓心角，弧，弦的關(guān)系，圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形等知識(shí)，解題的

關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型.

21.-

3

【分析】

根據(jù)已知條件得出艮4=30。，設(shè)DE=EC=x,由在直角三角形中，30。所對(duì)的

直角邊等于斜邊的一半可以得出AE和BE的長(zhǎng)，然后代入要求的式子進(jìn)行計(jì)算即可得出答

案.

解：的直徑45過(guò)也的中點(diǎn)4

??克C=，

.，.DE=EC,

?MB是。。的直徑，

???乙BED=^CEA=9。。,

??4=30。，

??"C4=zZ)R4=30。，

設(shè)DE=EC=x,

??4=30。，

:?AE=立-x,

3

??ZDBA=3。。,

；.BE=

AE_旦_1

J3x

故答案為：—.

【點(diǎn)撥】本題主要考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系以及圓周角定理，掌握在直角三角形中，

30。所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵.

22.①③

【分析】

①由就）=紅），可得乙COD=KBOD,據(jù)此根據(jù)圓周角定理即可得結(jié)論；

②由點(diǎn)〃■是直徑上一動(dòng)點(diǎn)，而CE的位置是確定的，因此加人CE不一定成立，可

得結(jié)論；

③由題意可得點(diǎn)D和點(diǎn)E關(guān)于AB對(duì)稱(chēng)，因此CM+DM的最小值是在點(diǎn)河和點(diǎn)。重合

時(shí)取到，即CE的長(zhǎng)；

④過(guò)點(diǎn)C作CNVAO于點(diǎn)N,利用解直角三角形可求得CN,利用三角形面積公式求解

即可.

解：@-：BD=CD.

Z.CGD=乙BCD、

ZCED=-ZCOD,

2

ZCED=^ZBOD,故①正確；

②；點(diǎn)”是直徑42上一動(dòng)點(diǎn)，而CE確定，

.??DW1CE不一定成立，故②錯(cuò)誤；

BD=CD=AC'

NBOE=ZAOC=ZCOD=ZBOD=60°,4CED=3Q°,

.'.DELAB,

二點(diǎn)。和點(diǎn)￡關(guān)于AB對(duì)稱(chēng)，

：.CM+DM的最小值是在點(diǎn)”和點(diǎn)。重合時(shí)取到，即CE的長(zhǎng)，

■■■AB=4,

'-CE=AB=^,故③正確;

④連接4C,

"""

-：BD=CD=AC9

???乙。。/=60。，貝必/OC為等邊三角形，邊長(zhǎng)為2,

過(guò)點(diǎn)C作CNLAO于N,貝!]CN=OC-sin6（r=2x^=石,

2

在ACOAf中，以（W為底，（W邊上的高為CN,

：.S^C0M=^0M-CN=^xxy/3=^-x,故④錯(cuò)誤；

綜上，①③正確，

故答案為：①③.

【點(diǎn)撥】本題考查了圓周角定理，最小值問(wèn)題，等邊三角形判定和性質(zhì)，三角形面積等

知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題.

23.越長(zhǎng)越長(zhǎng)越短

【分析】

根據(jù)圓心角定理解答即可.

解：在同一個(gè)圓中，當(dāng)圓心角不超過(guò)180。時(shí)，圓心角越大，所對(duì)的弧越長(zhǎng)，所對(duì)的弦越

長(zhǎng)，所對(duì)弦的弦心距越短.

故答案為越長(zhǎng)；越長(zhǎng)；越短.

【點(diǎn)撥】本題考查了圓心角定理及其推理，解此題的關(guān)鍵在于熟練掌握其知識(shí)點(diǎn).

24.27°

【分析】

根據(jù)題意易得乙4c8=90。，然后根據(jù)圓的性質(zhì)及直角三角形的兩個(gè)銳角互余可求解.

解：?.23是。。的直徑，

山C3=90o,

.-.AA=90°-AABC=90°-63°=27°,

???△￡>=44=27°.

故答案為27°.

【點(diǎn)撥】本題主要考查圓的基本性質(zhì)，熟練掌握?qǐng)A的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

25.(1)作圖見(jiàn)分析；(2)-71

3

試題分析：(1)根據(jù)扇形定義及題目要求畫(huà)出即可；

2

(2)根據(jù)扇形的面積公式S=”計(jì)算即可.

360

解：(1)如圖所示:

(2)???ZAOB=120°,ZBOC=90°,

.?.Z.AOC=150°,

2

±,150x^-x25

故S扇形AOC=~~=彳??

3603

26.(1)26°；(2)13

【分析】

(1)連接QB,結(jié)合ODLAB,根據(jù)垂徑定理，推導(dǎo)得4AOD；再根據(jù)圓心角、圓周角

的性質(zhì)，即可得到答案；

(2)結(jié)合題意，根據(jù)垂徑定理性質(zhì),計(jì)算得AC；再結(jié)合OD1AB,通過(guò)勾股定理即可

計(jì)算得。0的半徑.

解：⑴連接

3D

OD±AB

???^D=BD

-ZAOC=ZBOD=52°

/DEB==/BOD

2

???NDEB=26°

(2)vOD1AB

：.AC=-AB=-x24=12

22

設(shè)。4=x,貝lJOC=x-8

在RM4CO中，X2=122+(X-8)2

?1?x=13

??.eO的半徑長(zhǎng)為13.